Theorem root1cj 26682

Description: Within the 𝑁-th roots of unity, the conjugate of the 𝐾-th root is the 𝑁 − 𝐾-th root. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
root1cj	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∗‘((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾)) = ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑁 − 𝐾)))

Proof of Theorem root1cj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neg1cn 12131	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℂ
2		2re 12220	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
3		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ)
4		nndivre 12187	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 / 𝑁) ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (2 / 𝑁) ∈ ℝ)
6	5	recnd 11162	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (2 / 𝑁) ∈ ℂ)
7		cxpcl 26599	. . . 4 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ (2 / 𝑁) ∈ ℂ) → (-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ ℂ)
8	1, 6, 7	sylancr 587	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ ℂ)
9	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → -1 ∈ ℂ)
10		neg1ne0 12133	. . . . 5 ⊢ -1 ≠ 0
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → -1 ≠ 0)
12	9, 11, 6	cxpne0d 26638	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ≠ 0)
13		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℤ)
14		nnz 12510	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
15	14	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
16	8, 12, 13, 15	expsubd 14082	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑁 − 𝐾)) = (((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑁) / ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾)))
17		root1id 26680	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑁) = 1)
18	17	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑁) = 1)
19	18	oveq1d 7368	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝑁) / ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾)) = (1 / ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾)))
20	8, 12, 13	expclzd 14076	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾) ∈ ℂ)
21	8, 12, 13	expne0d 14077	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾) ≠ 0)
22		recval 15248	. . . 4 ⊢ ((((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾) ∈ ℂ ∧ ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾) ≠ 0) → (1 / ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾)) = ((∗‘((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾)) / ((abs‘((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾))↑2)))
23	20, 21, 22	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (1 / ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾)) = ((∗‘((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾)) / ((abs‘((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾))↑2)))
24		absexpz 15230	. . . . . . . 8 ⊢ (((-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ∈ ℂ ∧ (-1↑𝑐(2 / 𝑁)) ≠ 0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (abs‘((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾)) = ((abs‘(-1↑𝑐(2 / 𝑁)))↑𝐾))
25	8, 12, 13, 24	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (abs‘((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾)) = ((abs‘(-1↑𝑐(2 / 𝑁)))↑𝐾))
26		abscxp2 26618	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-1 ∈ ℂ ∧ (2 / 𝑁) ∈ ℝ) → (abs‘(-1↑𝑐(2 / 𝑁))) = ((abs‘-1)↑𝑐(2 / 𝑁)))
27	1, 5, 26	sylancr 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (abs‘(-1↑𝑐(2 / 𝑁))) = ((abs‘-1)↑𝑐(2 / 𝑁)))
28		ax-1cn 11086	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℂ
29	28	absnegi 15326	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (abs‘-1) = (abs‘1)
30		abs1 15222	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (abs‘1) = 1
31	29, 30	eqtri 2752	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (abs‘-1) = 1
32	31	oveq1i 7363	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((abs‘-1)↑𝑐(2 / 𝑁)) = (1↑𝑐(2 / 𝑁))
33	27, 32	eqtrdi 2780	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (abs‘(-1↑𝑐(2 / 𝑁))) = (1↑𝑐(2 / 𝑁)))
34	6	1cxpd 26632	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (1↑𝑐(2 / 𝑁)) = 1)
35	33, 34	eqtrd 2764	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (abs‘(-1↑𝑐(2 / 𝑁))) = 1)
36	35	oveq1d 7368	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((abs‘(-1↑𝑐(2 / 𝑁)))↑𝐾) = (1↑𝐾))
37		1exp 14016	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (1↑𝐾) = 1)
38	37	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (1↑𝐾) = 1)
39	25, 36, 38	3eqtrd 2768	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (abs‘((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾)) = 1)
40	39	oveq1d 7368	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((abs‘((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾))↑2) = (1↑2))
41		sq1 14120	. . . . 5 ⊢ (1↑2) = 1
42	40, 41	eqtrdi 2780	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((abs‘((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾))↑2) = 1)
43	42	oveq2d 7369	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((∗‘((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾)) / ((abs‘((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾))↑2)) = ((∗‘((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾)) / 1))
44	20	cjcld 15121	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∗‘((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾)) ∈ ℂ)
45	44	div1d 11910	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((∗‘((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾)) / 1) = (∗‘((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾)))
46	23, 43, 45	3eqtrd 2768	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (1 / ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾)) = (∗‘((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾)))
47	16, 19, 46	3eqtrrd 2769	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∗‘((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾)) = ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑(𝑁 − 𝐾)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  ℂcc 11026  ℝcr 11027  0cc0 11028  1c1 11029   − cmin 11365  -cneg 11366   / cdiv 11795  ℕcn 12146  2c2 12201  ℤcz 12489  ↑cexp 13986  ∗ccj 15021  abscabs 15159  ↑_𝑐ccxp 26480

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-inf2 9556  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106  ax-addf 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-of 7617  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8632  df-map 8762  df-pm 8763  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9271  df-fi 9320  df-sup 9351  df-inf 9352  df-oi 9421  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-z 12490  df-dec 12610  df-uz 12754  df-q 12868  df-rp 12912  df-xneg 13032  df-xadd 13033  df-xmul 13034  df-ioo 13270  df-ioc 13271  df-ico 13272  df-icc 13273  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-fl 13714  df-mod 13792  df-seq 13927  df-exp 13987  df-fac 14199  df-bc 14228  df-hash 14256  df-shft 14992  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-limsup 15396  df-clim 15413  df-rlim 15414  df-sum 15612  df-ef 15992  df-sin 15994  df-cos 15995  df-pi 15997  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-starv 17194  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-unif 17202  df-hom 17203  df-cco 17204  df-rest 17344  df-topn 17345  df-0g 17363  df-gsum 17364  df-topgen 17365  df-pt 17366  df-prds 17369  df-xrs 17424  df-qtop 17429  df-imas 17430  df-xps 17432  df-mre 17506  df-mrc 17507  df-acs 17509  df-mgm 18532  df-sgrp 18611  df-mnd 18627  df-submnd 18676  df-mulg 18965  df-cntz 19214  df-cmn 19679  df-psmet 21271  df-xmet 21272  df-met 21273  df-bl 21274  df-mopn 21275  df-fbas 21276  df-fg 21277  df-cnfld 21280  df-top 22797  df-topon 22814  df-topsp 22836  df-bases 22849  df-cld 22922  df-ntr 22923  df-cls 22924  df-nei 23001  df-lp 23039  df-perf 23040  df-cn 23130  df-cnp 23131  df-haus 23218  df-tx 23465  df-hmeo 23658  df-fil 23749  df-fm 23841  df-flim 23842  df-flf 23843  df-xms 24224  df-ms 24225  df-tms 24226  df-cncf 24787  df-limc 25783  df-dv 25784  df-log 26481  df-cxp 26482

This theorem is referenced by:  1cubrlem  26767