Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmtnofac2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem fmtnofac2 46316
Description: Divisor of Fermat number (Euler's Result refined by FranΓ§ois Γ‰douard Anatole Lucas), see fmtnofac1 46317: Let Fn be a Fermat number. Let m be divisor of Fn. Then m is in the form: k*2^(n+2)+1 where k is a nonnegative integer. (Contributed by AV, 30-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
fmtnofac2 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑀 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 𝑀 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
Distinct variable groups:   π‘˜,𝑀   π‘˜,𝑁
Proof of Theorem fmtnofac2
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 5151 . . . . . 6 (π‘₯ = 1 β†’ (π‘₯ βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘) ↔ 1 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)))
21anbi2d 629 . . . . 5 (π‘₯ = 1 β†’ ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ π‘₯ βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) ↔ (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 1 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘))))
3 eqeq1 2736 . . . . . 6 (π‘₯ = 1 β†’ (π‘₯ = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ 1 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
43rexbidv 3178 . . . . 5 (π‘₯ = 1 β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 π‘₯ = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 1 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
52, 4imbi12d 344 . . . 4 (π‘₯ = 1 β†’ (((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ π‘₯ βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 π‘₯ = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) ↔ ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 1 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 1 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
6 breq1 5151 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘₯ βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘) ↔ 𝑦 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)))
76anbi2d 629 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ π‘₯ βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) ↔ (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑦 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘))))
8 eqeq1 2736 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘₯ = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ 𝑦 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
98rexbidv 3178 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 π‘₯ = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 𝑦 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
107, 9imbi12d 344 . . . 4 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ π‘₯ βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 π‘₯ = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) ↔ ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑦 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 𝑦 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
11 breq1 5151 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (π‘₯ βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘) ↔ 𝑧 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)))
1211anbi2d 629 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑧 β†’ ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ π‘₯ βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) ↔ (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑧 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘))))
13 eqeq1 2736 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (π‘₯ = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ 𝑧 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
1413rexbidv 3178 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 π‘₯ = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 𝑧 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
1512, 14imbi12d 344 . . . 4 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ π‘₯ βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 π‘₯ = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) ↔ ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑧 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 𝑧 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
16 breq1 5151 . . . . . 6 (π‘₯ = (𝑦 Β· 𝑧) β†’ (π‘₯ βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘) ↔ (𝑦 Β· 𝑧) βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)))
1716anbi2d 629 . . . . 5 (π‘₯ = (𝑦 Β· 𝑧) β†’ ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ π‘₯ βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) ↔ (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑦 Β· 𝑧) βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘))))
18 eqeq1 2736 . . . . . 6 (π‘₯ = (𝑦 Β· 𝑧) β†’ (π‘₯ = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ (𝑦 Β· 𝑧) = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
1918rexbidv 3178 . . . . 5 (π‘₯ = (𝑦 Β· 𝑧) β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 π‘₯ = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 (𝑦 Β· 𝑧) = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
2017, 19imbi12d 344 . . . 4 (π‘₯ = (𝑦 Β· 𝑧) β†’ (((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ π‘₯ βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 π‘₯ = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) ↔ ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑦 Β· 𝑧) βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 (𝑦 Β· 𝑧) = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
21 breq1 5151 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (π‘₯ βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘) ↔ 𝑀 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)))
2221anbi2d 629 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑀 β†’ ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ π‘₯ βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) ↔ (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘))))
23 eqeq1 2736 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (π‘₯ = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ 𝑀 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
2423rexbidv 3178 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 π‘₯ = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 𝑀 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
2522, 24imbi12d 344 . . . 4 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ π‘₯ βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 π‘₯ = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) ↔ ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 𝑀 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
26 0nn0 12489 . . . . . . 7 0 ∈ β„•0
2726a1i 11 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 0 ∈ β„•0)
28 oveq1 7418 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 0 β†’ (π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) = (0 Β· (2↑(𝑁 + 2))))
2928oveq1d 7426 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 0 β†’ ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1) = ((0 Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
3029eqeq2d 2743 . . . . . . 7 (π‘˜ = 0 β†’ (1 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ 1 = ((0 Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
3130adantl 482 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ π‘˜ = 0) β†’ (1 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ 1 = ((0 Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
32 2nn0 12491 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ β„•0
3332a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 2 ∈ β„•0)
34 eluzge2nn0 12873 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
3534, 33nn0addcld 12538 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝑁 + 2) ∈ β„•0)
3633, 35nn0expcld 14211 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (2↑(𝑁 + 2)) ∈ β„•0)
3736nn0cnd 12536 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (2↑(𝑁 + 2)) ∈ β„‚)
3837mul02d 11414 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (0 Β· (2↑(𝑁 + 2))) = 0)
3938oveq1d 7426 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ((0 Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1) = (0 + 1))
40 0p1e1 12336 . . . . . . 7 (0 + 1) = 1
4139, 40eqtr2di 2789 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 1 = ((0 Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
4227, 31, 41rspcedvd 3614 . . . . 5 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 1 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
4342adantr 481 . . . 4 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 1 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 1 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
44 simpl 483 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ π‘₯ βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
4544adantl 482 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ β„™ ∧ (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ π‘₯ βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘))) β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
46 simpl 483 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ β„™ ∧ (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ π‘₯ βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘))) β†’ π‘₯ ∈ β„™)
47 simprr 771 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ β„™ ∧ (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ π‘₯ βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘))) β†’ π‘₯ βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘))
48 nnssnn0 12477 . . . . . . 7 β„• βŠ† β„•0
49 fmtnoprmfac2 46314 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ π‘₯ ∈ β„™ ∧ π‘₯ βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• π‘₯ = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
50 ssrexv 4051 . . . . . . 7 (β„• βŠ† β„•0 β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ β„• π‘₯ = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 π‘₯ = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
5148, 49, 50mpsyl 68 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ π‘₯ ∈ β„™ ∧ π‘₯ βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 π‘₯ = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
5245, 46, 47, 51syl3anc 1371 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ β„™ ∧ (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ π‘₯ βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘))) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 π‘₯ = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
5352ex 413 . . . 4 (π‘₯ ∈ β„™ β†’ ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ π‘₯ βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 π‘₯ = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
54 fmtnofac2lem 46315 . . . 4 ((𝑦 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ ((((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑦 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 𝑦 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) ∧ ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑧 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 𝑧 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1))) β†’ ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑦 Β· 𝑧) βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 (𝑦 Β· 𝑧) = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
555, 10, 15, 20, 25, 43, 53, 54prmind 16625 . . 3 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 𝑀 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
5655expd 416 . 2 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝑀 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 𝑀 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
57563imp21 1114 1 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑀 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 𝑀 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆƒwrex 3070   βŠ† wss 3948   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   Β· cmul 11117  β„•cn 12214  2c2 12269  β„•0cn0 12474  β„€β‰₯cuz 12824  β†‘cexp 14029   βˆ₯ cdvds 16199  β„™cprime 16610  FermatNocfmtno 46274
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-n0 12475  df-xnn0 12547  df-z 12561  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-ioo 13330  df-ico 13332  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-fl 13759  df-mod 13837  df-seq 13969  df-exp 14030  df-fac 14236  df-hash 14293  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-clim 15434  df-prod 15852  df-dvds 16200  df-gcd 16438  df-prm 16611  df-odz 16700  df-phi 16701  df-pc 16772  df-lgs 26805  df-fmtno 46275
This theorem is referenced by:  fmtnofac1  46317
  Copyright terms: Public domain W3C validator