Theorem precofval3 49956

Description: Value of the pre-composition functor as a transposed curry of the functor composition bifunctor. (Contributed by Zhi Wang, 20-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
precoffunc.r	⊢ 𝑅 = (𝐷 FuncCat 𝐸)
precoffunc.b	⊢ 𝐵 = (𝐷 Func 𝐸)
precoffunc.n	⊢ 𝑁 = (𝐷 Nat 𝐸)
precoffunc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)
precoffunc.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Cat)
precoffunc.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑔 ∘func ⟨𝐹, 𝐺⟩)))
precoffunc.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 = (𝑔 ∈ 𝐵, ℎ ∈ 𝐵 ↦ (𝑎 ∈ (𝑔𝑁ℎ) ↦ (𝑎 ∘ 𝐹))))
precofval3.q	⊢ 𝑄 = (𝐶 FuncCat 𝐷)
precofval3.o	⊢ (𝜑 → ⚬ = (⟨𝑄, 𝑅⟩ curryF ((⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸) ∘func (𝑄 swapF 𝑅))))
precofval3.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 = ((1st ‘ ⚬ )‘⟨𝐹, 𝐺⟩))

Assertion

Ref	Expression
precofval3	⊢ (𝜑 → ⟨𝐾, 𝐿⟩ = 𝑀)

Distinct variable groups:   𝐶,𝑎,𝑔,ℎ   𝐷,𝑎,𝑔,ℎ   𝐸,𝑎,𝑔,ℎ   𝐹,𝑎,𝑔,ℎ   𝐺,𝑎,𝑔,ℎ   𝑄,𝑎,𝑔,ℎ   𝑅,𝑎,𝑔,ℎ   𝜑,𝑎,𝑔,ℎ

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑔,ℎ,𝑎)   𝐾(𝑔,ℎ,𝑎)   𝐿(𝑔,ℎ,𝑎)   𝑀(𝑔,ℎ,𝑎)   𝑁(𝑔,ℎ,𝑎)   ⚬ (𝑔,ℎ,𝑎)

Proof of Theorem precofval3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		precoffunc.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑔 ∘func ⟨𝐹, 𝐺⟩)))
2		precoffunc.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (𝐷 Func 𝐸)
3	2	mpteq1i 5190	. . . 4 ⊢ (𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑔 ∘func ⟨𝐹, 𝐺⟩)) = (𝑔 ∈ (𝐷 Func 𝐸) ↦ (𝑔 ∘func ⟨𝐹, 𝐺⟩))
4	1, 3	eqtrdi 2812	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑔 ∈ (𝐷 Func 𝐸) ↦ (𝑔 ∘func ⟨𝐹, 𝐺⟩)))
5		precoffunc.l	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 = (𝑔 ∈ 𝐵, ℎ ∈ 𝐵 ↦ (𝑎 ∈ (𝑔𝑁ℎ) ↦ (𝑎 ∘ 𝐹))))
6	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝐷 Func 𝐸))
7		precoffunc.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = (𝐷 Nat 𝐸)
8	7	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (𝐷 Nat 𝐸))
9	8	oveqd 7409	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑔𝑁ℎ) = (𝑔(𝐷 Nat 𝐸)ℎ))
10		relfunc 17878	. . . . . . . . . 10 ⊢ Rel (𝐶 Func 𝐷)
11		precoffunc.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)
12		brrelex12 5697	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Rel (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) → (𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V))
13	10, 11, 12	sylancr 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V))
14		op1stg 7978	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) → (1st ‘⟨𝐹, 𝐺⟩) = 𝐹)
15	13, 14	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1st ‘⟨𝐹, 𝐺⟩) = 𝐹)
16	15	eqcomd 2767	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (1st ‘⟨𝐹, 𝐺⟩))
17	16	coeq2d 5832	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∘ 𝐹) = (𝑎 ∘ (1st ‘⟨𝐹, 𝐺⟩)))
18	9, 17	mpteq12dv 5186	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ (𝑔𝑁ℎ) ↦ (𝑎 ∘ 𝐹)) = (𝑎 ∈ (𝑔(𝐷 Nat 𝐸)ℎ) ↦ (𝑎 ∘ (1st ‘⟨𝐹, 𝐺⟩))))
19	6, 6, 18	mpoeq123dv 7467	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑔 ∈ 𝐵, ℎ ∈ 𝐵 ↦ (𝑎 ∈ (𝑔𝑁ℎ) ↦ (𝑎 ∘ 𝐹))) = (𝑔 ∈ (𝐷 Func 𝐸), ℎ ∈ (𝐷 Func 𝐸) ↦ (𝑎 ∈ (𝑔(𝐷 Nat 𝐸)ℎ) ↦ (𝑎 ∘ (1st ‘⟨𝐹, 𝐺⟩)))))
20	5, 19	eqtrd 2796	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐿 = (𝑔 ∈ (𝐷 Func 𝐸), ℎ ∈ (𝐷 Func 𝐸) ↦ (𝑎 ∈ (𝑔(𝐷 Nat 𝐸)ℎ) ↦ (𝑎 ∘ (1st ‘⟨𝐹, 𝐺⟩)))))
21	4, 20	opeq12d 4838	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐾, 𝐿⟩ = ⟨(𝑔 ∈ (𝐷 Func 𝐸) ↦ (𝑔 ∘func ⟨𝐹, 𝐺⟩)), (𝑔 ∈ (𝐷 Func 𝐸), ℎ ∈ (𝐷 Func 𝐸) ↦ (𝑎 ∈ (𝑔(𝐷 Nat 𝐸)ℎ) ↦ (𝑎 ∘ (1st ‘⟨𝐹, 𝐺⟩))))⟩)
22		precofval3.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝐶 FuncCat 𝐷)
23		precoffunc.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (𝐷 FuncCat 𝐸)
24		precofval3.o	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⚬ = (⟨𝑄, 𝑅⟩ curryF ((⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸) ∘func (𝑄 swapF 𝑅))))
25		df-br 5100	. . . 4 ⊢ (𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ↔ ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐶 Func 𝐷))
26	11, 25	sylib 220	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐶 Func 𝐷))
27		precoffunc.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Cat)
28		precofval3.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = ((1st ‘ ⚬ )‘⟨𝐹, 𝐺⟩))
29	22, 23, 24, 26, 27, 28	precofval2 49954	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = ⟨(𝑔 ∈ (𝐷 Func 𝐸) ↦ (𝑔 ∘func ⟨𝐹, 𝐺⟩)), (𝑔 ∈ (𝐷 Func 𝐸), ℎ ∈ (𝐷 Func 𝐸) ↦ (𝑎 ∈ (𝑔(𝐷 Nat 𝐸)ℎ) ↦ (𝑎 ∘ (1st ‘⟨𝐹, 𝐺⟩))))⟩)
30	21, 29	eqtr4d 2799	1 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐾, 𝐿⟩ = 𝑀)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  Vcvv 3453  ⟨cop 4587   class class class wbr 5099   ↦ cmpt 5180   ∘ ccom 5649  Rel wrel 5650  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392   ∈ cmpo 7394  1^st c1st 7964  Catccat 17679   Func cfunc 17870   ∘_func ccofu 17872   Nat cnat 17960   FuncCat cfuc 17961   curry_F ccurf 18225   swap_F cswapf 49844   ∘_F cfuco 49901

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-er 8673  df-map 8805  df-ixp 8876  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12479  df-z 12566  df-dec 12686  df-uz 12837  df-fz 13510  df-struct 17166  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-hom 17293  df-cco 17294  df-cat 17683  df-cid 17684  df-func 17874  df-cofu 17876  df-nat 17962  df-fuc 17963  df-xpc 18187  df-curf 18229  df-swapf 49845  df-fuco 49902

This theorem is referenced by:  precoffunc  49957  prcoftposcurfuco  49968