Theorem rexfrabdioph 42771

Description: Diophantine set builder for existential quantifier, explicit substitution. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
rexfrabdioph.1	⊢ 𝑀 = (𝑁 + 1)

Assertion

Ref	Expression
rexfrabdioph	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑀)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝑀) / 𝑣]𝜑} ∈ (Dioph‘𝑀)) → {𝑢 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑣 ∈ ℕ0 𝜑} ∈ (Dioph‘𝑁))

Distinct variable groups:   𝑢,𝑡,𝑣,𝑀   𝑡,𝑁,𝑢,𝑣   𝜑,𝑡

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑣,𝑢)

Proof of Theorem rexfrabdioph

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2891	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑢(ℕ0 ↑m (1...𝑁))
2		nfcv 2891	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑎(ℕ0 ↑m (1...𝑁))
3		nfv 1914	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑎∃𝑣 ∈ ℕ0 𝜑
4		nfcv 2891	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑢ℕ0
5		nfsbc1v 3764	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑢[𝑎 / 𝑢][𝑏 / 𝑣]𝜑
6	4, 5	nfrexw 3278	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑢∃𝑏 ∈ ℕ0 [𝑎 / 𝑢][𝑏 / 𝑣]𝜑
7		nfv 1914	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑏𝜑
8		nfsbc1v 3764	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑣[𝑏 / 𝑣]𝜑
9		sbceq1a 3755	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = 𝑏 → (𝜑 ↔ [𝑏 / 𝑣]𝜑))
10	7, 8, 9	cbvrexw 3273	. . . 4 ⊢ (∃𝑣 ∈ ℕ0 𝜑 ↔ ∃𝑏 ∈ ℕ0 [𝑏 / 𝑣]𝜑)
11		sbceq1a 3755	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = 𝑎 → ([𝑏 / 𝑣]𝜑 ↔ [𝑎 / 𝑢][𝑏 / 𝑣]𝜑))
12	11	rexbidv 3153	. . . 4 ⊢ (𝑢 = 𝑎 → (∃𝑏 ∈ ℕ0 [𝑏 / 𝑣]𝜑 ↔ ∃𝑏 ∈ ℕ0 [𝑎 / 𝑢][𝑏 / 𝑣]𝜑))
13	10, 12	bitrid 283	. . 3 ⊢ (𝑢 = 𝑎 → (∃𝑣 ∈ ℕ0 𝜑 ↔ ∃𝑏 ∈ ℕ0 [𝑎 / 𝑢][𝑏 / 𝑣]𝜑))
14	1, 2, 3, 6, 13	cbvrabw 3432	. 2 ⊢ {𝑢 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑣 ∈ ℕ0 𝜑} = {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑏 ∈ ℕ0 [𝑎 / 𝑢][𝑏 / 𝑣]𝜑}
15		rexfrabdioph.1	. . 3 ⊢ 𝑀 = (𝑁 + 1)
16		dfsbcq 3746	. . . 4 ⊢ (𝑏 = (𝑡‘𝑀) → ([𝑏 / 𝑣]𝜑 ↔ [(𝑡‘𝑀) / 𝑣]𝜑))
17	16	sbcbidv 3800	. . 3 ⊢ (𝑏 = (𝑡‘𝑀) → ([𝑎 / 𝑢][𝑏 / 𝑣]𝜑 ↔ [𝑎 / 𝑢][(𝑡‘𝑀) / 𝑣]𝜑))
18		dfsbcq 3746	. . 3 ⊢ (𝑎 = (𝑡 ↾ (1...𝑁)) → ([𝑎 / 𝑢][(𝑡‘𝑀) / 𝑣]𝜑 ↔ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝑀) / 𝑣]𝜑))
19	15, 17, 18	rexrabdioph 42770	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑀)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝑀) / 𝑣]𝜑} ∈ (Dioph‘𝑀)) → {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑏 ∈ ℕ0 [𝑎 / 𝑢][𝑏 / 𝑣]𝜑} ∈ (Dioph‘𝑁))
20	14, 19	eqeltrid 2832	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑀)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝑀) / 𝑣]𝜑} ∈ (Dioph‘𝑀)) → {𝑢 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑣 ∈ ℕ0 𝜑} ∈ (Dioph‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053  {crab 3396  [wsbc 3744   ↾ cres 5625  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353   ↑_m cmap 8760  1c1 11029   + caddc 11031  ℕ₀cn0 12402  ...cfz 13428  Diophcdioph 42731

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-inf2 9556  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-of 7617  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-oadd 8399  df-er 8632  df-map 8762  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-dju 9816  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-fz 13429  df-hash 14256  df-mzpcl 42699  df-mzp 42700  df-dioph 42732

This theorem is referenced by:  2rexfrabdioph  42772  3rexfrabdioph  42773  7rexfrabdioph  42776  rmxdioph  42992  expdiophlem2  42998