Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmtnofac2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem fmtnofac2 46237
Description: Divisor of Fermat number (Euler's Result refined by FranΓ§ois Γ‰douard Anatole Lucas), see fmtnofac1 46238: Let Fn be a Fermat number. Let m be divisor of Fn. Then m is in the form: k*2^(n+2)+1 where k is a nonnegative integer. (Contributed by AV, 30-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
fmtnofac2 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑀 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 𝑀 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
Distinct variable groups:   π‘˜,𝑀   π‘˜,𝑁
Proof of Theorem fmtnofac2
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 5152 . . . . . 6 (π‘₯ = 1 β†’ (π‘₯ βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘) ↔ 1 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)))
21anbi2d 630 . . . . 5 (π‘₯ = 1 β†’ ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ π‘₯ βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) ↔ (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 1 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘))))
3 eqeq1 2737 . . . . . 6 (π‘₯ = 1 β†’ (π‘₯ = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ 1 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
43rexbidv 3179 . . . . 5 (π‘₯ = 1 β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 π‘₯ = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 1 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
52, 4imbi12d 345 . . . 4 (π‘₯ = 1 β†’ (((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ π‘₯ βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 π‘₯ = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) ↔ ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 1 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 1 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
6 breq1 5152 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘₯ βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘) ↔ 𝑦 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)))
76anbi2d 630 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ π‘₯ βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) ↔ (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑦 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘))))
8 eqeq1 2737 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘₯ = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ 𝑦 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
98rexbidv 3179 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 π‘₯ = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 𝑦 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
107, 9imbi12d 345 . . . 4 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ π‘₯ βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 π‘₯ = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) ↔ ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑦 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 𝑦 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
11 breq1 5152 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (π‘₯ βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘) ↔ 𝑧 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)))
1211anbi2d 630 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑧 β†’ ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ π‘₯ βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) ↔ (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑧 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘))))
13 eqeq1 2737 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (π‘₯ = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ 𝑧 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
1413rexbidv 3179 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 π‘₯ = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 𝑧 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
1512, 14imbi12d 345 . . . 4 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ π‘₯ βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 π‘₯ = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) ↔ ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑧 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 𝑧 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
16 breq1 5152 . . . . . 6 (π‘₯ = (𝑦 Β· 𝑧) β†’ (π‘₯ βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘) ↔ (𝑦 Β· 𝑧) βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)))
1716anbi2d 630 . . . . 5 (π‘₯ = (𝑦 Β· 𝑧) β†’ ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ π‘₯ βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) ↔ (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑦 Β· 𝑧) βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘))))
18 eqeq1 2737 . . . . . 6 (π‘₯ = (𝑦 Β· 𝑧) β†’ (π‘₯ = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ (𝑦 Β· 𝑧) = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
1918rexbidv 3179 . . . . 5 (π‘₯ = (𝑦 Β· 𝑧) β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 π‘₯ = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 (𝑦 Β· 𝑧) = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
2017, 19imbi12d 345 . . . 4 (π‘₯ = (𝑦 Β· 𝑧) β†’ (((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ π‘₯ βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 π‘₯ = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) ↔ ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑦 Β· 𝑧) βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 (𝑦 Β· 𝑧) = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
21 breq1 5152 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (π‘₯ βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘) ↔ 𝑀 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)))
2221anbi2d 630 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑀 β†’ ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ π‘₯ βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) ↔ (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘))))
23 eqeq1 2737 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (π‘₯ = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ 𝑀 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
2423rexbidv 3179 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 π‘₯ = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 𝑀 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
2522, 24imbi12d 345 . . . 4 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ π‘₯ βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 π‘₯ = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) ↔ ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 𝑀 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
26 0nn0 12487 . . . . . . 7 0 ∈ β„•0
2726a1i 11 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 0 ∈ β„•0)
28 oveq1 7416 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 0 β†’ (π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) = (0 Β· (2↑(𝑁 + 2))))
2928oveq1d 7424 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 0 β†’ ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1) = ((0 Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
3029eqeq2d 2744 . . . . . . 7 (π‘˜ = 0 β†’ (1 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ 1 = ((0 Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
3130adantl 483 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ π‘˜ = 0) β†’ (1 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1) ↔ 1 = ((0 Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
32 2nn0 12489 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ β„•0
3332a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 2 ∈ β„•0)
34 eluzge2nn0 12871 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
3534, 33nn0addcld 12536 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝑁 + 2) ∈ β„•0)
3633, 35nn0expcld 14209 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (2↑(𝑁 + 2)) ∈ β„•0)
3736nn0cnd 12534 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (2↑(𝑁 + 2)) ∈ β„‚)
3837mul02d 11412 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (0 Β· (2↑(𝑁 + 2))) = 0)
3938oveq1d 7424 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ((0 Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1) = (0 + 1))
40 0p1e1 12334 . . . . . . 7 (0 + 1) = 1
4139, 40eqtr2di 2790 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 1 = ((0 Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
4227, 31, 41rspcedvd 3615 . . . . 5 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 1 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
4342adantr 482 . . . 4 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 1 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 1 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
44 simpl 484 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ π‘₯ βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
4544adantl 483 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ β„™ ∧ (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ π‘₯ βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘))) β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
46 simpl 484 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ β„™ ∧ (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ π‘₯ βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘))) β†’ π‘₯ ∈ β„™)
47 simprr 772 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ β„™ ∧ (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ π‘₯ βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘))) β†’ π‘₯ βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘))
48 nnssnn0 12475 . . . . . . 7 β„• βŠ† β„•0
49 fmtnoprmfac2 46235 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ π‘₯ ∈ β„™ ∧ π‘₯ βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• π‘₯ = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
50 ssrexv 4052 . . . . . . 7 (β„• βŠ† β„•0 β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ β„• π‘₯ = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 π‘₯ = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
5148, 49, 50mpsyl 68 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ π‘₯ ∈ β„™ ∧ π‘₯ βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 π‘₯ = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
5245, 46, 47, 51syl3anc 1372 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ β„™ ∧ (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ π‘₯ βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘))) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 π‘₯ = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
5352ex 414 . . . 4 (π‘₯ ∈ β„™ β†’ ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ π‘₯ βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 π‘₯ = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
54 fmtnofac2lem 46236 . . . 4 ((𝑦 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑧 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ ((((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑦 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 𝑦 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) ∧ ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑧 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 𝑧 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1))) β†’ ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑦 Β· 𝑧) βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 (𝑦 Β· 𝑧) = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
555, 10, 15, 20, 25, 43, 53, 54prmind 16623 . . 3 (𝑀 ∈ β„• β†’ ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 𝑀 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1)))
5655expd 417 . 2 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝑀 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 𝑀 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1))))
57563imp21 1115 1 ((𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„• ∧ 𝑀 βˆ₯ (FermatNoβ€˜π‘)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 𝑀 = ((π‘˜ Β· (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆƒwrex 3071   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   Β· cmul 11115  β„•cn 12212  2c2 12267  β„•0cn0 12472  β„€β‰₯cuz 12822  β†‘cexp 14027   βˆ₯ cdvds 16197  β„™cprime 16608  FermatNocfmtno 46195
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-ioo 13328  df-ico 13330  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-prod 15850  df-dvds 16198  df-gcd 16436  df-prm 16609  df-odz 16698  df-phi 16699  df-pc 16770  df-lgs 26798  df-fmtno 46196
This theorem is referenced by:  fmtnofac1  46238
  Copyright terms: Public domain W3C validator