Theorem root1cj 27089

Description: Within the 𝑁-th roots of unity, the conjugate of the 𝐾-th root is the 𝑁 − 𝐾-th root. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
root1cj	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∗‘(( -1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾)) = (( -1↑𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑁 − 𝐾)))

Proof of Theorem root1cj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neg1cn 12308	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℂ
2		2re 12420	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
3		simpl 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ)
4		nndivre 12382	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 / 𝑁) ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	sylancr 599	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (2 / 𝑁) ∈ ℝ)
6	5	recnd 11340	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (2 / 𝑁) ∈ ℂ)
7		cxpcl 27007	. . . 4 ⊢ (( -1 ∈ ℂ ∧ (2 / 𝑁) ∈ ℂ) → ( -1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ ℂ)
8	1, 6, 7	sylancr 599	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ( -1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ ℂ)
9	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → -1 ∈ ℂ)
10		neg1ne0 12310	. . . . 5 ⊢ -1 ≠ 0
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → -1 ≠ 0)
12	9, 11, 6	cxpne0d 27046	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ( -1↑𝑐(2 / 𝑁)) ≠ 0)
13		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℤ)
14		nnz 12717	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
15	14	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
16	8, 12, 13, 15	expsubd 14303	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (( -1↑𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑁 − 𝐾)) = ((( -1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑁) / (( -1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾)))
17		root1id 27087	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (( -1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑁) = 1)
18	17	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (( -1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑁) = 1)
19	18	oveq1d 7435	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((( -1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑁) / (( -1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾)) = (1 / (( -1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾)))
20	8, 12, 13	expclzd 14297	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (( -1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾) ∈ ℂ)
21	8, 12, 13	expne0d 14298	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (( -1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾) ≠ 0)
22		recval 15495	. . . 4 ⊢ (((( -1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾) ∈ ℂ ∧ (( -1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾) ≠ 0) → (1 / (( -1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾)) = ((∗‘(( -1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾)) / ((abs‘(( -1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾))↑2)))
23	20, 21, 22	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (1 / (( -1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾)) = ((∗‘(( -1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾)) / ((abs‘(( -1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾))↑2)))
24		absexpz 15477	. . . . . . . 8 ⊢ ((( -1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ ℂ ∧ ( -1↑𝑐(2 / 𝑁)) ≠ 0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (abs‘(( -1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾)) = ((abs‘( -1↑𝑐(2 / 𝑁)))↑𝐾))
25	8, 12, 13, 24	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (abs‘(( -1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾)) = ((abs‘( -1↑𝑐(2 / 𝑁)))↑𝐾))
26		abscxp2 27026	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (( -1 ∈ ℂ ∧ (2 / 𝑁) ∈ ℝ) → (abs‘( -1↑𝑐(2 / 𝑁))) = ((abs‘ -1)↑𝑐(2 / 𝑁)))
27	1, 5, 26	sylancr 599	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (abs‘( -1↑𝑐(2 / 𝑁))) = ((abs‘ -1)↑𝑐(2 / 𝑁)))
28		ax-1cn 11261	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℂ
29	28	absnegi 15573	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (abs‘ -1) = (abs‘1)
30		abs1 15469	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (abs‘1) = 1
31	29, 30	eqtri 2783	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (abs‘ -1) = 1
32	31	oveq1i 7430	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((abs‘ -1)↑𝑐(2 / 𝑁)) = (1↑𝑐(2 / 𝑁))
33	27, 32	eqtrdi 2811	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (abs‘( -1↑𝑐(2 / 𝑁))) = (1↑𝑐(2 / 𝑁)))
34	6	1cxpd 27040	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (1↑𝑐(2 / 𝑁)) = 1)
35	33, 34	eqtrd 2795	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (abs‘( -1↑𝑐(2 / 𝑁))) = 1)
36	35	oveq1d 7435	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((abs‘( -1↑𝑐(2 / 𝑁)))↑𝐾) = (1↑𝐾))
37		1exp 14237	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (1↑𝐾) = 1)
38	37	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (1↑𝐾) = 1)
39	25, 36, 38	3eqtrd 2799	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (abs‘(( -1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾)) = 1)
40	39	oveq1d 7435	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((abs‘(( -1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾))↑2) = (1↑2))
41		sq1 14341	. . . . 5 ⊢ (1↑2) = 1
42	40, 41	eqtrdi 2811	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((abs‘(( -1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾))↑2) = 1)
43	42	oveq2d 7436	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((∗‘(( -1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾)) / ((abs‘(( -1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾))↑2)) = ((∗‘(( -1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾)) / 1))
44	20	cjcld 15368	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∗‘(( -1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾)) ∈ ℂ)
45	44	div1d 12088	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((∗‘(( -1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾)) / 1) = (∗‘(( -1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾)))
46	23, 43, 45	3eqtrd 2799	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (1 / (( -1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾)) = (∗‘(( -1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾)))
47	16, 19, 46	3eqtrrd 2800	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∗‘(( -1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾)) = (( -1↑𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑁 − 𝐾)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11201  ℝcr 11202  0cc0 11203  1c1 11204   − cmin 11544   -cneg 11545   / cdiv 11976  ℕcn 12338  2c2 12400  ℤcz 12696  ↑cexp 14207  ∗ccj 15268  abscabs 15406  ↑_𝑐ccxp 26888

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9645  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280  ax-pre-sup 11281  ax-addf 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8180  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-2o 8480  df-er 8720  df-map 8852  df-pm 8853  df-ixp 8929  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-fsupp 9357  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9507  df-card 10023  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-div 11977  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-4 12410  df-5 12411  df-6 12412  df-7 12413  df-8 12414  df-9 12415  df-n0 12610  df-z 12697  df-dec 12818  df-uz 12969  df-q 13079  df-rp 13124  df-xneg 13244  df-xadd 13245  df-xmul 13246  df-ioo 13483  df-ioc 13484  df-ico 13485  df-icc 13486  df-fz 13643  df-fzo 13792  df-fl 13935  df-mod 14013  df-seq 14148  df-exp 14208  df-fac 14421  df-bc 14450  df-hash 14478  df-shft 15225  df-cj 15271  df-re 15272  df-im 15273  df-sqrt 15407  df-abs 15408  df-limsup 15643  df-clim 15660  df-rlim 15661  df-sum 15859  df-ef 16238  df-sin 16240  df-cos 16241  df-pi 16243  df-struct 17330  df-sets 17347  df-slot 17365  df-ndx 17377  df-base 17393  df-ress 17414  df-plusg 17446  df-mulr 17447  df-starv 17448  df-sca 17449  df-vsca 17450  df-ip 17451  df-tset 17452  df-ple 17453  df-ds 17455  df-unif 17456  df-hom 17457  df-cco 17458  df-rest 17598  df-topn 17599  df-0g 17617  df-gsum 17618  df-topgen 17619  df-pt 17620  df-prds 17623  df-xrs 17679  df-qtop 17684  df-imas 17685  df-xps 17687  df-mre 17761  df-mrc 17762  df-acs 17764  df-mgm 18821  df-sgrp 18913  df-mnd 18929  df-submnd 18984  df-mulg 19283  df-cntz 19536  df-cmn 20001  df-psmet 21675  df-xmet 21676  df-met 21677  df-bl 21678  df-mopn 21679  df-fbas 21680  df-fg 21681  df-cnfld 21684  df-top 23217  df-topon 23234  df-topsp 23256  df-bases 23269  df-cld 23342  df-ntr 23343  df-cls 23344  df-nei 23421  df-lp 23459  df-perf 23460  df-cn 23550  df-cnp 23551  df-haus 23638  df-tx 23886  df-hmeo 24079  df-fil 24170  df-fm 24262  df-flim 24263  df-flf 24264  df-xms 24644  df-ms 24645  df-tms 24646  df-cncf 25204  df-limc 26191  df-dv 26192  df-log 26889  df-cxp 26890

This theorem is used by:  1cubrlem  27174