Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rexfrabdioph Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rexfrabdioph 42806
Description: Diophantine set builder for existential quantifier, explicit substitution. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
rexfrabdioph.1 𝑀 = (𝑁 + 1)
Assertion
Ref Expression
rexfrabdioph ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ {𝑡 ∈ (ℕ0m (1...𝑀)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡𝑀) / 𝑣]𝜑} ∈ (Dioph‘𝑀)) → {𝑢 ∈ (ℕ0m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑣 ∈ ℕ0 𝜑} ∈ (Dioph‘𝑁))
Distinct variable groups:   𝑢,𝑡,𝑣,𝑀   𝑡,𝑁,𝑢,𝑣   𝜑,𝑡
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑣,𝑢)

Proof of Theorem rexfrabdioph
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2905 . . 3 𝑢(ℕ0m (1...𝑁))
2 nfcv 2905 . . 3 𝑎(ℕ0m (1...𝑁))
3 nfv 1914 . . 3 𝑎𝑣 ∈ ℕ0 𝜑
4 nfcv 2905 . . . 4 𝑢0
5 nfsbc1v 3808 . . . 4 𝑢[𝑎 / 𝑢][𝑏 / 𝑣]𝜑
64, 5nfrexw 3313 . . 3 𝑢𝑏 ∈ ℕ0 [𝑎 / 𝑢][𝑏 / 𝑣]𝜑
7 nfv 1914 . . . . 5 𝑏𝜑
8 nfsbc1v 3808 . . . . 5 𝑣[𝑏 / 𝑣]𝜑
9 sbceq1a 3799 . . . . 5 (𝑣 = 𝑏 → (𝜑[𝑏 / 𝑣]𝜑))
107, 8, 9cbvrexw 3307 . . . 4 (∃𝑣 ∈ ℕ0 𝜑 ↔ ∃𝑏 ∈ ℕ0 [𝑏 / 𝑣]𝜑)
11 sbceq1a 3799 . . . . 5 (𝑢 = 𝑎 → ([𝑏 / 𝑣]𝜑[𝑎 / 𝑢][𝑏 / 𝑣]𝜑))
1211rexbidv 3179 . . . 4 (𝑢 = 𝑎 → (∃𝑏 ∈ ℕ0 [𝑏 / 𝑣]𝜑 ↔ ∃𝑏 ∈ ℕ0 [𝑎 / 𝑢][𝑏 / 𝑣]𝜑))
1310, 12bitrid 283 . . 3 (𝑢 = 𝑎 → (∃𝑣 ∈ ℕ0 𝜑 ↔ ∃𝑏 ∈ ℕ0 [𝑎 / 𝑢][𝑏 / 𝑣]𝜑))
141, 2, 3, 6, 13cbvrabw 3473 . 2 {𝑢 ∈ (ℕ0m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑣 ∈ ℕ0 𝜑} = {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑏 ∈ ℕ0 [𝑎 / 𝑢][𝑏 / 𝑣]𝜑}
15 rexfrabdioph.1 . . 3 𝑀 = (𝑁 + 1)
16 dfsbcq 3790 . . . 4 (𝑏 = (𝑡𝑀) → ([𝑏 / 𝑣]𝜑[(𝑡𝑀) / 𝑣]𝜑))
1716sbcbidv 3845 . . 3 (𝑏 = (𝑡𝑀) → ([𝑎 / 𝑢][𝑏 / 𝑣]𝜑[𝑎 / 𝑢][(𝑡𝑀) / 𝑣]𝜑))
18 dfsbcq 3790 . . 3 (𝑎 = (𝑡 ↾ (1...𝑁)) → ([𝑎 / 𝑢][(𝑡𝑀) / 𝑣]𝜑[(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡𝑀) / 𝑣]𝜑))
1915, 17, 18rexrabdioph 42805 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ {𝑡 ∈ (ℕ0m (1...𝑀)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡𝑀) / 𝑣]𝜑} ∈ (Dioph‘𝑀)) → {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑏 ∈ ℕ0 [𝑎 / 𝑢][𝑏 / 𝑣]𝜑} ∈ (Dioph‘𝑁))
2014, 19eqeltrid 2845 1 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ {𝑡 ∈ (ℕ0m (1...𝑀)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡𝑀) / 𝑣]𝜑} ∈ (Dioph‘𝑀)) → {𝑢 ∈ (ℕ0m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑣 ∈ ℕ0 𝜑} ∈ (Dioph‘𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wrex 3070  {crab 3436  [wsbc 3788  cres 5687  cfv 6561  (class class class)co 7431  m cmap 8866  1c1 11156   + caddc 11158  0cn0 12526  ...cfz 13547  Diophcdioph 42766
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-oadd 8510  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-hash 14370  df-mzpcl 42734  df-mzp 42735  df-dioph 42767
This theorem is referenced by:  2rexfrabdioph  42807  3rexfrabdioph  42808  7rexfrabdioph  42811  rmxdioph  43028  expdiophlem2  43034
  Copyright terms: Public domain W3C validator