Theorem abs00bd 15380

Description: If a complex number is zero, its absolute value is zero. Converse of abs00d 15538. One-way deduction form of abs00 15378. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
abs00bd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 0)

Assertion

Ref	Expression
abs00bd	⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) = 0)

Proof of Theorem abs00bd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abs00bd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 0)
2		0cn 11225	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
3	1, 2	eqeltrdi 2870	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
4	3	abs00ad 15379	. 2 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0))
5	1, 4	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) = 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570  ‘cfv 6537  ℂcc 11125  0cc0 11127  abscabs 15323

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-sup 9415  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-rp 13045  df-seq 14068  df-exp 14128  df-cj 15188  df-re 15189  df-im 15190  df-sqrt 15324  df-abs 15325

This theorem is used by:  lcmgcd  16701  blcvx  25025  mulc1cncf  25134  rrxdstprj1  25638  dvlip  26222  c1lip1  26226  dveq0  26229  dv11cn  26230  ftc1lem5  26269  dvradcnv  26654  abelthlem2  26665  abelthlem8  26672  abscxp2  26928  cxpcn3lem  26982  abscxpbnd  26988  chordthmlem3  27069  rlimcnp  27200  dchrabs2  27496  dchrisumlem3  27725  pntrsumbnd2  27801  siii  31320  nmbdfnlbi  32516  nmcfnlbi  32519  constrrtcc  34232  knoppndvlem13  37208  poimirlem29  38385  ftc1cnnc  38428  pellexlem6  43662  congabseq  43802  reabssgn  44463  dvconstbi  45145  binomcxplemnn0  45160  dvdivbd  46738  dvbdfbdioolem2  46744  ioodvbdlimc1lem1  46746