Theorem precoffunc 49343

Description: The pre-composition functor, expressed explicitly, is a functor. (Contributed by Zhi Wang, 11-Oct-2025.) (Proof shortened by Zhi Wang, 20-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
precoffunc.r	⊢ 𝑅 = (𝐷 FuncCat 𝐸)
precoffunc.b	⊢ 𝐵 = (𝐷 Func 𝐸)
precoffunc.n	⊢ 𝑁 = (𝐷 Nat 𝐸)
precoffunc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)
precoffunc.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Cat)
precoffunc.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑔 ∘func ⟨𝐹, 𝐺⟩)))
precoffunc.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 = (𝑔 ∈ 𝐵, ℎ ∈ 𝐵 ↦ (𝑎 ∈ (𝑔𝑁ℎ) ↦ (𝑎 ∘ 𝐹))))
precoffunc.s	⊢ 𝑆 = (𝐶 FuncCat 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
precoffunc	⊢ (𝜑 → 𝐾(𝑅 Func 𝑆)𝐿)

Distinct variable groups:   𝐶,𝑎,𝑔,ℎ   𝐷,𝑎,𝑔,ℎ   𝐸,𝑎,𝑔,ℎ   𝐹,𝑎,𝑔,ℎ   𝐺,𝑎,𝑔,ℎ   𝑅,𝑎,𝑔,ℎ   𝜑,𝑎,𝑔,ℎ

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑔,ℎ,𝑎)   𝑆(𝑔,ℎ,𝑎)   𝐾(𝑔,ℎ,𝑎)   𝐿(𝑔,ℎ,𝑎)   𝑁(𝑔,ℎ,𝑎)

Proof of Theorem precoffunc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2730	. . 3 ⊢ (𝐶 FuncCat 𝐷) = (𝐶 FuncCat 𝐷)
2		precoffunc.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (𝐷 FuncCat 𝐸)
3		eqidd 2731	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨(𝐶 FuncCat 𝐷), 𝑅⟩ curryF ((⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸) ∘func ((𝐶 FuncCat 𝐷) swapF 𝑅))) = (⟨(𝐶 FuncCat 𝐷), 𝑅⟩ curryF ((⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸) ∘func ((𝐶 FuncCat 𝐷) swapF 𝑅))))
4		precoffunc.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)
5		df-br 5110	. . . 4 ⊢ (𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ↔ ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐶 Func 𝐷))
6	4, 5	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐶 Func 𝐷))
7		precoffunc.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Cat)
8		precoffunc.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (𝐷 Func 𝐸)
9		precoffunc.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (𝐷 Nat 𝐸)
10		precoffunc.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑔 ∘func ⟨𝐹, 𝐺⟩)))
11		precoffunc.l	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 = (𝑔 ∈ 𝐵, ℎ ∈ 𝐵 ↦ (𝑎 ∈ (𝑔𝑁ℎ) ↦ (𝑎 ∘ 𝐹))))
12		eqidd 2731	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1st ‘(⟨(𝐶 FuncCat 𝐷), 𝑅⟩ curryF ((⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸) ∘func ((𝐶 FuncCat 𝐷) swapF 𝑅))))‘⟨𝐹, 𝐺⟩) = ((1st ‘(⟨(𝐶 FuncCat 𝐷), 𝑅⟩ curryF ((⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸) ∘func ((𝐶 FuncCat 𝐷) swapF 𝑅))))‘⟨𝐹, 𝐺⟩))
13	2, 8, 9, 4, 7, 10, 11, 1, 3, 12	precofval3 49342	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐾, 𝐿⟩ = ((1st ‘(⟨(𝐶 FuncCat 𝐷), 𝑅⟩ curryF ((⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸) ∘func ((𝐶 FuncCat 𝐷) swapF 𝑅))))‘⟨𝐹, 𝐺⟩))
14		precoffunc.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝐶 FuncCat 𝐸)
15	1, 2, 3, 6, 7, 13, 14	precofcl 49341	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐾, 𝐿⟩ ∈ (𝑅 Func 𝑆))
16		df-br 5110	. 2 ⊢ (𝐾(𝑅 Func 𝑆)𝐿 ↔ ⟨𝐾, 𝐿⟩ ∈ (𝑅 Func 𝑆))
17	15, 16	sylibr 234	1 ⊢ (𝜑 → 𝐾(𝑅 Func 𝑆)𝐿)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ⟨cop 4597   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5190   ∘ ccom 5644  ‘cfv 6513  (class class class)co 7389   ∈ cmpo 7391  1^st c1st 7968  Catccat 17631   Func cfunc 17822   ∘_func ccofu 17824   Nat cnat 17912   FuncCat cfuc 17913   curry_F ccurf 18177   swap_F cswapf 49230   ∘_F cfuco 49287

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-om 7845  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-1o 8436  df-er 8673  df-map 8803  df-ixp 8873  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12188  df-2 12250  df-3 12251  df-4 12252  df-5 12253  df-6 12254  df-7 12255  df-8 12256  df-9 12257  df-n0 12449  df-z 12536  df-dec 12656  df-uz 12800  df-fz 13475  df-struct 17123  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17186  df-hom 17250  df-cco 17251  df-cat 17635  df-cid 17636  df-func 17826  df-cofu 17828  df-nat 17914  df-fuc 17915  df-xpc 18139  df-curf 18181  df-swapf 49231  df-fuco 49288

This theorem is referenced by: (None)