Theorem prdsvscaval 17418

Description: Scalar multiplication in a structure product is pointwise. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsbasmpt.y	⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdsbasmpt.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsvscaval.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)
prdsvscaval.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
prdsvscaval.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
prdsvscaval.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
prdsvscaval.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 Fn 𝐼)
prdsvscaval.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐾)
prdsvscaval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
prdsvscaval	⊢ (𝜑 → (𝐹 · 𝐺) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝐹( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥   𝑥,𝐼   𝑥,𝑉   𝑥,𝑅   𝑥,𝑆   𝑥,𝑊   𝑥,𝑌

Allowed substitution hints:   · (𝑥)   𝐾(𝑥)

Proof of Theorem prdsvscaval

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdsbasmpt.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
2		prdsvscaval.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
3		prdsvscaval.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Fn 𝐼)
4		prdsvscaval.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
5		fnex 7173	. . . 4 ⊢ ((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑅 ∈ V)
6	3, 4, 5	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
7		prdsbasmpt.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
8	3	fndmd 6605	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝑅 = 𝐼)
9		prdsvscaval.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
10		prdsvscaval.t	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)
11	1, 2, 6, 7, 8, 9, 10	prdsvsca 17399	. 2 ⊢ (𝜑 → · = (𝑦 ∈ 𝐾, 𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑦( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))(𝑧‘𝑥)))))
12		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐹 → 𝑦 = 𝐹)
13		fveq1 6839	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝐺 → (𝑧‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
14	12, 13	oveqan12d 7388	. . . 4 ⊢ ((𝑦 = 𝐹 ∧ 𝑧 = 𝐺) → (𝑦( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))(𝑧‘𝑥)) = (𝐹( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥)))
15	14	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 = 𝐹 ∧ 𝑧 = 𝐺)) → (𝑦( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))(𝑧‘𝑥)) = (𝐹( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥)))
16	15	mpteq2dv 5196	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 = 𝐹 ∧ 𝑧 = 𝐺)) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑦( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))(𝑧‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝐹( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥))))
17		prdsvscaval.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐾)
18		prdsvscaval.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
19	4	mptexd 7180	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝐹( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥))) ∈ V)
20	11, 16, 17, 18, 19	ovmpod 7521	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 · 𝐺) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝐹( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3444   ↦ cmpt 5183   Fn wfn 6494  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  Basecbs 17155   ·_𝑠 cvsca 17200  X_scprds 17384

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-map 8778  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9369  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-fz 13445  df-struct 17093  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-hom 17220  df-cco 17221  df-prds 17386

This theorem is referenced by:  prdsvscafval  17419  pwsvscafval  17433  xpsvsca  17516  prdsvscacl  20850  prdslmodd  20851