Theorem precofval3 50423

Description: Value of the pre-composition functor as a transposed curry of the functor composition bifunctor. (Contributed by Zhi Wang, 20-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
precoffunc.r	⊢ 𝑅 = (𝐷 FuncCat 𝐸)
precoffunc.b	⊢ 𝐵 = (𝐷 Func 𝐸)
precoffunc.n	⊢ 𝑁 = (𝐷 Nat 𝐸)
precoffunc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)
precoffunc.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Cat)
precoffunc.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑔 ∘func ⟨𝐹, 𝐺⟩)))
precoffunc.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 = (𝑔 ∈ 𝐵, ℎ ∈ 𝐵 ↦ (𝑎 ∈ (𝑔𝑁ℎ) ↦ (𝑎 ∘ 𝐹))))
precofval3.q	⊢ 𝑄 = (𝐶 FuncCat 𝐷)
precofval3.o	⊢ (𝜑 → ⚬ = (⟨𝑄, 𝑅⟩ curryF ((⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸) ∘func (𝑄 swapF 𝑅))))
precofval3.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 = ((1st ‘ ⚬ )‘⟨𝐹, 𝐺⟩))

Assertion

Ref	Expression
precofval3	⊢ (𝜑 → ⟨𝐾, 𝐿⟩ = 𝑀)

Distinct variable groups:   𝐶,𝑎,𝑔,ℎ   𝐷,𝑎,𝑔,ℎ   𝐸,𝑎,𝑔,ℎ   𝐹,𝑎,𝑔,ℎ   𝐺,𝑎,𝑔,ℎ   𝑄,𝑎,𝑔,ℎ   𝑅,𝑎,𝑔,ℎ   𝜑,𝑎,𝑔,ℎ

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑔, ℎ, 𝑎)   𝐾(𝑔, ℎ, 𝑎)   𝐿(𝑔, ℎ, 𝑎)   𝑀(𝑔, ℎ, 𝑎)   𝑁(𝑔, ℎ, 𝑎)   ⚬ (𝑔, ℎ, 𝑎)

Proof of Theorem precofval3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		precoffunc.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑔 ∘func ⟨𝐹, 𝐺⟩)))
2		precoffunc.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (𝐷 Func 𝐸)
3	2	mpteq1i 5196	. . . 4 ⊢ (𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑔 ∘func ⟨𝐹, 𝐺⟩)) = (𝑔 ∈ (𝐷 Func 𝐸) ↦ (𝑔 ∘func ⟨𝐹, 𝐺⟩))
4	1, 3	eqtrdi 2812	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑔 ∈ (𝐷 Func 𝐸) ↦ (𝑔 ∘func ⟨𝐹, 𝐺⟩)))
5		precoffunc.l	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 = (𝑔 ∈ 𝐵, ℎ ∈ 𝐵 ↦ (𝑎 ∈ (𝑔𝑁ℎ) ↦ (𝑎 ∘ 𝐹))))
6	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝐷 Func 𝐸))
7		precoffunc.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = (𝐷 Nat 𝐸)
8	7	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (𝐷 Nat 𝐸))
9	8	oveqd 7429	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑔𝑁ℎ) = (𝑔(𝐷 Nat 𝐸)ℎ))
10		relfunc 18017	. . . . . . . . . 10 ⊢ Rel (𝐶 Func 𝐷)
11		precoffunc.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)
12		brrelex12 5703	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Rel (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) → (𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V))
13	10, 11, 12	sylancr 599	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V))
14		op1stg 8002	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) → (1st ‘⟨𝐹, 𝐺⟩) = 𝐹)
15	13, 14	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1st ‘⟨𝐹, 𝐺⟩) = 𝐹)
16	15	eqcomd 2767	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (1st ‘⟨𝐹, 𝐺⟩))
17	16	coeq2d 5840	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∘ 𝐹) = (𝑎 ∘ (1st ‘⟨𝐹, 𝐺⟩)))
18	9, 17	mpteq12dv 5192	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ (𝑔𝑁ℎ) ↦ (𝑎 ∘ 𝐹)) = (𝑎 ∈ (𝑔(𝐷 Nat 𝐸)ℎ) ↦ (𝑎 ∘ (1st ‘⟨𝐹, 𝐺⟩))))
19	6, 6, 18	mpoeq123dv 7487	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑔 ∈ 𝐵, ℎ ∈ 𝐵 ↦ (𝑎 ∈ (𝑔𝑁ℎ) ↦ (𝑎 ∘ 𝐹))) = (𝑔 ∈ (𝐷 Func 𝐸), ℎ ∈ (𝐷 Func 𝐸) ↦ (𝑎 ∈ (𝑔(𝐷 Nat 𝐸)ℎ) ↦ (𝑎 ∘ (1st ‘⟨𝐹, 𝐺⟩)))))
20	5, 19	eqtrd 2796	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐿 = (𝑔 ∈ (𝐷 Func 𝐸), ℎ ∈ (𝐷 Func 𝐸) ↦ (𝑎 ∈ (𝑔(𝐷 Nat 𝐸)ℎ) ↦ (𝑎 ∘ (1st ‘⟨𝐹, 𝐺⟩)))))
21	4, 20	opeq12d 4841	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐾, 𝐿⟩ = ⟨(𝑔 ∈ (𝐷 Func 𝐸) ↦ (𝑔 ∘func ⟨𝐹, 𝐺⟩)), (𝑔 ∈ (𝐷 Func 𝐸), ℎ ∈ (𝐷 Func 𝐸) ↦ (𝑎 ∈ (𝑔(𝐷 Nat 𝐸)ℎ) ↦ (𝑎 ∘ (1st ‘⟨𝐹, 𝐺⟩))))⟩)
22		precofval3.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝐶 FuncCat 𝐷)
23		precoffunc.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (𝐷 FuncCat 𝐸)
24		precofval3.o	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⚬ = (⟨𝑄, 𝑅⟩ curryF ((⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸) ∘func (𝑄 swapF 𝑅))))
25		df-br 5104	. . . 4 ⊢ (𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ↔ ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐶 Func 𝐷))
26	11, 25	sylib 221	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐶 Func 𝐷))
27		precoffunc.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Cat)
28		precofval3.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = ((1st ‘ ⚬ )‘⟨𝐹, 𝐺⟩))
29	22, 23, 24, 26, 27, 28	precofval2 50421	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = ⟨(𝑔 ∈ (𝐷 Func 𝐸) ↦ (𝑔 ∘func ⟨𝐹, 𝐺⟩)), (𝑔 ∈ (𝐷 Func 𝐸), ℎ ∈ (𝐷 Func 𝐸) ↦ (𝑎 ∈ (𝑔(𝐷 Nat 𝐸)ℎ) ↦ (𝑎 ∘ (1st ‘⟨𝐹, 𝐺⟩))))⟩)
30	21, 29	eqtr4d 2799	1 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐾, 𝐿⟩ = 𝑀)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451  ⟨cop 4590   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186   ∘ ccom 5655  Rel wrel 5656  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412   ∈ cmpo 7414  1^st c1st 7988  Catccat 17818   Func cfunc 18009   ∘_func ccofu 18011   Nat cnat 18099   FuncCat cfuc 18100   curry_F ccurf 18364   swap_F cswapf 50311   ∘_F cfuco 50368

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-er 8701  df-map 8833  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-4 12388  df-5 12389  df-6 12390  df-7 12391  df-8 12392  df-9 12393  df-n0 12588  df-z 12675  df-dec 12796  df-uz 12947  df-fz 13621  df-struct 17305  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-hom 17432  df-cco 17433  df-cat 17822  df-cid 17823  df-func 18013  df-cofu 18015  df-nat 18101  df-fuc 18102  df-xpc 18326  df-curf 18368  df-swapf 50312  df-fuco 50369

This theorem is used by:  precoffunc  50424  prcoftposcurfuco  50435