Theorem rng2idl0 21554

Description: The zero (additive identity) of a non-unital ring is an element of each two-sided ideal of the ring which is a non-unital ring. (Contributed by Jeff Madsen, 10-Jun-2010.) (Revised by AV, 20-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rng2idlsubrng.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
rng2idlsubrng.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
rng2idlsubrng.u	⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝐼) ∈ Rng)

Assertion

Ref	Expression
rng2idl0	⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ 𝐼)

Proof of Theorem rng2idl0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rng2idlsubrng.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
2		rng2idlsubrng.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
3		rng2idlsubrng.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝐼) ∈ Rng)
4	1, 2, 3	rng2idlsubrng 21552	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (SubRng‘𝑅))
5		subrngsubg 20797	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ (SubRng‘𝑅) → 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅))
6		eqid 2761	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
7	6	subg0cl 19337	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅) → (0g‘𝑅) ∈ 𝐼)
8	4, 5, 7	3syl 19	1 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ 𝐼)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418   ↾_s cress 17401  0_gc0g 17603  SubGrpcsubg 19323  Rngcrng 20367  SubRngcsubrng 20790  2Idealc2idl 21535

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-4 12400  df-5 12401  df-6 12402  df-7 12403  df-8 12404  df-sets 17335  df-slot 17353  df-ndx 17365  df-base 17381  df-ress 17402  df-plusg 17434  df-sca 17437  df-vsca 17438  df-ip 17439  df-0g 17605  df-mgm 18809  df-sgrp 18901  df-mnd 18917  df-grp 19140  df-subg 19326  df-abl 19990  df-rng 20368  df-subrng 20791  df-lss 21200  df-sra 21441  df-rgmod 21442  df-lidl 21479  df-2idl 21536

This theorem is used by:  rngqiprngghmlem1  21576  rngqiprngimf  21586  rngqiprngimf1  21589