MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lawcoslem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lawcoslem1 26873
Description: Lemma for lawcos 26874. Here we prove the law for a point at the origin and two distinct points U and V, using an expanded version of the signed angle expression on the complex plane. (Contributed by David A. Wheeler, 11-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lawcoslem1.1 (𝜑𝑈 ∈ ℂ)
lawcoslem1.2 (𝜑𝑉 ∈ ℂ)
lawcoslem1.3 (𝜑𝑈 ≠ 0)
lawcoslem1.4 (𝜑𝑉 ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
lawcoslem1 (𝜑 → ((abs‘(𝑈𝑉))↑2) = ((((abs‘𝑈)↑2) + ((abs‘𝑉)↑2)) − (2 · (((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) · ((ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) / (abs‘(𝑈 / 𝑉)))))))

Proof of Theorem lawcoslem1
StepHypRef Expression
1 lawcoslem1.1 . . 3 (𝜑𝑈 ∈ ℂ)
2 lawcoslem1.2 . . 3 (𝜑𝑉 ∈ ℂ)
3 sqabssub 15319 . . 3 ((𝑈 ∈ ℂ ∧ 𝑉 ∈ ℂ) → ((abs‘(𝑈𝑉))↑2) = ((((abs‘𝑈)↑2) + ((abs‘𝑉)↑2)) − (2 · (ℜ‘(𝑈 · (∗‘𝑉))))))
41, 2, 3syl2anc 584 . 2 (𝜑 → ((abs‘(𝑈𝑉))↑2) = ((((abs‘𝑈)↑2) + ((abs‘𝑉)↑2)) − (2 · (ℜ‘(𝑈 · (∗‘𝑉))))))
5 lawcoslem1.4 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑉 ≠ 0)
61, 2, 5absdivd 15491 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘(𝑈 / 𝑉)) = ((abs‘𝑈) / (abs‘𝑉)))
76oveq2d 7447 . . . . . . 7 (𝜑 → ((ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) / (abs‘(𝑈 / 𝑉))) = ((ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) / ((abs‘𝑈) / (abs‘𝑉))))
87oveq2d 7447 . . . . . 6 (𝜑 → (((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) · ((ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) / (abs‘(𝑈 / 𝑉)))) = (((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) · ((ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) / ((abs‘𝑈) / (abs‘𝑉)))))
91abscld 15472 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘𝑈) ∈ ℝ)
102abscld 15472 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘𝑉) ∈ ℝ)
119, 10remulcld 11289 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) ∈ ℝ)
1211recnd 11287 . . . . . . 7 (𝜑 → ((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) ∈ ℂ)
131, 2, 5divcld 12041 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑈 / 𝑉) ∈ ℂ)
1413recld 15230 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) ∈ ℝ)
1514recnd 11287 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) ∈ ℂ)
169recnd 11287 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘𝑈) ∈ ℂ)
1710recnd 11287 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘𝑉) ∈ ℂ)
182, 5absne0d 15483 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘𝑉) ≠ 0)
1916, 17, 18divcld 12041 . . . . . . 7 (𝜑 → ((abs‘𝑈) / (abs‘𝑉)) ∈ ℂ)
20 lawcoslem1.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈 ≠ 0)
211, 20absne0d 15483 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘𝑈) ≠ 0)
2216, 17, 21, 18divne0d 12057 . . . . . . 7 (𝜑 → ((abs‘𝑈) / (abs‘𝑉)) ≠ 0)
2312, 15, 19, 22div12d 12077 . . . . . 6 (𝜑 → (((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) · ((ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) / ((abs‘𝑈) / (abs‘𝑉)))) = ((ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) · (((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) / ((abs‘𝑈) / (abs‘𝑉)))))
248, 23eqtrd 2775 . . . . 5 (𝜑 → (((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) · ((ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) / (abs‘(𝑈 / 𝑉)))) = ((ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) · (((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) / ((abs‘𝑈) / (abs‘𝑉)))))
2512, 16, 17, 21, 18divdiv2d 12073 . . . . . . 7 (𝜑 → (((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) / ((abs‘𝑈) / (abs‘𝑉))) = ((((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) · (abs‘𝑉)) / (abs‘𝑈)))
2617sqvald 14180 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((abs‘𝑉)↑2) = ((abs‘𝑉) · (abs‘𝑉)))
2726oveq1d 7446 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((abs‘𝑉)↑2) · (abs‘𝑈)) = (((abs‘𝑉) · (abs‘𝑉)) · (abs‘𝑈)))
2816, 17, 17mul31d 11470 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) · (abs‘𝑉)) = (((abs‘𝑉) · (abs‘𝑉)) · (abs‘𝑈)))
2927, 28eqtr4d 2778 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((abs‘𝑉)↑2) · (abs‘𝑈)) = (((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) · (abs‘𝑉)))
3029oveq1d 7446 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((abs‘𝑉)↑2) · (abs‘𝑈)) / (abs‘𝑈)) = ((((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) · (abs‘𝑉)) / (abs‘𝑈)))
3117sqcld 14181 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((abs‘𝑉)↑2) ∈ ℂ)
3231, 16, 21divcan4d 12047 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((abs‘𝑉)↑2) · (abs‘𝑈)) / (abs‘𝑈)) = ((abs‘𝑉)↑2))
3325, 30, 323eqtr2rd 2782 . . . . . 6 (𝜑 → ((abs‘𝑉)↑2) = (((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) / ((abs‘𝑈) / (abs‘𝑉))))
3433oveq2d 7447 . . . . 5 (𝜑 → ((ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) · ((abs‘𝑉)↑2)) = ((ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) · (((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) / ((abs‘𝑈) / (abs‘𝑉)))))
3515, 31mulcomd 11280 . . . . . . 7 (𝜑 → ((ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) · ((abs‘𝑉)↑2)) = (((abs‘𝑉)↑2) · (ℜ‘(𝑈 / 𝑉))))
3610resqcld 14162 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((abs‘𝑉)↑2) ∈ ℝ)
3736, 13remul2d 15263 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℜ‘(((abs‘𝑉)↑2) · (𝑈 / 𝑉))) = (((abs‘𝑉)↑2) · (ℜ‘(𝑈 / 𝑉))))
3835, 37eqtr4d 2778 . . . . . 6 (𝜑 → ((ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) · ((abs‘𝑉)↑2)) = (ℜ‘(((abs‘𝑉)↑2) · (𝑈 / 𝑉))))
391, 31, 2, 5div12d 12077 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑈 · (((abs‘𝑉)↑2) / 𝑉)) = (((abs‘𝑉)↑2) · (𝑈 / 𝑉)))
4031, 2, 5divrecd 12044 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((abs‘𝑉)↑2) / 𝑉) = (((abs‘𝑉)↑2) · (1 / 𝑉)))
41 recval 15358 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑉 ∈ ℂ ∧ 𝑉 ≠ 0) → (1 / 𝑉) = ((∗‘𝑉) / ((abs‘𝑉)↑2)))
422, 5, 41syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (1 / 𝑉) = ((∗‘𝑉) / ((abs‘𝑉)↑2)))
4342oveq2d 7447 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((abs‘𝑉)↑2) · (1 / 𝑉)) = (((abs‘𝑉)↑2) · ((∗‘𝑉) / ((abs‘𝑉)↑2))))
442cjcld 15232 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (∗‘𝑉) ∈ ℂ)
45 sqne0 14160 . . . . . . . . . . . . . 14 ((abs‘𝑉) ∈ ℂ → (((abs‘𝑉)↑2) ≠ 0 ↔ (abs‘𝑉) ≠ 0))
4617, 45syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((abs‘𝑉)↑2) ≠ 0 ↔ (abs‘𝑉) ≠ 0))
4718, 46mpbird 257 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((abs‘𝑉)↑2) ≠ 0)
4844, 31, 47divcan2d 12043 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((abs‘𝑉)↑2) · ((∗‘𝑉) / ((abs‘𝑉)↑2))) = (∗‘𝑉))
4943, 48eqtrd 2775 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((abs‘𝑉)↑2) · (1 / 𝑉)) = (∗‘𝑉))
5040, 49eqtrd 2775 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((abs‘𝑉)↑2) / 𝑉) = (∗‘𝑉))
5150oveq2d 7447 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑈 · (((abs‘𝑉)↑2) / 𝑉)) = (𝑈 · (∗‘𝑉)))
5239, 51eqtr3d 2777 . . . . . . 7 (𝜑 → (((abs‘𝑉)↑2) · (𝑈 / 𝑉)) = (𝑈 · (∗‘𝑉)))
5352fveq2d 6911 . . . . . 6 (𝜑 → (ℜ‘(((abs‘𝑉)↑2) · (𝑈 / 𝑉))) = (ℜ‘(𝑈 · (∗‘𝑉))))
5438, 53eqtrd 2775 . . . . 5 (𝜑 → ((ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) · ((abs‘𝑉)↑2)) = (ℜ‘(𝑈 · (∗‘𝑉))))
5524, 34, 543eqtr2rd 2782 . . . 4 (𝜑 → (ℜ‘(𝑈 · (∗‘𝑉))) = (((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) · ((ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) / (abs‘(𝑈 / 𝑉)))))
5655oveq2d 7447 . . 3 (𝜑 → (2 · (ℜ‘(𝑈 · (∗‘𝑉)))) = (2 · (((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) · ((ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) / (abs‘(𝑈 / 𝑉))))))
5756oveq2d 7447 . 2 (𝜑 → ((((abs‘𝑈)↑2) + ((abs‘𝑉)↑2)) − (2 · (ℜ‘(𝑈 · (∗‘𝑉))))) = ((((abs‘𝑈)↑2) + ((abs‘𝑉)↑2)) − (2 · (((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) · ((ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) / (abs‘(𝑈 / 𝑉)))))))
584, 57eqtrd 2775 1 (𝜑 → ((abs‘(𝑈𝑉))↑2) = ((((abs‘𝑈)↑2) + ((abs‘𝑉)↑2)) − (2 · (((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) · ((ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) / (abs‘(𝑈 / 𝑉)))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  cmin 11490   / cdiv 11918  2c2 12319  cexp 14099  ccj 15132  cre 15133  abscabs 15270
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272
This theorem is referenced by:  lawcos  26874
  Copyright terms: Public domain W3C validator