Theorem prdsvscafval 17447

Description: Scalar multiplication of a single coordinate in a structure product. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsbasmpt.y	⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdsbasmpt.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsvscaval.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)
prdsvscaval.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
prdsvscaval.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
prdsvscaval.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
prdsvscaval.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 Fn 𝐼)
prdsvscaval.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐾)
prdsvscaval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
prdsvscafval.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
prdsvscafval	⊢ (𝜑 → ((𝐹 · 𝐺)‘𝐽) = (𝐹( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝐽))(𝐺‘𝐽)))

Proof of Theorem prdsvscafval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdsbasmpt.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
2		prdsbasmpt.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
3		prdsvscaval.t	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)
4		prdsvscaval.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
5		prdsvscaval.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
6		prdsvscaval.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
7		prdsvscaval.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Fn 𝐼)
8		prdsvscaval.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐾)
9		prdsvscaval.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	prdsvscaval 17446	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 · 𝐺) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝐹( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥))))
11		2fveq3 6896	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐽 → ( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥)) = ( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝐽)))
12		eqidd 2728	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐽 → 𝐹 = 𝐹)
13		fveq2 6891	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐽 → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝐽))
14	11, 12, 13	oveq123d 7435	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐽 → (𝐹( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥)) = (𝐹( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝐽))(𝐺‘𝐽)))
15	14	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐽) → (𝐹( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥)) = (𝐹( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝐽))(𝐺‘𝐽)))
16		prdsvscafval.j	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐼)
17		ovexd 7449	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝐽))(𝐺‘𝐽)) ∈ V)
18	10, 15, 16, 17	fvmptd 7006	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 · 𝐺)‘𝐽) = (𝐹( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝐽))(𝐺‘𝐽)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  Vcvv 3469   Fn wfn 6537  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  Basecbs 17165   ·_𝑠 cvsca 17222  X_scprds 17412

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8716  df-map 8836  df-ixp 8906  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-sup 9451  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12489  df-z 12575  df-dec 12694  df-uz 12839  df-fz 13503  df-struct 17101  df-slot 17136  df-ndx 17148  df-base 17166  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-hom 17242  df-cco 17243  df-prds 17414

This theorem is referenced by:  prdslmodd  20835  dsmmlss  21658