Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rexfrabdioph Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rexfrabdioph 42783
Description: Diophantine set builder for existential quantifier, explicit substitution. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
rexfrabdioph.1 𝑀 = (𝑁 + 1)
Assertion
Ref Expression
rexfrabdioph ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ {𝑡 ∈ (ℕ0m (1...𝑀)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡𝑀) / 𝑣]𝜑} ∈ (Dioph‘𝑀)) → {𝑢 ∈ (ℕ0m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑣 ∈ ℕ0 𝜑} ∈ (Dioph‘𝑁))
Distinct variable groups:   𝑢,𝑡,𝑣,𝑀   𝑡,𝑁,𝑢,𝑣   𝜑,𝑡
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑣,𝑢)

Proof of Theorem rexfrabdioph
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2903 . . 3 𝑢(ℕ0m (1...𝑁))
2 nfcv 2903 . . 3 𝑎(ℕ0m (1...𝑁))
3 nfv 1912 . . 3 𝑎𝑣 ∈ ℕ0 𝜑
4 nfcv 2903 . . . 4 𝑢0
5 nfsbc1v 3811 . . . 4 𝑢[𝑎 / 𝑢][𝑏 / 𝑣]𝜑
64, 5nfrexw 3311 . . 3 𝑢𝑏 ∈ ℕ0 [𝑎 / 𝑢][𝑏 / 𝑣]𝜑
7 nfv 1912 . . . . 5 𝑏𝜑
8 nfsbc1v 3811 . . . . 5 𝑣[𝑏 / 𝑣]𝜑
9 sbceq1a 3802 . . . . 5 (𝑣 = 𝑏 → (𝜑[𝑏 / 𝑣]𝜑))
107, 8, 9cbvrexw 3305 . . . 4 (∃𝑣 ∈ ℕ0 𝜑 ↔ ∃𝑏 ∈ ℕ0 [𝑏 / 𝑣]𝜑)
11 sbceq1a 3802 . . . . 5 (𝑢 = 𝑎 → ([𝑏 / 𝑣]𝜑[𝑎 / 𝑢][𝑏 / 𝑣]𝜑))
1211rexbidv 3177 . . . 4 (𝑢 = 𝑎 → (∃𝑏 ∈ ℕ0 [𝑏 / 𝑣]𝜑 ↔ ∃𝑏 ∈ ℕ0 [𝑎 / 𝑢][𝑏 / 𝑣]𝜑))
1310, 12bitrid 283 . . 3 (𝑢 = 𝑎 → (∃𝑣 ∈ ℕ0 𝜑 ↔ ∃𝑏 ∈ ℕ0 [𝑎 / 𝑢][𝑏 / 𝑣]𝜑))
141, 2, 3, 6, 13cbvrabw 3471 . 2 {𝑢 ∈ (ℕ0m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑣 ∈ ℕ0 𝜑} = {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑏 ∈ ℕ0 [𝑎 / 𝑢][𝑏 / 𝑣]𝜑}
15 rexfrabdioph.1 . . 3 𝑀 = (𝑁 + 1)
16 dfsbcq 3793 . . . 4 (𝑏 = (𝑡𝑀) → ([𝑏 / 𝑣]𝜑[(𝑡𝑀) / 𝑣]𝜑))
1716sbcbidv 3851 . . 3 (𝑏 = (𝑡𝑀) → ([𝑎 / 𝑢][𝑏 / 𝑣]𝜑[𝑎 / 𝑢][(𝑡𝑀) / 𝑣]𝜑))
18 dfsbcq 3793 . . 3 (𝑎 = (𝑡 ↾ (1...𝑁)) → ([𝑎 / 𝑢][(𝑡𝑀) / 𝑣]𝜑[(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡𝑀) / 𝑣]𝜑))
1915, 17, 18rexrabdioph 42782 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ {𝑡 ∈ (ℕ0m (1...𝑀)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡𝑀) / 𝑣]𝜑} ∈ (Dioph‘𝑀)) → {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑏 ∈ ℕ0 [𝑎 / 𝑢][𝑏 / 𝑣]𝜑} ∈ (Dioph‘𝑁))
2014, 19eqeltrid 2843 1 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ {𝑡 ∈ (ℕ0m (1...𝑀)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡𝑀) / 𝑣]𝜑} ∈ (Dioph‘𝑀)) → {𝑢 ∈ (ℕ0m (1...𝑁)) ∣ ∃𝑣 ∈ ℕ0 𝜑} ∈ (Dioph‘𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wrex 3068  {crab 3433  [wsbc 3791  cres 5691  cfv 6563  (class class class)co 7431  m cmap 8865  1c1 11154   + caddc 11156  0cn0 12524  ...cfz 13544  Diophcdioph 42743
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-oadd 8509  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-hash 14367  df-mzpcl 42711  df-mzp 42712  df-dioph 42744
This theorem is referenced by:  2rexfrabdioph  42784  3rexfrabdioph  42785  7rexfrabdioph  42788  rmxdioph  43005  expdiophlem2  43011
  Copyright terms: Public domain W3C validator