Theorem rng2idlsubgsubrng 21211

Description: A two-sided ideal of a non-unital ring which is a subgroup of the ring is a subring of the ring. (Contributed by AV, 11-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rng2idlsubgsubrng.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
rng2idlsubgsubrng.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
rng2idlsubgsubrng.u	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
rng2idlsubgsubrng	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (SubRng‘𝑅))

Proof of Theorem rng2idlsubgsubrng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rng2idlsubgsubrng.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
2		rng2idlsubgsubrng.i	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
3		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
4		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
5		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (LIdeal‘(oppr‘𝑅)) = (LIdeal‘(oppr‘𝑅))
6		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (2Ideal‘𝑅) = (2Ideal‘𝑅)
7	3, 4, 5, 6	2idlelb 21196	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅) ↔ (𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘(oppr‘𝑅))))
8	7	simplbi 497	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅) → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
9	2, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))
10		rng2idlsubgsubrng.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅))
11		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (𝑅 ↾s 𝐼) = (𝑅 ↾s 𝐼)
12	3, 11	rnglidlrng 21190	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → (𝑅 ↾s 𝐼) ∈ Rng)
13	1, 9, 10, 12	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝐼) ∈ Rng)
14	1, 2, 13	rng2idlsubrng 21208	1 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (SubRng‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6487  (class class class)co 7352   ↾_s cress 17147  SubGrpcsubg 19039  Rngcrng 20076  opp_rcoppr 20260  SubRngcsubrng 20466  LIdealclidl 21149  2Idealc2idl 21192

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11068  ax-resscn 11069  ax-1cn 11070  ax-icn 11071  ax-addcl 11072  ax-addrcl 11073  ax-mulcl 11074  ax-mulrcl 11075  ax-mulcom 11076  ax-addass 11077  ax-mulass 11078  ax-distr 11079  ax-i2m1 11080  ax-1ne0 11081  ax-1rid 11082  ax-rnegex 11083  ax-rrecex 11084  ax-cnre 11085  ax-pre-lttri 11086  ax-pre-lttrn 11087  ax-pre-ltadd 11088  ax-pre-mulgt0 11089

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-pnf 11154  df-mnf 11155  df-xr 11156  df-ltxr 11157  df-le 11158  df-sub 11352  df-neg 11353  df-nn 12132  df-2 12194  df-3 12195  df-4 12196  df-5 12197  df-6 12198  df-7 12199  df-8 12200  df-sets 17081  df-slot 17099  df-ndx 17111  df-base 17127  df-ress 17148  df-plusg 17180  df-mulr 17181  df-sca 17183  df-vsca 17184  df-ip 17185  df-0g 17351  df-mgm 18554  df-sgrp 18633  df-mnd 18649  df-grp 18855  df-subg 19042  df-cmn 19700  df-abl 19701  df-mgp 20065  df-rng 20077  df-subrng 20467  df-lss 20871  df-sra 21113  df-rgmod 21114  df-lidl 21151  df-2idl 21193

This theorem is referenced by:  rng2idlsubgnsg  21212  rng2idlsubg0  21213