![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > prdsmulrval | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Value of a componentwise ring product in a structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2015.) |
Ref | Expression |
---|---|
prdsbasmpt.y | โข ๐ = (๐Xs๐ ) |
prdsbasmpt.b | โข ๐ต = (Baseโ๐) |
prdsbasmpt.s | โข (๐ โ ๐ โ ๐) |
prdsbasmpt.i | โข (๐ โ ๐ผ โ ๐) |
prdsbasmpt.r | โข (๐ โ ๐ Fn ๐ผ) |
prdsplusgval.f | โข (๐ โ ๐น โ ๐ต) |
prdsplusgval.g | โข (๐ โ ๐บ โ ๐ต) |
prdsmulrval.t | โข ยท = (.rโ๐) |
Ref | Expression |
---|---|
prdsmulrval | โข (๐ โ (๐น ยท ๐บ) = (๐ฅ โ ๐ผ โฆ ((๐นโ๐ฅ)(.rโ(๐ โ๐ฅ))(๐บโ๐ฅ)))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | prdsbasmpt.y | . . 3 โข ๐ = (๐Xs๐ ) | |
2 | prdsbasmpt.s | . . 3 โข (๐ โ ๐ โ ๐) | |
3 | prdsbasmpt.r | . . . 4 โข (๐ โ ๐ Fn ๐ผ) | |
4 | prdsbasmpt.i | . . . 4 โข (๐ โ ๐ผ โ ๐) | |
5 | fnex 7218 | . . . 4 โข ((๐ Fn ๐ผ โง ๐ผ โ ๐) โ ๐ โ V) | |
6 | 3, 4, 5 | syl2anc 584 | . . 3 โข (๐ โ ๐ โ V) |
7 | prdsbasmpt.b | . . 3 โข ๐ต = (Baseโ๐) | |
8 | 3 | fndmd 6654 | . . 3 โข (๐ โ dom ๐ = ๐ผ) |
9 | prdsmulrval.t | . . 3 โข ยท = (.rโ๐) | |
10 | 1, 2, 6, 7, 8, 9 | prdsmulr 17404 | . 2 โข (๐ โ ยท = (๐ฆ โ ๐ต, ๐ง โ ๐ต โฆ (๐ฅ โ ๐ผ โฆ ((๐ฆโ๐ฅ)(.rโ(๐ โ๐ฅ))(๐งโ๐ฅ))))) |
11 | fveq1 6890 | . . . . 5 โข (๐ฆ = ๐น โ (๐ฆโ๐ฅ) = (๐นโ๐ฅ)) | |
12 | fveq1 6890 | . . . . 5 โข (๐ง = ๐บ โ (๐งโ๐ฅ) = (๐บโ๐ฅ)) | |
13 | 11, 12 | oveqan12d 7427 | . . . 4 โข ((๐ฆ = ๐น โง ๐ง = ๐บ) โ ((๐ฆโ๐ฅ)(.rโ(๐ โ๐ฅ))(๐งโ๐ฅ)) = ((๐นโ๐ฅ)(.rโ(๐ โ๐ฅ))(๐บโ๐ฅ))) |
14 | 13 | adantl 482 | . . 3 โข ((๐ โง (๐ฆ = ๐น โง ๐ง = ๐บ)) โ ((๐ฆโ๐ฅ)(.rโ(๐ โ๐ฅ))(๐งโ๐ฅ)) = ((๐นโ๐ฅ)(.rโ(๐ โ๐ฅ))(๐บโ๐ฅ))) |
15 | 14 | mpteq2dv 5250 | . 2 โข ((๐ โง (๐ฆ = ๐น โง ๐ง = ๐บ)) โ (๐ฅ โ ๐ผ โฆ ((๐ฆโ๐ฅ)(.rโ(๐ โ๐ฅ))(๐งโ๐ฅ))) = (๐ฅ โ ๐ผ โฆ ((๐นโ๐ฅ)(.rโ(๐ โ๐ฅ))(๐บโ๐ฅ)))) |
16 | prdsplusgval.f | . 2 โข (๐ โ ๐น โ ๐ต) | |
17 | prdsplusgval.g | . 2 โข (๐ โ ๐บ โ ๐ต) | |
18 | 4 | mptexd 7225 | . 2 โข (๐ โ (๐ฅ โ ๐ผ โฆ ((๐นโ๐ฅ)(.rโ(๐ โ๐ฅ))(๐บโ๐ฅ))) โ V) |
19 | 10, 15, 16, 17, 18 | ovmpod 7559 | 1 โข (๐ โ (๐น ยท ๐บ) = (๐ฅ โ ๐ผ โฆ ((๐นโ๐ฅ)(.rโ(๐ โ๐ฅ))(๐บโ๐ฅ)))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 396 = wceq 1541 โ wcel 2106 Vcvv 3474 โฆ cmpt 5231 Fn wfn 6538 โcfv 6543 (class class class)co 7408 Basecbs 17143 .rcmulr 17197 Xscprds 17390 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2703 ax-rep 5285 ax-sep 5299 ax-nul 5306 ax-pow 5363 ax-pr 5427 ax-un 7724 ax-cnex 11165 ax-resscn 11166 ax-1cn 11167 ax-icn 11168 ax-addcl 11169 ax-addrcl 11170 ax-mulcl 11171 ax-mulrcl 11172 ax-mulcom 11173 ax-addass 11174 ax-mulass 11175 ax-distr 11176 ax-i2m1 11177 ax-1ne0 11178 ax-1rid 11179 ax-rnegex 11180 ax-rrecex 11181 ax-cnre 11182 ax-pre-lttri 11183 ax-pre-lttrn 11184 ax-pre-ltadd 11185 ax-pre-mulgt0 11186 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 846 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2068 df-mo 2534 df-eu 2563 df-clab 2710 df-cleq 2724 df-clel 2810 df-nfc 2885 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-reu 3377 df-rab 3433 df-v 3476 df-sbc 3778 df-csb 3894 df-dif 3951 df-un 3953 df-in 3955 df-ss 3965 df-pss 3967 df-nul 4323 df-if 4529 df-pw 4604 df-sn 4629 df-pr 4631 df-tp 4633 df-op 4635 df-uni 4909 df-iun 4999 df-br 5149 df-opab 5211 df-mpt 5232 df-tr 5266 df-id 5574 df-eprel 5580 df-po 5588 df-so 5589 df-fr 5631 df-we 5633 df-xp 5682 df-rel 5683 df-cnv 5684 df-co 5685 df-dm 5686 df-rn 5687 df-res 5688 df-ima 5689 df-pred 6300 df-ord 6367 df-on 6368 df-lim 6369 df-suc 6370 df-iota 6495 df-fun 6545 df-fn 6546 df-f 6547 df-f1 6548 df-fo 6549 df-f1o 6550 df-fv 6551 df-riota 7364 df-ov 7411 df-oprab 7412 df-mpo 7413 df-om 7855 df-1st 7974 df-2nd 7975 df-frecs 8265 df-wrecs 8296 df-recs 8370 df-rdg 8409 df-1o 8465 df-er 8702 df-map 8821 df-ixp 8891 df-en 8939 df-dom 8940 df-sdom 8941 df-fin 8942 df-sup 9436 df-pnf 11249 df-mnf 11250 df-xr 11251 df-ltxr 11252 df-le 11253 df-sub 11445 df-neg 11446 df-nn 12212 df-2 12274 df-3 12275 df-4 12276 df-5 12277 df-6 12278 df-7 12279 df-8 12280 df-9 12281 df-n0 12472 df-z 12558 df-dec 12677 df-uz 12822 df-fz 13484 df-struct 17079 df-slot 17114 df-ndx 17126 df-base 17144 df-plusg 17209 df-mulr 17210 df-sca 17212 df-vsca 17213 df-ip 17214 df-tset 17215 df-ple 17216 df-ds 17218 df-hom 17220 df-cco 17221 df-prds 17392 |
This theorem is referenced by: prdsmulrfval 17421 pwsmulrval 17436 xpsmul 17520 prdsmulrcl 20132 prdsringd 20133 prdsmulrngcl 46666 prdsrngd 46667 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |