Theorem precofval3 49840

Description: Value of the pre-composition functor as a transposed curry of the functor composition bifunctor. (Contributed by Zhi Wang, 20-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
precoffunc.r	⊢ 𝑅 = (𝐷 FuncCat 𝐸)
precoffunc.b	⊢ 𝐵 = (𝐷 Func 𝐸)
precoffunc.n	⊢ 𝑁 = (𝐷 Nat 𝐸)
precoffunc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)
precoffunc.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Cat)
precoffunc.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑔 ∘func ⟨𝐹, 𝐺⟩)))
precoffunc.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 = (𝑔 ∈ 𝐵, ℎ ∈ 𝐵 ↦ (𝑎 ∈ (𝑔𝑁ℎ) ↦ (𝑎 ∘ 𝐹))))
precofval3.q	⊢ 𝑄 = (𝐶 FuncCat 𝐷)
precofval3.o	⊢ (𝜑 → ⚬ = (⟨𝑄, 𝑅⟩ curryF ((⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸) ∘func (𝑄 swapF 𝑅))))
precofval3.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 = ((1st ‘ ⚬ )‘⟨𝐹, 𝐺⟩))

Assertion

Ref	Expression
precofval3	⊢ (𝜑 → ⟨𝐾, 𝐿⟩ = 𝑀)

Distinct variable groups:   𝐶,𝑎,𝑔,ℎ   𝐷,𝑎,𝑔,ℎ   𝐸,𝑎,𝑔,ℎ   𝐹,𝑎,𝑔,ℎ   𝐺,𝑎,𝑔,ℎ   𝑄,𝑎,𝑔,ℎ   𝑅,𝑎,𝑔,ℎ   𝜑,𝑎,𝑔,ℎ

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑔,ℎ,𝑎)   𝐾(𝑔,ℎ,𝑎)   𝐿(𝑔,ℎ,𝑎)   𝑀(𝑔,ℎ,𝑎)   𝑁(𝑔,ℎ,𝑎)   ⚬ (𝑔,ℎ,𝑎)

Proof of Theorem precofval3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		precoffunc.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑔 ∘func ⟨𝐹, 𝐺⟩)))
2		precoffunc.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (𝐷 Func 𝐸)
3	2	mpteq1i 5177	. . . 4 ⊢ (𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑔 ∘func ⟨𝐹, 𝐺⟩)) = (𝑔 ∈ (𝐷 Func 𝐸) ↦ (𝑔 ∘func ⟨𝐹, 𝐺⟩))
4	1, 3	eqtrdi 2788	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑔 ∈ (𝐷 Func 𝐸) ↦ (𝑔 ∘func ⟨𝐹, 𝐺⟩)))
5		precoffunc.l	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 = (𝑔 ∈ 𝐵, ℎ ∈ 𝐵 ↦ (𝑎 ∈ (𝑔𝑁ℎ) ↦ (𝑎 ∘ 𝐹))))
6	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝐷 Func 𝐸))
7		precoffunc.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = (𝐷 Nat 𝐸)
8	7	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (𝐷 Nat 𝐸))
9	8	oveqd 7384	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑔𝑁ℎ) = (𝑔(𝐷 Nat 𝐸)ℎ))
10		relfunc 17829	. . . . . . . . . 10 ⊢ Rel (𝐶 Func 𝐷)
11		precoffunc.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)
12		brrelex12 5683	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Rel (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) → (𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V))
13	10, 11, 12	sylancr 588	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V))
14		op1stg 7954	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) → (1st ‘⟨𝐹, 𝐺⟩) = 𝐹)
15	13, 14	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1st ‘⟨𝐹, 𝐺⟩) = 𝐹)
16	15	eqcomd 2743	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (1st ‘⟨𝐹, 𝐺⟩))
17	16	coeq2d 5818	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∘ 𝐹) = (𝑎 ∘ (1st ‘⟨𝐹, 𝐺⟩)))
18	9, 17	mpteq12dv 5173	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ (𝑔𝑁ℎ) ↦ (𝑎 ∘ 𝐹)) = (𝑎 ∈ (𝑔(𝐷 Nat 𝐸)ℎ) ↦ (𝑎 ∘ (1st ‘⟨𝐹, 𝐺⟩))))
19	6, 6, 18	mpoeq123dv 7442	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑔 ∈ 𝐵, ℎ ∈ 𝐵 ↦ (𝑎 ∈ (𝑔𝑁ℎ) ↦ (𝑎 ∘ 𝐹))) = (𝑔 ∈ (𝐷 Func 𝐸), ℎ ∈ (𝐷 Func 𝐸) ↦ (𝑎 ∈ (𝑔(𝐷 Nat 𝐸)ℎ) ↦ (𝑎 ∘ (1st ‘⟨𝐹, 𝐺⟩)))))
20	5, 19	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐿 = (𝑔 ∈ (𝐷 Func 𝐸), ℎ ∈ (𝐷 Func 𝐸) ↦ (𝑎 ∈ (𝑔(𝐷 Nat 𝐸)ℎ) ↦ (𝑎 ∘ (1st ‘⟨𝐹, 𝐺⟩)))))
21	4, 20	opeq12d 4825	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐾, 𝐿⟩ = ⟨(𝑔 ∈ (𝐷 Func 𝐸) ↦ (𝑔 ∘func ⟨𝐹, 𝐺⟩)), (𝑔 ∈ (𝐷 Func 𝐸), ℎ ∈ (𝐷 Func 𝐸) ↦ (𝑎 ∈ (𝑔(𝐷 Nat 𝐸)ℎ) ↦ (𝑎 ∘ (1st ‘⟨𝐹, 𝐺⟩))))⟩)
22		precofval3.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝐶 FuncCat 𝐷)
23		precoffunc.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (𝐷 FuncCat 𝐸)
24		precofval3.o	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⚬ = (⟨𝑄, 𝑅⟩ curryF ((⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸) ∘func (𝑄 swapF 𝑅))))
25		df-br 5087	. . . 4 ⊢ (𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ↔ ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐶 Func 𝐷))
26	11, 25	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐶 Func 𝐷))
27		precoffunc.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Cat)
28		precofval3.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = ((1st ‘ ⚬ )‘⟨𝐹, 𝐺⟩))
29	22, 23, 24, 26, 27, 28	precofval2 49838	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = ⟨(𝑔 ∈ (𝐷 Func 𝐸) ↦ (𝑔 ∘func ⟨𝐹, 𝐺⟩)), (𝑔 ∈ (𝐷 Func 𝐸), ℎ ∈ (𝐷 Func 𝐸) ↦ (𝑎 ∈ (𝑔(𝐷 Nat 𝐸)ℎ) ↦ (𝑎 ∘ (1st ‘⟨𝐹, 𝐺⟩))))⟩)
30	21, 29	eqtr4d 2775	1 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐾, 𝐿⟩ = 𝑀)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430  ⟨cop 4574   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167   ∘ ccom 5635  Rel wrel 5636  ‘cfv 6499  (class class class)co 7367   ∈ cmpo 7369  1^st c1st 7940  Catccat 17630   Func cfunc 17821   ∘_func ccofu 17823   Nat cnat 17911   FuncCat cfuc 17912   curry_F ccurf 18176   swap_F cswapf 49728   ∘_F cfuco 49785

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6266  df-ord 6327  df-on 6328  df-lim 6329  df-suc 6330  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-map 8775  df-ixp 8846  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-fz 13462  df-struct 17117  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-hom 17244  df-cco 17245  df-cat 17634  df-cid 17635  df-func 17825  df-cofu 17827  df-nat 17913  df-fuc 17914  df-xpc 18138  df-curf 18180  df-swapf 49729  df-fuco 49786

This theorem is referenced by:  precoffunc  49841  prcoftposcurfuco  49852