Theorem prmind 16594

Description: Perform induction over the multiplicative structure of ℕ. If a property 𝜑(𝑥) holds for the primes and 1 and is preserved under multiplication, then it holds for every positive integer. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prmind.1	⊢ (𝑥 = 1 → (𝜑 ↔ 𝜓))
prmind.2	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜒))
prmind.3	⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝜑 ↔ 𝜃))
prmind.4	⊢ (𝑥 = (𝑦 · 𝑧) → (𝜑 ↔ 𝜏))
prmind.5	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜂))
prmind.6	⊢ 𝜓
prmind.7	⊢ (𝑥 ∈ ℙ → 𝜑)
prmind.8	⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝜒 ∧ 𝜃) → 𝜏))

Assertion

Ref	Expression
prmind	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝜂)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝑥,𝐴   𝑥,𝑧,𝜒   𝜂,𝑥   𝜏,𝑥   𝜃,𝑥   𝑦,𝑧,𝜑

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑥,𝑦,𝑧)   𝜒(𝑦)   𝜃(𝑦,𝑧)   𝜏(𝑦,𝑧)   𝜂(𝑦,𝑧)   𝐴(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem prmind

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmind.1	. 2 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝜑 ↔ 𝜓))
2		prmind.2	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜒))
3		prmind.3	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝜑 ↔ 𝜃))
4		prmind.4	. 2 ⊢ (𝑥 = (𝑦 · 𝑧) → (𝜑 ↔ 𝜏))
5		prmind.5	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜂))
6		prmind.6	. 2 ⊢ 𝜓
7		prmind.7	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℙ → 𝜑)
8	7	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℙ ∧ ∀𝑦 ∈ (1...(𝑥 − 1))𝜒) → 𝜑)
9		prmind.8	. 2 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝜒 ∧ 𝜃) → 𝜏))
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9	prmind2 16593	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝜂)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  1c1 11004   · cmul 11008   − cmin 11341  ℕcn 12122  2c2 12177  ℤ_≥cuz 12729  ...cfz 13404  ℙcprime 16579

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080  ax-pre-sup 11081

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-sup 9326  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-div 11772  df-nn 12123  df-2 12185  df-3 12186  df-n0 12379  df-z 12466  df-uz 12730  df-rp 12888  df-fz 13405  df-seq 13906  df-exp 13966  df-cj 15003  df-re 15004  df-im 15005  df-sqrt 15139  df-abs 15140  df-dvds 16161  df-prm 16580

This theorem is referenced by:  exprmfct  16612  lgsquad2lem2  27321  2sqlem6  27359  ostthlem2  27564  fmtnofac2  47599