Theorem prdsmulrfval 17697

Description: Value of a structure product's ring product at a single coordinate. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsbasmpt.y	⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdsbasmpt.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsbasmpt.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
prdsbasmpt.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
prdsbasmpt.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 Fn 𝐼)
prdsplusgval.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
prdsplusgval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
prdsmulrval.t	⊢ · = (.r‘𝑌)
prdsmulrfval.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
prdsmulrfval	⊢ (𝜑 → ((𝐹 · 𝐺)‘𝐽) = ((𝐹‘𝐽)(.r‘(𝑅‘𝐽))(𝐺‘𝐽)))

Proof of Theorem prdsmulrfval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdsbasmpt.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
2		prdsbasmpt.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
3		prdsbasmpt.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
4		prdsbasmpt.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
5		prdsbasmpt.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Fn 𝐼)
6		prdsplusgval.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
7		prdsplusgval.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
8		prdsmulrval.t	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑌)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	prdsmulrval 17696	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 · 𝐺) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(.r‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥))))
10	9	fveq1d 6918	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 · 𝐺)‘𝐽) = ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(.r‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥)))‘𝐽))
11		prdsmulrfval.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐼)
12		2fveq3 6921	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐽 → (.r‘(𝑅‘𝑥)) = (.r‘(𝑅‘𝐽)))
13		fveq2 6916	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐽 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝐽))
14		fveq2 6916	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐽 → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝐽))
15	12, 13, 14	oveq123d 7472	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐽 → ((𝐹‘𝑥)(.r‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥)) = ((𝐹‘𝐽)(.r‘(𝑅‘𝐽))(𝐺‘𝐽)))
16		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(.r‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(.r‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥)))
17		ovex 7484	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝐽)(.r‘(𝑅‘𝐽))(𝐺‘𝐽)) ∈ V
18	15, 16, 17	fvmpt 7024	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ 𝐼 → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(.r‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥)))‘𝐽) = ((𝐹‘𝐽)(.r‘(𝑅‘𝐽))(𝐺‘𝐽)))
19	11, 18	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(.r‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥)))‘𝐽) = ((𝐹‘𝐽)(.r‘(𝑅‘𝐽))(𝐺‘𝐽)))
20	10, 19	eqtrd 2798	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 · 𝐺)‘𝐽) = ((𝐹‘𝐽)(.r‘(𝑅‘𝐽))(𝐺‘𝐽)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ↦ cmpt 5192   Fn wfn 6561  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  Basecbs 17431  ._rcmulr 17473  X_scprds 17666

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-er 8755  df-map 8887  df-ixp 8964  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-sup 9471  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-fz 13680  df-struct 17369  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-plusg 17486  df-mulr 17487  df-sca 17489  df-vsca 17490  df-ip 17491  df-tset 17492  df-ple 17493  df-ds 17495  df-hom 17497  df-cco 17498  df-prds 17668

This theorem is used by:  prdsrngd  20449  prdsringd  20601