Theorem prdsvscaval 17535

Description: Scalar multiplication in a structure product is pointwise. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsbasmpt.y	⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdsbasmpt.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsvscaval.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)
prdsvscaval.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
prdsvscaval.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
prdsvscaval.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
prdsvscaval.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 Fn 𝐼)
prdsvscaval.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐾)
prdsvscaval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
prdsvscaval	⊢ (𝜑 → (𝐹 · 𝐺) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝐹( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥   𝑥,𝐼   𝑥,𝑉   𝑥,𝑅   𝑥,𝑆   𝑥,𝑊   𝑥,𝑌

Allowed substitution hints:   · (𝑥)   𝐾(𝑥)

Proof of Theorem prdsvscaval

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdsbasmpt.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
2		prdsvscaval.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
3		prdsvscaval.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Fn 𝐼)
4		prdsvscaval.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
5		fnex 7219	. . . 4 ⊢ ((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑅 ∈ V)
6	3, 4, 5	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
7		prdsbasmpt.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
8	3	fndmd 6644	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝑅 = 𝐼)
9		prdsvscaval.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
10		prdsvscaval.t	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)
11	1, 2, 6, 7, 8, 9, 10	prdsvsca 17516	. 2 ⊢ (𝜑 → · = (𝑦 ∈ 𝐾, 𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑦( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))(𝑧‘𝑥)))))
12		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐹 → 𝑦 = 𝐹)
13		fveq1 6884	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝐺 → (𝑧‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
14	12, 13	oveqan12d 7433	. . . 4 ⊢ ((𝑦 = 𝐹 ∧ 𝑧 = 𝐺) → (𝑦( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))(𝑧‘𝑥)) = (𝐹( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥)))
15	14	adantl 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 = 𝐹 ∧ 𝑧 = 𝐺)) → (𝑦( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))(𝑧‘𝑥)) = (𝐹( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥)))
16	15	mpteq2dv 5210	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 = 𝐹 ∧ 𝑧 = 𝐺)) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑦( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))(𝑧‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝐹( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥))))
17		prdsvscaval.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐾)
18		prdsvscaval.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
19	4	mptexd 7226	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝐹( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥))) ∈ V)
20	11, 16, 17, 18, 19	ovmpod 7566	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 · 𝐺) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝐹( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1568   ∈ wcel 2150  Vcvv 3462   ↦ cmpt 5197   Fn wfn 6535  ‘cfv 6540  (class class class)co 7414  Basecbs 17272   ·_𝑠 cvsca 17317  X_scprds 17501

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2152  ax-9 2160  ax-10 2183  ax-11 2199  ax-12 2220  ax-ext 2742  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5340  ax-pr 5408  ax-un 7736  ax-cnex 11159  ax-resscn 11160  ax-1cn 11161  ax-icn 11162  ax-addcl 11163  ax-addrcl 11164  ax-mulcl 11165  ax-mulrcl 11166  ax-mulcom 11167  ax-addass 11168  ax-mulass 11169  ax-distr 11170  ax-i2m1 11171  ax-1ne0 11172  ax-1rid 11173  ax-rnegex 11174  ax-rrecex 11175  ax-cnre 11176  ax-pre-lttri 11177  ax-pre-lttrn 11178  ax-pre-ltadd 11179  ax-pre-mulgt0 11180

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2099  df-mo 2574  df-eu 2604  df-clab 2749  df-cleq 2762  df-clel 2845  df-nfc 2919  df-ne 2966  df-nel 3072  df-ral 3087  df-rex 3097  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3464  df-sbc 3753  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5560  df-eprel 5565  df-po 5573  df-so 5574  df-fr 5618  df-we 5620  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-er 8697  df-map 8829  df-ixp 8899  df-en 8947  df-dom 8948  df-sdom 8949  df-fin 8950  df-sup 9405  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12237  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-n0 12508  df-z 12595  df-dec 12715  df-uz 12866  df-fz 13539  df-struct 17210  df-slot 17245  df-ndx 17257  df-base 17273  df-plusg 17326  df-mulr 17327  df-sca 17329  df-vsca 17330  df-ip 17331  df-tset 17332  df-ple 17333  df-ds 17335  df-hom 17337  df-cco 17338  df-prds 17503

This theorem is referenced by:  prdsvscafval  17536  pwsvscafval  17551  xpsvsca  17634  prdsvscacl  21072  prdslmodd  21073