Theorem cnncvsmulassdemo 25398

Description: Derive the associative law for complex number multiplication mulass 11216 interpreted as scalar multiplication to demonstrate the use of the properties of a normed subcomplex vector space for the complex numbers. (Contributed by AV, 9-Oct-2021.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
cnncvsmulassdemo	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵) · 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 · 𝐶)))

Proof of Theorem cnncvsmulassdemo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (ringLMod‘ℂfld) = (ringLMod‘ℂfld)
2	1	cncvs 25379	. . 3 ⊢ (ringLMod‘ℂfld) ∈ ℂVec
3		id 23	. . . 4 ⊢ ((ringLMod‘ℂfld) ∈ ℂVec → (ringLMod‘ℂfld) ∈ ℂVec)
4	3	cvsclm 25360	. . 3 ⊢ ((ringLMod‘ℂfld) ∈ ℂVec → (ringLMod‘ℂfld) ∈ ℂMod)
5	2, 4	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ringLMod‘ℂfld) ∈ ℂMod
6	1	cnrbas 25376	. . . 4 ⊢ (Base‘(ringLMod‘ℂfld)) = ℂ
7	6	eqcomi 2771	. . 3 ⊢ ℂ = (Base‘(ringLMod‘ℂfld))
8		cnfldex 21594	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ V
9		rlmsca 21388	. . . 4 ⊢ (ℂfld ∈ V → ℂfld = (Scalar‘(ringLMod‘ℂfld)))
10	8, 9	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ℂfld = (Scalar‘(ringLMod‘ℂfld))
11		cnfldmul 21599	. . . 4 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
12		rlmvsca 21390	. . . 4 ⊢ (.r‘ℂfld) = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘ℂfld))
13	11, 12	eqtri 2785	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘ℂfld))
14		cnfldbas 21595	. . . . 5 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
15	14	eqcomi 2771	. . . 4 ⊢ (Base‘ℂfld) = ℂ
16	15	eqcomi 2771	. . 3 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
17	7, 10, 13, 16	clmvsass 25323	. 2 ⊢ (((ringLMod‘ℂfld) ∈ ℂMod ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · 𝐵) · 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 · 𝐶)))
18	5, 17	mpan 703	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵) · 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 · 𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3453  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  ℂcc 11126   · cmul 11133  Basecbs 17307  ._rcmulr 17349  Scalarcsca 17351   ·_𝑠 cvsca 17352  ringLModcrglmod 21362  ℂ_fldccnfld 21591  ℂModcclm 25296  ℂVecccvs 25357

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205  ax-addf 11207  ax-mulf 11208

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-tpos 8228  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-4 12333  df-5 12334  df-6 12335  df-7 12336  df-8 12337  df-9 12338  df-n0 12533  df-z 12620  df-dec 12741  df-uz 12892  df-fz 13566  df-struct 17245  df-sets 17262  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-ress 17329  df-plusg 17361  df-mulr 17362  df-starv 17363  df-sca 17364  df-vsca 17365  df-ip 17366  df-tset 17367  df-ple 17368  df-ds 17370  df-unif 17371  df-0g 17532  df-mgm 18736  df-sgrp 18827  df-mnd 18843  df-grp 19066  df-minusg 19067  df-subg 19252  df-cmn 19915  df-abl 19916  df-mgp 20280  df-rng 20294  df-ur 20327  df-ring 20380  df-cring 20381  df-oppr 20484  df-dvdsr 20504  df-unit 20505  df-invr 20535  df-dvr 20548  df-subrng 20714  df-subrg 20738  df-drng 20898  df-lmod 21052  df-lvec 21293  df-sra 21363  df-rgmod 21364  df-cnfld 21592  df-clm 25297  df-cvs 25358

This theorem is used by: (None)