Theorem fmtnofac2 44086

Description: Divisor of Fermat number (Euler's Result refined by François Édouard Anatole Lucas), see fmtnofac1 44087: Let F_n be a Fermat number. Let m be divisor of F_n. Then m is in the form: k*2^(n+2)+1 where k is a nonnegative integer. (Contributed by AV, 30-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtnofac2	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁

Proof of Theorem fmtnofac2

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 5033	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑥 ∥ (FermatNo‘𝑁) ↔ 1 ∥ (FermatNo‘𝑁)))
2	1	anbi2d 631	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 1 ∥ (FermatNo‘𝑁))))
3		eqeq1 2802	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑥 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ 1 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
4	3	rexbidv 3256	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → (∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑥 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ0 1 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
5	2, 4	imbi12d 348	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑥 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) ↔ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 1 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 1 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
6		breq1 5033	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∥ (FermatNo‘𝑁) ↔ 𝑦 ∥ (FermatNo‘𝑁)))
7	6	anbi2d 631	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑦 ∥ (FermatNo‘𝑁))))
8		eqeq1 2802	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ 𝑦 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
9	8	rexbidv 3256	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑥 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑦 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
10	7, 9	imbi12d 348	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑥 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) ↔ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑦 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑦 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
11		breq1 5033	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ∥ (FermatNo‘𝑁) ↔ 𝑧 ∥ (FermatNo‘𝑁)))
12	11	anbi2d 631	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∥ (FermatNo‘𝑁))))
13		eqeq1 2802	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ 𝑧 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
14	13	rexbidv 3256	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑥 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑧 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
15	12, 14	imbi12d 348	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑥 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) ↔ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑧 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
16		breq1 5033	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 · 𝑧) → (𝑥 ∥ (FermatNo‘𝑁) ↔ (𝑦 · 𝑧) ∥ (FermatNo‘𝑁)))
17	16	anbi2d 631	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 · 𝑧) → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑦 · 𝑧) ∥ (FermatNo‘𝑁))))
18		eqeq1 2802	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 · 𝑧) → (𝑥 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ (𝑦 · 𝑧) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
19	18	rexbidv 3256	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 · 𝑧) → (∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑥 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑦 · 𝑧) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
20	17, 19	imbi12d 348	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 · 𝑧) → (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑥 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) ↔ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑦 · 𝑧) ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑦 · 𝑧) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
21		breq1 5033	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → (𝑥 ∥ (FermatNo‘𝑁) ↔ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)))
22	21	anbi2d 631	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁))))
23		eqeq1 2802	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → (𝑥 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
24	23	rexbidv 3256	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → (∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑥 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
25	22, 24	imbi12d 348	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑥 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) ↔ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
26		0nn0 11900	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0
27	26	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 ∈ ℕ0)
28		oveq1 7142	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) = (0 · (2↑(𝑁 + 2))))
29	28	oveq1d 7150	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) = ((0 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
30	29	eqeq2d 2809	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 0 → (1 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ 1 = ((0 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
31	30	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑘 = 0) → (1 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ 1 = ((0 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
32		2nn0 11902	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ0
33	32	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ∈ ℕ0)
34		eluzge2nn0 12275	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℕ0)
35	34, 33	nn0addcld 11947	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 + 2) ∈ ℕ0)
36	33, 35	nn0expcld 13603	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2↑(𝑁 + 2)) ∈ ℕ0)
37	36	nn0cnd 11945	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2↑(𝑁 + 2)) ∈ ℂ)
38	37	mul02d 10827	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (0 · (2↑(𝑁 + 2))) = 0)
39	38	oveq1d 7150	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((0 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) = (0 + 1))
40		0p1e1 11747	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 1) = 1
41	39, 40	eqtr2di 2850	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 = ((0 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
42	27, 31, 41	rspcedvd 3574	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 1 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
43	42	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 1 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 1 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
44		simpl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
45	44	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∥ (FermatNo‘𝑁))) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
46		simpl 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∥ (FermatNo‘𝑁))) → 𝑥 ∈ ℙ)
47		simprr 772	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∥ (FermatNo‘𝑁))) → 𝑥 ∥ (FermatNo‘𝑁))
48		nnssnn0 11888	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ⊆ ℕ0
49		fmtnoprmfac2 44084	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
50		ssrexv 3982	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ ⊆ ℕ0 → (∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑥 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
51	48, 49, 50	mpsyl 68	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑥 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
52	45, 46, 47, 51	syl3anc 1368	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∥ (FermatNo‘𝑁))) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑥 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
53	52	ex 416	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℙ → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑥 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
54		fmtnofac2lem 44085	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑦 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑦 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) ∧ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑧 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))) → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑦 · 𝑧) ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑦 · 𝑧) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
55	5, 10, 15, 20, 25, 43, 53, 54	prmind 16020	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
56	55	expd 419	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
57	56	3imp21 1111	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3107   ⊆ wss 3881   class class class wbr 5030  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531  ℕcn 11625  2c2 11680  ℕ₀cn0 11885  ℤ_≥cuz 12231  ↑cexp 13425   ∥ cdvds 15599  ℙcprime 16005  FermatNocfmtno 44044

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-inf2 9088  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-sup 8890  df-inf 8891  df-oi 8958  df-dju 9314  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-ioo 12730  df-ico 12732  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-mod 13233  df-seq 13365  df-exp 13426  df-fac 13630  df-hash 13687  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-clim 14837  df-prod 15252  df-dvds 15600  df-gcd 15834  df-prm 16006  df-odz 16092  df-phi 16093  df-pc 16164  df-lgs 25879  df-fmtno 44045

This theorem is referenced by:  fmtnofac1  44087