Theorem prdsvscafval 17201

Description: Scalar multiplication of a single coordinate in a structure product. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsbasmpt.y	⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdsbasmpt.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsvscaval.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)
prdsvscaval.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
prdsvscaval.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
prdsvscaval.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
prdsvscaval.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 Fn 𝐼)
prdsvscaval.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐾)
prdsvscaval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
prdsvscafval.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
prdsvscafval	⊢ (𝜑 → ((𝐹 · 𝐺)‘𝐽) = (𝐹( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝐽))(𝐺‘𝐽)))

Proof of Theorem prdsvscafval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdsbasmpt.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
2		prdsbasmpt.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
3		prdsvscaval.t	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)
4		prdsvscaval.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
5		prdsvscaval.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
6		prdsvscaval.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
7		prdsvscaval.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Fn 𝐼)
8		prdsvscaval.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐾)
9		prdsvscaval.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	prdsvscaval 17200	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 · 𝐺) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝐹( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥))))
11		2fveq3 6771	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐽 → ( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥)) = ( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝐽)))
12		eqidd 2739	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐽 → 𝐹 = 𝐹)
13		fveq2 6766	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐽 → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝐽))
14	11, 12, 13	oveq123d 7288	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐽 → (𝐹( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥)) = (𝐹( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝐽))(𝐺‘𝐽)))
15	14	adantl 482	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐽) → (𝐹( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥)) = (𝐹( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝐽))(𝐺‘𝐽)))
16		prdsvscafval.j	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐼)
17		ovexd 7302	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝐽))(𝐺‘𝐽)) ∈ V)
18	10, 15, 16, 17	fvmptd 6874	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 · 𝐺)‘𝐽) = (𝐹( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝐽))(𝐺‘𝐽)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  Vcvv 3429   Fn wfn 6421  ‘cfv 6426  (class class class)co 7267  Basecbs 16922   ·_𝑠 cvsca 16976  X_scprds 17166

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5208  ax-sep 5221  ax-nul 5228  ax-pow 5286  ax-pr 5350  ax-un 7578  ax-cnex 10937  ax-resscn 10938  ax-1cn 10939  ax-icn 10940  ax-addcl 10941  ax-addrcl 10942  ax-mulcl 10943  ax-mulrcl 10944  ax-mulcom 10945  ax-addass 10946  ax-mulass 10947  ax-distr 10948  ax-i2m1 10949  ax-1ne0 10950  ax-1rid 10951  ax-rnegex 10952  ax-rrecex 10953  ax-cnre 10954  ax-pre-lttri 10955  ax-pre-lttrn 10956  ax-pre-ltadd 10957  ax-pre-mulgt0 10958

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rab 3073  df-v 3431  df-sbc 3716  df-csb 3832  df-dif 3889  df-un 3891  df-in 3893  df-ss 3903  df-pss 3905  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5157  df-tr 5191  df-id 5484  df-eprel 5490  df-po 5498  df-so 5499  df-fr 5539  df-we 5541  df-xp 5590  df-rel 5591  df-cnv 5592  df-co 5593  df-dm 5594  df-rn 5595  df-res 5596  df-ima 5597  df-pred 6195  df-ord 6262  df-on 6263  df-lim 6264  df-suc 6265  df-iota 6384  df-fun 6428  df-fn 6429  df-f 6430  df-f1 6431  df-fo 6432  df-f1o 6433  df-fv 6434  df-riota 7224  df-ov 7270  df-oprab 7271  df-mpo 7272  df-om 7703  df-1st 7820  df-2nd 7821  df-frecs 8084  df-wrecs 8115  df-recs 8189  df-rdg 8228  df-1o 8284  df-er 8485  df-map 8604  df-ixp 8673  df-en 8721  df-dom 8722  df-sdom 8723  df-fin 8724  df-sup 9188  df-pnf 11021  df-mnf 11022  df-xr 11023  df-ltxr 11024  df-le 11025  df-sub 11217  df-neg 11218  df-nn 11984  df-2 12046  df-3 12047  df-4 12048  df-5 12049  df-6 12050  df-7 12051  df-8 12052  df-9 12053  df-n0 12244  df-z 12330  df-dec 12448  df-uz 12593  df-fz 13250  df-struct 16858  df-slot 16893  df-ndx 16905  df-base 16923  df-plusg 16985  df-mulr 16986  df-sca 16988  df-vsca 16989  df-ip 16990  df-tset 16991  df-ple 16992  df-ds 16994  df-hom 16996  df-cco 16997  df-prds 17168

This theorem is referenced by:  prdslmodd  20241  dsmmlss  20961