Theorem zringnm 33403

Description: The norm (function) for a ring of integers is the absolute value function (restricted to the integers). (Contributed by AV, 13-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
zringnm	⊢ (norm‘ℤring) = (abs ↾ ℤ)

Proof of Theorem zringnm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnring 21256	. . 3 ⊢ ℂfld ∈ Ring
2		ringmnd 20144	. . 3 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Mnd)
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ ℂfld ∈ Mnd
4		0z 12576	. 2 ⊢ 0 ∈ ℤ
5		zsscn 12573	. 2 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
6		df-zring 21307	. . . 4 ⊢ ℤring = (ℂfld ↾s ℤ)
7		cnfldbas 21237	. . . 4 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
8		cnfld0 21258	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
9		cnfldnm 24615	. . . 4 ⊢ abs = (norm‘ℂfld)
10	6, 7, 8, 9	ressnm 32562	. . 3 ⊢ ((ℂfld ∈ Mnd ∧ 0 ∈ ℤ ∧ ℤ ⊆ ℂ) → (abs ↾ ℤ) = (norm‘ℤring))
11	10	eqcomd 2737	. 2 ⊢ ((ℂfld ∈ Mnd ∧ 0 ∈ ℤ ∧ ℤ ⊆ ℂ) → (norm‘ℤring) = (abs ↾ ℤ))
12	3, 4, 5, 11	mp3an 1460	1 ⊢ (norm‘ℤring) = (abs ↾ ℤ)

Syntax hints:   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ⊆ wss 3948   ↾ cres 5678  ‘cfv 6543  ℂcc 11114  0cc0 11116  ℤcz 12565  abscabs 15188  Mndcmnd 18665  Ringcrg 20134  ℂ_fldccnfld 21233  ℤ_ringczring 21306  normcnm 24405

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194  ax-addf 11195  ax-mulf 11196

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9443  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-rp 12982  df-fz 13492  df-seq 13974  df-exp 14035  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-0g 17394  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-grp 18864  df-cmn 19698  df-mgp 20036  df-ring 20136  df-cring 20137  df-cnfld 21234  df-zring 21307  df-nm 24411

This theorem is referenced by:  zzsnm  33404  cnzh  33415  rezh  33416