Theorem cnncvsmulassdemo 25122

Description: Derive the associative law for complex number multiplication mulass 11226 interpreted as scalar multiplication to demonstrate the use of the properties of a normed subcomplex vector space for the complex numbers. (Contributed by AV, 9-Oct-2021.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
cnncvsmulassdemo	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵) · 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 · 𝐶)))

Proof of Theorem cnncvsmulassdemo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2725	. . . 4 ⊢ (ringLMod‘ℂfld) = (ringLMod‘ℂfld)
2	1	cncvs 25102	. . 3 ⊢ (ringLMod‘ℂfld) ∈ ℂVec
3		id 22	. . . 4 ⊢ ((ringLMod‘ℂfld) ∈ ℂVec → (ringLMod‘ℂfld) ∈ ℂVec)
4	3	cvsclm 25083	. . 3 ⊢ ((ringLMod‘ℂfld) ∈ ℂVec → (ringLMod‘ℂfld) ∈ ℂMod)
5	2, 4	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ringLMod‘ℂfld) ∈ ℂMod
6	1	cnrbas 25099	. . . 4 ⊢ (Base‘(ringLMod‘ℂfld)) = ℂ
7	6	eqcomi 2734	. . 3 ⊢ ℂ = (Base‘(ringLMod‘ℂfld))
8		cnfldex 21286	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ V
9		rlmsca 21095	. . . 4 ⊢ (ℂfld ∈ V → ℂfld = (Scalar‘(ringLMod‘ℂfld)))
10	8, 9	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ℂfld = (Scalar‘(ringLMod‘ℂfld))
11		cnfldmul 21291	. . . 4 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
12		rlmvsca 21097	. . . 4 ⊢ (.r‘ℂfld) = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘ℂfld))
13	11, 12	eqtri 2753	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘ℂfld))
14		cnfldbas 21287	. . . . 5 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
15	14	eqcomi 2734	. . . 4 ⊢ (Base‘ℂfld) = ℂ
16	15	eqcomi 2734	. . 3 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
17	7, 10, 13, 16	clmvsass 25046	. 2 ⊢ (((ringLMod‘ℂfld) ∈ ℂMod ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · 𝐵) · 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 · 𝐶)))
18	5, 17	mpan 688	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵) · 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 · 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3463  ‘cfv 6547  (class class class)co 7417  ℂcc 11136   · cmul 11143  Basecbs 17179  ._rcmulr 17233  Scalarcsca 17235   ·_𝑠 cvsca 17236  ringLModcrglmod 21061  ℂ_fldccnfld 21283  ℂModcclm 25019  ℂVecccvs 25080

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7739  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-addf 11217  ax-mulf 11218

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3965  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6499  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7373  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7870  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-tpos 8230  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-fz 13517  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-starv 17247  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-unif 17255  df-0g 17422  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-subg 19082  df-cmn 19741  df-abl 19742  df-mgp 20079  df-rng 20097  df-ur 20126  df-ring 20179  df-cring 20180  df-oppr 20277  df-dvdsr 20300  df-unit 20301  df-invr 20331  df-dvr 20344  df-subrng 20487  df-subrg 20512  df-drng 20630  df-lmod 20749  df-lvec 20992  df-sra 21062  df-rgmod 21063  df-cnfld 21284  df-clm 25020  df-cvs 25081

This theorem is referenced by: (None)