Theorem rexfrabdioph 42756

Description: Diophantine set builder for existential quantifier, explicit substitution. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
rexfrabdioph.1	⊢ 𝑀 = (𝑁 + 1)

Assertion

Ref	Expression
rexfrabdioph	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑀)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝑀) / 𝑣]𝜑} ∈ (Dioph‘𝑀)) → {𝑢 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑣 ∈ ℕ0 𝜑} ∈ (Dioph‘𝑁))

Distinct variable groups:   𝑢,𝑡,𝑣,𝑀   𝑡,𝑁,𝑢,𝑣   𝜑,𝑡

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑣,𝑢)

Proof of Theorem rexfrabdioph

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2891	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑢(ℕ0 ↑m (1...𝑁))
2		nfcv 2891	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑎(ℕ0 ↑m (1...𝑁))
3		nfv 1914	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑎∃𝑣 ∈ ℕ0 𝜑
4		nfcv 2891	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑢ℕ0
5		nfsbc1v 3770	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑢[𝑎 / 𝑢][𝑏 / 𝑣]𝜑
6	4, 5	nfrexw 3284	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑢∃𝑏 ∈ ℕ0 [𝑎 / 𝑢][𝑏 / 𝑣]𝜑
7		nfv 1914	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑏𝜑
8		nfsbc1v 3770	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑣[𝑏 / 𝑣]𝜑
9		sbceq1a 3761	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = 𝑏 → (𝜑 ↔ [𝑏 / 𝑣]𝜑))
10	7, 8, 9	cbvrexw 3279	. . . 4 ⊢ (∃𝑣 ∈ ℕ0 𝜑 ↔ ∃𝑏 ∈ ℕ0 [𝑏 / 𝑣]𝜑)
11		sbceq1a 3761	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = 𝑎 → ([𝑏 / 𝑣]𝜑 ↔ [𝑎 / 𝑢][𝑏 / 𝑣]𝜑))
12	11	rexbidv 3157	. . . 4 ⊢ (𝑢 = 𝑎 → (∃𝑏 ∈ ℕ0 [𝑏 / 𝑣]𝜑 ↔ ∃𝑏 ∈ ℕ0 [𝑎 / 𝑢][𝑏 / 𝑣]𝜑))
13	10, 12	bitrid 283	. . 3 ⊢ (𝑢 = 𝑎 → (∃𝑣 ∈ ℕ0 𝜑 ↔ ∃𝑏 ∈ ℕ0 [𝑎 / 𝑢][𝑏 / 𝑣]𝜑))
14	1, 2, 3, 6, 13	cbvrabw 3438	. 2 ⊢ {𝑢 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑣 ∈ ℕ0 𝜑} = {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑏 ∈ ℕ0 [𝑎 / 𝑢][𝑏 / 𝑣]𝜑}
15		rexfrabdioph.1	. . 3 ⊢ 𝑀 = (𝑁 + 1)
16		dfsbcq 3752	. . . 4 ⊢ (𝑏 = (𝑡‘𝑀) → ([𝑏 / 𝑣]𝜑 ↔ [(𝑡‘𝑀) / 𝑣]𝜑))
17	16	sbcbidv 3806	. . 3 ⊢ (𝑏 = (𝑡‘𝑀) → ([𝑎 / 𝑢][𝑏 / 𝑣]𝜑 ↔ [𝑎 / 𝑢][(𝑡‘𝑀) / 𝑣]𝜑))
18		dfsbcq 3752	. . 3 ⊢ (𝑎 = (𝑡 ↾ (1...𝑁)) → ([𝑎 / 𝑢][(𝑡‘𝑀) / 𝑣]𝜑 ↔ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝑀) / 𝑣]𝜑))
19	15, 17, 18	rexrabdioph 42755	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑀)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝑀) / 𝑣]𝜑} ∈ (Dioph‘𝑀)) → {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑏 ∈ ℕ0 [𝑎 / 𝑢][𝑏 / 𝑣]𝜑} ∈ (Dioph‘𝑁))
20	14, 19	eqeltrid 2832	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑀)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝑀) / 𝑣]𝜑} ∈ (Dioph‘𝑀)) → {𝑢 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑣 ∈ ℕ0 𝜑} ∈ (Dioph‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053  {crab 3402  [wsbc 3750   ↾ cres 5633  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369   ↑_m cmap 8776  1c1 11045   + caddc 11047  ℕ₀cn0 12418  ...cfz 13444  Diophcdioph 42716

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-inf2 9570  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-of 7633  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-oadd 8415  df-er 8648  df-map 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-dju 9830  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-fz 13445  df-hash 14272  df-mzpcl 42684  df-mzp 42685  df-dioph 42717

This theorem is referenced by:  2rexfrabdioph  42757  3rexfrabdioph  42758  7rexfrabdioph  42761  rmxdioph  42978  expdiophlem2  42984