Theorem precoffunc 50646

Description: The pre-composition functor, expressed explicitly, is a functor. (Contributed by Zhi Wang, 11-Oct-2025.) (Proof shortened by Zhi Wang, 20-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
precoffunc.r	⊢ 𝑅 = (𝐷 FuncCat 𝐸)
precoffunc.b	⊢ 𝐵 = (𝐷 Func 𝐸)
precoffunc.n	⊢ 𝑁 = (𝐷 Nat 𝐸)
precoffunc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)
precoffunc.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Cat)
precoffunc.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑔 ∘func ⟨𝐹, 𝐺⟩)))
precoffunc.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 = (𝑔 ∈ 𝐵, ℎ ∈ 𝐵 ↦ (𝑎 ∈ (𝑔𝑁ℎ) ↦ (𝑎 ∘ 𝐹))))
precoffunc.s	⊢ 𝑆 = (𝐶 FuncCat 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
precoffunc	⊢ (𝜑 → 𝐾(𝑅 Func 𝑆)𝐿)

Distinct variable groups:   𝐶,𝑎,𝑔,ℎ   𝐷,𝑎,𝑔,ℎ   𝐸,𝑎,𝑔,ℎ   𝐹,𝑎,𝑔,ℎ   𝐺,𝑎,𝑔,ℎ   𝑅,𝑎,𝑔,ℎ   𝜑,𝑎,𝑔,ℎ

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑔, ℎ, 𝑎)   𝑆(𝑔, ℎ, 𝑎)   𝐾(𝑔, ℎ, 𝑎)   𝐿(𝑔, ℎ, 𝑎)   𝑁(𝑔, ℎ, 𝑎)

Proof of Theorem precoffunc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . 3 ⊢ (𝐶 FuncCat 𝐷) = (𝐶 FuncCat 𝐷)
2		precoffunc.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (𝐷 FuncCat 𝐸)
3		eqidd 2764	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨(𝐶 FuncCat 𝐷), 𝑅⟩ curryF ((⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸) ∘func ((𝐶 FuncCat 𝐷) swapF 𝑅))) = (⟨(𝐶 FuncCat 𝐷), 𝑅⟩ curryF ((⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸) ∘func ((𝐶 FuncCat 𝐷) swapF 𝑅))))
4		precoffunc.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)
5		df-br 5106	. . . 4 ⊢ (𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ↔ ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐶 Func 𝐷))
6	4, 5	sylib 221	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐶 Func 𝐷))
7		precoffunc.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Cat)
8		precoffunc.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (𝐷 Func 𝐸)
9		precoffunc.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (𝐷 Nat 𝐸)
10		precoffunc.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑔 ∘func ⟨𝐹, 𝐺⟩)))
11		precoffunc.l	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 = (𝑔 ∈ 𝐵, ℎ ∈ 𝐵 ↦ (𝑎 ∈ (𝑔𝑁ℎ) ↦ (𝑎 ∘ 𝐹))))
12		eqidd 2764	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1st ‘(⟨(𝐶 FuncCat 𝐷), 𝑅⟩ curryF ((⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸) ∘func ((𝐶 FuncCat 𝐷) swapF 𝑅))))‘⟨𝐹, 𝐺⟩) = ((1st ‘(⟨(𝐶 FuncCat 𝐷), 𝑅⟩ curryF ((⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸) ∘func ((𝐶 FuncCat 𝐷) swapF 𝑅))))‘⟨𝐹, 𝐺⟩))
13	2, 8, 9, 4, 7, 10, 11, 1, 3, 12	precofval3 50645	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐾, 𝐿⟩ = ((1st ‘(⟨(𝐶 FuncCat 𝐷), 𝑅⟩ curryF ((⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸) ∘func ((𝐶 FuncCat 𝐷) swapF 𝑅))))‘⟨𝐹, 𝐺⟩))
14		precoffunc.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝐶 FuncCat 𝐸)
15	1, 2, 3, 6, 7, 13, 14	precofcl 50644	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐾, 𝐿⟩ ∈ (𝑅 Func 𝑆))
16		df-br 5106	. 2 ⊢ (𝐾(𝑅 Func 𝑆)𝐿 ↔ ⟨𝐾, 𝐿⟩ ∈ (𝑅 Func 𝑆))
17	15, 16	sylibr 237	1 ⊢ (𝜑 → 𝐾(𝑅 Func 𝑆)𝐿)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  ⟨cop 4837   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5188   ∘ ccom 5658  ‘cfv 6546  (class class class)co 7427   ∈ cmpo 7429  1^st c1st 8006  Catccat 17850   Func cfunc 18041   ∘_func ccofu 18043   Nat cnat 18131   FuncCat cfuc 18132   curry_F ccurf 18396   swap_F cswapf 50520   ∘_F cfuco 50577

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-cnex 11266  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286  ax-pre-mulgt0 11287

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4838  df-uni 4870  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-om 7885  df-1st 8008  df-2nd 8009  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8487  df-er 8728  df-map 8860  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359  df-sub 11553  df-neg 11554  df-nn 12346  df-2 12415  df-3 12416  df-4 12417  df-5 12418  df-6 12419  df-7 12420  df-8 12421  df-9 12422  df-n0 12617  df-z 12704  df-dec 12825  df-uz 12976  df-fz 13650  df-struct 17337  df-slot 17372  df-ndx 17384  df-base 17400  df-hom 17464  df-cco 17465  df-cat 17854  df-cid 17855  df-func 18045  df-cofu 18047  df-nat 18133  df-fuc 18134  df-xpc 18358  df-curf 18400  df-swapf 50521  df-fuco 50578

This theorem is used by: (None)