Theorem primrootsunit 41600

Description: Primitive roots have left inverses. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
primrootsunit.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
primrootsunit.2	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
primrootsunit.3	⊢ 𝑈 = {𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∣ ∃𝑖 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖(+g‘𝑅)𝑎) = (0g‘𝑅)}

Assertion

Ref	Expression
primrootsunit	⊢ (𝜑 → ((𝑅 PrimRoots 𝐾) = ((𝑅 ↾s 𝑈) PrimRoots 𝐾) ∧ (𝑅 ↾s 𝑈) ∈ Abel))

Distinct variable group:   𝑅,𝑎,𝑖

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖,𝑎)   𝑈(𝑖,𝑎)   𝐾(𝑖,𝑎)

Proof of Theorem primrootsunit

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		primrootsunit.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
2		primrootsunit.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
3		primrootsunit.3	. . 3 ⊢ 𝑈 = {𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∣ ∃𝑖 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖(+g‘𝑅)𝑎) = (0g‘𝑅)}
4		nfv 1909	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗(𝑖(+g‘𝑅)𝑎) = (0g‘𝑅)
5		nfv 1909	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑖(𝑗(+g‘𝑅)𝑎) = (0g‘𝑅)
6		oveq1 7433	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑖(+g‘𝑅)𝑎) = (𝑗(+g‘𝑅)𝑎))
7	6	eqeq1d 2730	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → ((𝑖(+g‘𝑅)𝑎) = (0g‘𝑅) ↔ (𝑗(+g‘𝑅)𝑎) = (0g‘𝑅)))
8	4, 5, 7	cbvrexw 3302	. . . 4 ⊢ (∃𝑖 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖(+g‘𝑅)𝑎) = (0g‘𝑅) ↔ ∃𝑗 ∈ (Base‘𝑅)(𝑗(+g‘𝑅)𝑎) = (0g‘𝑅))
9	8	rabbii 3436	. . 3 ⊢ {𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∣ ∃𝑖 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖(+g‘𝑅)𝑎) = (0g‘𝑅)} = {𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∣ ∃𝑗 ∈ (Base‘𝑅)(𝑗(+g‘𝑅)𝑎) = (0g‘𝑅)}
10	3, 9	eqtri 2756	. 2 ⊢ 𝑈 = {𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∣ ∃𝑗 ∈ (Base‘𝑅)(𝑗(+g‘𝑅)𝑎) = (0g‘𝑅)}
11	1, 2, 10	primrootsunit1 41599	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 PrimRoots 𝐾) = ((𝑅 ↾s 𝑈) PrimRoots 𝐾) ∧ (𝑅 ↾s 𝑈) ∈ Abel))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∃wrex 3067  {crab 3430  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426  ℕcn 12250  Basecbs 17187   ↾_s cress 17216  +_gcplusg 17240  0_gc0g 17428  CMndccmn 19742  Abelcabl 19743   PrimRoots cprimroots 41594

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525  df-seq 14007  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-0g 17430  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-submnd 18748  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-mulg 19031  df-cmn 19744  df-abl 19745  df-primroots 41595

This theorem is referenced by:  primrootscoprmpow  41602  primrootscoprbij  41605  primrootspoweq0  41609  aks6d1c6lem4  41677  aks6d1c6isolem1  41678  aks6d1c6isolem2  41679  aks6d1c6lem5  41681