Theorem rexfrabdioph 43505

Description: Diophantine set builder for existential quantifier, explicit substitution. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
rexfrabdioph.1	⊢ 𝑀 = (𝑁 + 1)

Assertion

Ref	Expression
rexfrabdioph	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑀)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝑀) / 𝑣]𝜑} ∈ (Dioph‘𝑀)) → {𝑢 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑣 ∈ ℕ0 𝜑} ∈ (Dioph‘𝑁))

Distinct variable groups:   𝑢,𝑡,𝑣,𝑀   𝑡,𝑁,𝑢,𝑣   𝜑,𝑡

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑣,𝑢)

Proof of Theorem rexfrabdioph

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2925	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑢(ℕ0 ↑m (1...𝑁))
2		nfcv 2925	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑎(ℕ0 ↑m (1...𝑁))
3		nfv 1944	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑎∃𝑣 ∈ ℕ0 𝜑
4		nfcv 2925	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑢ℕ0
5		nfsbc1v 3765	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑢[𝑎 / 𝑢][𝑏 / 𝑣]𝜑
6	4, 5	nfrexw 3313	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑢∃𝑏 ∈ ℕ0 [𝑎 / 𝑢][𝑏 / 𝑣]𝜑
7		nfv 1944	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑏𝜑
8		nfsbc1v 3765	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑣[𝑏 / 𝑣]𝜑
9		sbceq1a 3756	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = 𝑏 → (𝜑 ↔ [𝑏 / 𝑣]𝜑))
10	7, 8, 9	cbvrexw 3308	. . . 4 ⊢ (∃𝑣 ∈ ℕ0 𝜑 ↔ ∃𝑏 ∈ ℕ0 [𝑏 / 𝑣]𝜑)
11		sbceq1a 3756	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = 𝑎 → ([𝑏 / 𝑣]𝜑 ↔ [𝑎 / 𝑢][𝑏 / 𝑣]𝜑))
12	11	rexbidv 3189	. . . 4 ⊢ (𝑢 = 𝑎 → (∃𝑏 ∈ ℕ0 [𝑏 / 𝑣]𝜑 ↔ ∃𝑏 ∈ ℕ0 [𝑎 / 𝑢][𝑏 / 𝑣]𝜑))
13	10, 12	bitrid 286	. . 3 ⊢ (𝑢 = 𝑎 → (∃𝑣 ∈ ℕ0 𝜑 ↔ ∃𝑏 ∈ ℕ0 [𝑎 / 𝑢][𝑏 / 𝑣]𝜑))
14	1, 2, 3, 6, 13	cbvrabw 3451	. 2 ⊢ {𝑢 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑣 ∈ ℕ0 𝜑} = {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑏 ∈ ℕ0 [𝑎 / 𝑢][𝑏 / 𝑣]𝜑}
15		rexfrabdioph.1	. . 3 ⊢ 𝑀 = (𝑁 + 1)
16		dfsbcq 3747	. . . 4 ⊢ (𝑏 = (𝑡‘𝑀) → ([𝑏 / 𝑣]𝜑 ↔ [(𝑡‘𝑀) / 𝑣]𝜑))
17	16	sbcbidv 3800	. . 3 ⊢ (𝑏 = (𝑡‘𝑀) → ([𝑎 / 𝑢][𝑏 / 𝑣]𝜑 ↔ [𝑎 / 𝑢][(𝑡‘𝑀) / 𝑣]𝜑))
18		dfsbcq 3747	. . 3 ⊢ (𝑎 = (𝑡 ↾ (1...𝑁)) → ([𝑎 / 𝑢][(𝑡‘𝑀) / 𝑣]𝜑 ↔ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝑀) / 𝑣]𝜑))
19	15, 17, 18	rexrabdioph 43504	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑀)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝑀) / 𝑣]𝜑} ∈ (Dioph‘𝑀)) → {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑏 ∈ ℕ0 [𝑎 / 𝑢][𝑏 / 𝑣]𝜑} ∈ (Dioph‘𝑁))
20	14, 19	eqeltrid 2867	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ {𝑡 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑀)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝑀) / 𝑣]𝜑} ∈ (Dioph‘𝑀)) → {𝑢 ∈ (ℕ0 ↑m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑣 ∈ ℕ0 𝜑} ∈ (Dioph‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∃wrex 3089  {crab 3416  [wsbc 3745   ↾ cres 5665  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412   ↑_m cmap 8825  1c1 11102   + caddc 11104  ℕ₀cn0 12505  ...cfz 13536  Diophcdioph 43469

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-inf2 9611  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-oadd 8458  df-er 8695  df-map 8827  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-dju 9888  df-card 9926  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-fz 13537  df-hash 14369  df-mzpcl 43437  df-mzp 43438  df-dioph 43470

This theorem is referenced by:  2rexfrabdioph  43506  3rexfrabdioph  43507  7rexfrabdioph  43510  rmxdioph  43726  expdiophlem2  43732