Theorem cnncvsmulassdemo 25198

Description: Derive the associative law for complex number multiplication mulass 11243 interpreted as scalar multiplication to demonstrate the use of the properties of a normed subcomplex vector space for the complex numbers. (Contributed by AV, 9-Oct-2021.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
cnncvsmulassdemo	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵) · 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 · 𝐶)))

Proof of Theorem cnncvsmulassdemo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (ringLMod‘ℂfld) = (ringLMod‘ℂfld)
2	1	cncvs 25178	. . 3 ⊢ (ringLMod‘ℂfld) ∈ ℂVec
3		id 22	. . . 4 ⊢ ((ringLMod‘ℂfld) ∈ ℂVec → (ringLMod‘ℂfld) ∈ ℂVec)
4	3	cvsclm 25159	. . 3 ⊢ ((ringLMod‘ℂfld) ∈ ℂVec → (ringLMod‘ℂfld) ∈ ℂMod)
5	2, 4	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ringLMod‘ℂfld) ∈ ℂMod
6	1	cnrbas 25175	. . . 4 ⊢ (Base‘(ringLMod‘ℂfld)) = ℂ
7	6	eqcomi 2746	. . 3 ⊢ ℂ = (Base‘(ringLMod‘ℂfld))
8		cnfldex 21367	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ V
9		rlmsca 21205	. . . 4 ⊢ (ℂfld ∈ V → ℂfld = (Scalar‘(ringLMod‘ℂfld)))
10	8, 9	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ℂfld = (Scalar‘(ringLMod‘ℂfld))
11		cnfldmul 21372	. . . 4 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
12		rlmvsca 21207	. . . 4 ⊢ (.r‘ℂfld) = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘ℂfld))
13	11, 12	eqtri 2765	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘ℂfld))
14		cnfldbas 21368	. . . . 5 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
15	14	eqcomi 2746	. . . 4 ⊢ (Base‘ℂfld) = ℂ
16	15	eqcomi 2746	. . 3 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
17	7, 10, 13, 16	clmvsass 25122	. 2 ⊢ (((ringLMod‘ℂfld) ∈ ℂMod ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · 𝐵) · 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 · 𝐶)))
18	5, 17	mpan 690	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵) · 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 · 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3480  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℂcc 11153   · cmul 11160  Basecbs 17247  ._rcmulr 17298  Scalarcsca 17300   ·_𝑠 cvsca 17301  ringLModcrglmod 21171  ℂ_fldccnfld 21364  ℂModcclm 25095  ℂVecccvs 25156

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-addf 11234  ax-mulf 11235

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-subg 19141  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-dvr 20401  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-drng 20731  df-lmod 20860  df-lvec 21102  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-cnfld 21365  df-clm 25096  df-cvs 25157

This theorem is referenced by: (None)