Theorem nndivre 12283

Description: The quotient of a real and a positive integer is real. (Contributed by NM, 28-Nov-2008.)

Assertion

Ref	Expression
nndivre	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nndivre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 12249	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
2		nnne0 12276	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
3	1, 2	jca 511	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≠ 0))
4		redivcl 11963	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)
5	4	3expb 1118	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)
6	3, 5	sylan2 592	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2937  (class class class)co 7420  ℝcr 11137  0cc0 11138   / cdiv 11901  ℕcn 12242

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-er 8724  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243

This theorem is referenced by:  nnrecre  12284  nndivred  12296  fldiv2  13858  zmodcl  13888  iexpcyc  14202  01sqrexlem7  15227  expcnv  15842  ef01bndlem  16160  sin01bnd  16161  cos01bnd  16162  rpnnen2lem2  16191  rpnnen2lem3  16192  rpnnen2lem4  16193  rpnnen2lem9  16198  fldivp1  16865  ovoliunlem1  25430  dyadf  25519  dyadovol  25521  mbfi1fseqlem3  25646  mbfi1fseqlem4  25647  dveflem  25910  plyeq0lem  26143  tangtx  26439  tan4thpi  26448  root1id  26688  root1eq1  26689  root1cj  26690  cxpeq  26691  1cubrlem  26772  atan1  26859  log2tlbnd  26876  log2ublem1  26877  log2ublem2  26878  log2ub  26880  birthdaylem3  26884  birthday  26885  basellem5  27016  basellem8  27019  ppiub  27136  logfac2  27149  dchrptlem1  27196  dchrptlem2  27197  bposlem3  27218  bposlem4  27219  bposlem5  27220  bposlem6  27221  bposlem9  27224  vmadivsum  27414  dchrisum0lem1a  27418  dchrmusum2  27426  dchrvmasum2if  27429  dchrvmasumlem2  27430  dchrvmasumiflem1  27433  dchrvmasumiflem2  27434  dchrisum0re  27445  dchrisum0lem1b  27447  dchrisum0lem1  27448  dchrvmasumlem  27455  rplogsum  27459  mudivsum  27462  selberg2  27483  chpdifbndlem1  27485  selberg3lem1  27489  selbergr  27500  pntlemb  27529  pntlemg  27530  pntlemf  27537  snmlff  34939  sinccvglem  35276  circum  35278  poimirlem29  37122  poimirlem30  37123  poimirlem32  37125