Theorem primrootsunit 42040

Description: Primitive roots have left inverses. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
primrootsunit.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
primrootsunit.2	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
primrootsunit.3	⊢ 𝑈 = {𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∣ ∃𝑖 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖(+g‘𝑅)𝑎) = (0g‘𝑅)}

Assertion

Ref	Expression
primrootsunit	⊢ (𝜑 → ((𝑅 PrimRoots 𝐾) = ((𝑅 ↾s 𝑈) PrimRoots 𝐾) ∧ (𝑅 ↾s 𝑈) ∈ Abel))

Distinct variable group:   𝑅,𝑎,𝑖

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖,𝑎)   𝑈(𝑖,𝑎)   𝐾(𝑖,𝑎)

Proof of Theorem primrootsunit

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		primrootsunit.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
2		primrootsunit.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
3		primrootsunit.3	. . 3 ⊢ 𝑈 = {𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∣ ∃𝑖 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖(+g‘𝑅)𝑎) = (0g‘𝑅)}
4		nfv 1913	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗(𝑖(+g‘𝑅)𝑎) = (0g‘𝑅)
5		nfv 1913	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑖(𝑗(+g‘𝑅)𝑎) = (0g‘𝑅)
6		oveq1 7421	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑖(+g‘𝑅)𝑎) = (𝑗(+g‘𝑅)𝑎))
7	6	eqeq1d 2736	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → ((𝑖(+g‘𝑅)𝑎) = (0g‘𝑅) ↔ (𝑗(+g‘𝑅)𝑎) = (0g‘𝑅)))
8	4, 5, 7	cbvrexw 3291	. . . 4 ⊢ (∃𝑖 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖(+g‘𝑅)𝑎) = (0g‘𝑅) ↔ ∃𝑗 ∈ (Base‘𝑅)(𝑗(+g‘𝑅)𝑎) = (0g‘𝑅))
9	8	rabbii 3426	. . 3 ⊢ {𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∣ ∃𝑖 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖(+g‘𝑅)𝑎) = (0g‘𝑅)} = {𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∣ ∃𝑗 ∈ (Base‘𝑅)(𝑗(+g‘𝑅)𝑎) = (0g‘𝑅)}
10	3, 9	eqtri 2757	. 2 ⊢ 𝑈 = {𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∣ ∃𝑗 ∈ (Base‘𝑅)(𝑗(+g‘𝑅)𝑎) = (0g‘𝑅)}
11	1, 2, 10	primrootsunit1 42039	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 PrimRoots 𝐾) = ((𝑅 ↾s 𝑈) PrimRoots 𝐾) ∧ (𝑅 ↾s 𝑈) ∈ Abel))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∃wrex 3059  {crab 3420  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  ℕcn 12249  Basecbs 17230   ↾_s cress 17256  +_gcplusg 17277  0_gc0g 17460  CMndccmn 19771  Abelcabl 19772   PrimRoots cprimroots 42033

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5278  ax-nul 5288  ax-pow 5347  ax-pr 5414  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3773  df-csb 3882  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3950  df-pss 3953  df-nul 4316  df-if 4508  df-pw 4584  df-sn 4609  df-pr 4611  df-op 4615  df-uni 4890  df-iun 4975  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5208  df-tr 5242  df-id 5560  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6303  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7871  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-frecs 8289  df-wrecs 8320  df-recs 8394  df-rdg 8433  df-er 8728  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12250  df-2 12312  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12862  df-fz 13531  df-seq 14026  df-sets 17184  df-slot 17202  df-ndx 17214  df-base 17231  df-ress 17257  df-plusg 17290  df-0g 17462  df-mgm 18627  df-sgrp 18706  df-mnd 18722  df-submnd 18771  df-grp 18928  df-minusg 18929  df-mulg 19060  df-cmn 19773  df-abl 19774  df-primroots 42034

This theorem is referenced by:  primrootscoprmpow  42041  primrootscoprbij  42044  primrootspoweq0  42048  aks6d1c6lem4  42115  aks6d1c6isolem1  42116  aks6d1c6isolem2  42117  aks6d1c6lem5  42119