Theorem lawcoslem1 26785

Description: Lemma for lawcos 26786. Here we prove the law for a point at the origin and two distinct points U and V, using an expanded version of the signed angle expression on the complex plane. (Contributed by David A. Wheeler, 11-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lawcoslem1.1	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℂ)
lawcoslem1.2	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ ℂ)
lawcoslem1.3	⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ 0)
lawcoslem1.4	⊢ (𝜑 → 𝑉 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
lawcoslem1	⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝑈 − 𝑉))↑2) = ((((abs‘𝑈)↑2) + ((abs‘𝑉)↑2)) − (2 · (((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) · ((ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) / (abs‘(𝑈 / 𝑉)))))))

Proof of Theorem lawcoslem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lawcoslem1.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℂ)
2		lawcoslem1.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ ℂ)
3		sqabssub 15210	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ ℂ ∧ 𝑉 ∈ ℂ) → ((abs‘(𝑈 − 𝑉))↑2) = ((((abs‘𝑈)↑2) + ((abs‘𝑉)↑2)) − (2 · (ℜ‘(𝑈 · (∗‘𝑉))))))
4	1, 2, 3	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝑈 − 𝑉))↑2) = ((((abs‘𝑈)↑2) + ((abs‘𝑉)↑2)) − (2 · (ℜ‘(𝑈 · (∗‘𝑉))))))
5		lawcoslem1.4	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ≠ 0)
6	1, 2, 5	absdivd 15385	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑈 / 𝑉)) = ((abs‘𝑈) / (abs‘𝑉)))
7	6	oveq2d 7376	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) / (abs‘(𝑈 / 𝑉))) = ((ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) / ((abs‘𝑈) / (abs‘𝑉))))
8	7	oveq2d 7376	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) · ((ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) / (abs‘(𝑈 / 𝑉)))) = (((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) · ((ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) / ((abs‘𝑈) / (abs‘𝑉)))))
9	1	abscld 15366	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑈) ∈ ℝ)
10	2	abscld 15366	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑉) ∈ ℝ)
11	9, 10	remulcld 11166	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) ∈ ℝ)
12	11	recnd 11164	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) ∈ ℂ)
13	1, 2, 5	divcld 11921	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑈 / 𝑉) ∈ ℂ)
14	13	recld 15121	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) ∈ ℝ)
15	14	recnd 11164	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) ∈ ℂ)
16	9	recnd 11164	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑈) ∈ ℂ)
17	10	recnd 11164	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑉) ∈ ℂ)
18	2, 5	absne0d 15377	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑉) ≠ 0)
19	16, 17, 18	divcld 11921	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑈) / (abs‘𝑉)) ∈ ℂ)
20		lawcoslem1.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ 0)
21	1, 20	absne0d 15377	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑈) ≠ 0)
22	16, 17, 21, 18	divne0d 11937	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑈) / (abs‘𝑉)) ≠ 0)
23	12, 15, 19, 22	div12d 11957	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) · ((ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) / ((abs‘𝑈) / (abs‘𝑉)))) = ((ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) · (((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) / ((abs‘𝑈) / (abs‘𝑉)))))
24	8, 23	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) · ((ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) / (abs‘(𝑈 / 𝑉)))) = ((ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) · (((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) / ((abs‘𝑈) / (abs‘𝑉)))))
25	12, 16, 17, 21, 18	divdiv2d 11953	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) / ((abs‘𝑈) / (abs‘𝑉))) = ((((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) · (abs‘𝑉)) / (abs‘𝑈)))
26	17	sqvald 14070	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑉)↑2) = ((abs‘𝑉) · (abs‘𝑉)))
27	26	oveq1d 7375	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝑉)↑2) · (abs‘𝑈)) = (((abs‘𝑉) · (abs‘𝑉)) · (abs‘𝑈)))
28	16, 17, 17	mul31d 11348	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) · (abs‘𝑉)) = (((abs‘𝑉) · (abs‘𝑉)) · (abs‘𝑈)))
29	27, 28	eqtr4d 2775	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝑉)↑2) · (abs‘𝑈)) = (((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) · (abs‘𝑉)))
30	29	oveq1d 7375	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘𝑉)↑2) · (abs‘𝑈)) / (abs‘𝑈)) = ((((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) · (abs‘𝑉)) / (abs‘𝑈)))
31	17	sqcld 14071	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑉)↑2) ∈ ℂ)
32	31, 16, 21	divcan4d 11927	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘𝑉)↑2) · (abs‘𝑈)) / (abs‘𝑈)) = ((abs‘𝑉)↑2))
33	25, 30, 32	3eqtr2rd 2779	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑉)↑2) = (((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) / ((abs‘𝑈) / (abs‘𝑉))))
34	33	oveq2d 7376	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) · ((abs‘𝑉)↑2)) = ((ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) · (((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) / ((abs‘𝑈) / (abs‘𝑉)))))
35	15, 31	mulcomd 11157	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) · ((abs‘𝑉)↑2)) = (((abs‘𝑉)↑2) · (ℜ‘(𝑈 / 𝑉))))
36	10	resqcld 14052	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑉)↑2) ∈ ℝ)
37	36, 13	remul2d 15154	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘(((abs‘𝑉)↑2) · (𝑈 / 𝑉))) = (((abs‘𝑉)↑2) · (ℜ‘(𝑈 / 𝑉))))
38	35, 37	eqtr4d 2775	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) · ((abs‘𝑉)↑2)) = (ℜ‘(((abs‘𝑉)↑2) · (𝑈 / 𝑉))))
39	1, 31, 2, 5	div12d 11957	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑈 · (((abs‘𝑉)↑2) / 𝑉)) = (((abs‘𝑉)↑2) · (𝑈 / 𝑉)))
40	31, 2, 5	divrecd 11924	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝑉)↑2) / 𝑉) = (((abs‘𝑉)↑2) · (1 / 𝑉)))
41		recval 15250	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑉 ∈ ℂ ∧ 𝑉 ≠ 0) → (1 / 𝑉) = ((∗‘𝑉) / ((abs‘𝑉)↑2)))
42	2, 5, 41	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝑉) = ((∗‘𝑉) / ((abs‘𝑉)↑2)))
43	42	oveq2d 7376	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝑉)↑2) · (1 / 𝑉)) = (((abs‘𝑉)↑2) · ((∗‘𝑉) / ((abs‘𝑉)↑2))))
44	2	cjcld 15123	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (∗‘𝑉) ∈ ℂ)
45		sqne0 14050	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((abs‘𝑉) ∈ ℂ → (((abs‘𝑉)↑2) ≠ 0 ↔ (abs‘𝑉) ≠ 0))
46	17, 45	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝑉)↑2) ≠ 0 ↔ (abs‘𝑉) ≠ 0))
47	18, 46	mpbird 257	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑉)↑2) ≠ 0)
48	44, 31, 47	divcan2d 11923	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝑉)↑2) · ((∗‘𝑉) / ((abs‘𝑉)↑2))) = (∗‘𝑉))
49	43, 48	eqtrd 2772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝑉)↑2) · (1 / 𝑉)) = (∗‘𝑉))
50	40, 49	eqtrd 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝑉)↑2) / 𝑉) = (∗‘𝑉))
51	50	oveq2d 7376	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑈 · (((abs‘𝑉)↑2) / 𝑉)) = (𝑈 · (∗‘𝑉)))
52	39, 51	eqtr3d 2774	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝑉)↑2) · (𝑈 / 𝑉)) = (𝑈 · (∗‘𝑉)))
53	52	fveq2d 6839	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘(((abs‘𝑉)↑2) · (𝑈 / 𝑉))) = (ℜ‘(𝑈 · (∗‘𝑉))))
54	38, 53	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) · ((abs‘𝑉)↑2)) = (ℜ‘(𝑈 · (∗‘𝑉))))
55	24, 34, 54	3eqtr2rd 2779	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘(𝑈 · (∗‘𝑉))) = (((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) · ((ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) / (abs‘(𝑈 / 𝑉)))))
56	55	oveq2d 7376	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2 · (ℜ‘(𝑈 · (∗‘𝑉)))) = (2 · (((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) · ((ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) / (abs‘(𝑈 / 𝑉))))))
57	56	oveq2d 7376	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘𝑈)↑2) + ((abs‘𝑉)↑2)) − (2 · (ℜ‘(𝑈 · (∗‘𝑉))))) = ((((abs‘𝑈)↑2) + ((abs‘𝑉)↑2)) − (2 · (((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) · ((ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) / (abs‘(𝑈 / 𝑉)))))))
58	4, 57	eqtrd 2772	1 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝑈 − 𝑉))↑2) = ((((abs‘𝑈)↑2) + ((abs‘𝑉)↑2)) − (2 · (((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) · ((ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) / (abs‘(𝑈 / 𝑉)))))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  ℂcc 11028  0cc0 11030  1c1 11031   + caddc 11033   · cmul 11035   − cmin 11368   / cdiv 11798  2c2 12204  ↑cexp 13988  ∗ccj 15023  ℜcre 15024  abscabs 15161

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-sup 9349  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-n0 12406  df-z 12493  df-uz 12756  df-rp 12910  df-seq 13929  df-exp 13989  df-cj 15026  df-re 15027  df-im 15028  df-sqrt 15162  df-abs 15163

This theorem is referenced by:  lawcos  26786