Theorem lawcoslem1 26758

Description: Lemma for lawcos 26759. Here we prove the law for a point at the origin and two distinct points U and V, using an expanded version of the signed angle expression on the complex plane. (Contributed by David A. Wheeler, 11-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lawcoslem1.1	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℂ)
lawcoslem1.2	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ ℂ)
lawcoslem1.3	⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ 0)
lawcoslem1.4	⊢ (𝜑 → 𝑉 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
lawcoslem1	⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝑈 − 𝑉))↑2) = ((((abs‘𝑈)↑2) + ((abs‘𝑉)↑2)) − (2 · (((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) · ((ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) / (abs‘(𝑈 / 𝑉)))))))

Proof of Theorem lawcoslem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lawcoslem1.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℂ)
2		lawcoslem1.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ ℂ)
3		sqabssub 15196	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ ℂ ∧ 𝑉 ∈ ℂ) → ((abs‘(𝑈 − 𝑉))↑2) = ((((abs‘𝑈)↑2) + ((abs‘𝑉)↑2)) − (2 · (ℜ‘(𝑈 · (∗‘𝑉))))))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝑈 − 𝑉))↑2) = ((((abs‘𝑈)↑2) + ((abs‘𝑉)↑2)) − (2 · (ℜ‘(𝑈 · (∗‘𝑉))))))
5		lawcoslem1.4	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ≠ 0)
6	1, 2, 5	absdivd 15371	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑈 / 𝑉)) = ((abs‘𝑈) / (abs‘𝑉)))
7	6	oveq2d 7368	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) / (abs‘(𝑈 / 𝑉))) = ((ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) / ((abs‘𝑈) / (abs‘𝑉))))
8	7	oveq2d 7368	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) · ((ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) / (abs‘(𝑈 / 𝑉)))) = (((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) · ((ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) / ((abs‘𝑈) / (abs‘𝑉)))))
9	1	abscld 15352	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑈) ∈ ℝ)
10	2	abscld 15352	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑉) ∈ ℝ)
11	9, 10	remulcld 11148	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) ∈ ℝ)
12	11	recnd 11146	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) ∈ ℂ)
13	1, 2, 5	divcld 11903	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑈 / 𝑉) ∈ ℂ)
14	13	recld 15107	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) ∈ ℝ)
15	14	recnd 11146	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) ∈ ℂ)
16	9	recnd 11146	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑈) ∈ ℂ)
17	10	recnd 11146	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑉) ∈ ℂ)
18	2, 5	absne0d 15363	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑉) ≠ 0)
19	16, 17, 18	divcld 11903	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑈) / (abs‘𝑉)) ∈ ℂ)
20		lawcoslem1.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ 0)
21	1, 20	absne0d 15363	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑈) ≠ 0)
22	16, 17, 21, 18	divne0d 11919	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑈) / (abs‘𝑉)) ≠ 0)
23	12, 15, 19, 22	div12d 11939	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) · ((ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) / ((abs‘𝑈) / (abs‘𝑉)))) = ((ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) · (((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) / ((abs‘𝑈) / (abs‘𝑉)))))
24	8, 23	eqtrd 2766	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) · ((ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) / (abs‘(𝑈 / 𝑉)))) = ((ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) · (((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) / ((abs‘𝑈) / (abs‘𝑉)))))
25	12, 16, 17, 21, 18	divdiv2d 11935	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) / ((abs‘𝑈) / (abs‘𝑉))) = ((((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) · (abs‘𝑉)) / (abs‘𝑈)))
26	17	sqvald 14056	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑉)↑2) = ((abs‘𝑉) · (abs‘𝑉)))
27	26	oveq1d 7367	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝑉)↑2) · (abs‘𝑈)) = (((abs‘𝑉) · (abs‘𝑉)) · (abs‘𝑈)))
28	16, 17, 17	mul31d 11330	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) · (abs‘𝑉)) = (((abs‘𝑉) · (abs‘𝑉)) · (abs‘𝑈)))
29	27, 28	eqtr4d 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝑉)↑2) · (abs‘𝑈)) = (((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) · (abs‘𝑉)))
30	29	oveq1d 7367	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘𝑉)↑2) · (abs‘𝑈)) / (abs‘𝑈)) = ((((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) · (abs‘𝑉)) / (abs‘𝑈)))
31	17	sqcld 14057	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑉)↑2) ∈ ℂ)
32	31, 16, 21	divcan4d 11909	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘𝑉)↑2) · (abs‘𝑈)) / (abs‘𝑈)) = ((abs‘𝑉)↑2))
33	25, 30, 32	3eqtr2rd 2773	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑉)↑2) = (((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) / ((abs‘𝑈) / (abs‘𝑉))))
34	33	oveq2d 7368	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) · ((abs‘𝑉)↑2)) = ((ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) · (((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) / ((abs‘𝑈) / (abs‘𝑉)))))
35	15, 31	mulcomd 11139	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) · ((abs‘𝑉)↑2)) = (((abs‘𝑉)↑2) · (ℜ‘(𝑈 / 𝑉))))
36	10	resqcld 14038	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑉)↑2) ∈ ℝ)
37	36, 13	remul2d 15140	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘(((abs‘𝑉)↑2) · (𝑈 / 𝑉))) = (((abs‘𝑉)↑2) · (ℜ‘(𝑈 / 𝑉))))
38	35, 37	eqtr4d 2769	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) · ((abs‘𝑉)↑2)) = (ℜ‘(((abs‘𝑉)↑2) · (𝑈 / 𝑉))))
39	1, 31, 2, 5	div12d 11939	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑈 · (((abs‘𝑉)↑2) / 𝑉)) = (((abs‘𝑉)↑2) · (𝑈 / 𝑉)))
40	31, 2, 5	divrecd 11906	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝑉)↑2) / 𝑉) = (((abs‘𝑉)↑2) · (1 / 𝑉)))
41		recval 15236	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑉 ∈ ℂ ∧ 𝑉 ≠ 0) → (1 / 𝑉) = ((∗‘𝑉) / ((abs‘𝑉)↑2)))
42	2, 5, 41	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝑉) = ((∗‘𝑉) / ((abs‘𝑉)↑2)))
43	42	oveq2d 7368	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝑉)↑2) · (1 / 𝑉)) = (((abs‘𝑉)↑2) · ((∗‘𝑉) / ((abs‘𝑉)↑2))))
44	2	cjcld 15109	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (∗‘𝑉) ∈ ℂ)
45		sqne0 14036	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((abs‘𝑉) ∈ ℂ → (((abs‘𝑉)↑2) ≠ 0 ↔ (abs‘𝑉) ≠ 0))
46	17, 45	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝑉)↑2) ≠ 0 ↔ (abs‘𝑉) ≠ 0))
47	18, 46	mpbird 257	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑉)↑2) ≠ 0)
48	44, 31, 47	divcan2d 11905	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝑉)↑2) · ((∗‘𝑉) / ((abs‘𝑉)↑2))) = (∗‘𝑉))
49	43, 48	eqtrd 2766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝑉)↑2) · (1 / 𝑉)) = (∗‘𝑉))
50	40, 49	eqtrd 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝑉)↑2) / 𝑉) = (∗‘𝑉))
51	50	oveq2d 7368	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑈 · (((abs‘𝑉)↑2) / 𝑉)) = (𝑈 · (∗‘𝑉)))
52	39, 51	eqtr3d 2768	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝑉)↑2) · (𝑈 / 𝑉)) = (𝑈 · (∗‘𝑉)))
53	52	fveq2d 6832	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘(((abs‘𝑉)↑2) · (𝑈 / 𝑉))) = (ℜ‘(𝑈 · (∗‘𝑉))))
54	38, 53	eqtrd 2766	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) · ((abs‘𝑉)↑2)) = (ℜ‘(𝑈 · (∗‘𝑉))))
55	24, 34, 54	3eqtr2rd 2773	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘(𝑈 · (∗‘𝑉))) = (((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) · ((ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) / (abs‘(𝑈 / 𝑉)))))
56	55	oveq2d 7368	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2 · (ℜ‘(𝑈 · (∗‘𝑉)))) = (2 · (((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) · ((ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) / (abs‘(𝑈 / 𝑉))))))
57	56	oveq2d 7368	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘𝑈)↑2) + ((abs‘𝑉)↑2)) − (2 · (ℜ‘(𝑈 · (∗‘𝑉))))) = ((((abs‘𝑈)↑2) + ((abs‘𝑉)↑2)) − (2 · (((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) · ((ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) / (abs‘(𝑈 / 𝑉)))))))
58	4, 57	eqtrd 2766	1 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝑈 − 𝑉))↑2) = ((((abs‘𝑈)↑2) + ((abs‘𝑉)↑2)) − (2 · (((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) · ((ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) / (abs‘(𝑈 / 𝑉)))))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ‘cfv 6487  (class class class)co 7352  ℂcc 11010  0cc0 11012  1c1 11013   + caddc 11015   · cmul 11017   − cmin 11350   / cdiv 11780  2c2 12186  ↑cexp 13974  ∗ccj 15009  ℜcre 15010  abscabs 15147

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11068  ax-resscn 11069  ax-1cn 11070  ax-icn 11071  ax-addcl 11072  ax-addrcl 11073  ax-mulcl 11074  ax-mulrcl 11075  ax-mulcom 11076  ax-addass 11077  ax-mulass 11078  ax-distr 11079  ax-i2m1 11080  ax-1ne0 11081  ax-1rid 11082  ax-rnegex 11083  ax-rrecex 11084  ax-cnre 11085  ax-pre-lttri 11086  ax-pre-lttrn 11087  ax-pre-ltadd 11088  ax-pre-mulgt0 11089  ax-pre-sup 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-sup 9332  df-pnf 11154  df-mnf 11155  df-xr 11156  df-ltxr 11157  df-le 11158  df-sub 11352  df-neg 11353  df-div 11781  df-nn 12132  df-2 12194  df-3 12195  df-n0 12388  df-z 12475  df-uz 12739  df-rp 12897  df-seq 13915  df-exp 13975  df-cj 15012  df-re 15013  df-im 15014  df-sqrt 15148  df-abs 15149

This theorem is referenced by:  lawcos  26759