Theorem prdsbas3 17462

Description: The base set of an indexed structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsbasmpt2.y	⊢ 𝑌 = (𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))
prdsbasmpt2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsbasmpt2.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
prdsbasmpt2.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
prdsbasmpt2.r	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝑅 ∈ 𝑋)
prdsbasmpt2.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
prdsbas3	⊢ (𝜑 → 𝐵 = X𝑥 ∈ 𝐼 𝐾)

Distinct variable group:   𝑥,𝐼

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝐾(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)   𝑋(𝑥)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem prdsbas3

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdsbasmpt2.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))
2		prdsbasmpt2.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
3		prdsbasmpt2.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
4		prdsbasmpt2.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
5		prdsbasmpt2.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝑅 ∈ 𝑋)
6		eqid 2725	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)
7	6	fnmpt 6690	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐼 𝑅 ∈ 𝑋 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅) Fn 𝐼)
8	5, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅) Fn 𝐼)
9	1, 2, 3, 4, 8	prdsbas2 17450	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = X𝑦 ∈ 𝐼 (Base‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦)))
10		nfcv 2892	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥Base
11		nffvmpt1 6903	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦)
12	10, 11	nffv 6902	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥(Base‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦))
13		nfcv 2892	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦(Base‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑥))
14		2fveq3 6897	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (Base‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦)) = (Base‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑥)))
15	12, 13, 14	cbvixp 8931	. . 3 ⊢ X𝑦 ∈ 𝐼 (Base‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦)) = X𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑥))
16	9, 15	eqtrdi 2781	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = X𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑥)))
17	6	fvmpt2 7011	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑅 ∈ 𝑋) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑥) = 𝑅)
18	17	fveq2d 6896	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑅 ∈ 𝑋) → (Base‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑥)) = (Base‘𝑅))
19		prdsbasmpt2.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
20	18, 19	eqtr4di 2783	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑅 ∈ 𝑋) → (Base‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑥)) = 𝐾)
21	20	ralimiaa 3072	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐼 𝑅 ∈ 𝑋 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑥)) = 𝐾)
22		ixpeq2 8928	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑥)) = 𝐾 → X𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑥)) = X𝑥 ∈ 𝐼 𝐾)
23	5, 21, 22	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → X𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑥)) = X𝑥 ∈ 𝐼 𝐾)
24	16, 23	eqtrd 2765	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = X𝑥 ∈ 𝐼 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3051   ↦ cmpt 5226   Fn wfn 6538  ‘cfv 6543  (class class class)co 7416  Xcixp 8914  Basecbs 17179  X_scprds 17426

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8845  df-ixp 8915  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-sup 9465  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-fz 13517  df-struct 17115  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-hom 17256  df-cco 17257  df-prds 17428

This theorem is referenced by:  prdsbasmpt2  17463  ressprdsds  24295  prdsbl  24418  prdsbnd2  37325