Theorem abs00bd 15425

Description: If a complex number is zero, its absolute value is zero. Converse of abs00d 15583. One-way deduction form of abs00 15423. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
abs00bd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 0)

Assertion

Ref	Expression
abs00bd	⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) = 0)

Proof of Theorem abs00bd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abs00bd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 0)
2		0cn 11269	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
3	1, 2	eqeltrdi 2868	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
4	3	abs00ad 15424	. 2 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0))
5	1, 4	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) = 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570  ‘cfv 6527  ℂcc 11169  0cc0 11171  abscabs 15368

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248  ax-pre-sup 11249

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8695  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-sup 9412  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-div 11943  df-nn 12305  df-2 12374  df-3 12375  df-n0 12576  df-z 12663  df-uz 12935  df-rp 13090  df-seq 14113  df-exp 14173  df-cj 15233  df-re 15234  df-im 15235  df-sqrt 15369  df-abs 15370

This theorem is used by:  lcmgcd  16744  blcvx  25078  mulc1cncf  25187  rrxdstprj1  25691  dvlip  26274  c1lip1  26278  dveq0  26281  dv11cn  26282  ftc1lem5  26321  dvradcnv  26711  abelthlem2  26722  abelthlem8  26729  abscxp2  26984  cxpcn3lem  27038  abscxpbnd  27044  chordthmlem3  27125  rlimcnp  27256  dchrabs2  27552  dchrisumlem3  27781  pntrsumbnd2  27857  siii  31388  nmbdfnlbi  32584  nmcfnlbi  32587  constrrtcc  34300  knoppndvlem13  37312  poimirlem29  38487  ftc1cnnc  38530  pellexlem6  43779  congabseq  43919  reabssgn  44580  dvconstbi  45262  binomcxplemnn0  45277  dvdivbd  46855  dvbdfbdioolem2  46861  ioodvbdlimc1lem1  46863