Theorem primrootsunit 42080

Description: Primitive roots have left inverses. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
primrootsunit.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
primrootsunit.2	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
primrootsunit.3	⊢ 𝑈 = {𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∣ ∃𝑖 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖(+g‘𝑅)𝑎) = (0g‘𝑅)}

Assertion

Ref	Expression
primrootsunit	⊢ (𝜑 → ((𝑅 PrimRoots 𝐾) = ((𝑅 ↾s 𝑈) PrimRoots 𝐾) ∧ (𝑅 ↾s 𝑈) ∈ Abel))

Distinct variable group:   𝑅,𝑎,𝑖

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖,𝑎)   𝑈(𝑖,𝑎)   𝐾(𝑖,𝑎)

Proof of Theorem primrootsunit

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		primrootsunit.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
2		primrootsunit.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
3		primrootsunit.3	. . 3 ⊢ 𝑈 = {𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∣ ∃𝑖 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖(+g‘𝑅)𝑎) = (0g‘𝑅)}
4		nfv 1912	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗(𝑖(+g‘𝑅)𝑎) = (0g‘𝑅)
5		nfv 1912	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑖(𝑗(+g‘𝑅)𝑎) = (0g‘𝑅)
6		oveq1 7438	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑖(+g‘𝑅)𝑎) = (𝑗(+g‘𝑅)𝑎))
7	6	eqeq1d 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → ((𝑖(+g‘𝑅)𝑎) = (0g‘𝑅) ↔ (𝑗(+g‘𝑅)𝑎) = (0g‘𝑅)))
8	4, 5, 7	cbvrexw 3305	. . . 4 ⊢ (∃𝑖 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖(+g‘𝑅)𝑎) = (0g‘𝑅) ↔ ∃𝑗 ∈ (Base‘𝑅)(𝑗(+g‘𝑅)𝑎) = (0g‘𝑅))
9	8	rabbii 3439	. . 3 ⊢ {𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∣ ∃𝑖 ∈ (Base‘𝑅)(𝑖(+g‘𝑅)𝑎) = (0g‘𝑅)} = {𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∣ ∃𝑗 ∈ (Base‘𝑅)(𝑗(+g‘𝑅)𝑎) = (0g‘𝑅)}
10	3, 9	eqtri 2763	. 2 ⊢ 𝑈 = {𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∣ ∃𝑗 ∈ (Base‘𝑅)(𝑗(+g‘𝑅)𝑎) = (0g‘𝑅)}
11	1, 2, 10	primrootsunit1 42079	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 PrimRoots 𝐾) = ((𝑅 ↾s 𝑈) PrimRoots 𝐾) ∧ (𝑅 ↾s 𝑈) ∈ Abel))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3068  {crab 3433  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ℕcn 12264  Basecbs 17245   ↾_s cress 17274  +_gcplusg 17298  0_gc0g 17486  CMndccmn 19813  Abelcabl 19814   PrimRoots cprimroots 42073

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-seq 14040  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-mulg 19099  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-primroots 42074

This theorem is referenced by:  primrootscoprmpow  42081  primrootscoprbij  42084  primrootspoweq0  42088  aks6d1c6lem4  42155  aks6d1c6isolem1  42156  aks6d1c6isolem2  42157  aks6d1c6lem5  42159