Theorem precofval3 50599

Description: Value of the pre-composition functor as a transposed curry of the functor composition bifunctor. (Contributed by Zhi Wang, 20-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
precoffunc.r	⊢ 𝑅 = (𝐷 FuncCat 𝐸)
precoffunc.b	⊢ 𝐵 = (𝐷 Func 𝐸)
precoffunc.n	⊢ 𝑁 = (𝐷 Nat 𝐸)
precoffunc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)
precoffunc.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Cat)
precoffunc.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑔 ∘func ⟨𝐹, 𝐺⟩)))
precoffunc.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 = (𝑔 ∈ 𝐵, ℎ ∈ 𝐵 ↦ (𝑎 ∈ (𝑔𝑁ℎ) ↦ (𝑎 ∘ 𝐹))))
precofval3.q	⊢ 𝑄 = (𝐶 FuncCat 𝐷)
precofval3.o	⊢ (𝜑 → ⚬ = (⟨𝑄, 𝑅⟩ curryF ((⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸) ∘func (𝑄 swapF 𝑅))))
precofval3.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 = ((1st ‘ ⚬ )‘⟨𝐹, 𝐺⟩))

Assertion

Ref	Expression
precofval3	⊢ (𝜑 → ⟨𝐾, 𝐿⟩ = 𝑀)

Distinct variable groups:   𝐶,𝑎,𝑔,ℎ   𝐷,𝑎,𝑔,ℎ   𝐸,𝑎,𝑔,ℎ   𝐹,𝑎,𝑔,ℎ   𝐺,𝑎,𝑔,ℎ   𝑄,𝑎,𝑔,ℎ   𝑅,𝑎,𝑔,ℎ   𝜑,𝑎,𝑔,ℎ

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑔, ℎ, 𝑎)   𝐾(𝑔, ℎ, 𝑎)   𝐿(𝑔, ℎ, 𝑎)   𝑀(𝑔, ℎ, 𝑎)   𝑁(𝑔, ℎ, 𝑎)   ⚬ (𝑔, ℎ, 𝑎)

Proof of Theorem precofval3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		precoffunc.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑔 ∘func ⟨𝐹, 𝐺⟩)))
2		precoffunc.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (𝐷 Func 𝐸)
3	2	mpteq1i 5195	. . . 4 ⊢ (𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑔 ∘func ⟨𝐹, 𝐺⟩)) = (𝑔 ∈ (𝐷 Func 𝐸) ↦ (𝑔 ∘func ⟨𝐹, 𝐺⟩))
4	1, 3	eqtrdi 2811	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑔 ∈ (𝐷 Func 𝐸) ↦ (𝑔 ∘func ⟨𝐹, 𝐺⟩)))
5		precoffunc.l	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 = (𝑔 ∈ 𝐵, ℎ ∈ 𝐵 ↦ (𝑎 ∈ (𝑔𝑁ℎ) ↦ (𝑎 ∘ 𝐹))))
6	2	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝐷 Func 𝐸))
7		precoffunc.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = (𝐷 Nat 𝐸)
8	7	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (𝐷 Nat 𝐸))
9	8	oveqd 7437	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑔𝑁ℎ) = (𝑔(𝐷 Nat 𝐸)ℎ))
10		relfunc 18042	. . . . . . . . . 10 ⊢ Rel (𝐶 Func 𝐷)
11		precoffunc.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)
12		brrelex12 5702	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Rel (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺) → (𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V))
13	10, 11, 12	sylancr 599	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V))
14		op1stg 8013	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) → (1st ‘⟨𝐹, 𝐺⟩) = 𝐹)
15	13, 14	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1st ‘⟨𝐹, 𝐺⟩) = 𝐹)
16	15	eqcomd 2766	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (1st ‘⟨𝐹, 𝐺⟩))
17	16	coeq2d 5839	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∘ 𝐹) = (𝑎 ∘ (1st ‘⟨𝐹, 𝐺⟩)))
18	9, 17	mpteq12dv 5191	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ (𝑔𝑁ℎ) ↦ (𝑎 ∘ 𝐹)) = (𝑎 ∈ (𝑔(𝐷 Nat 𝐸)ℎ) ↦ (𝑎 ∘ (1st ‘⟨𝐹, 𝐺⟩))))
19	6, 6, 18	mpoeq123dv 7495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑔 ∈ 𝐵, ℎ ∈ 𝐵 ↦ (𝑎 ∈ (𝑔𝑁ℎ) ↦ (𝑎 ∘ 𝐹))) = (𝑔 ∈ (𝐷 Func 𝐸), ℎ ∈ (𝐷 Func 𝐸) ↦ (𝑎 ∈ (𝑔(𝐷 Nat 𝐸)ℎ) ↦ (𝑎 ∘ (1st ‘⟨𝐹, 𝐺⟩)))))
20	5, 19	eqtrd 2795	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐿 = (𝑔 ∈ (𝐷 Func 𝐸), ℎ ∈ (𝐷 Func 𝐸) ↦ (𝑎 ∈ (𝑔(𝐷 Nat 𝐸)ℎ) ↦ (𝑎 ∘ (1st ‘⟨𝐹, 𝐺⟩)))))
21	4, 20	opeq12d 4847	. 2 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐾, 𝐿⟩ = ⟨(𝑔 ∈ (𝐷 Func 𝐸) ↦ (𝑔 ∘func ⟨𝐹, 𝐺⟩)), (𝑔 ∈ (𝐷 Func 𝐸), ℎ ∈ (𝐷 Func 𝐸) ↦ (𝑎 ∈ (𝑔(𝐷 Nat 𝐸)ℎ) ↦ (𝑎 ∘ (1st ‘⟨𝐹, 𝐺⟩))))⟩)
22		precofval3.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝐶 FuncCat 𝐷)
23		precoffunc.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (𝐷 FuncCat 𝐸)
24		precofval3.o	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⚬ = (⟨𝑄, 𝑅⟩ curryF ((⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸) ∘func (𝑄 swapF 𝑅))))
25		df-br 5103	. . . 4 ⊢ (𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ↔ ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐶 Func 𝐷))
26	11, 25	sylib 221	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐶 Func 𝐷))
27		precoffunc.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Cat)
28		precofval3.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = ((1st ‘ ⚬ )‘⟨𝐹, 𝐺⟩))
29	22, 23, 24, 26, 27, 28	precofval2 50597	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = ⟨(𝑔 ∈ (𝐷 Func 𝐸) ↦ (𝑔 ∘func ⟨𝐹, 𝐺⟩)), (𝑔 ∈ (𝐷 Func 𝐸), ℎ ∈ (𝐷 Func 𝐸) ↦ (𝑎 ∈ (𝑔(𝐷 Nat 𝐸)ℎ) ↦ (𝑎 ∘ (1st ‘⟨𝐹, 𝐺⟩))))⟩)
30	21, 29	eqtr4d 2798	1 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐾, 𝐿⟩ = 𝑀)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450  ⟨cop 4834   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185   ∘ ccom 5654  Rel wrel 5655  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ∈ cmpo 7422  1^st c1st 7999  Catccat 17843   Func cfunc 18034   ∘_func ccofu 18036   Nat cnat 18124   FuncCat cfuc 18125   curry_F ccurf 18389   swap_F cswapf 50474   ∘_F cfuco 50531

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-er 8720  df-map 8852  df-ixp 8929  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-4 12410  df-5 12411  df-6 12412  df-7 12413  df-8 12414  df-9 12415  df-n0 12610  df-z 12697  df-dec 12818  df-uz 12969  df-fz 13643  df-struct 17330  df-slot 17365  df-ndx 17377  df-base 17393  df-hom 17457  df-cco 17458  df-cat 17847  df-cid 17848  df-func 18038  df-cofu 18040  df-nat 18126  df-fuc 18127  df-xpc 18351  df-curf 18393  df-swapf 50475  df-fuco 50532

This theorem is used by:  precoffunc  50600  prcoftposcurfuco  50611