Theorem pwselbas 17421

Description: An element of a structure power is a function from the index set to the base set of the structure. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwsbas.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
pwsbas.f	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
pwselbas.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑌)
pwselbas.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑊)
pwselbas.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑍)
pwselbas.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
pwselbas	⊢ (𝜑 → 𝑋:𝐼⟶𝐵)

Proof of Theorem pwselbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwselbas.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
2		pwselbas.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑊)
3		pwselbas.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑍)
4		pwsbas.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
5		pwsbas.f	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6		pwselbas.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑌)
7	4, 5, 6	pwselbasb 17420	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ 𝑍) → (𝑋 ∈ 𝑉 ↔ 𝑋:𝐼⟶𝐵))
8	2, 3, 7	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑉 ↔ 𝑋:𝐼⟶𝐵))
9	1, 8	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋:𝐼⟶𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  Basecbs 17148   ↑_s cpws 17378

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-map 8777  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9357  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-fz 13436  df-struct 17086  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-sca 17205  df-vsca 17206  df-ip 17207  df-tset 17208  df-ple 17209  df-ds 17211  df-hom 17213  df-cco 17214  df-prds 17379  df-pws 17381

This theorem is referenced by:  pwsplusgval  17423  pwsmulrval  17424  pwsle  17425  pwsleval  17426  pwsvscafval  17427  pwsvscaval  17428  pwsco1mhm  18769  pwsco2mhm  18770  pwsinvg  18995  pwssub  18996  pwspjmhmmgpd  20275  pwsgprod  20277  evlsvvval  22060  evlcl  22069  evladdval  22070  evlmulval  22071  mpff  22079  fveval1fvcl  22289  evl1addd  22297  evl1subd  22298  evl1muld  22299  pf1f  22306  pf1mpf  22308  evls1fpws  22325  ply1remlem  26138  ply1rem  26139  fta1glem1  26141  fta1glem2  26142  fta1g  26143  fta1blem  26144  idomrootle  26146  plypf1  26185  lgsqrlem2  27326  lgsqrlem3  27327  evls1fvf  33654  evl1fvf  33655  elirng  33863  irngss  33864  irngnzply1lem  33867  irngnzply1  33868  evlscl  42918  evlsaddval  42923  evlsmulval  42924  selvcl  42935  pwssplit4  43440