MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsmulrfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prdsmulrfval 17483
Description: Value of a structure product's ring product at a single coordinate. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsbasmpt.y 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdsbasmpt.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsbasmpt.s (𝜑𝑆𝑉)
prdsbasmpt.i (𝜑𝐼𝑊)
prdsbasmpt.r (𝜑𝑅 Fn 𝐼)
prdsplusgval.f (𝜑𝐹𝐵)
prdsplusgval.g (𝜑𝐺𝐵)
prdsmulrval.t · = (.r𝑌)
prdsmulrfval.j (𝜑𝐽𝐼)
Assertion
Ref Expression
prdsmulrfval (𝜑 → ((𝐹 · 𝐺)‘𝐽) = ((𝐹𝐽)(.r‘(𝑅𝐽))(𝐺𝐽)))

Proof of Theorem prdsmulrfval
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsbasmpt.y . . . 4 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
2 prdsbasmpt.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑌)
3 prdsbasmpt.s . . . 4 (𝜑𝑆𝑉)
4 prdsbasmpt.i . . . 4 (𝜑𝐼𝑊)
5 prdsbasmpt.r . . . 4 (𝜑𝑅 Fn 𝐼)
6 prdsplusgval.f . . . 4 (𝜑𝐹𝐵)
7 prdsplusgval.g . . . 4 (𝜑𝐺𝐵)
8 prdsmulrval.t . . . 4 · = (.r𝑌)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8prdsmulrval 17482 . . 3 (𝜑 → (𝐹 · 𝐺) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(.r‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥))))
109fveq1d 6892 . 2 (𝜑 → ((𝐹 · 𝐺)‘𝐽) = ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(.r‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥)))‘𝐽))
11 prdsmulrfval.j . . 3 (𝜑𝐽𝐼)
12 2fveq3 6895 . . . . 5 (𝑥 = 𝐽 → (.r‘(𝑅𝑥)) = (.r‘(𝑅𝐽)))
13 fveq2 6890 . . . . 5 (𝑥 = 𝐽 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝐽))
14 fveq2 6890 . . . . 5 (𝑥 = 𝐽 → (𝐺𝑥) = (𝐺𝐽))
1512, 13, 14oveq123d 7434 . . . 4 (𝑥 = 𝐽 → ((𝐹𝑥)(.r‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥)) = ((𝐹𝐽)(.r‘(𝑅𝐽))(𝐺𝐽)))
16 eqid 2726 . . . 4 (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(.r‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(.r‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥)))
17 ovex 7446 . . . 4 ((𝐹𝐽)(.r‘(𝑅𝐽))(𝐺𝐽)) ∈ V
1815, 16, 17fvmpt 6998 . . 3 (𝐽𝐼 → ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(.r‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥)))‘𝐽) = ((𝐹𝐽)(.r‘(𝑅𝐽))(𝐺𝐽)))
1911, 18syl 17 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(.r‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥)))‘𝐽) = ((𝐹𝐽)(.r‘(𝑅𝐽))(𝐺𝐽)))
2010, 19eqtrd 2766 1 (𝜑 → ((𝐹 · 𝐺)‘𝐽) = ((𝐹𝐽)(.r‘(𝑅𝐽))(𝐺𝐽)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1534  wcel 2099  cmpt 5226   Fn wfn 6538  cfv 6543  (class class class)co 7413  Basecbs 17205  .rcmulr 17259  Xscprds 17452
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7735  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4906  df-iun 4995  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6302  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8846  df-ixp 8916  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-fin 8967  df-sup 9475  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12256  df-2 12318  df-3 12319  df-4 12320  df-5 12321  df-6 12322  df-7 12323  df-8 12324  df-9 12325  df-n0 12516  df-z 12602  df-dec 12721  df-uz 12866  df-fz 13530  df-struct 17141  df-slot 17176  df-ndx 17188  df-base 17206  df-plusg 17271  df-mulr 17272  df-sca 17274  df-vsca 17275  df-ip 17276  df-tset 17277  df-ple 17278  df-ds 17280  df-hom 17282  df-cco 17283  df-prds 17454
This theorem is referenced by:  prdsrngd  20152  prdsringd  20293
  Copyright terms: Public domain W3C validator