Theorem prdsbas3 17684

Description: The base set of an indexed structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsbasmpt2.y	⊢ 𝑌 = (𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))
prdsbasmpt2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsbasmpt2.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
prdsbasmpt2.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
prdsbasmpt2.r	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝑅 ∈ 𝑋)
prdsbasmpt2.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
prdsbas3	⊢ (𝜑 → 𝐵 = X𝑥 ∈ 𝐼 𝐾)

Distinct variable group:   𝑥,𝐼

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝐾(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)   𝑋(𝑥)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem prdsbas3

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdsbasmpt2.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))
2		prdsbasmpt2.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
3		prdsbasmpt2.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
4		prdsbasmpt2.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
5		prdsbasmpt2.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝑅 ∈ 𝑋)
6		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)
7	6	fnmpt 6704	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐼 𝑅 ∈ 𝑋 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅) Fn 𝐼)
8	5, 7	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅) Fn 𝐼)
9	1, 2, 3, 4, 8	prdsbas2 17672	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = X𝑦 ∈ 𝐼 (Base‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦)))
10		nfcv 2926	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥Base
11		nffvmpt1 6922	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦)
12	10, 11	nffv 6921	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥(Base‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦))
13		nfcv 2926	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦(Base‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑥))
14		2fveq3 6916	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (Base‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦)) = (Base‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑥)))
15	12, 13, 14	cbvixp 8973	. . 3 ⊢ X𝑦 ∈ 𝐼 (Base‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦)) = X𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑥))
16	9, 15	eqtrdi 2814	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = X𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑥)))
17	6	fvmpt2 7031	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑅 ∈ 𝑋) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑥) = 𝑅)
18	17	fveq2d 6915	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑅 ∈ 𝑋) → (Base‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑥)) = (Base‘𝑅))
19		prdsbasmpt2.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
20	18, 19	eqtr4di 2816	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑅 ∈ 𝑋) → (Base‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑥)) = 𝐾)
21	20	ralimiaa 3102	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐼 𝑅 ∈ 𝑋 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑥)) = 𝐾)
22		ixpeq2 8970	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑥)) = 𝐾 → X𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑥)) = X𝑥 ∈ 𝐼 𝐾)
23	5, 21, 22	3syl 19	. 2 ⊢ (𝜑 → X𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑥)) = X𝑥 ∈ 𝐼 𝐾)
24	16, 23	eqtrd 2798	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = X𝑥 ∈ 𝐼 𝐾)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080   ↦ cmpt 5190   Fn wfn 6556  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  Xcixp 8956  Basecbs 17419  X_scprds 17648

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-er 8748  df-map 8880  df-ixp 8957  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-fin 9008  df-sup 9464  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-4 12437  df-5 12438  df-6 12439  df-7 12440  df-8 12441  df-9 12442  df-n0 12637  df-z 12724  df-dec 12845  df-uz 12996  df-fz 13670  df-struct 17357  df-slot 17392  df-ndx 17404  df-base 17420  df-plusg 17473  df-mulr 17474  df-sca 17476  df-vsca 17477  df-ip 17478  df-tset 17479  df-ple 17480  df-ds 17482  df-hom 17484  df-cco 17485  df-prds 17650

This theorem is used by:  prdsbasmpt2  17685  ressprdsds  24723  prdsbl  24843  prdsbnd2  38932