MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwselbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwselbas 17372
Description: An element of a structure power is a function from the index set to the base set of the structure. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsbas.y 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
pwsbas.f 𝐵 = (Base‘𝑅)
pwselbas.v 𝑉 = (Base‘𝑌)
pwselbas.r (𝜑𝑅𝑊)
pwselbas.i (𝜑𝐼𝑍)
pwselbas.x (𝜑𝑋𝑉)
Assertion
Ref Expression
pwselbas (𝜑𝑋:𝐼𝐵)

Proof of Theorem pwselbas
StepHypRef Expression
1 pwselbas.x . 2 (𝜑𝑋𝑉)
2 pwselbas.r . . 3 (𝜑𝑅𝑊)
3 pwselbas.i . . 3 (𝜑𝐼𝑍)
4 pwsbas.y . . . 4 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
5 pwsbas.f . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑅)
6 pwselbas.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑌)
74, 5, 6pwselbasb 17371 . . 3 ((𝑅𝑊𝐼𝑍) → (𝑋𝑉𝑋:𝐼𝐵))
82, 3, 7syl2anc 585 . 2 (𝜑 → (𝑋𝑉𝑋:𝐼𝐵))
91, 8mpbid 231 1 (𝜑𝑋:𝐼𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205   = wceq 1542  wcel 2107  wf 6493  cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17084  s cpws 17329
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8649  df-map 8768  df-ixp 8837  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-sup 9379  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-4 12219  df-5 12220  df-6 12221  df-7 12222  df-8 12223  df-9 12224  df-n0 12415  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12765  df-fz 13426  df-struct 17020  df-slot 17055  df-ndx 17067  df-base 17085  df-plusg 17147  df-mulr 17148  df-sca 17150  df-vsca 17151  df-ip 17152  df-tset 17153  df-ple 17154  df-ds 17156  df-hom 17158  df-cco 17159  df-prds 17330  df-pws 17332
This theorem is referenced by:  pwsplusgval  17373  pwsmulrval  17374  pwsle  17375  pwsleval  17376  pwsvscafval  17377  pwsvscaval  17378  pwsco1mhm  18643  pwsco2mhm  18644  pwsinvg  18861  pwssub  18862  pwspjmhmmgpd  20044  mpff  21517  fveval1fvcl  21702  evl1addd  21710  evl1subd  21711  evl1muld  21712  pf1f  21719  pf1mpf  21721  ply1remlem  25530  ply1rem  25531  fta1glem1  25533  fta1glem2  25534  fta1g  25535  fta1blem  25536  plypf1  25576  lgsqrlem2  26698  lgsqrlem3  26699  evls1fpws  32274  elirng  32363  irngss  32364  irngnzply1lem  32367  irngnzply1  32368  pwsgprod  40735  evlsbagval  40751  evlsaddval  40753  evlsmulval  40754  evladdval  40756  evlmulval  40757  selvcl  40764  mhphf  40774  pwssplit4  41419  idomrootle  41525
  Copyright terms: Public domain W3C validator