Theorem prdsvscaval 17190

Description: Scalar multiplication in a structure product is pointwise. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsbasmpt.y	⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdsbasmpt.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsvscaval.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)
prdsvscaval.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
prdsvscaval.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
prdsvscaval.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
prdsvscaval.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 Fn 𝐼)
prdsvscaval.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐾)
prdsvscaval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
prdsvscaval	⊢ (𝜑 → (𝐹 · 𝐺) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝐹( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥   𝑥,𝐼   𝑥,𝑉   𝑥,𝑅   𝑥,𝑆   𝑥,𝑊   𝑥,𝑌

Allowed substitution hints:   · (𝑥)   𝐾(𝑥)

Proof of Theorem prdsvscaval

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdsbasmpt.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
2		prdsvscaval.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
3		prdsvscaval.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Fn 𝐼)
4		prdsvscaval.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
5		fnex 7093	. . . 4 ⊢ ((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑅 ∈ V)
6	3, 4, 5	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
7		prdsbasmpt.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
8	3	fndmd 6538	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝑅 = 𝐼)
9		prdsvscaval.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
10		prdsvscaval.t	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)
11	1, 2, 6, 7, 8, 9, 10	prdsvsca 17171	. 2 ⊢ (𝜑 → · = (𝑦 ∈ 𝐾, 𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑦( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))(𝑧‘𝑥)))))
12		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐹 → 𝑦 = 𝐹)
13		fveq1 6773	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝐺 → (𝑧‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
14	12, 13	oveqan12d 7294	. . . 4 ⊢ ((𝑦 = 𝐹 ∧ 𝑧 = 𝐺) → (𝑦( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))(𝑧‘𝑥)) = (𝐹( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥)))
15	14	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 = 𝐹 ∧ 𝑧 = 𝐺)) → (𝑦( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))(𝑧‘𝑥)) = (𝐹( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥)))
16	15	mpteq2dv 5176	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 = 𝐹 ∧ 𝑧 = 𝐺)) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑦( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))(𝑧‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝐹( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥))))
17		prdsvscaval.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐾)
18		prdsvscaval.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
19	4	mptexd 7100	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝐹( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥))) ∈ V)
20	11, 16, 17, 18, 19	ovmpod 7425	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 · 𝐺) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝐹( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  Vcvv 3432   ↦ cmpt 5157   Fn wfn 6428  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912   ·_𝑠 cvsca 16966  X_scprds 17156

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-fz 13240  df-struct 16848  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-hom 16986  df-cco 16987  df-prds 17158

This theorem is referenced by:  prdsvscafval  17191  pwsvscafval  17205  xpsvsca  17288  prdsvscacl  20230  prdslmodd  20231