MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lawcoslem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lawcoslem1 26859
Description: Lemma for lawcos 26860. Here we prove the law for a point at the origin and two distinct points U and V, using an expanded version of the signed angle expression on the complex plane. (Contributed by David A. Wheeler, 11-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lawcoslem1.1 (𝜑𝑈 ∈ ℂ)
lawcoslem1.2 (𝜑𝑉 ∈ ℂ)
lawcoslem1.3 (𝜑𝑈 ≠ 0)
lawcoslem1.4 (𝜑𝑉 ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
lawcoslem1 (𝜑 → ((abs‘(𝑈𝑉))↑2) = ((((abs‘𝑈)↑2) + ((abs‘𝑉)↑2)) − (2 · (((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) · ((ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) / (abs‘(𝑈 / 𝑉)))))))

Proof of Theorem lawcoslem1
StepHypRef Expression
1 lawcoslem1.1 . . 3 (𝜑𝑈 ∈ ℂ)
2 lawcoslem1.2 . . 3 (𝜑𝑉 ∈ ℂ)
3 sqabssub 15323 . . 3 ((𝑈 ∈ ℂ ∧ 𝑉 ∈ ℂ) → ((abs‘(𝑈𝑉))↑2) = ((((abs‘𝑈)↑2) + ((abs‘𝑉)↑2)) − (2 · (ℜ‘(𝑈 · (∗‘𝑉))))))
41, 2, 3syl2anc 584 . 2 (𝜑 → ((abs‘(𝑈𝑉))↑2) = ((((abs‘𝑈)↑2) + ((abs‘𝑉)↑2)) − (2 · (ℜ‘(𝑈 · (∗‘𝑉))))))
5 lawcoslem1.4 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑉 ≠ 0)
61, 2, 5absdivd 15495 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘(𝑈 / 𝑉)) = ((abs‘𝑈) / (abs‘𝑉)))
76oveq2d 7448 . . . . . . 7 (𝜑 → ((ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) / (abs‘(𝑈 / 𝑉))) = ((ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) / ((abs‘𝑈) / (abs‘𝑉))))
87oveq2d 7448 . . . . . 6 (𝜑 → (((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) · ((ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) / (abs‘(𝑈 / 𝑉)))) = (((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) · ((ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) / ((abs‘𝑈) / (abs‘𝑉)))))
91abscld 15476 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘𝑈) ∈ ℝ)
102abscld 15476 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘𝑉) ∈ ℝ)
119, 10remulcld 11292 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) ∈ ℝ)
1211recnd 11290 . . . . . . 7 (𝜑 → ((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) ∈ ℂ)
131, 2, 5divcld 12044 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑈 / 𝑉) ∈ ℂ)
1413recld 15234 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) ∈ ℝ)
1514recnd 11290 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) ∈ ℂ)
169recnd 11290 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘𝑈) ∈ ℂ)
1710recnd 11290 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘𝑉) ∈ ℂ)
182, 5absne0d 15487 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘𝑉) ≠ 0)
1916, 17, 18divcld 12044 . . . . . . 7 (𝜑 → ((abs‘𝑈) / (abs‘𝑉)) ∈ ℂ)
20 lawcoslem1.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈 ≠ 0)
211, 20absne0d 15487 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘𝑈) ≠ 0)
2216, 17, 21, 18divne0d 12060 . . . . . . 7 (𝜑 → ((abs‘𝑈) / (abs‘𝑉)) ≠ 0)
2312, 15, 19, 22div12d 12080 . . . . . 6 (𝜑 → (((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) · ((ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) / ((abs‘𝑈) / (abs‘𝑉)))) = ((ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) · (((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) / ((abs‘𝑈) / (abs‘𝑉)))))
248, 23eqtrd 2776 . . . . 5 (𝜑 → (((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) · ((ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) / (abs‘(𝑈 / 𝑉)))) = ((ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) · (((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) / ((abs‘𝑈) / (abs‘𝑉)))))
2512, 16, 17, 21, 18divdiv2d 12076 . . . . . . 7 (𝜑 → (((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) / ((abs‘𝑈) / (abs‘𝑉))) = ((((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) · (abs‘𝑉)) / (abs‘𝑈)))
2617sqvald 14184 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((abs‘𝑉)↑2) = ((abs‘𝑉) · (abs‘𝑉)))
2726oveq1d 7447 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((abs‘𝑉)↑2) · (abs‘𝑈)) = (((abs‘𝑉) · (abs‘𝑉)) · (abs‘𝑈)))
2816, 17, 17mul31d 11473 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) · (abs‘𝑉)) = (((abs‘𝑉) · (abs‘𝑉)) · (abs‘𝑈)))
2927, 28eqtr4d 2779 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((abs‘𝑉)↑2) · (abs‘𝑈)) = (((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) · (abs‘𝑉)))
3029oveq1d 7447 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((abs‘𝑉)↑2) · (abs‘𝑈)) / (abs‘𝑈)) = ((((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) · (abs‘𝑉)) / (abs‘𝑈)))
3117sqcld 14185 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((abs‘𝑉)↑2) ∈ ℂ)
3231, 16, 21divcan4d 12050 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((abs‘𝑉)↑2) · (abs‘𝑈)) / (abs‘𝑈)) = ((abs‘𝑉)↑2))
3325, 30, 323eqtr2rd 2783 . . . . . 6 (𝜑 → ((abs‘𝑉)↑2) = (((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) / ((abs‘𝑈) / (abs‘𝑉))))
3433oveq2d 7448 . . . . 5 (𝜑 → ((ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) · ((abs‘𝑉)↑2)) = ((ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) · (((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) / ((abs‘𝑈) / (abs‘𝑉)))))
3515, 31mulcomd 11283 . . . . . . 7 (𝜑 → ((ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) · ((abs‘𝑉)↑2)) = (((abs‘𝑉)↑2) · (ℜ‘(𝑈 / 𝑉))))
3610resqcld 14166 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((abs‘𝑉)↑2) ∈ ℝ)
3736, 13remul2d 15267 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℜ‘(((abs‘𝑉)↑2) · (𝑈 / 𝑉))) = (((abs‘𝑉)↑2) · (ℜ‘(𝑈 / 𝑉))))
3835, 37eqtr4d 2779 . . . . . 6 (𝜑 → ((ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) · ((abs‘𝑉)↑2)) = (ℜ‘(((abs‘𝑉)↑2) · (𝑈 / 𝑉))))
391, 31, 2, 5div12d 12080 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑈 · (((abs‘𝑉)↑2) / 𝑉)) = (((abs‘𝑉)↑2) · (𝑈 / 𝑉)))
4031, 2, 5divrecd 12047 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((abs‘𝑉)↑2) / 𝑉) = (((abs‘𝑉)↑2) · (1 / 𝑉)))
41 recval 15362 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑉 ∈ ℂ ∧ 𝑉 ≠ 0) → (1 / 𝑉) = ((∗‘𝑉) / ((abs‘𝑉)↑2)))
422, 5, 41syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (1 / 𝑉) = ((∗‘𝑉) / ((abs‘𝑉)↑2)))
4342oveq2d 7448 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((abs‘𝑉)↑2) · (1 / 𝑉)) = (((abs‘𝑉)↑2) · ((∗‘𝑉) / ((abs‘𝑉)↑2))))
442cjcld 15236 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (∗‘𝑉) ∈ ℂ)
45 sqne0 14164 . . . . . . . . . . . . . 14 ((abs‘𝑉) ∈ ℂ → (((abs‘𝑉)↑2) ≠ 0 ↔ (abs‘𝑉) ≠ 0))
4617, 45syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((abs‘𝑉)↑2) ≠ 0 ↔ (abs‘𝑉) ≠ 0))
4718, 46mpbird 257 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((abs‘𝑉)↑2) ≠ 0)
4844, 31, 47divcan2d 12046 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((abs‘𝑉)↑2) · ((∗‘𝑉) / ((abs‘𝑉)↑2))) = (∗‘𝑉))
4943, 48eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((abs‘𝑉)↑2) · (1 / 𝑉)) = (∗‘𝑉))
5040, 49eqtrd 2776 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((abs‘𝑉)↑2) / 𝑉) = (∗‘𝑉))
5150oveq2d 7448 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑈 · (((abs‘𝑉)↑2) / 𝑉)) = (𝑈 · (∗‘𝑉)))
5239, 51eqtr3d 2778 . . . . . . 7 (𝜑 → (((abs‘𝑉)↑2) · (𝑈 / 𝑉)) = (𝑈 · (∗‘𝑉)))
5352fveq2d 6909 . . . . . 6 (𝜑 → (ℜ‘(((abs‘𝑉)↑2) · (𝑈 / 𝑉))) = (ℜ‘(𝑈 · (∗‘𝑉))))
5438, 53eqtrd 2776 . . . . 5 (𝜑 → ((ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) · ((abs‘𝑉)↑2)) = (ℜ‘(𝑈 · (∗‘𝑉))))
5524, 34, 543eqtr2rd 2783 . . . 4 (𝜑 → (ℜ‘(𝑈 · (∗‘𝑉))) = (((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) · ((ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) / (abs‘(𝑈 / 𝑉)))))
5655oveq2d 7448 . . 3 (𝜑 → (2 · (ℜ‘(𝑈 · (∗‘𝑉)))) = (2 · (((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) · ((ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) / (abs‘(𝑈 / 𝑉))))))
5756oveq2d 7448 . 2 (𝜑 → ((((abs‘𝑈)↑2) + ((abs‘𝑉)↑2)) − (2 · (ℜ‘(𝑈 · (∗‘𝑉))))) = ((((abs‘𝑈)↑2) + ((abs‘𝑉)↑2)) − (2 · (((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) · ((ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) / (abs‘(𝑈 / 𝑉)))))))
584, 57eqtrd 2776 1 (𝜑 → ((abs‘(𝑈𝑉))↑2) = ((((abs‘𝑈)↑2) + ((abs‘𝑉)↑2)) − (2 · (((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) · ((ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) / (abs‘(𝑈 / 𝑉)))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206   = wceq 1539  wcel 2107  wne 2939  cfv 6560  (class class class)co 7432  cc 11154  0cc0 11156  1c1 11157   + caddc 11159   · cmul 11161  cmin 11493   / cdiv 11921  2c2 12322  cexp 14103  ccj 15136  cre 15137  abscabs 15274
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-sup 9483  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-rp 13036  df-seq 14044  df-exp 14104  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276
This theorem is referenced by:  lawcos  26860
  Copyright terms: Public domain W3C validator