Theorem precoffunc 49334

Description: The pre-composition functor, expressed explicitly, is a functor. (Contributed by Zhi Wang, 11-Oct-2025.) (Proof shortened by Zhi Wang, 20-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
precoffunc.r	⊢ 𝑅 = (𝐷 FuncCat 𝐸)
precoffunc.b	⊢ 𝐵 = (𝐷 Func 𝐸)
precoffunc.n	⊢ 𝑁 = (𝐷 Nat 𝐸)
precoffunc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)
precoffunc.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Cat)
precoffunc.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑔 ∘func ⟨𝐹, 𝐺⟩)))
precoffunc.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 = (𝑔 ∈ 𝐵, ℎ ∈ 𝐵 ↦ (𝑎 ∈ (𝑔𝑁ℎ) ↦ (𝑎 ∘ 𝐹))))
precoffunc.s	⊢ 𝑆 = (𝐶 FuncCat 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
precoffunc	⊢ (𝜑 → 𝐾(𝑅 Func 𝑆)𝐿)

Distinct variable groups:   𝐶,𝑎,𝑔,ℎ   𝐷,𝑎,𝑔,ℎ   𝐸,𝑎,𝑔,ℎ   𝐹,𝑎,𝑔,ℎ   𝐺,𝑎,𝑔,ℎ   𝑅,𝑎,𝑔,ℎ   𝜑,𝑎,𝑔,ℎ

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑔,ℎ,𝑎)   𝑆(𝑔,ℎ,𝑎)   𝐾(𝑔,ℎ,𝑎)   𝐿(𝑔,ℎ,𝑎)   𝑁(𝑔,ℎ,𝑎)

Proof of Theorem precoffunc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. . 3 ⊢ (𝐶 FuncCat 𝐷) = (𝐶 FuncCat 𝐷)
2		precoffunc.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (𝐷 FuncCat 𝐸)
3		eqidd 2730	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨(𝐶 FuncCat 𝐷), 𝑅⟩ curryF ((⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸) ∘func ((𝐶 FuncCat 𝐷) swapF 𝑅))) = (⟨(𝐶 FuncCat 𝐷), 𝑅⟩ curryF ((⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸) ∘func ((𝐶 FuncCat 𝐷) swapF 𝑅))))
4		precoffunc.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)
5		df-br 5103	. . . 4 ⊢ (𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ↔ ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐶 Func 𝐷))
6	4, 5	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐶 Func 𝐷))
7		precoffunc.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Cat)
8		precoffunc.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (𝐷 Func 𝐸)
9		precoffunc.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (𝐷 Nat 𝐸)
10		precoffunc.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑔 ∘func ⟨𝐹, 𝐺⟩)))
11		precoffunc.l	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 = (𝑔 ∈ 𝐵, ℎ ∈ 𝐵 ↦ (𝑎 ∈ (𝑔𝑁ℎ) ↦ (𝑎 ∘ 𝐹))))
12		eqidd 2730	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1st ‘(⟨(𝐶 FuncCat 𝐷), 𝑅⟩ curryF ((⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸) ∘func ((𝐶 FuncCat 𝐷) swapF 𝑅))))‘⟨𝐹, 𝐺⟩) = ((1st ‘(⟨(𝐶 FuncCat 𝐷), 𝑅⟩ curryF ((⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸) ∘func ((𝐶 FuncCat 𝐷) swapF 𝑅))))‘⟨𝐹, 𝐺⟩))
13	2, 8, 9, 4, 7, 10, 11, 1, 3, 12	precofval3 49333	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐾, 𝐿⟩ = ((1st ‘(⟨(𝐶 FuncCat 𝐷), 𝑅⟩ curryF ((⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸) ∘func ((𝐶 FuncCat 𝐷) swapF 𝑅))))‘⟨𝐹, 𝐺⟩))
14		precoffunc.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝐶 FuncCat 𝐸)
15	1, 2, 3, 6, 7, 13, 14	precofcl 49332	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐾, 𝐿⟩ ∈ (𝑅 Func 𝑆))
16		df-br 5103	. 2 ⊢ (𝐾(𝑅 Func 𝑆)𝐿 ↔ ⟨𝐾, 𝐿⟩ ∈ (𝑅 Func 𝑆))
17	15, 16	sylibr 234	1 ⊢ (𝜑 → 𝐾(𝑅 Func 𝑆)𝐿)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ⟨cop 4591   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5183   ∘ ccom 5635  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369   ∈ cmpo 7371  1^st c1st 7945  Catccat 17601   Func cfunc 17792   ∘_func ccofu 17794   Nat cnat 17882   FuncCat cfuc 17883   curry_F ccurf 18147   swap_F cswapf 49221   ∘_F cfuco 49278

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-map 8778  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-fz 13445  df-struct 17093  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-hom 17220  df-cco 17221  df-cat 17605  df-cid 17606  df-func 17796  df-cofu 17798  df-nat 17884  df-fuc 17885  df-xpc 18109  df-curf 18151  df-swapf 49222  df-fuco 49279

This theorem is referenced by: (None)