Theorem pwselbas 17640

Description: An element of a structure power is a function from the index set to the base set of the structure. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwsbas.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
pwsbas.f	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
pwselbas.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑌)
pwselbas.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑊)
pwselbas.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑍)
pwselbas.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
pwselbas	⊢ (𝜑 → 𝑋:𝐼⟶𝐵)

Proof of Theorem pwselbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwselbas.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
2		pwselbas.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑊)
3		pwselbas.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑍)
4		pwsbas.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
5		pwsbas.f	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6		pwselbas.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑌)
7	4, 5, 6	pwselbasb 17639	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ 𝑍) → (𝑋 ∈ 𝑉 ↔ 𝑋:𝐼⟶𝐵))
8	2, 3, 7	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑉 ↔ 𝑋:𝐼⟶𝐵))
9	1, 8	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋:𝐼⟶𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  Basecbs 17367   ↑_s cpws 17597

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-er 8701  df-map 8833  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9418  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-4 12388  df-5 12389  df-6 12390  df-7 12391  df-8 12392  df-9 12393  df-n0 12588  df-z 12675  df-dec 12796  df-uz 12947  df-fz 13621  df-struct 17305  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-plusg 17421  df-mulr 17422  df-sca 17424  df-vsca 17425  df-ip 17426  df-tset 17427  df-ple 17428  df-ds 17430  df-hom 17432  df-cco 17433  df-prds 17598  df-pws 17600

This theorem is used by:  pwsplusgval  17642  pwsmulrval  17643  pwsle  17644  pwsleval  17645  pwsvscafval  17646  pwsvscaval  17647  pwsco1mhm  19008  pwsco2mhm  19009  pwsinvg  19243  pwssub  19244  pwspjmhmmgpd  20537  pwsgprod  20539  evlsvvval  22382  evlcl  22391  evladdval  22392  evlmulval  22393  mpff  22401  evlscl  22414  evlsaddval  22418  evlsmulval  22419  selvcl  22429  fveval1fvcl  22631  evl1addd  22639  evl1subd  22640  evl1muld  22641  pf1f  22648  pf1mpf  22650  evls1fpws  22667  ply1remlem  26463  ply1rem  26464  fta1glem1  26466  fta1glem2  26467  fta1g  26468  fta1blem  26469  idomrootle  26471  plypf1  26511  lgsqrlem2  27656  lgsqrlem3  27657  evls1fvf  34076  evl1fvf  34077  elirng  34300  irngss  34301  irngnzply1lem  34304  irngnzply1  34305  pwssplit4  44049