Theorem lawcoslem1 26745

Description: Lemma for lawcos 26746. Here we prove the law for a point at the origin and two distinct points U and V, using an expanded version of the signed angle expression on the complex plane. (Contributed by David A. Wheeler, 11-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lawcoslem1.1	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℂ)
lawcoslem1.2	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ ℂ)
lawcoslem1.3	⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ 0)
lawcoslem1.4	⊢ (𝜑 → 𝑉 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
lawcoslem1	⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝑈 − 𝑉))↑2) = ((((abs‘𝑈)↑2) + ((abs‘𝑉)↑2)) − (2 · (((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) · ((ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) / (abs‘(𝑈 / 𝑉)))))))

Proof of Theorem lawcoslem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lawcoslem1.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℂ)
2		lawcoslem1.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ ℂ)
3		sqabssub 15182	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ ℂ ∧ 𝑉 ∈ ℂ) → ((abs‘(𝑈 − 𝑉))↑2) = ((((abs‘𝑈)↑2) + ((abs‘𝑉)↑2)) − (2 · (ℜ‘(𝑈 · (∗‘𝑉))))))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝑈 − 𝑉))↑2) = ((((abs‘𝑈)↑2) + ((abs‘𝑉)↑2)) − (2 · (ℜ‘(𝑈 · (∗‘𝑉))))))
5		lawcoslem1.4	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ≠ 0)
6	1, 2, 5	absdivd 15357	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑈 / 𝑉)) = ((abs‘𝑈) / (abs‘𝑉)))
7	6	oveq2d 7357	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) / (abs‘(𝑈 / 𝑉))) = ((ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) / ((abs‘𝑈) / (abs‘𝑉))))
8	7	oveq2d 7357	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) · ((ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) / (abs‘(𝑈 / 𝑉)))) = (((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) · ((ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) / ((abs‘𝑈) / (abs‘𝑉)))))
9	1	abscld 15338	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑈) ∈ ℝ)
10	2	abscld 15338	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑉) ∈ ℝ)
11	9, 10	remulcld 11134	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) ∈ ℝ)
12	11	recnd 11132	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) ∈ ℂ)
13	1, 2, 5	divcld 11889	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑈 / 𝑉) ∈ ℂ)
14	13	recld 15093	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) ∈ ℝ)
15	14	recnd 11132	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) ∈ ℂ)
16	9	recnd 11132	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑈) ∈ ℂ)
17	10	recnd 11132	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑉) ∈ ℂ)
18	2, 5	absne0d 15349	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑉) ≠ 0)
19	16, 17, 18	divcld 11889	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑈) / (abs‘𝑉)) ∈ ℂ)
20		lawcoslem1.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ 0)
21	1, 20	absne0d 15349	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑈) ≠ 0)
22	16, 17, 21, 18	divne0d 11905	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑈) / (abs‘𝑉)) ≠ 0)
23	12, 15, 19, 22	div12d 11925	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) · ((ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) / ((abs‘𝑈) / (abs‘𝑉)))) = ((ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) · (((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) / ((abs‘𝑈) / (abs‘𝑉)))))
24	8, 23	eqtrd 2765	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) · ((ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) / (abs‘(𝑈 / 𝑉)))) = ((ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) · (((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) / ((abs‘𝑈) / (abs‘𝑉)))))
25	12, 16, 17, 21, 18	divdiv2d 11921	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) / ((abs‘𝑈) / (abs‘𝑉))) = ((((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) · (abs‘𝑉)) / (abs‘𝑈)))
26	17	sqvald 14042	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑉)↑2) = ((abs‘𝑉) · (abs‘𝑉)))
27	26	oveq1d 7356	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝑉)↑2) · (abs‘𝑈)) = (((abs‘𝑉) · (abs‘𝑉)) · (abs‘𝑈)))
28	16, 17, 17	mul31d 11316	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) · (abs‘𝑉)) = (((abs‘𝑉) · (abs‘𝑉)) · (abs‘𝑈)))
29	27, 28	eqtr4d 2768	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝑉)↑2) · (abs‘𝑈)) = (((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) · (abs‘𝑉)))
30	29	oveq1d 7356	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘𝑉)↑2) · (abs‘𝑈)) / (abs‘𝑈)) = ((((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) · (abs‘𝑉)) / (abs‘𝑈)))
31	17	sqcld 14043	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑉)↑2) ∈ ℂ)
32	31, 16, 21	divcan4d 11895	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘𝑉)↑2) · (abs‘𝑈)) / (abs‘𝑈)) = ((abs‘𝑉)↑2))
33	25, 30, 32	3eqtr2rd 2772	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑉)↑2) = (((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) / ((abs‘𝑈) / (abs‘𝑉))))
34	33	oveq2d 7357	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) · ((abs‘𝑉)↑2)) = ((ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) · (((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) / ((abs‘𝑈) / (abs‘𝑉)))))
35	15, 31	mulcomd 11125	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) · ((abs‘𝑉)↑2)) = (((abs‘𝑉)↑2) · (ℜ‘(𝑈 / 𝑉))))
36	10	resqcld 14024	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑉)↑2) ∈ ℝ)
37	36, 13	remul2d 15126	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘(((abs‘𝑉)↑2) · (𝑈 / 𝑉))) = (((abs‘𝑉)↑2) · (ℜ‘(𝑈 / 𝑉))))
38	35, 37	eqtr4d 2768	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) · ((abs‘𝑉)↑2)) = (ℜ‘(((abs‘𝑉)↑2) · (𝑈 / 𝑉))))
39	1, 31, 2, 5	div12d 11925	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑈 · (((abs‘𝑉)↑2) / 𝑉)) = (((abs‘𝑉)↑2) · (𝑈 / 𝑉)))
40	31, 2, 5	divrecd 11892	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝑉)↑2) / 𝑉) = (((abs‘𝑉)↑2) · (1 / 𝑉)))
41		recval 15222	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑉 ∈ ℂ ∧ 𝑉 ≠ 0) → (1 / 𝑉) = ((∗‘𝑉) / ((abs‘𝑉)↑2)))
42	2, 5, 41	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝑉) = ((∗‘𝑉) / ((abs‘𝑉)↑2)))
43	42	oveq2d 7357	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝑉)↑2) · (1 / 𝑉)) = (((abs‘𝑉)↑2) · ((∗‘𝑉) / ((abs‘𝑉)↑2))))
44	2	cjcld 15095	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (∗‘𝑉) ∈ ℂ)
45		sqne0 14022	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((abs‘𝑉) ∈ ℂ → (((abs‘𝑉)↑2) ≠ 0 ↔ (abs‘𝑉) ≠ 0))
46	17, 45	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝑉)↑2) ≠ 0 ↔ (abs‘𝑉) ≠ 0))
47	18, 46	mpbird 257	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑉)↑2) ≠ 0)
48	44, 31, 47	divcan2d 11891	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝑉)↑2) · ((∗‘𝑉) / ((abs‘𝑉)↑2))) = (∗‘𝑉))
49	43, 48	eqtrd 2765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝑉)↑2) · (1 / 𝑉)) = (∗‘𝑉))
50	40, 49	eqtrd 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝑉)↑2) / 𝑉) = (∗‘𝑉))
51	50	oveq2d 7357	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑈 · (((abs‘𝑉)↑2) / 𝑉)) = (𝑈 · (∗‘𝑉)))
52	39, 51	eqtr3d 2767	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝑉)↑2) · (𝑈 / 𝑉)) = (𝑈 · (∗‘𝑉)))
53	52	fveq2d 6821	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘(((abs‘𝑉)↑2) · (𝑈 / 𝑉))) = (ℜ‘(𝑈 · (∗‘𝑉))))
54	38, 53	eqtrd 2765	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) · ((abs‘𝑉)↑2)) = (ℜ‘(𝑈 · (∗‘𝑉))))
55	24, 34, 54	3eqtr2rd 2772	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘(𝑈 · (∗‘𝑉))) = (((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) · ((ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) / (abs‘(𝑈 / 𝑉)))))
56	55	oveq2d 7357	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2 · (ℜ‘(𝑈 · (∗‘𝑉)))) = (2 · (((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) · ((ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) / (abs‘(𝑈 / 𝑉))))))
57	56	oveq2d 7357	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘𝑈)↑2) + ((abs‘𝑉)↑2)) − (2 · (ℜ‘(𝑈 · (∗‘𝑉))))) = ((((abs‘𝑈)↑2) + ((abs‘𝑉)↑2)) − (2 · (((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) · ((ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) / (abs‘(𝑈 / 𝑉)))))))
58	4, 57	eqtrd 2765	1 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝑈 − 𝑉))↑2) = ((((abs‘𝑈)↑2) + ((abs‘𝑉)↑2)) − (2 · (((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) · ((ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) / (abs‘(𝑈 / 𝑉)))))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1541   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2926  ‘cfv 6477  (class class class)co 7341  ℂcc 10996  0cc0 10998  1c1 10999   + caddc 11001   · cmul 11003   − cmin 11336   / cdiv 11766  2c2 12172  ↑cexp 13960  ∗ccj 14995  ℜcre 14996  abscabs 15133

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-cnex 11054  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074  ax-pre-mulgt0 11075  ax-pre-sup 11076

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-sup 9321  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-sub 11338  df-neg 11339  df-div 11767  df-nn 12118  df-2 12180  df-3 12181  df-n0 12374  df-z 12461  df-uz 12725  df-rp 12883  df-seq 13901  df-exp 13961  df-cj 14998  df-re 14999  df-im 15000  df-sqrt 15134  df-abs 15135

This theorem is referenced by:  lawcos  26746