MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsvscafval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prdsvscafval 17456
Description: Scalar multiplication of a single coordinate in a structure product. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsbasmpt.y ๐‘Œ = (๐‘†Xs๐‘…)
prdsbasmpt.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘Œ)
prdsvscaval.t ยท = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘Œ)
prdsvscaval.k ๐พ = (Baseโ€˜๐‘†)
prdsvscaval.s (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ ๐‘‰)
prdsvscaval.i (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ ๐‘Š)
prdsvscaval.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… Fn ๐ผ)
prdsvscaval.f (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ ๐พ)
prdsvscaval.g (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ ๐ต)
prdsvscafval.j (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ โˆˆ ๐ผ)
Assertion
Ref Expression
prdsvscafval (๐œ‘ โ†’ ((๐น ยท ๐บ)โ€˜๐ฝ) = (๐น( ยท๐‘  โ€˜(๐‘…โ€˜๐ฝ))(๐บโ€˜๐ฝ)))

Proof of Theorem prdsvscafval
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsbasmpt.y . . 3 ๐‘Œ = (๐‘†Xs๐‘…)
2 prdsbasmpt.b . . 3 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘Œ)
3 prdsvscaval.t . . 3 ยท = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘Œ)
4 prdsvscaval.k . . 3 ๐พ = (Baseโ€˜๐‘†)
5 prdsvscaval.s . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ ๐‘‰)
6 prdsvscaval.i . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ ๐‘Š)
7 prdsvscaval.r . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… Fn ๐ผ)
8 prdsvscaval.f . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ ๐พ)
9 prdsvscaval.g . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ ๐ต)
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9prdsvscaval 17455 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐น ยท ๐บ) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ (๐น( ยท๐‘  โ€˜(๐‘…โ€˜๐‘ฅ))(๐บโ€˜๐‘ฅ))))
11 2fveq3 6895 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐ฝ โ†’ ( ยท๐‘  โ€˜(๐‘…โ€˜๐‘ฅ)) = ( ยท๐‘  โ€˜(๐‘…โ€˜๐ฝ)))
12 eqidd 2726 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐ฝ โ†’ ๐น = ๐น)
13 fveq2 6890 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐ฝ โ†’ (๐บโ€˜๐‘ฅ) = (๐บโ€˜๐ฝ))
1411, 12, 13oveq123d 7434 . . 3 (๐‘ฅ = ๐ฝ โ†’ (๐น( ยท๐‘  โ€˜(๐‘…โ€˜๐‘ฅ))(๐บโ€˜๐‘ฅ)) = (๐น( ยท๐‘  โ€˜(๐‘…โ€˜๐ฝ))(๐บโ€˜๐ฝ)))
1514adantl 480 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ = ๐ฝ) โ†’ (๐น( ยท๐‘  โ€˜(๐‘…โ€˜๐‘ฅ))(๐บโ€˜๐‘ฅ)) = (๐น( ยท๐‘  โ€˜(๐‘…โ€˜๐ฝ))(๐บโ€˜๐ฝ)))
16 prdsvscafval.j . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ โˆˆ ๐ผ)
17 ovexd 7448 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐น( ยท๐‘  โ€˜(๐‘…โ€˜๐ฝ))(๐บโ€˜๐ฝ)) โˆˆ V)
1810, 15, 16, 17fvmptd 7005 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐น ยท ๐บ)โ€˜๐ฝ) = (๐น( ยท๐‘  โ€˜(๐‘…โ€˜๐ฝ))(๐บโ€˜๐ฝ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  Vcvv 3463   Fn wfn 6538  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7413  Basecbs 17174   ยท๐‘  cvsca 17231  Xscprds 17421
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8840  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9460  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-9 12307  df-n0 12498  df-z 12584  df-dec 12703  df-uz 12848  df-fz 13512  df-struct 17110  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-hom 17251  df-cco 17252  df-prds 17423
This theorem is referenced by:  prdslmodd  20852  dsmmlss  21677
  Copyright terms: Public domain W3C validator