Theorem rng2idlsubgsubrng 21266

Description: A two-sided ideal of a non-unital ring which is a subgroup of the ring is a subring of the ring. (Contributed by AV, 11-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rng2idlsubgsubrng.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
rng2idlsubgsubrng.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
rng2idlsubgsubrng.u	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
rng2idlsubgsubrng	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (SubRng‘𝑅))

Proof of Theorem rng2idlsubgsubrng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rng2idlsubgsubrng.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
2		rng2idlsubgsubrng.i	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
3		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
4		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
5		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (LIdeal‘(oppr‘𝑅)) = (LIdeal‘(oppr‘𝑅))
6		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (2Ideal‘𝑅) = (2Ideal‘𝑅)
7	3, 4, 5, 6	2idlelb 21251	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅) ↔ (𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘(oppr‘𝑅))))
8	7	simplbi 496	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅) → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
9	2, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
10		rng2idlsubgsubrng.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅))
11		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (𝑅 ↾s 𝐼) = (𝑅 ↾s 𝐼)
12	3, 11	rnglidlrng 21245	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → (𝑅 ↾s 𝐼) ∈ Rng)
13	1, 9, 10, 12	syl3anc 1374	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝐼) ∈ Rng)
14	1, 2, 13	rng2idlsubrng 21263	1 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (SubRng‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6499  (class class class)co 7367   ↾_s cress 17200  SubGrpcsubg 19096  Rngcrng 20133  opp_rcoppr 20316  SubRngcsubrng 20522  LIdealclidl 21204  2Idealc2idl 21247

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6266  df-ord 6327  df-on 6328  df-lim 6329  df-suc 6330  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-0g 17404  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-grp 18912  df-subg 19099  df-cmn 19757  df-abl 19758  df-mgp 20122  df-rng 20134  df-subrng 20523  df-lss 20927  df-sra 21168  df-rgmod 21169  df-lidl 21206  df-2idl 21248

This theorem is referenced by:  rng2idlsubgnsg  21267  rng2idlsubg0  21268