Theorem prdsbas3 17436

Description: The base set of an indexed structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsbasmpt2.y	⊢ 𝑌 = (𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))
prdsbasmpt2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsbasmpt2.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
prdsbasmpt2.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
prdsbasmpt2.r	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝑅 ∈ 𝑋)
prdsbasmpt2.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
prdsbas3	⊢ (𝜑 → 𝐵 = X𝑥 ∈ 𝐼 𝐾)

Distinct variable group:   𝑥,𝐼

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝐾(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)   𝑋(𝑥)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem prdsbas3

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdsbasmpt2.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))
2		prdsbasmpt2.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
3		prdsbasmpt2.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
4		prdsbasmpt2.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
5		prdsbasmpt2.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝑅 ∈ 𝑋)
6		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)
7	6	fnmpt 6684	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐼 𝑅 ∈ 𝑋 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅) Fn 𝐼)
8	5, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅) Fn 𝐼)
9	1, 2, 3, 4, 8	prdsbas2 17424	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = X𝑦 ∈ 𝐼 (Base‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦)))
10		nfcv 2897	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥Base
11		nffvmpt1 6896	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦)
12	10, 11	nffv 6895	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥(Base‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦))
13		nfcv 2897	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦(Base‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑥))
14		2fveq3 6890	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (Base‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦)) = (Base‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑥)))
15	12, 13, 14	cbvixp 8910	. . 3 ⊢ X𝑦 ∈ 𝐼 (Base‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑦)) = X𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑥))
16	9, 15	eqtrdi 2782	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = X𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑥)))
17	6	fvmpt2 7003	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑅 ∈ 𝑋) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑥) = 𝑅)
18	17	fveq2d 6889	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑅 ∈ 𝑋) → (Base‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑥)) = (Base‘𝑅))
19		prdsbasmpt2.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
20	18, 19	eqtr4di 2784	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑅 ∈ 𝑋) → (Base‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑥)) = 𝐾)
21	20	ralimiaa 3076	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐼 𝑅 ∈ 𝑋 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑥)) = 𝐾)
22		ixpeq2 8907	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑥)) = 𝐾 → X𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑥)) = X𝑥 ∈ 𝐼 𝐾)
23	5, 21, 22	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → X𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)‘𝑥)) = X𝑥 ∈ 𝐼 𝐾)
24	16, 23	eqtrd 2766	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = X𝑥 ∈ 𝐼 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3055   ↦ cmpt 5224   Fn wfn 6532  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405  Xcixp 8893  Basecbs 17153  X_scprds 17400

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13491  df-struct 17089  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-hom 17230  df-cco 17231  df-prds 17402

This theorem is referenced by:  prdsbasmpt2  17437  ressprdsds  24232  prdsbl  24355  prdsbnd2  37176