Theorem rexfrabdioph 44068

Description: Diophantine set builder for existential quantifier, explicit substitution. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
rexfrabdioph.1	⊢ 𝑀 = (𝑁 + 1)

Assertion

Ref	Expression
rexfrabdioph	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑀)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝑀) / 𝑣]𝜑} ∈ (Dioph‘𝑀)) → {𝑢 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑣 ∈ ℕ0 𝜑} ∈ (Dioph‘𝑁))

Distinct variable groups:   𝑢,𝑡,𝑣,𝑀   𝑡,𝑁,𝑢,𝑣   𝜑,𝑡

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑣, 𝑢)

Proof of Theorem rexfrabdioph

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2926	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑢(ℕ0 ↑m (1...𝑁))
2		nfcv 2926	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑎(ℕ0 ↑m (1...𝑁))
3		nfv 1949	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑎∃𝑣 ∈ ℕ0 𝜑
4		nfcv 2926	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑢ℕ0
5		nfsbc1v 3762	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑢[𝑎 / 𝑢][𝑏 / 𝑣]𝜑
6	4, 5	nfrexw 3314	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑢∃𝑏 ∈ ℕ0 [𝑎 / 𝑢][𝑏 / 𝑣]𝜑
7		nfv 1949	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑏𝜑
8		nfsbc1v 3762	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑣[𝑏 / 𝑣]𝜑
9		sbceq1a 3753	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = 𝑏 → (𝜑 ↔ [𝑏 / 𝑣]𝜑))
10	7, 8, 9	cbvrexw 3309	. . . 4 ⊢ (∃𝑣 ∈ ℕ0 𝜑 ↔ ∃𝑏 ∈ ℕ0 [𝑏 / 𝑣]𝜑)
11		sbceq1a 3753	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = 𝑎 → ([𝑏 / 𝑣]𝜑 ↔ [𝑎 / 𝑢][𝑏 / 𝑣]𝜑))
12	11	rexbidv 3190	. . . 4 ⊢ (𝑢 = 𝑎 → (∃𝑏 ∈ ℕ0 [𝑏 / 𝑣]𝜑 ↔ ∃𝑏 ∈ ℕ0 [𝑎 / 𝑢][𝑏 / 𝑣]𝜑))
13	10, 12	bitrid 286	. . 3 ⊢ (𝑢 = 𝑎 → (∃𝑣 ∈ ℕ0 𝜑 ↔ ∃𝑏 ∈ ℕ0 [𝑎 / 𝑢][𝑏 / 𝑣]𝜑))
14	1, 2, 3, 6, 13	cbvrabw 3450	. 2 ⊢ {𝑢 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑣 ∈ ℕ0 𝜑} = {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑏 ∈ ℕ0 [𝑎 / 𝑢][𝑏 / 𝑣]𝜑}
15		rexfrabdioph.1	. . 3 ⊢ 𝑀 = (𝑁 + 1)
16		dfsbcq 3744	. . . 4 ⊢ (𝑏 = (𝑡‘𝑀) → ([𝑏 / 𝑣]𝜑 ↔ [(𝑡‘𝑀) / 𝑣]𝜑))
17	16	sbcbidv 3797	. . 3 ⊢ (𝑏 = (𝑡‘𝑀) → ([𝑎 / 𝑢][𝑏 / 𝑣]𝜑 ↔ [𝑎 / 𝑢][(𝑡‘𝑀) / 𝑣]𝜑))
18		dfsbcq 3744	. . 3 ⊢ (𝑎 = (𝑡 ↾ (1...𝑁)) → ([𝑎 / 𝑢][(𝑡‘𝑀) / 𝑣]𝜑 ↔ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝑀) / 𝑣]𝜑))
19	15, 17, 18	rexrabdioph 44067	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑀)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝑀) / 𝑣]𝜑} ∈ (Dioph‘𝑀)) → {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑏 ∈ ℕ0 [𝑎 / 𝑢][𝑏 / 𝑣]𝜑} ∈ (Dioph‘𝑁))
20	14, 19	eqeltrid 2868	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑀)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝑀) / 𝑣]𝜑} ∈ (Dioph‘𝑀)) → {𝑢 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑣 ∈ ℕ0 𝜑} ∈ (Dioph‘𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∃wrex 3090  {crab 3416  [wsbc 3742   ↾ cres 5660  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451   ↑_m cmap 8885  1c1 11240   + caddc 11242  ℕ₀cn0 12646  ...cfz 13679  Diophcdioph 44032

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-inf2 9679  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-of 7725  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-oadd 8518  df-er 8755  df-map 8887  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-dju 10019  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-fz 13680  df-hash 14516  df-mzpcl 44000  df-mzp 44001  df-dioph 44033

This theorem is used by:  2rexfrabdioph  44069  3rexfrabdioph  44070  7rexfrabdioph  44073  rmxdioph  44289  expdiophlem2  44295