MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsmulrfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prdsmulrfval 17131
Description: Value of a structure product's ring product at a single coordinate. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsbasmpt.y 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdsbasmpt.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsbasmpt.s (𝜑𝑆𝑉)
prdsbasmpt.i (𝜑𝐼𝑊)
prdsbasmpt.r (𝜑𝑅 Fn 𝐼)
prdsplusgval.f (𝜑𝐹𝐵)
prdsplusgval.g (𝜑𝐺𝐵)
prdsmulrval.t · = (.r𝑌)
prdsmulrfval.j (𝜑𝐽𝐼)
Assertion
Ref Expression
prdsmulrfval (𝜑 → ((𝐹 · 𝐺)‘𝐽) = ((𝐹𝐽)(.r‘(𝑅𝐽))(𝐺𝐽)))

Proof of Theorem prdsmulrfval
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsbasmpt.y . . . 4 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
2 prdsbasmpt.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑌)
3 prdsbasmpt.s . . . 4 (𝜑𝑆𝑉)
4 prdsbasmpt.i . . . 4 (𝜑𝐼𝑊)
5 prdsbasmpt.r . . . 4 (𝜑𝑅 Fn 𝐼)
6 prdsplusgval.f . . . 4 (𝜑𝐹𝐵)
7 prdsplusgval.g . . . 4 (𝜑𝐺𝐵)
8 prdsmulrval.t . . . 4 · = (.r𝑌)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8prdsmulrval 17130 . . 3 (𝜑 → (𝐹 · 𝐺) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(.r‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥))))
109fveq1d 6763 . 2 (𝜑 → ((𝐹 · 𝐺)‘𝐽) = ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(.r‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥)))‘𝐽))
11 prdsmulrfval.j . . 3 (𝜑𝐽𝐼)
12 2fveq3 6766 . . . . 5 (𝑥 = 𝐽 → (.r‘(𝑅𝑥)) = (.r‘(𝑅𝐽)))
13 fveq2 6761 . . . . 5 (𝑥 = 𝐽 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝐽))
14 fveq2 6761 . . . . 5 (𝑥 = 𝐽 → (𝐺𝑥) = (𝐺𝐽))
1512, 13, 14oveq123d 7281 . . . 4 (𝑥 = 𝐽 → ((𝐹𝑥)(.r‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥)) = ((𝐹𝐽)(.r‘(𝑅𝐽))(𝐺𝐽)))
16 eqid 2737 . . . 4 (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(.r‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(.r‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥)))
17 ovex 7293 . . . 4 ((𝐹𝐽)(.r‘(𝑅𝐽))(𝐺𝐽)) ∈ V
1815, 16, 17fvmpt 6862 . . 3 (𝐽𝐼 → ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(.r‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥)))‘𝐽) = ((𝐹𝐽)(.r‘(𝑅𝐽))(𝐺𝐽)))
1911, 18syl 17 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(.r‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥)))‘𝐽) = ((𝐹𝐽)(.r‘(𝑅𝐽))(𝐺𝐽)))
2010, 19eqtrd 2777 1 (𝜑 → ((𝐹 · 𝐺)‘𝐽) = ((𝐹𝐽)(.r‘(𝑅𝐽))(𝐺𝐽)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1539  wcel 2107  cmpt 5158   Fn wfn 6418  cfv 6423  (class class class)co 7260  Basecbs 16856  .rcmulr 16907  Xscprds 17100
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5210  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7571  ax-cnex 10874  ax-resscn 10875  ax-1cn 10876  ax-icn 10877  ax-addcl 10878  ax-addrcl 10879  ax-mulcl 10880  ax-mulrcl 10881  ax-mulcom 10882  ax-addass 10883  ax-mulass 10884  ax-distr 10885  ax-i2m1 10886  ax-1ne0 10887  ax-1rid 10888  ax-rnegex 10889  ax-rrecex 10890  ax-cnre 10891  ax-pre-lttri 10892  ax-pre-lttrn 10893  ax-pre-ltadd 10894  ax-pre-mulgt0 10895
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3067  df-rex 3068  df-reu 3069  df-rab 3071  df-v 3429  df-sbc 3717  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4259  df-if 4462  df-pw 4537  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4842  df-iun 4928  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-tr 5193  df-id 5485  df-eprel 5491  df-po 5499  df-so 5500  df-fr 5540  df-we 5542  df-xp 5591  df-rel 5592  df-cnv 5593  df-co 5594  df-dm 5595  df-rn 5596  df-res 5597  df-ima 5598  df-pred 6196  df-ord 6259  df-on 6260  df-lim 6261  df-suc 6262  df-iota 6381  df-fun 6425  df-fn 6426  df-f 6427  df-f1 6428  df-fo 6429  df-f1o 6430  df-fv 6431  df-riota 7217  df-ov 7263  df-oprab 7264  df-mpo 7265  df-om 7693  df-1st 7809  df-2nd 7810  df-frecs 8073  df-wrecs 8104  df-recs 8178  df-rdg 8217  df-1o 8272  df-er 8461  df-map 8580  df-ixp 8649  df-en 8697  df-dom 8698  df-sdom 8699  df-fin 8700  df-sup 9147  df-pnf 10958  df-mnf 10959  df-xr 10960  df-ltxr 10961  df-le 10962  df-sub 11153  df-neg 11154  df-nn 11920  df-2 11982  df-3 11983  df-4 11984  df-5 11985  df-6 11986  df-7 11987  df-8 11988  df-9 11989  df-n0 12180  df-z 12266  df-dec 12383  df-uz 12528  df-fz 13185  df-struct 16792  df-slot 16827  df-ndx 16839  df-base 16857  df-plusg 16919  df-mulr 16920  df-sca 16922  df-vsca 16923  df-ip 16924  df-tset 16925  df-ple 16926  df-ds 16928  df-hom 16930  df-cco 16931  df-prds 17102
This theorem is referenced by:  prdsringd  19795
  Copyright terms: Public domain W3C validator