MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsbas3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prdsbas3 17528
Description: The base set of an indexed structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsbasmpt2.y 𝑌 = (𝑆Xs(𝑥𝐼𝑅))
prdsbasmpt2.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsbasmpt2.s (𝜑𝑆𝑉)
prdsbasmpt2.i (𝜑𝐼𝑊)
prdsbasmpt2.r (𝜑 → ∀𝑥𝐼 𝑅𝑋)
prdsbasmpt2.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
prdsbas3 (𝜑𝐵 = X𝑥𝐼 𝐾)
Distinct variable group:   𝑥,𝐼
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝐾(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)   𝑋(𝑥)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem prdsbas3
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsbasmpt2.y . . . 4 𝑌 = (𝑆Xs(𝑥𝐼𝑅))
2 prdsbasmpt2.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑌)
3 prdsbasmpt2.s . . . 4 (𝜑𝑆𝑉)
4 prdsbasmpt2.i . . . 4 (𝜑𝐼𝑊)
5 prdsbasmpt2.r . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥𝐼 𝑅𝑋)
6 eqid 2735 . . . . . 6 (𝑥𝐼𝑅) = (𝑥𝐼𝑅)
76fnmpt 6709 . . . . 5 (∀𝑥𝐼 𝑅𝑋 → (𝑥𝐼𝑅) Fn 𝐼)
85, 7syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐼𝑅) Fn 𝐼)
91, 2, 3, 4, 8prdsbas2 17516 . . 3 (𝜑𝐵 = X𝑦𝐼 (Base‘((𝑥𝐼𝑅)‘𝑦)))
10 nfcv 2903 . . . . 5 𝑥Base
11 nffvmpt1 6918 . . . . 5 𝑥((𝑥𝐼𝑅)‘𝑦)
1210, 11nffv 6917 . . . 4 𝑥(Base‘((𝑥𝐼𝑅)‘𝑦))
13 nfcv 2903 . . . 4 𝑦(Base‘((𝑥𝐼𝑅)‘𝑥))
14 2fveq3 6912 . . . 4 (𝑦 = 𝑥 → (Base‘((𝑥𝐼𝑅)‘𝑦)) = (Base‘((𝑥𝐼𝑅)‘𝑥)))
1512, 13, 14cbvixp 8953 . . 3 X𝑦𝐼 (Base‘((𝑥𝐼𝑅)‘𝑦)) = X𝑥𝐼 (Base‘((𝑥𝐼𝑅)‘𝑥))
169, 15eqtrdi 2791 . 2 (𝜑𝐵 = X𝑥𝐼 (Base‘((𝑥𝐼𝑅)‘𝑥)))
176fvmpt2 7027 . . . . . 6 ((𝑥𝐼𝑅𝑋) → ((𝑥𝐼𝑅)‘𝑥) = 𝑅)
1817fveq2d 6911 . . . . 5 ((𝑥𝐼𝑅𝑋) → (Base‘((𝑥𝐼𝑅)‘𝑥)) = (Base‘𝑅))
19 prdsbasmpt2.k . . . . 5 𝐾 = (Base‘𝑅)
2018, 19eqtr4di 2793 . . . 4 ((𝑥𝐼𝑅𝑋) → (Base‘((𝑥𝐼𝑅)‘𝑥)) = 𝐾)
2120ralimiaa 3080 . . 3 (∀𝑥𝐼 𝑅𝑋 → ∀𝑥𝐼 (Base‘((𝑥𝐼𝑅)‘𝑥)) = 𝐾)
22 ixpeq2 8950 . . 3 (∀𝑥𝐼 (Base‘((𝑥𝐼𝑅)‘𝑥)) = 𝐾X𝑥𝐼 (Base‘((𝑥𝐼𝑅)‘𝑥)) = X𝑥𝐼 𝐾)
235, 21, 223syl 18 . 2 (𝜑X𝑥𝐼 (Base‘((𝑥𝐼𝑅)‘𝑥)) = X𝑥𝐼 𝐾)
2416, 23eqtrd 2775 1 (𝜑𝐵 = X𝑥𝐼 𝐾)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  cmpt 5231   Fn wfn 6558  cfv 6563  (class class class)co 7431  Xcixp 8936  Basecbs 17245  Xscprds 17492
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-hom 17322  df-cco 17323  df-prds 17494
This theorem is referenced by:  prdsbasmpt2  17529  ressprdsds  24397  prdsbl  24520  prdsbnd2  37782
  Copyright terms: Public domain W3C validator