Theorem fmtnofac2 48362

Description: Divisor of Fermat number (Euler's Result refined by François Édouard Anatole Lucas), see fmtnofac1 48363: Let F_n be a Fermat number. Let m be divisor of F_n. Then m is in the form: k*2^(n+2)+1 where k is a nonnegative integer. (Contributed by AV, 30-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtnofac2	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁

Proof of Theorem fmtnofac2

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 5117	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑥 ∥ (FermatNo‘𝑁) ↔ 1 ∥ (FermatNo‘𝑁)))
2	1	anbi2d 642	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 1 ∥ (FermatNo‘𝑁))))
3		eqeq1 2770	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑥 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ 1 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
4	3	rexbidv 3192	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → (∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑥 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ0 1 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
5	2, 4	imbi12d 347	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑥 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) ↔ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 1 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 1 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
6		breq1 5117	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∥ (FermatNo‘𝑁) ↔ 𝑦 ∥ (FermatNo‘𝑁)))
7	6	anbi2d 642	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑦 ∥ (FermatNo‘𝑁))))
8		eqeq1 2770	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ 𝑦 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
9	8	rexbidv 3192	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑥 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑦 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
10	7, 9	imbi12d 347	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑥 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) ↔ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑦 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑦 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
11		breq1 5117	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ∥ (FermatNo‘𝑁) ↔ 𝑧 ∥ (FermatNo‘𝑁)))
12	11	anbi2d 642	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∥ (FermatNo‘𝑁))))
13		eqeq1 2770	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ 𝑧 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
14	13	rexbidv 3192	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑥 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑧 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
15	12, 14	imbi12d 347	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑥 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) ↔ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑧 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
16		breq1 5117	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 · 𝑧) → (𝑥 ∥ (FermatNo‘𝑁) ↔ (𝑦 · 𝑧) ∥ (FermatNo‘𝑁)))
17	16	anbi2d 642	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 · 𝑧) → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑦 · 𝑧) ∥ (FermatNo‘𝑁))))
18		eqeq1 2770	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 · 𝑧) → (𝑥 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ (𝑦 · 𝑧) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
19	18	rexbidv 3192	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 · 𝑧) → (∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑥 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑦 · 𝑧) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
20	17, 19	imbi12d 347	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 · 𝑧) → (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑥 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) ↔ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑦 · 𝑧) ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑦 · 𝑧) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
21		breq1 5117	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → (𝑥 ∥ (FermatNo‘𝑁) ↔ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)))
22	21	anbi2d 642	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁))))
23		eqeq1 2770	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → (𝑥 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
24	23	rexbidv 3192	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → (∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑥 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
25	22, 24	imbi12d 347	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑥 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) ↔ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
26		0nn0 12537	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0
27	26	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 ∈ ℕ0)
28		oveq1 7430	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) = (0 · (2↑(𝑁 + 2))))
29	28	oveq1d 7438	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) = ((0 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
30	29	eqeq2d 2777	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 0 → (1 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ 1 = ((0 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
31	30	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑘 = 0) → (1 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ 1 = ((0 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
32		2nn0 12539	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ0
33	32	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ∈ ℕ0)
34		eluzge2nn0 12934	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℕ0)
35	34, 33	nn0addcld 12587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 + 2) ∈ ℕ0)
36	33, 35	nn0expcld 14302	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2↑(𝑁 + 2)) ∈ ℕ0)
37	36	nn0cnd 12585	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2↑(𝑁 + 2)) ∈ ℂ)
38	37	mul02d 11426	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (0 · (2↑(𝑁 + 2))) = 0)
39	38	oveq1d 7438	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((0 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) = (0 + 1))
40		0p1e1 12379	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 1) = 1
41	39, 40	eqtr2di 2818	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 = ((0 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
42	27, 31, 41	rspcedvd 3586	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 1 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
43	42	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 1 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 1 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
44		simpl 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
45	44	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∥ (FermatNo‘𝑁))) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
46		simpl 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∥ (FermatNo‘𝑁))) → 𝑥 ∈ ℙ)
47		simprr 785	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∥ (FermatNo‘𝑁))) → 𝑥 ∥ (FermatNo‘𝑁))
48		nnssnn0 12525	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ⊆ ℕ0
49		fmtnoprmfac2 48360	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
50		ssrexv 4010	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ ⊆ ℕ0 → (∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑥 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
51	48, 49, 50	mpsyl 69	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑥 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
52	45, 46, 47, 51	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∥ (FermatNo‘𝑁))) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑥 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
53	52	ex 418	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℙ → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑥 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
54		fmtnofac2lem 48361	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑦 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑦 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) ∧ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑧 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))) → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑦 · 𝑧) ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑦 · 𝑧) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
55	5, 10, 15, 20, 25, 43, 53, 54	prmind 16769	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
56	55	expd 421	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
57	56	3imp21 1131	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∃wrex 3092   ⊆ wss 3908   class class class wbr 5114  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  0cc0 11118  1c1 11119   + caddc 11121   · cmul 11123  ℕcn 12251  2c2 12313  ℕ₀cn0 12522  ℤ_≥cuz 12880  ↑cexp 14117   ∥ cdvds 16335  ℙcprime 16754  FermatNocfmtno 48320

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-inf2 9620  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-dju 9906  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-n0 12523  df-xnn0 12596  df-z 12610  df-uz 12881  df-q 12991  df-rp 13035  df-ioo 13394  df-ico 13396  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-fl 13845  df-mod 13923  df-seq 14058  df-exp 14118  df-fac 14330  df-hash 14387  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-clim 15565  df-prod 15984  df-dvds 16336  df-gcd 16578  df-prm 16755  df-odz 16849  df-phi 16850  df-pc 16922  df-lgs 27496  df-fmtno 48321

This theorem is used by:  fmtnofac1  48363