Theorem abs00bd 15345

Description: If a complex number is zero, its absolute value is zero. Converse of abs00d 15503. One-way deduction form of abs00 15343. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
abs00bd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 0)

Assertion

Ref	Expression
abs00bd	⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) = 0)

Proof of Theorem abs00bd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abs00bd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 0)
2		0cn 11201	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
3	1, 2	eqeltrdi 2878	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
4	3	abs00ad 15344	. 2 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0))
5	1, 4	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1568  ‘cfv 6540  ℂcc 11101  0cc0 11103  abscabs 15288

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2152  ax-9 2160  ax-10 2183  ax-11 2199  ax-12 2220  ax-ext 2742  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5340  ax-pr 5408  ax-un 7736  ax-cnex 11159  ax-resscn 11160  ax-1cn 11161  ax-icn 11162  ax-addcl 11163  ax-addrcl 11164  ax-mulcl 11165  ax-mulrcl 11166  ax-mulcom 11167  ax-addass 11168  ax-mulass 11169  ax-distr 11170  ax-i2m1 11171  ax-1ne0 11172  ax-1rid 11173  ax-rnegex 11174  ax-rrecex 11175  ax-cnre 11176  ax-pre-lttri 11177  ax-pre-lttrn 11178  ax-pre-ltadd 11179  ax-pre-mulgt0 11180  ax-pre-sup 11181

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2099  df-mo 2574  df-eu 2604  df-clab 2749  df-cleq 2762  df-clel 2845  df-nfc 2919  df-ne 2966  df-nel 3072  df-ral 3087  df-rex 3097  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3464  df-sbc 3753  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5560  df-eprel 5565  df-po 5573  df-so 5574  df-fr 5618  df-we 5620  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7866  df-2nd 7990  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8697  df-en 8947  df-dom 8948  df-sdom 8949  df-sup 9405  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11875  df-nn 12237  df-2 12306  df-3 12307  df-n0 12508  df-z 12595  df-uz 12866  df-rp 13020  df-seq 14041  df-exp 14101  df-cj 15153  df-re 15154  df-im 15155  df-sqrt 15289  df-abs 15290

This theorem is referenced by:  lcmgcd  16668  blcvx  24938  mulc1cncf  25047  rrxdstprj1  25551  dvlip  26135  c1lip1  26139  dveq0  26142  dv11cn  26143  ftc1lem5  26182  dvradcnv  26564  abelthlem2  26575  abelthlem8  26582  abscxp2  26838  cxpcn3lem  26892  abscxpbnd  26898  chordthmlem3  26979  rlimcnp  27110  dchrabs2  27406  dchrisumlem3  27635  pntrsumbnd2  27711  siii  31175  nmbdfnlbi  32371  nmcfnlbi  32374  constrrtcc  34095  knoppndvlem13  37061  poimirlem29  38248  ftc1cnnc  38291  pellexlem6  43513  congabseq  43653  reabssgn  44314  dvconstbi  44996  binomcxplemnn0  45011  dvdivbd  46589  dvbdfbdioolem2  46595  ioodvbdlimc1lem1  46597