Theorem zringnm 33921

Description: The norm (function) for a ring of integers is the absolute value function (restricted to the integers). (Contributed by AV, 13-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
zringnm	⊢ (norm‘ℤring) = (abs ↾ ℤ)

Proof of Theorem zringnm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnring 21278	. . 3 ⊢ ℂfld ∈ Ring
2		ringmnd 20128	. . 3 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Mnd)
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ ℂfld ∈ Mnd
4		0z 12516	. 2 ⊢ 0 ∈ ℤ
5		zsscn 12513	. 2 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
6		df-zring 21333	. . . 4 ⊢ ℤring = (ℂfld ↾s ℤ)
7		cnfldbas 21244	. . . 4 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
8		cnfld0 21280	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
9		cnfldnm 24642	. . . 4 ⊢ abs = (norm‘ℂfld)
10	6, 7, 8, 9	ressnm 32859	. . 3 ⊢ ((ℂfld ∈ Mnd ∧ 0 ∈ ℤ ∧ ℤ ⊆ ℂ) → (abs ↾ ℤ) = (norm‘ℤring))
11	10	eqcomd 2735	. 2 ⊢ ((ℂfld ∈ Mnd ∧ 0 ∈ ℤ ∧ ℤ ⊆ ℂ) → (norm‘ℤring) = (abs ↾ ℤ))
12	3, 4, 5, 11	mp3an 1463	1 ⊢ (norm‘ℤring) = (abs ↾ ℤ)

Syntax hints:   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3911   ↾ cres 5633  ‘cfv 6499  ℂcc 11042  0cc0 11044  ℤcz 12505  abscabs 15176  Mndcmnd 18637  Ringcrg 20118  ℂ_fldccnfld 21240  ℤ_ringczring 21332  normcnm 24440

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122  ax-addf 11123

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9369  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-rp 12928  df-fz 13445  df-seq 13943  df-exp 14003  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-struct 17093  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-0g 17380  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-grp 18844  df-cmn 19688  df-mgp 20026  df-ring 20120  df-cring 20121  df-cnfld 21241  df-zring 21333  df-nm 24446

This theorem is referenced by:  zzsnm  33922  cnzh  33931  rezh  33932