MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsmulrval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prdsmulrval 17442
Description: Value of a componentwise ring product in a structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsbasmpt.y ๐‘Œ = (๐‘†Xs๐‘…)
prdsbasmpt.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘Œ)
prdsbasmpt.s (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ ๐‘‰)
prdsbasmpt.i (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ ๐‘Š)
prdsbasmpt.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… Fn ๐ผ)
prdsplusgval.f (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ ๐ต)
prdsplusgval.g (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ ๐ต)
prdsmulrval.t ยท = (.rโ€˜๐‘Œ)
Assertion
Ref Expression
prdsmulrval (๐œ‘ โ†’ (๐น ยท ๐บ) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜(๐‘…โ€˜๐‘ฅ))(๐บโ€˜๐‘ฅ))))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ต   ๐‘ฅ,๐น   ๐‘ฅ,๐บ   ๐œ‘,๐‘ฅ   ๐‘ฅ,๐ผ   ๐‘ฅ,๐‘‰   ๐‘ฅ,๐‘…   ๐‘ฅ,๐‘†   ๐‘ฅ,๐‘Š   ๐‘ฅ,๐‘Œ
Allowed substitution hint:   ยท (๐‘ฅ)

Proof of Theorem prdsmulrval
Dummy variables ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsbasmpt.y . . 3 ๐‘Œ = (๐‘†Xs๐‘…)
2 prdsbasmpt.s . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ ๐‘‰)
3 prdsbasmpt.r . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… Fn ๐ผ)
4 prdsbasmpt.i . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ ๐‘Š)
5 fnex 7223 . . . 4 ((๐‘… Fn ๐ผ โˆง ๐ผ โˆˆ ๐‘Š) โ†’ ๐‘… โˆˆ V)
63, 4, 5syl2anc 583 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ V)
7 prdsbasmpt.b . . 3 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘Œ)
83fndmd 6653 . . 3 (๐œ‘ โ†’ dom ๐‘… = ๐ผ)
9 prdsmulrval.t . . 3 ยท = (.rโ€˜๐‘Œ)
101, 2, 6, 7, 8, 9prdsmulr 17426 . 2 (๐œ‘ โ†’ ยท = (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต, ๐‘ง โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ((๐‘ฆโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜(๐‘…โ€˜๐‘ฅ))(๐‘งโ€˜๐‘ฅ)))))
11 fveq1 6890 . . . . 5 (๐‘ฆ = ๐น โ†’ (๐‘ฆโ€˜๐‘ฅ) = (๐นโ€˜๐‘ฅ))
12 fveq1 6890 . . . . 5 (๐‘ง = ๐บ โ†’ (๐‘งโ€˜๐‘ฅ) = (๐บโ€˜๐‘ฅ))
1311, 12oveqan12d 7433 . . . 4 ((๐‘ฆ = ๐น โˆง ๐‘ง = ๐บ) โ†’ ((๐‘ฆโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜(๐‘…โ€˜๐‘ฅ))(๐‘งโ€˜๐‘ฅ)) = ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜(๐‘…โ€˜๐‘ฅ))(๐บโ€˜๐‘ฅ)))
1413adantl 481 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ = ๐น โˆง ๐‘ง = ๐บ)) โ†’ ((๐‘ฆโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜(๐‘…โ€˜๐‘ฅ))(๐‘งโ€˜๐‘ฅ)) = ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜(๐‘…โ€˜๐‘ฅ))(๐บโ€˜๐‘ฅ)))
1514mpteq2dv 5244 . 2 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ = ๐น โˆง ๐‘ง = ๐บ)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ((๐‘ฆโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜(๐‘…โ€˜๐‘ฅ))(๐‘งโ€˜๐‘ฅ))) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜(๐‘…โ€˜๐‘ฅ))(๐บโ€˜๐‘ฅ))))
16 prdsplusgval.f . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ ๐ต)
17 prdsplusgval.g . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ ๐ต)
184mptexd 7230 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜(๐‘…โ€˜๐‘ฅ))(๐บโ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ V)
1910, 15, 16, 17, 18ovmpod 7565 1 (๐œ‘ โ†’ (๐น ยท ๐บ) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ((๐นโ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜(๐‘…โ€˜๐‘ฅ))(๐บโ€˜๐‘ฅ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  Vcvv 3469   โ†ฆ cmpt 5225   Fn wfn 6537  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  Basecbs 17165  .rcmulr 17219  Xscprds 17412
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8716  df-map 8836  df-ixp 8906  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-sup 9451  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12489  df-z 12575  df-dec 12694  df-uz 12839  df-fz 13503  df-struct 17101  df-slot 17136  df-ndx 17148  df-base 17166  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-hom 17242  df-cco 17243  df-prds 17414
This theorem is referenced by:  prdsmulrfval  17443  pwsmulrval  17458  xpsmul  17542  prdsmulrngcl  20099  prdsrngd  20100  prdsringd  20239
  Copyright terms: Public domain W3C validator