![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > prdsmulrval | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Value of a componentwise ring product in a structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2015.) |
Ref | Expression |
---|---|
prdsbasmpt.y | โข ๐ = (๐Xs๐ ) |
prdsbasmpt.b | โข ๐ต = (Baseโ๐) |
prdsbasmpt.s | โข (๐ โ ๐ โ ๐) |
prdsbasmpt.i | โข (๐ โ ๐ผ โ ๐) |
prdsbasmpt.r | โข (๐ โ ๐ Fn ๐ผ) |
prdsplusgval.f | โข (๐ โ ๐น โ ๐ต) |
prdsplusgval.g | โข (๐ โ ๐บ โ ๐ต) |
prdsmulrval.t | โข ยท = (.rโ๐) |
Ref | Expression |
---|---|
prdsmulrval | โข (๐ โ (๐น ยท ๐บ) = (๐ฅ โ ๐ผ โฆ ((๐นโ๐ฅ)(.rโ(๐ โ๐ฅ))(๐บโ๐ฅ)))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | prdsbasmpt.y | . . 3 โข ๐ = (๐Xs๐ ) | |
2 | prdsbasmpt.s | . . 3 โข (๐ โ ๐ โ ๐) | |
3 | prdsbasmpt.r | . . . 4 โข (๐ โ ๐ Fn ๐ผ) | |
4 | prdsbasmpt.i | . . . 4 โข (๐ โ ๐ผ โ ๐) | |
5 | fnex 7223 | . . . 4 โข ((๐ Fn ๐ผ โง ๐ผ โ ๐) โ ๐ โ V) | |
6 | 3, 4, 5 | syl2anc 583 | . . 3 โข (๐ โ ๐ โ V) |
7 | prdsbasmpt.b | . . 3 โข ๐ต = (Baseโ๐) | |
8 | 3 | fndmd 6653 | . . 3 โข (๐ โ dom ๐ = ๐ผ) |
9 | prdsmulrval.t | . . 3 โข ยท = (.rโ๐) | |
10 | 1, 2, 6, 7, 8, 9 | prdsmulr 17426 | . 2 โข (๐ โ ยท = (๐ฆ โ ๐ต, ๐ง โ ๐ต โฆ (๐ฅ โ ๐ผ โฆ ((๐ฆโ๐ฅ)(.rโ(๐ โ๐ฅ))(๐งโ๐ฅ))))) |
11 | fveq1 6890 | . . . . 5 โข (๐ฆ = ๐น โ (๐ฆโ๐ฅ) = (๐นโ๐ฅ)) | |
12 | fveq1 6890 | . . . . 5 โข (๐ง = ๐บ โ (๐งโ๐ฅ) = (๐บโ๐ฅ)) | |
13 | 11, 12 | oveqan12d 7433 | . . . 4 โข ((๐ฆ = ๐น โง ๐ง = ๐บ) โ ((๐ฆโ๐ฅ)(.rโ(๐ โ๐ฅ))(๐งโ๐ฅ)) = ((๐นโ๐ฅ)(.rโ(๐ โ๐ฅ))(๐บโ๐ฅ))) |
14 | 13 | adantl 481 | . . 3 โข ((๐ โง (๐ฆ = ๐น โง ๐ง = ๐บ)) โ ((๐ฆโ๐ฅ)(.rโ(๐ โ๐ฅ))(๐งโ๐ฅ)) = ((๐นโ๐ฅ)(.rโ(๐ โ๐ฅ))(๐บโ๐ฅ))) |
15 | 14 | mpteq2dv 5244 | . 2 โข ((๐ โง (๐ฆ = ๐น โง ๐ง = ๐บ)) โ (๐ฅ โ ๐ผ โฆ ((๐ฆโ๐ฅ)(.rโ(๐ โ๐ฅ))(๐งโ๐ฅ))) = (๐ฅ โ ๐ผ โฆ ((๐นโ๐ฅ)(.rโ(๐ โ๐ฅ))(๐บโ๐ฅ)))) |
16 | prdsplusgval.f | . 2 โข (๐ โ ๐น โ ๐ต) | |
17 | prdsplusgval.g | . 2 โข (๐ โ ๐บ โ ๐ต) | |
18 | 4 | mptexd 7230 | . 2 โข (๐ โ (๐ฅ โ ๐ผ โฆ ((๐นโ๐ฅ)(.rโ(๐ โ๐ฅ))(๐บโ๐ฅ))) โ V) |
19 | 10, 15, 16, 17, 18 | ovmpod 7565 | 1 โข (๐ โ (๐น ยท ๐บ) = (๐ฅ โ ๐ผ โฆ ((๐นโ๐ฅ)(.rโ(๐ โ๐ฅ))(๐บโ๐ฅ)))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 395 = wceq 1534 โ wcel 2099 Vcvv 3469 โฆ cmpt 5225 Fn wfn 6537 โcfv 6542 (class class class)co 7414 Basecbs 17165 .rcmulr 17219 Xscprds 17412 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1790 ax-4 1804 ax-5 1906 ax-6 1964 ax-7 2004 ax-8 2101 ax-9 2109 ax-10 2130 ax-11 2147 ax-12 2164 ax-ext 2698 ax-rep 5279 ax-sep 5293 ax-nul 5300 ax-pow 5359 ax-pr 5423 ax-un 7732 ax-cnex 11180 ax-resscn 11181 ax-1cn 11182 ax-icn 11183 ax-addcl 11184 ax-addrcl 11185 ax-mulcl 11186 ax-mulrcl 11187 ax-mulcom 11188 ax-addass 11189 ax-mulass 11190 ax-distr 11191 ax-i2m1 11192 ax-1ne0 11193 ax-1rid 11194 ax-rnegex 11195 ax-rrecex 11196 ax-cnre 11197 ax-pre-lttri 11198 ax-pre-lttrn 11199 ax-pre-ltadd 11200 ax-pre-mulgt0 11201 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 847 df-3or 1086 df-3an 1087 df-tru 1537 df-fal 1547 df-ex 1775 df-nf 1779 df-sb 2061 df-mo 2529 df-eu 2558 df-clab 2705 df-cleq 2719 df-clel 2805 df-nfc 2880 df-ne 2936 df-nel 3042 df-ral 3057 df-rex 3066 df-reu 3372 df-rab 3428 df-v 3471 df-sbc 3775 df-csb 3890 df-dif 3947 df-un 3949 df-in 3951 df-ss 3961 df-pss 3963 df-nul 4319 df-if 4525 df-pw 4600 df-sn 4625 df-pr 4627 df-tp 4629 df-op 4631 df-uni 4904 df-iun 4993 df-br 5143 df-opab 5205 df-mpt 5226 df-tr 5260 df-id 5570 df-eprel 5576 df-po 5584 df-so 5585 df-fr 5627 df-we 5629 df-xp 5678 df-rel 5679 df-cnv 5680 df-co 5681 df-dm 5682 df-rn 5683 df-res 5684 df-ima 5685 df-pred 6299 df-ord 6366 df-on 6367 df-lim 6368 df-suc 6369 df-iota 6494 df-fun 6544 df-fn 6545 df-f 6546 df-f1 6547 df-fo 6548 df-f1o 6549 df-fv 6550 df-riota 7370 df-ov 7417 df-oprab 7418 df-mpo 7419 df-om 7863 df-1st 7985 df-2nd 7986 df-frecs 8278 df-wrecs 8309 df-recs 8383 df-rdg 8422 df-1o 8478 df-er 8716 df-map 8836 df-ixp 8906 df-en 8954 df-dom 8955 df-sdom 8956 df-fin 8957 df-sup 9451 df-pnf 11266 df-mnf 11267 df-xr 11268 df-ltxr 11269 df-le 11270 df-sub 11462 df-neg 11463 df-nn 12229 df-2 12291 df-3 12292 df-4 12293 df-5 12294 df-6 12295 df-7 12296 df-8 12297 df-9 12298 df-n0 12489 df-z 12575 df-dec 12694 df-uz 12839 df-fz 13503 df-struct 17101 df-slot 17136 df-ndx 17148 df-base 17166 df-plusg 17231 df-mulr 17232 df-sca 17234 df-vsca 17235 df-ip 17236 df-tset 17237 df-ple 17238 df-ds 17240 df-hom 17242 df-cco 17243 df-prds 17414 |
This theorem is referenced by: prdsmulrfval 17443 pwsmulrval 17458 xpsmul 17542 prdsmulrngcl 20099 prdsrngd 20100 prdsringd 20239 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |