Theorem fmtnofac2 47923

Description: Divisor of Fermat number (Euler's Result refined by François Édouard Anatole Lucas), see fmtnofac1 47924: Let F_n be a Fermat number. Let m be divisor of F_n. Then m is in the form: k*2^(n+2)+1 where k is a nonnegative integer. (Contributed by AV, 30-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtnofac2	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁

Proof of Theorem fmtnofac2

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 5103	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑥 ∥ (FermatNo‘𝑁) ↔ 1 ∥ (FermatNo‘𝑁)))
2	1	anbi2d 631	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 1 ∥ (FermatNo‘𝑁))))
3		eqeq1 2741	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑥 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ 1 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
4	3	rexbidv 3162	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → (∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑥 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ0 1 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
5	2, 4	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑥 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) ↔ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 1 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 1 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
6		breq1 5103	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∥ (FermatNo‘𝑁) ↔ 𝑦 ∥ (FermatNo‘𝑁)))
7	6	anbi2d 631	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑦 ∥ (FermatNo‘𝑁))))
8		eqeq1 2741	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ 𝑦 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
9	8	rexbidv 3162	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑥 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑦 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
10	7, 9	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑥 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) ↔ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑦 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑦 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
11		breq1 5103	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ∥ (FermatNo‘𝑁) ↔ 𝑧 ∥ (FermatNo‘𝑁)))
12	11	anbi2d 631	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∥ (FermatNo‘𝑁))))
13		eqeq1 2741	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ 𝑧 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
14	13	rexbidv 3162	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑥 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑧 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
15	12, 14	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑥 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) ↔ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑧 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
16		breq1 5103	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 · 𝑧) → (𝑥 ∥ (FermatNo‘𝑁) ↔ (𝑦 · 𝑧) ∥ (FermatNo‘𝑁)))
17	16	anbi2d 631	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 · 𝑧) → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑦 · 𝑧) ∥ (FermatNo‘𝑁))))
18		eqeq1 2741	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 · 𝑧) → (𝑥 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ (𝑦 · 𝑧) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
19	18	rexbidv 3162	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 · 𝑧) → (∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑥 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑦 · 𝑧) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
20	17, 19	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 · 𝑧) → (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑥 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) ↔ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑦 · 𝑧) ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑦 · 𝑧) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
21		breq1 5103	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → (𝑥 ∥ (FermatNo‘𝑁) ↔ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)))
22	21	anbi2d 631	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁))))
23		eqeq1 2741	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → (𝑥 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
24	23	rexbidv 3162	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → (∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑥 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
25	22, 24	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑥 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) ↔ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
26		0nn0 12428	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0
27	26	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 ∈ ℕ0)
28		oveq1 7375	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) = (0 · (2↑(𝑁 + 2))))
29	28	oveq1d 7383	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) = ((0 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
30	29	eqeq2d 2748	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 0 → (1 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ 1 = ((0 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
31	30	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑘 = 0) → (1 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ 1 = ((0 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
32		2nn0 12430	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ0
33	32	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ∈ ℕ0)
34		eluzge2nn0 12817	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℕ0)
35	34, 33	nn0addcld 12478	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 + 2) ∈ ℕ0)
36	33, 35	nn0expcld 14181	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2↑(𝑁 + 2)) ∈ ℕ0)
37	36	nn0cnd 12476	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2↑(𝑁 + 2)) ∈ ℂ)
38	37	mul02d 11343	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (0 · (2↑(𝑁 + 2))) = 0)
39	38	oveq1d 7383	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((0 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) = (0 + 1))
40		0p1e1 12274	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 1) = 1
41	39, 40	eqtr2di 2789	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 = ((0 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
42	27, 31, 41	rspcedvd 3580	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 1 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
43	42	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 1 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 1 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
44		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
45	44	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∥ (FermatNo‘𝑁))) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
46		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∥ (FermatNo‘𝑁))) → 𝑥 ∈ ℙ)
47		simprr 773	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∥ (FermatNo‘𝑁))) → 𝑥 ∥ (FermatNo‘𝑁))
48		nnssnn0 12416	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ⊆ ℕ0
49		fmtnoprmfac2 47921	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
50		ssrexv 4005	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ ⊆ ℕ0 → (∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑥 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
51	48, 49, 50	mpsyl 68	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑥 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
52	45, 46, 47, 51	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∥ (FermatNo‘𝑁))) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑥 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
53	52	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℙ → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑥 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
54		fmtnofac2lem 47922	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑦 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑦 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) ∧ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑧 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))) → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑦 · 𝑧) ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑦 · 𝑧) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
55	5, 10, 15, 20, 25, 43, 53, 54	prmind 16625	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
56	55	expd 415	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
57	56	3imp21 1114	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3062   ⊆ wss 3903   class class class wbr 5100  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043  ℕcn 12157  2c2 12212  ℕ₀cn0 12413  ℤ_≥cuz 12763  ↑cexp 13996   ∥ cdvds 16191  ℙcprime 16610  FermatNocfmtno 47881

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-oadd 8411  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9357  df-inf 9358  df-oi 9427  df-dju 9825  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-n0 12414  df-xnn0 12487  df-z 12501  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12918  df-ioo 13277  df-ico 13279  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-fl 13724  df-mod 13802  df-seq 13937  df-exp 13997  df-fac 14209  df-hash 14266  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-clim 15423  df-prod 15839  df-dvds 16192  df-gcd 16434  df-prm 16611  df-odz 16704  df-phi 16705  df-pc 16777  df-lgs 27274  df-fmtno 47882

This theorem is referenced by:  fmtnofac1  47924