Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmtnofac2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fmtnofac2 45847
Description: Divisor of Fermat number (Euler's Result refined by FranΓ§ois Γ‰douard Anatole Lucas), see fmtnofac1 45848: Let Fn be a Fermat number. Let m be divisor of Fn. Then m is in the form: k*2^(n+2)+1 where k is a nonnegative integer. (Contributed by AV, 30-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
fmtnofac2 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑀 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 𝑀 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
Distinct variable groups:   π‘˜,𝑀   π‘˜,𝑁

Proof of Theorem fmtnofac2
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 5109 . . . . . 6 (π‘₯ = 1 β†’ (π‘₯ βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘) ↔ 1 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)))
21anbi2d 630 . . . . 5 (π‘₯ = 1 β†’ ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ π‘₯ βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) ↔ (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 1 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘))))
3 eqeq1 2737 . . . . . 6 (π‘₯ = 1 β†’ (π‘₯ = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ 1 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
43rexbidv 3172 . . . . 5 (π‘₯ = 1 β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 π‘₯ = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 1 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
52, 4imbi12d 345 . . . 4 (π‘₯ = 1 β†’ (((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ π‘₯ βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 π‘₯ = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) ↔ ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 1 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 1 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
6 breq1 5109 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘₯ βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘) ↔ 𝑦 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)))
76anbi2d 630 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ π‘₯ βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) ↔ (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑦 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘))))
8 eqeq1 2737 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘₯ = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ 𝑦 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
98rexbidv 3172 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 π‘₯ = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 𝑦 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
107, 9imbi12d 345 . . . 4 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ π‘₯ βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 π‘₯ = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) ↔ ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑦 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 𝑦 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
11 breq1 5109 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (π‘₯ βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘) ↔ 𝑧 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)))
1211anbi2d 630 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑧 β†’ ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ π‘₯ βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) ↔ (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑧 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘))))
13 eqeq1 2737 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (π‘₯ = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ 𝑧 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
1413rexbidv 3172 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 π‘₯ = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 𝑧 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
1512, 14imbi12d 345 . . . 4 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ π‘₯ βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 π‘₯ = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) ↔ ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑧 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 𝑧 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
16 breq1 5109 . . . . . 6 (π‘₯ = (𝑦 Β· 𝑧) β†’ (π‘₯ βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘) ↔ (𝑦 Β· 𝑧) βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)))
1716anbi2d 630 . . . . 5 (π‘₯ = (𝑦 Β· 𝑧) β†’ ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ π‘₯ βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) ↔ (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑦 Β· 𝑧) βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘))))
18 eqeq1 2737 . . . . . 6 (π‘₯ = (𝑦 Β· 𝑧) β†’ (π‘₯ = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ (𝑦 Β· 𝑧) = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
1918rexbidv 3172 . . . . 5 (π‘₯ = (𝑦 Β· 𝑧) β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 π‘₯ = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 (𝑦 Β· 𝑧) = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
2017, 19imbi12d 345 . . . 4 (π‘₯ = (𝑦 Β· 𝑧) β†’ (((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ π‘₯ βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 π‘₯ = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) ↔ ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑦 Β· 𝑧) βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 (𝑦 Β· 𝑧) = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
21 breq1 5109 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (π‘₯ βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘) ↔ 𝑀 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)))
2221anbi2d 630 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑀 β†’ ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ π‘₯ βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) ↔ (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘))))
23 eqeq1 2737 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (π‘₯ = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ 𝑀 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
2423rexbidv 3172 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 π‘₯ = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 𝑀 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
2522, 24imbi12d 345 . . . 4 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ π‘₯ βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 π‘₯ = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) ↔ ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 𝑀 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
26 0nn0 12433 . . . . . . 7 0 ∈ β„•0
2726a1i 11 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 0 ∈ β„•0)
28 oveq1 7365 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 0 β†’ (π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) = (0 Β· (2↑(𝑁 + 2))))
2928oveq1d 7373 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 0 β†’ ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1) = ((0 Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
3029eqeq2d 2744 . . . . . . 7 (π‘˜ = 0 β†’ (1 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ 1 = ((0 Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
3130adantl 483 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ π‘˜ = 0) β†’ (1 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ 1 = ((0 Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
32 2nn0 12435 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ β„•0
3332a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 2 ∈ β„•0)
34 eluzge2nn0 12817 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
3534, 33nn0addcld 12482 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝑁 + 2) ∈ β„•0)
3633, 35nn0expcld 14155 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (2↑(𝑁 + 2)) ∈ β„•0)
3736nn0cnd 12480 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (2↑(𝑁 + 2)) ∈ β„‚)
3837mul02d 11358 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (0 Β· (2↑(𝑁 + 2))) = 0)
3938oveq1d 7373 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ((0 Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1) = (0 + 1))
40 0p1e1 12280 . . . . . . 7 (0 + 1) = 1
4139, 40eqtr2di 2790 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 1 = ((0 Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
4227, 31, 41rspcedvd 3582 . . . . 5 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 1 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
4342adantr 482 . . . 4 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 1 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 1 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
44 simpl 484 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ π‘₯ βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
4544adantl 483 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ β„™ ∧ (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ π‘₯ βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘))) β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
46 simpl 484 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ β„™ ∧ (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ π‘₯ βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘))) β†’ π‘₯ ∈ β„™)
47 simprr 772 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ β„™ ∧ (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ π‘₯ βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘))) β†’ π‘₯ βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘))
48 nnssnn0 12421 . . . . . . 7 β„• βŠ† β„•0
49 fmtnoprmfac2 45845 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ π‘₯ ∈ β„™ ∧ π‘₯ βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• π‘₯ = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
50 ssrexv 4012 . . . . . . 7 (β„• βŠ† β„•0 β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ β„• π‘₯ = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 π‘₯ = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
5148, 49, 50mpsyl 68 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ π‘₯ ∈ β„™ ∧ π‘₯ βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 π‘₯ = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
5245, 46, 47, 51syl3anc 1372 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ β„™ ∧ (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ π‘₯ βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘))) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 π‘₯ = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
5352ex 414 . . . 4 (π‘₯ ∈ β„™ β†’ ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ π‘₯ βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 π‘₯ = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
54 fmtnofac2lem 45846 . . . 4 ((𝑦 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ ((((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑦 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 𝑦 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) ∧ ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑧 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 𝑧 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1))) β†’ ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑦 Β· 𝑧) βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 (𝑦 Β· 𝑧) = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
555, 10, 15, 20, 25, 43, 53, 54prmind 16567 . . 3 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 𝑀 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
5655expd 417 . 2 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝑀 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 𝑀 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
57563imp21 1115 1 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑀 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 𝑀 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆƒwrex 3070   βŠ† wss 3911   class class class wbr 5106  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059   Β· cmul 11061  β„•cn 12158  2c2 12213  β„•0cn0 12418  β„€β‰₯cuz 12768  β†‘cexp 13973   βˆ₯ cdvds 16141  β„™cprime 16552  FermatNocfmtno 45805
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-oadd 8417  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9451  df-dju 9842  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-n0 12419  df-xnn0 12491  df-z 12505  df-uz 12769  df-q 12879  df-rp 12921  df-ioo 13274  df-ico 13276  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-fl 13703  df-mod 13781  df-seq 13913  df-exp 13974  df-fac 14180  df-hash 14237  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-clim 15376  df-prod 15794  df-dvds 16142  df-gcd 16380  df-prm 16553  df-odz 16642  df-phi 16643  df-pc 16714  df-lgs 26659  df-fmtno 45806
This theorem is referenced by:  fmtnofac1  45848
  Copyright terms: Public domain W3C validator