Theorem lawcoslem1 25974

Description: Lemma for lawcos 25975. Here we prove the law for a point at the origin and two distinct points U and V, using an expanded version of the signed angle expression on the complex plane. (Contributed by David A. Wheeler, 11-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lawcoslem1.1	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℂ)
lawcoslem1.2	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ ℂ)
lawcoslem1.3	⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ 0)
lawcoslem1.4	⊢ (𝜑 → 𝑉 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
lawcoslem1	⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝑈 − 𝑉))↑2) = ((((abs‘𝑈)↑2) + ((abs‘𝑉)↑2)) − (2 · (((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) · ((ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) / (abs‘(𝑈 / 𝑉)))))))

Proof of Theorem lawcoslem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lawcoslem1.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℂ)
2		lawcoslem1.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ ℂ)
3		sqabssub 15004	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ ℂ ∧ 𝑉 ∈ ℂ) → ((abs‘(𝑈 − 𝑉))↑2) = ((((abs‘𝑈)↑2) + ((abs‘𝑉)↑2)) − (2 · (ℜ‘(𝑈 · (∗‘𝑉))))))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝑈 − 𝑉))↑2) = ((((abs‘𝑈)↑2) + ((abs‘𝑉)↑2)) − (2 · (ℜ‘(𝑈 · (∗‘𝑉))))))
5		lawcoslem1.4	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ≠ 0)
6	1, 2, 5	absdivd 15176	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝑈 / 𝑉)) = ((abs‘𝑈) / (abs‘𝑉)))
7	6	oveq2d 7300	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) / (abs‘(𝑈 / 𝑉))) = ((ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) / ((abs‘𝑈) / (abs‘𝑉))))
8	7	oveq2d 7300	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) · ((ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) / (abs‘(𝑈 / 𝑉)))) = (((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) · ((ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) / ((abs‘𝑈) / (abs‘𝑉)))))
9	1	abscld 15157	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑈) ∈ ℝ)
10	2	abscld 15157	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑉) ∈ ℝ)
11	9, 10	remulcld 11014	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) ∈ ℝ)
12	11	recnd 11012	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) ∈ ℂ)
13	1, 2, 5	divcld 11760	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑈 / 𝑉) ∈ ℂ)
14	13	recld 14914	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) ∈ ℝ)
15	14	recnd 11012	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) ∈ ℂ)
16	9	recnd 11012	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑈) ∈ ℂ)
17	10	recnd 11012	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑉) ∈ ℂ)
18	2, 5	absne0d 15168	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑉) ≠ 0)
19	16, 17, 18	divcld 11760	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑈) / (abs‘𝑉)) ∈ ℂ)
20		lawcoslem1.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ 0)
21	1, 20	absne0d 15168	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑈) ≠ 0)
22	16, 17, 21, 18	divne0d 11776	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑈) / (abs‘𝑉)) ≠ 0)
23	12, 15, 19, 22	div12d 11796	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) · ((ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) / ((abs‘𝑈) / (abs‘𝑉)))) = ((ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) · (((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) / ((abs‘𝑈) / (abs‘𝑉)))))
24	8, 23	eqtrd 2779	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) · ((ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) / (abs‘(𝑈 / 𝑉)))) = ((ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) · (((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) / ((abs‘𝑈) / (abs‘𝑉)))))
25	12, 16, 17, 21, 18	divdiv2d 11792	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) / ((abs‘𝑈) / (abs‘𝑉))) = ((((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) · (abs‘𝑉)) / (abs‘𝑈)))
26	17	sqvald 13870	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑉)↑2) = ((abs‘𝑉) · (abs‘𝑉)))
27	26	oveq1d 7299	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝑉)↑2) · (abs‘𝑈)) = (((abs‘𝑉) · (abs‘𝑉)) · (abs‘𝑈)))
28	16, 17, 17	mul31d 11195	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) · (abs‘𝑉)) = (((abs‘𝑉) · (abs‘𝑉)) · (abs‘𝑈)))
29	27, 28	eqtr4d 2782	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝑉)↑2) · (abs‘𝑈)) = (((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) · (abs‘𝑉)))
30	29	oveq1d 7299	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘𝑉)↑2) · (abs‘𝑈)) / (abs‘𝑈)) = ((((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) · (abs‘𝑉)) / (abs‘𝑈)))
31	17	sqcld 13871	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑉)↑2) ∈ ℂ)
32	31, 16, 21	divcan4d 11766	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘𝑉)↑2) · (abs‘𝑈)) / (abs‘𝑈)) = ((abs‘𝑉)↑2))
33	25, 30, 32	3eqtr2rd 2786	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑉)↑2) = (((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) / ((abs‘𝑈) / (abs‘𝑉))))
34	33	oveq2d 7300	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) · ((abs‘𝑉)↑2)) = ((ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) · (((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) / ((abs‘𝑈) / (abs‘𝑉)))))
35	15, 31	mulcomd 11005	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) · ((abs‘𝑉)↑2)) = (((abs‘𝑉)↑2) · (ℜ‘(𝑈 / 𝑉))))
36	10	resqcld 13974	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑉)↑2) ∈ ℝ)
37	36, 13	remul2d 14947	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘(((abs‘𝑉)↑2) · (𝑈 / 𝑉))) = (((abs‘𝑉)↑2) · (ℜ‘(𝑈 / 𝑉))))
38	35, 37	eqtr4d 2782	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) · ((abs‘𝑉)↑2)) = (ℜ‘(((abs‘𝑉)↑2) · (𝑈 / 𝑉))))
39	1, 31, 2, 5	div12d 11796	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑈 · (((abs‘𝑉)↑2) / 𝑉)) = (((abs‘𝑉)↑2) · (𝑈 / 𝑉)))
40	31, 2, 5	divrecd 11763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝑉)↑2) / 𝑉) = (((abs‘𝑉)↑2) · (1 / 𝑉)))
41		recval 15043	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑉 ∈ ℂ ∧ 𝑉 ≠ 0) → (1 / 𝑉) = ((∗‘𝑉) / ((abs‘𝑉)↑2)))
42	2, 5, 41	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝑉) = ((∗‘𝑉) / ((abs‘𝑉)↑2)))
43	42	oveq2d 7300	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝑉)↑2) · (1 / 𝑉)) = (((abs‘𝑉)↑2) · ((∗‘𝑉) / ((abs‘𝑉)↑2))))
44	2	cjcld 14916	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (∗‘𝑉) ∈ ℂ)
45		sqne0 13852	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((abs‘𝑉) ∈ ℂ → (((abs‘𝑉)↑2) ≠ 0 ↔ (abs‘𝑉) ≠ 0))
46	17, 45	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝑉)↑2) ≠ 0 ↔ (abs‘𝑉) ≠ 0))
47	18, 46	mpbird 256	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑉)↑2) ≠ 0)
48	44, 31, 47	divcan2d 11762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝑉)↑2) · ((∗‘𝑉) / ((abs‘𝑉)↑2))) = (∗‘𝑉))
49	43, 48	eqtrd 2779	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝑉)↑2) · (1 / 𝑉)) = (∗‘𝑉))
50	40, 49	eqtrd 2779	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝑉)↑2) / 𝑉) = (∗‘𝑉))
51	50	oveq2d 7300	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑈 · (((abs‘𝑉)↑2) / 𝑉)) = (𝑈 · (∗‘𝑉)))
52	39, 51	eqtr3d 2781	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝑉)↑2) · (𝑈 / 𝑉)) = (𝑈 · (∗‘𝑉)))
53	52	fveq2d 6787	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘(((abs‘𝑉)↑2) · (𝑈 / 𝑉))) = (ℜ‘(𝑈 · (∗‘𝑉))))
54	38, 53	eqtrd 2779	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) · ((abs‘𝑉)↑2)) = (ℜ‘(𝑈 · (∗‘𝑉))))
55	24, 34, 54	3eqtr2rd 2786	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘(𝑈 · (∗‘𝑉))) = (((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) · ((ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) / (abs‘(𝑈 / 𝑉)))))
56	55	oveq2d 7300	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2 · (ℜ‘(𝑈 · (∗‘𝑉)))) = (2 · (((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) · ((ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) / (abs‘(𝑈 / 𝑉))))))
57	56	oveq2d 7300	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘𝑈)↑2) + ((abs‘𝑉)↑2)) − (2 · (ℜ‘(𝑈 · (∗‘𝑉))))) = ((((abs‘𝑈)↑2) + ((abs‘𝑉)↑2)) − (2 · (((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) · ((ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) / (abs‘(𝑈 / 𝑉)))))))
58	4, 57	eqtrd 2779	1 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝑈 − 𝑉))↑2) = ((((abs‘𝑈)↑2) + ((abs‘𝑉)↑2)) − (2 · (((abs‘𝑈) · (abs‘𝑉)) · ((ℜ‘(𝑈 / 𝑉)) / (abs‘(𝑈 / 𝑉)))))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2944  ‘cfv 6437  (class class class)co 7284  ℂcc 10878  0cc0 10880  1c1 10881   + caddc 10883   · cmul 10885   − cmin 11214   / cdiv 11641  2c2 12037  ↑cexp 13791  ∗ccj 14816  ℜcre 14817  abscabs 14954

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2710  ax-sep 5224  ax-nul 5231  ax-pow 5289  ax-pr 5353  ax-un 7597  ax-cnex 10936  ax-resscn 10937  ax-1cn 10938  ax-icn 10939  ax-addcl 10940  ax-addrcl 10941  ax-mulcl 10942  ax-mulrcl 10943  ax-mulcom 10944  ax-addass 10945  ax-mulass 10946  ax-distr 10947  ax-i2m1 10948  ax-1ne0 10949  ax-1rid 10950  ax-rnegex 10951  ax-rrecex 10952  ax-cnre 10953  ax-pre-lttri 10954  ax-pre-lttrn 10955  ax-pre-ltadd 10956  ax-pre-mulgt0 10957  ax-pre-sup 10958

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-rmo 3072  df-reu 3073  df-rab 3074  df-v 3435  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-iun 4927  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-tr 5193  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6395  df-fun 6439  df-fn 6440  df-f 6441  df-f1 6442  df-fo 6443  df-f1o 6444  df-fv 6445  df-riota 7241  df-ov 7287  df-oprab 7288  df-mpo 7289  df-om 7722  df-2nd 7841  df-frecs 8106  df-wrecs 8137  df-recs 8211  df-rdg 8250  df-er 8507  df-en 8743  df-dom 8744  df-sdom 8745  df-sup 9210  df-pnf 11020  df-mnf 11021  df-xr 11022  df-ltxr 11023  df-le 11024  df-sub 11216  df-neg 11217  df-div 11642  df-nn 11983  df-2 12045  df-3 12046  df-n0 12243  df-z 12329  df-uz 12592  df-rp 12740  df-seq 13731  df-exp 13792  df-cj 14819  df-re 14820  df-im 14821  df-sqrt 14955  df-abs 14956

This theorem is referenced by:  lawcos  25975