Theorem rng2idlsubgsubrng 21257

Description: A two-sided ideal of a non-unital ring which is a subgroup of the ring is a subring of the ring. (Contributed by AV, 11-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rng2idlsubgsubrng.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
rng2idlsubgsubrng.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
rng2idlsubgsubrng.u	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
rng2idlsubgsubrng	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (SubRng‘𝑅))

Proof of Theorem rng2idlsubgsubrng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rng2idlsubgsubrng.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
2		rng2idlsubgsubrng.i	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
3		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
4		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
5		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ (LIdeal‘(oppr‘𝑅)) = (LIdeal‘(oppr‘𝑅))
6		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ (2Ideal‘𝑅) = (2Ideal‘𝑅)
7	3, 4, 5, 6	2idlelb 21242	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅) ↔ (𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘(oppr‘𝑅))))
8	7	simplbi 496	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅) → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
9	2, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
10		rng2idlsubgsubrng.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅))
11		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (𝑅 ↾s 𝐼) = (𝑅 ↾s 𝐼)
12	3, 11	rnglidlrng 21236	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → (𝑅 ↾s 𝐼) ∈ Rng)
13	1, 9, 10, 12	syl3anc 1368	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝐼) ∈ Rng)
14	1, 2, 13	rng2idlsubrng 21254	1 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (SubRng‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2099  ‘cfv 6554  (class class class)co 7424   ↾_s cress 17242  SubGrpcsubg 19114  Rngcrng 20135  opp_rcoppr 20315  SubRngcsubrng 20527  LIdealclidl 21195  2Idealc2idl 21238

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-sets 17166  df-slot 17184  df-ndx 17196  df-base 17214  df-ress 17243  df-plusg 17279  df-mulr 17280  df-sca 17282  df-vsca 17283  df-ip 17284  df-0g 17456  df-mgm 18633  df-sgrp 18712  df-mnd 18728  df-grp 18931  df-subg 19117  df-cmn 19780  df-abl 19781  df-mgp 20118  df-rng 20136  df-subrng 20528  df-lss 20909  df-sra 21151  df-rgmod 21152  df-lidl 21197  df-2idl 21239

This theorem is referenced by:  rng2idlsubgnsg  21258  rng2idlsubg0  21259