Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lawcoslem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lawcoslem1 25493
 Description: Lemma for lawcos 25494. Here we prove the law for a point at the origin and two distinct points U and V, using an expanded version of the signed angle expression on the complex plane. (Contributed by David A. Wheeler, 11-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lawcoslem1.1 (𝜑𝑈 ∈ ℂ)
lawcoslem1.2 (𝜑𝑉 ∈ ℂ)
lawcoslem1.3 (𝜑𝑈 ≠ 0)
lawcoslem1.4 (𝜑𝑉 ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
lawcoslem1 (𝜑 → ((abs‘(𝑈𝑉))↑2) = ((((abs‘𝑈)↑2) + ((abs‘𝑉)↑2)) − (2 · (((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) · ((ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) / (abs‘(𝑈 / 𝑉)))))))

Proof of Theorem lawcoslem1
StepHypRef Expression
1 lawcoslem1.1 . . 3 (𝜑𝑈 ∈ ℂ)
2 lawcoslem1.2 . . 3 (𝜑𝑉 ∈ ℂ)
3 sqabssub 14684 . . 3 ((𝑈 ∈ ℂ ∧ 𝑉 ∈ ℂ) → ((abs‘(𝑈𝑉))↑2) = ((((abs‘𝑈)↑2) + ((abs‘𝑉)↑2)) − (2 · (ℜ‘(𝑈 · (∗‘𝑉))))))
41, 2, 3syl2anc 588 . 2 (𝜑 → ((abs‘(𝑈𝑉))↑2) = ((((abs‘𝑈)↑2) + ((abs‘𝑉)↑2)) − (2 · (ℜ‘(𝑈 · (∗‘𝑉))))))
5 lawcoslem1.4 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑉 ≠ 0)
61, 2, 5absdivd 14856 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘(𝑈 / 𝑉)) = ((abs‘𝑈) / (abs‘𝑉)))
76oveq2d 7167 . . . . . . 7 (𝜑 → ((ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) / (abs‘(𝑈 / 𝑉))) = ((ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) / ((abs‘𝑈) / (abs‘𝑉))))
87oveq2d 7167 . . . . . 6 (𝜑 → (((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) · ((ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) / (abs‘(𝑈 / 𝑉)))) = (((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) · ((ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) / ((abs‘𝑈) / (abs‘𝑉)))))
91abscld 14837 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘𝑈) ∈ ℝ)
102abscld 14837 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘𝑉) ∈ ℝ)
119, 10remulcld 10702 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) ∈ ℝ)
1211recnd 10700 . . . . . . 7 (𝜑 → ((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) ∈ ℂ)
131, 2, 5divcld 11447 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑈 / 𝑉) ∈ ℂ)
1413recld 14594 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) ∈ ℝ)
1514recnd 10700 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) ∈ ℂ)
169recnd 10700 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘𝑈) ∈ ℂ)
1710recnd 10700 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘𝑉) ∈ ℂ)
182, 5absne0d 14848 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘𝑉) ≠ 0)
1916, 17, 18divcld 11447 . . . . . . 7 (𝜑 → ((abs‘𝑈) / (abs‘𝑉)) ∈ ℂ)
20 lawcoslem1.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈 ≠ 0)
211, 20absne0d 14848 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘𝑈) ≠ 0)
2216, 17, 21, 18divne0d 11463 . . . . . . 7 (𝜑 → ((abs‘𝑈) / (abs‘𝑉)) ≠ 0)
2312, 15, 19, 22div12d 11483 . . . . . 6 (𝜑 → (((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) · ((ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) / ((abs‘𝑈) / (abs‘𝑉)))) = ((ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) · (((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) / ((abs‘𝑈) / (abs‘𝑉)))))
248, 23eqtrd 2794 . . . . 5 (𝜑 → (((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) · ((ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) / (abs‘(𝑈 / 𝑉)))) = ((ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) · (((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) / ((abs‘𝑈) / (abs‘𝑉)))))
2512, 16, 17, 21, 18divdiv2d 11479 . . . . . . 7 (𝜑 → (((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) / ((abs‘𝑈) / (abs‘𝑉))) = ((((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) · (abs‘𝑉)) / (abs‘𝑈)))
2617sqvald 13550 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((abs‘𝑉)↑2) = ((abs‘𝑉) · (abs‘𝑉)))
2726oveq1d 7166 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((abs‘𝑉)↑2) · (abs‘𝑈)) = (((abs‘𝑉) · (abs‘𝑉)) · (abs‘𝑈)))
2816, 17, 17mul31d 10882 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) · (abs‘𝑉)) = (((abs‘𝑉) · (abs‘𝑉)) · (abs‘𝑈)))
2927, 28eqtr4d 2797 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((abs‘𝑉)↑2) · (abs‘𝑈)) = (((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) · (abs‘𝑉)))
3029oveq1d 7166 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((abs‘𝑉)↑2) · (abs‘𝑈)) / (abs‘𝑈)) = ((((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) · (abs‘𝑉)) / (abs‘𝑈)))
3117sqcld 13551 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((abs‘𝑉)↑2) ∈ ℂ)
3231, 16, 21divcan4d 11453 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((abs‘𝑉)↑2) · (abs‘𝑈)) / (abs‘𝑈)) = ((abs‘𝑉)↑2))
3325, 30, 323eqtr2rd 2801 . . . . . 6 (𝜑 → ((abs‘𝑉)↑2) = (((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) / ((abs‘𝑈) / (abs‘𝑉))))
3433oveq2d 7167 . . . . 5 (𝜑 → ((ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) · ((abs‘𝑉)↑2)) = ((ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) · (((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) / ((abs‘𝑈) / (abs‘𝑉)))))
3515, 31mulcomd 10693 . . . . . . 7 (𝜑 → ((ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) · ((abs‘𝑉)↑2)) = (((abs‘𝑉)↑2) · (ℜ‘(𝑈 / 𝑉))))
3610resqcld 13654 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((abs‘𝑉)↑2) ∈ ℝ)
3736, 13remul2d 14627 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℜ‘(((abs‘𝑉)↑2) · (𝑈 / 𝑉))) = (((abs‘𝑉)↑2) · (ℜ‘(𝑈 / 𝑉))))
3835, 37eqtr4d 2797 . . . . . 6 (𝜑 → ((ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) · ((abs‘𝑉)↑2)) = (ℜ‘(((abs‘𝑉)↑2) · (𝑈 / 𝑉))))
391, 31, 2, 5div12d 11483 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑈 · (((abs‘𝑉)↑2) / 𝑉)) = (((abs‘𝑉)↑2) · (𝑈 / 𝑉)))
4031, 2, 5divrecd 11450 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((abs‘𝑉)↑2) / 𝑉) = (((abs‘𝑉)↑2) · (1 / 𝑉)))
41 recval 14723 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑉 ∈ ℂ ∧ 𝑉 ≠ 0) → (1 / 𝑉) = ((∗‘𝑉) / ((abs‘𝑉)↑2)))
422, 5, 41syl2anc 588 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (1 / 𝑉) = ((∗‘𝑉) / ((abs‘𝑉)↑2)))
4342oveq2d 7167 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((abs‘𝑉)↑2) · (1 / 𝑉)) = (((abs‘𝑉)↑2) · ((∗‘𝑉) / ((abs‘𝑉)↑2))))
442cjcld 14596 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (∗‘𝑉) ∈ ℂ)
45 sqne0 13532 . . . . . . . . . . . . . 14 ((abs‘𝑉) ∈ ℂ → (((abs‘𝑉)↑2) ≠ 0 ↔ (abs‘𝑉) ≠ 0))
4617, 45syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((abs‘𝑉)↑2) ≠ 0 ↔ (abs‘𝑉) ≠ 0))
4718, 46mpbird 260 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((abs‘𝑉)↑2) ≠ 0)
4844, 31, 47divcan2d 11449 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((abs‘𝑉)↑2) · ((∗‘𝑉) / ((abs‘𝑉)↑2))) = (∗‘𝑉))
4943, 48eqtrd 2794 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((abs‘𝑉)↑2) · (1 / 𝑉)) = (∗‘𝑉))
5040, 49eqtrd 2794 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((abs‘𝑉)↑2) / 𝑉) = (∗‘𝑉))
5150oveq2d 7167 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑈 · (((abs‘𝑉)↑2) / 𝑉)) = (𝑈 · (∗‘𝑉)))
5239, 51eqtr3d 2796 . . . . . . 7 (𝜑 → (((abs‘𝑉)↑2) · (𝑈 / 𝑉)) = (𝑈 · (∗‘𝑉)))
5352fveq2d 6663 . . . . . 6 (𝜑 → (ℜ‘(((abs‘𝑉)↑2) · (𝑈 / 𝑉))) = (ℜ‘(𝑈 · (∗‘𝑉))))
5438, 53eqtrd 2794 . . . . 5 (𝜑 → ((ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) · ((abs‘𝑉)↑2)) = (ℜ‘(𝑈 · (∗‘𝑉))))
5524, 34, 543eqtr2rd 2801 . . . 4 (𝜑 → (ℜ‘(𝑈 · (∗‘𝑉))) = (((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) · ((ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) / (abs‘(𝑈 / 𝑉)))))
5655oveq2d 7167 . . 3 (𝜑 → (2 · (ℜ‘(𝑈 · (∗‘𝑉)))) = (2 · (((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) · ((ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) / (abs‘(𝑈 / 𝑉))))))
5756oveq2d 7167 . 2 (𝜑 → ((((abs‘𝑈)↑2) + ((abs‘𝑉)↑2)) − (2 · (ℜ‘(𝑈 · (∗‘𝑉))))) = ((((abs‘𝑈)↑2) + ((abs‘𝑉)↑2)) − (2 · (((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) · ((ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) / (abs‘(𝑈 / 𝑉)))))))
584, 57eqtrd 2794 1 (𝜑 → ((abs‘(𝑈𝑉))↑2) = ((((abs‘𝑈)↑2) + ((abs‘𝑉)↑2)) − (2 · (((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) · ((ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) / (abs‘(𝑈 / 𝑉)))))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1539   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2952  ‘cfv 6336  (class class class)co 7151  ℂcc 10566  0cc0 10568  1c1 10569   + caddc 10571   · cmul 10573   − cmin 10901   / cdiv 11328  2c2 11722  ↑cexp 13472  ∗ccj 14496  ℜcre 14497  abscabs 14634 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7460  ax-cnex 10624  ax-resscn 10625  ax-1cn 10626  ax-icn 10627  ax-addcl 10628  ax-addrcl 10629  ax-mulcl 10630  ax-mulrcl 10631  ax-mulcom 10632  ax-addass 10633  ax-mulass 10634  ax-distr 10635  ax-i2m1 10636  ax-1ne0 10637  ax-1rid 10638  ax-rnegex 10639  ax-rrecex 10640  ax-cnre 10641  ax-pre-lttri 10642  ax-pre-lttrn 10643  ax-pre-ltadd 10644  ax-pre-mulgt0 10645  ax-pre-sup 10646 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rmo 3079  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4227  df-if 4422  df-pw 4497  df-sn 4524  df-pr 4526  df-tp 4528  df-op 4530  df-uni 4800  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5431  df-eprel 5436  df-po 5444  df-so 5445  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6127  df-ord 6173  df-on 6174  df-lim 6175  df-suc 6176  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7581  df-2nd 7695  df-wrecs 7958  df-recs 8019  df-rdg 8057  df-er 8300  df-en 8529  df-dom 8530  df-sdom 8531  df-sup 8932  df-pnf 10708  df-mnf 10709  df-xr 10710  df-ltxr 10711  df-le 10712  df-sub 10903  df-neg 10904  df-div 11329  df-nn 11668  df-2 11730  df-3 11731  df-n0 11928  df-z 12014  df-uz 12276  df-rp 12424  df-seq 13412  df-exp 13473  df-cj 14499  df-re 14500  df-im 14501  df-sqrt 14635  df-abs 14636 This theorem is referenced by:  lawcos  25494
 Copyright terms: Public domain W3C validator