MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmind Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmind 16626
Description: Perform induction over the multiplicative structure of โ„•. If a property ๐œ‘(๐‘ฅ) holds for the primes and 1 and is preserved under multiplication, then it holds for every positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prmind.1 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (๐œ‘ โ†” ๐œ“))
prmind.2 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐œ‘ โ†” ๐œ’))
prmind.3 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ (๐œ‘ โ†” ๐œƒ))
prmind.4 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยท ๐‘ง) โ†’ (๐œ‘ โ†” ๐œ))
prmind.5 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (๐œ‘ โ†” ๐œ‚))
prmind.6 ๐œ“
prmind.7 (๐‘ฅ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐œ‘)
prmind.8 ((๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ((๐œ’ โˆง ๐œƒ) โ†’ ๐œ))
Assertion
Ref Expression
prmind (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ๐œ‚)
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐ด   ๐‘ฅ,๐‘ง,๐œ’   ๐œ‚,๐‘ฅ   ๐œ,๐‘ฅ   ๐œƒ,๐‘ฅ   ๐‘ฆ,๐‘ง,๐œ‘
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ฅ)   ๐œ“(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง)   ๐œ’(๐‘ฆ)   ๐œƒ(๐‘ฆ,๐‘ง)   ๐œ(๐‘ฆ,๐‘ง)   ๐œ‚(๐‘ฆ,๐‘ง)   ๐ด(๐‘ฆ,๐‘ง)

Proof of Theorem prmind
StepHypRef Expression
1 prmind.1 . 2 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (๐œ‘ โ†” ๐œ“))
2 prmind.2 . 2 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐œ‘ โ†” ๐œ’))
3 prmind.3 . 2 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ (๐œ‘ โ†” ๐œƒ))
4 prmind.4 . 2 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ ยท ๐‘ง) โ†’ (๐œ‘ โ†” ๐œ))
5 prmind.5 . 2 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (๐œ‘ โ†” ๐œ‚))
6 prmind.6 . 2 ๐œ“
7 prmind.7 . . 3 (๐‘ฅ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐œ‘)
87adantr 480 . 2 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„™ โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (1...(๐‘ฅ โˆ’ 1))๐œ’) โ†’ ๐œ‘)
9 prmind.8 . 2 ((๐‘ฆ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘ง โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ((๐œ’ โˆง ๐œƒ) โ†’ ๐œ))
101, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9prmind2 16625 1 (๐ด โˆˆ โ„• โ†’ ๐œ‚)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3053  โ€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  1c1 11108   ยท cmul 11112   โˆ’ cmin 11443  โ„•cn 12211  2c2 12266  โ„คโ‰ฅcuz 12821  ...cfz 13485  โ„™cprime 16611
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-sup 9434  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-rp 12976  df-fz 13486  df-seq 13968  df-exp 14029  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-dvds 16201  df-prm 16612
This theorem is referenced by:  exprmfct  16644  lgsquad2lem2  27259  2sqlem6  27297  ostthlem2  27502  fmtnofac2  46783
  Copyright terms: Public domain W3C validator