Theorem precofval3 49652

Description: Value of the pre-composition functor as a transposed curry of the functor composition bifunctor. (Contributed by Zhi Wang, 20-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
precoffunc.r	⊢ 𝑅 = (𝐷 FuncCat 𝐸)
precoffunc.b	⊢ 𝐵 = (𝐷 Func 𝐸)
precoffunc.n	⊢ 𝑁 = (𝐷 Nat 𝐸)
precoffunc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)
precoffunc.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Cat)
precoffunc.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑔 ∘func ⟨𝐹, 𝐺⟩)))
precoffunc.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 = (𝑔 ∈ 𝐵, ℎ ∈ 𝐵 ↦ (𝑎 ∈ (𝑔𝑁ℎ) ↦ (𝑎 ∘ 𝐹))))
precofval3.q	⊢ 𝑄 = (𝐶 FuncCat 𝐷)
precofval3.o	⊢ (𝜑 → ⚬ = (⟨𝑄, 𝑅⟩ curryF ((⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸) ∘func (𝑄 swapF 𝑅))))
precofval3.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 = ((1st ‘ ⚬ )‘⟨𝐹, 𝐺⟩))

Assertion

Ref	Expression
precofval3	⊢ (𝜑 → ⟨𝐾, 𝐿⟩ = 𝑀)

Distinct variable groups:   𝐶,𝑎,𝑔,ℎ   𝐷,𝑎,𝑔,ℎ   𝐸,𝑎,𝑔,ℎ   𝐹,𝑎,𝑔,ℎ   𝐺,𝑎,𝑔,ℎ   𝑄,𝑎,𝑔,ℎ   𝑅,𝑎,𝑔,ℎ   𝜑,𝑎,𝑔,ℎ

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑔,ℎ,𝑎)   𝐾(𝑔,ℎ,𝑎)   𝐿(𝑔,ℎ,𝑎)   𝑀(𝑔,ℎ,𝑎)   𝑁(𝑔,ℎ,𝑎)   ⚬ (𝑔,ℎ,𝑎)

Proof of Theorem precofval3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		precoffunc.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑔 ∘func ⟨𝐹, 𝐺⟩)))
2		precoffunc.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (𝐷 Func 𝐸)
3	2	mpteq1i 5190	. . . 4 ⊢ (𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑔 ∘func ⟨𝐹, 𝐺⟩)) = (𝑔 ∈ (𝐷 Func 𝐸) ↦ (𝑔 ∘func ⟨𝐹, 𝐺⟩))
4	1, 3	eqtrdi 2788	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑔 ∈ (𝐷 Func 𝐸) ↦ (𝑔 ∘func ⟨𝐹, 𝐺⟩)))
5		precoffunc.l	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 = (𝑔 ∈ 𝐵, ℎ ∈ 𝐵 ↦ (𝑎 ∈ (𝑔𝑁ℎ) ↦ (𝑎 ∘ 𝐹))))
6	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝐷 Func 𝐸))
7		precoffunc.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = (𝐷 Nat 𝐸)
8	7	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (𝐷 Nat 𝐸))
9	8	oveqd 7377	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑔𝑁ℎ) = (𝑔(𝐷 Nat 𝐸)ℎ))
10		relfunc 17790	. . . . . . . . . 10 ⊢ Rel (𝐶 Func 𝐷)
11		precoffunc.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)
12		brrelex12 5677	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Rel (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) → (𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V))
13	10, 11, 12	sylancr 588	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V))
14		op1stg 7947	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) → (1st ‘⟨𝐹, 𝐺⟩) = 𝐹)
15	13, 14	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1st ‘⟨𝐹, 𝐺⟩) = 𝐹)
16	15	eqcomd 2743	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (1st ‘⟨𝐹, 𝐺⟩))
17	16	coeq2d 5812	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∘ 𝐹) = (𝑎 ∘ (1st ‘⟨𝐹, 𝐺⟩)))
18	9, 17	mpteq12dv 5186	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ (𝑔𝑁ℎ) ↦ (𝑎 ∘ 𝐹)) = (𝑎 ∈ (𝑔(𝐷 Nat 𝐸)ℎ) ↦ (𝑎 ∘ (1st ‘⟨𝐹, 𝐺⟩))))
19	6, 6, 18	mpoeq123dv 7435	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑔 ∈ 𝐵, ℎ ∈ 𝐵 ↦ (𝑎 ∈ (𝑔𝑁ℎ) ↦ (𝑎 ∘ 𝐹))) = (𝑔 ∈ (𝐷 Func 𝐸), ℎ ∈ (𝐷 Func 𝐸) ↦ (𝑎 ∈ (𝑔(𝐷 Nat 𝐸)ℎ) ↦ (𝑎 ∘ (1st ‘⟨𝐹, 𝐺⟩)))))
20	5, 19	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐿 = (𝑔 ∈ (𝐷 Func 𝐸), ℎ ∈ (𝐷 Func 𝐸) ↦ (𝑎 ∈ (𝑔(𝐷 Nat 𝐸)ℎ) ↦ (𝑎 ∘ (1st ‘⟨𝐹, 𝐺⟩)))))
21	4, 20	opeq12d 4838	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐾, 𝐿⟩ = ⟨(𝑔 ∈ (𝐷 Func 𝐸) ↦ (𝑔 ∘func ⟨𝐹, 𝐺⟩)), (𝑔 ∈ (𝐷 Func 𝐸), ℎ ∈ (𝐷 Func 𝐸) ↦ (𝑎 ∈ (𝑔(𝐷 Nat 𝐸)ℎ) ↦ (𝑎 ∘ (1st ‘⟨𝐹, 𝐺⟩))))⟩)
22		precofval3.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝐶 FuncCat 𝐷)
23		precoffunc.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (𝐷 FuncCat 𝐸)
24		precofval3.o	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⚬ = (⟨𝑄, 𝑅⟩ curryF ((⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸) ∘func (𝑄 swapF 𝑅))))
25		df-br 5100	. . . 4 ⊢ (𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ↔ ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐶 Func 𝐷))
26	11, 25	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐶 Func 𝐷))
27		precoffunc.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Cat)
28		precofval3.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = ((1st ‘ ⚬ )‘⟨𝐹, 𝐺⟩))
29	22, 23, 24, 26, 27, 28	precofval2 49650	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = ⟨(𝑔 ∈ (𝐷 Func 𝐸) ↦ (𝑔 ∘func ⟨𝐹, 𝐺⟩)), (𝑔 ∈ (𝐷 Func 𝐸), ℎ ∈ (𝐷 Func 𝐸) ↦ (𝑎 ∈ (𝑔(𝐷 Nat 𝐸)ℎ) ↦ (𝑎 ∘ (1st ‘⟨𝐹, 𝐺⟩))))⟩)
30	21, 29	eqtr4d 2775	1 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐾, 𝐿⟩ = 𝑀)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3441  ⟨cop 4587   class class class wbr 5099   ↦ cmpt 5180   ∘ ccom 5629  Rel wrel 5630  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360   ∈ cmpo 7362  1^st c1st 7933  Catccat 17591   Func cfunc 17782   ∘_func ccofu 17784   Nat cnat 17872   FuncCat cfuc 17873   curry_F ccurf 18137   swap_F cswapf 49540   ∘_F cfuco 49597

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-map 8769  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-5 12215  df-6 12216  df-7 12217  df-8 12218  df-9 12219  df-n0 12406  df-z 12493  df-dec 12612  df-uz 12756  df-fz 13428  df-struct 17078  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17141  df-hom 17205  df-cco 17206  df-cat 17595  df-cid 17596  df-func 17786  df-cofu 17788  df-nat 17874  df-fuc 17875  df-xpc 18099  df-curf 18141  df-swapf 49541  df-fuco 49598

This theorem is referenced by:  precoffunc  49653  prcoftposcurfuco  49664