Theorem fmtnofac2 47567

Description: Divisor of Fermat number (Euler's Result refined by François Édouard Anatole Lucas), see fmtnofac1 47568: Let F_n be a Fermat number. Let m be divisor of F_n. Then m is in the form: k*2^(n+2)+1 where k is a nonnegative integer. (Contributed by AV, 30-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtnofac2	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁

Proof of Theorem fmtnofac2

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 5091	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑥 ∥ (FermatNo‘𝑁) ↔ 1 ∥ (FermatNo‘𝑁)))
2	1	anbi2d 630	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 1 ∥ (FermatNo‘𝑁))))
3		eqeq1 2733	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑥 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ 1 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
4	3	rexbidv 3153	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → (∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑥 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ0 1 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
5	2, 4	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑥 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) ↔ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 1 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 1 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
6		breq1 5091	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∥ (FermatNo‘𝑁) ↔ 𝑦 ∥ (FermatNo‘𝑁)))
7	6	anbi2d 630	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑦 ∥ (FermatNo‘𝑁))))
8		eqeq1 2733	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ 𝑦 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
9	8	rexbidv 3153	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑥 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑦 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
10	7, 9	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑥 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) ↔ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑦 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑦 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
11		breq1 5091	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ∥ (FermatNo‘𝑁) ↔ 𝑧 ∥ (FermatNo‘𝑁)))
12	11	anbi2d 630	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∥ (FermatNo‘𝑁))))
13		eqeq1 2733	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ 𝑧 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
14	13	rexbidv 3153	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑥 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑧 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
15	12, 14	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑥 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) ↔ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑧 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
16		breq1 5091	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 · 𝑧) → (𝑥 ∥ (FermatNo‘𝑁) ↔ (𝑦 · 𝑧) ∥ (FermatNo‘𝑁)))
17	16	anbi2d 630	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 · 𝑧) → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑦 · 𝑧) ∥ (FermatNo‘𝑁))))
18		eqeq1 2733	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 · 𝑧) → (𝑥 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ (𝑦 · 𝑧) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
19	18	rexbidv 3153	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 · 𝑧) → (∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑥 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑦 · 𝑧) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
20	17, 19	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 · 𝑧) → (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑥 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) ↔ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑦 · 𝑧) ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑦 · 𝑧) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
21		breq1 5091	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → (𝑥 ∥ (FermatNo‘𝑁) ↔ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)))
22	21	anbi2d 630	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁))))
23		eqeq1 2733	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → (𝑥 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
24	23	rexbidv 3153	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → (∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑥 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
25	22, 24	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑥 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) ↔ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
26		0nn0 12387	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0
27	26	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 ∈ ℕ0)
28		oveq1 7347	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) = (0 · (2↑(𝑁 + 2))))
29	28	oveq1d 7355	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) = ((0 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
30	29	eqeq2d 2740	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 0 → (1 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ 1 = ((0 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
31	30	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑘 = 0) → (1 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ 1 = ((0 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
32		2nn0 12389	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ0
33	32	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ∈ ℕ0)
34		eluzge2nn0 12781	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℕ0)
35	34, 33	nn0addcld 12437	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 + 2) ∈ ℕ0)
36	33, 35	nn0expcld 14141	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2↑(𝑁 + 2)) ∈ ℕ0)
37	36	nn0cnd 12435	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2↑(𝑁 + 2)) ∈ ℂ)
38	37	mul02d 11302	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (0 · (2↑(𝑁 + 2))) = 0)
39	38	oveq1d 7355	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((0 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) = (0 + 1))
40		0p1e1 12233	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 1) = 1
41	39, 40	eqtr2di 2781	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 = ((0 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
42	27, 31, 41	rspcedvd 3576	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 1 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
43	42	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 1 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 1 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
44		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
45	44	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∥ (FermatNo‘𝑁))) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
46		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∥ (FermatNo‘𝑁))) → 𝑥 ∈ ℙ)
47		simprr 772	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∥ (FermatNo‘𝑁))) → 𝑥 ∥ (FermatNo‘𝑁))
48		nnssnn0 12375	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ⊆ ℕ0
49		fmtnoprmfac2 47565	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
50		ssrexv 4001	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ ⊆ ℕ0 → (∃𝑘 ∈ ℕ 𝑥 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑥 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
51	48, 49, 50	mpsyl 68	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑥 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
52	45, 46, 47, 51	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∥ (FermatNo‘𝑁))) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑥 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
53	52	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℙ → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑥 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
54		fmtnofac2lem 47566	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑦 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑦 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) ∧ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑧 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))) → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑦 · 𝑧) ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑦 · 𝑧) = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
55	5, 10, 15, 20, 25, 43, 53, 54	prmind 16584	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
56	55	expd 415	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
57	56	3imp21 1113	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5088  ‘cfv 6476  (class class class)co 7340  0cc0 10997  1c1 10998   + caddc 11000   · cmul 11002  ℕcn 12116  2c2 12171  ℕ₀cn0 12372  ℤ_≥cuz 12723  ↑cexp 13956   ∥ cdvds 16150  ℙcprime 16569  FermatNocfmtno 47525

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5214  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5367  ax-un 7662  ax-inf2 9525  ax-cnex 11053  ax-resscn 11054  ax-1cn 11055  ax-icn 11056  ax-addcl 11057  ax-addrcl 11058  ax-mulcl 11059  ax-mulrcl 11060  ax-mulcom 11061  ax-addass 11062  ax-mulass 11063  ax-distr 11064  ax-i2m1 11065  ax-1ne0 11066  ax-1rid 11067  ax-rnegex 11068  ax-rrecex 11069  ax-cnre 11070  ax-pre-lttri 11071  ax-pre-lttrn 11072  ax-pre-ltadd 11073  ax-pre-mulgt0 11074  ax-pre-sup 11075

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3393  df-v 3435  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4895  df-iun 4940  df-br 5089  df-opab 5151  df-mpt 5170  df-tr 5196  df-id 5508  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5566  df-se 5567  df-we 5568  df-xp 5619  df-rel 5620  df-cnv 5621  df-co 5622  df-dm 5623  df-rn 5624  df-res 5625  df-ima 5626  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-isom 6485  df-riota 7297  df-ov 7343  df-oprab 7344  df-mpo 7345  df-om 7791  df-1st 7915  df-2nd 7916  df-frecs 8205  df-wrecs 8236  df-recs 8285  df-rdg 8323  df-1o 8379  df-2o 8380  df-oadd 8383  df-er 8616  df-en 8864  df-dom 8865  df-sdom 8866  df-fin 8867  df-sup 9320  df-inf 9321  df-oi 9390  df-dju 9785  df-card 9823  df-pnf 11139  df-mnf 11140  df-xr 11141  df-ltxr 11142  df-le 11143  df-sub 11337  df-neg 11338  df-div 11766  df-nn 12117  df-2 12179  df-3 12180  df-4 12181  df-5 12182  df-6 12183  df-7 12184  df-8 12185  df-n0 12373  df-xnn0 12446  df-z 12460  df-uz 12724  df-q 12838  df-rp 12882  df-ioo 13240  df-ico 13242  df-fz 13399  df-fzo 13546  df-fl 13684  df-mod 13762  df-seq 13897  df-exp 13957  df-fac 14169  df-hash 14226  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-clim 15382  df-prod 15798  df-dvds 16151  df-gcd 16393  df-prm 16570  df-odz 16663  df-phi 16664  df-pc 16736  df-lgs 27187  df-fmtno 47526

This theorem is referenced by:  fmtnofac1  47568