MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nndivre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nndivre 11664
Description: The quotient of a real and a positive integer is real. (Contributed by NM, 28-Nov-2008.)
Assertion
Ref Expression
nndivre ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nndivre
StepHypRef Expression
1 nnre 11630 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
2 nnne0 11657 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
31, 2jca 515 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≠ 0))
4 redivcl 11344 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)
543expb 1117 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)
63, 5sylan2 595 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  wcel 2115  wne 3013  (class class class)co 7138  cr 10521  0cc0 10522   / cdiv 11282  cn 11623
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444  ax-resscn 10579  ax-1cn 10580  ax-icn 10581  ax-addcl 10582  ax-addrcl 10583  ax-mulcl 10584  ax-mulrcl 10585  ax-mulcom 10586  ax-addass 10587  ax-mulass 10588  ax-distr 10589  ax-i2m1 10590  ax-1ne0 10591  ax-1rid 10592  ax-rnegex 10593  ax-rrecex 10594  ax-cnre 10595  ax-pre-lttri 10596  ax-pre-lttrn 10597  ax-pre-ltadd 10598  ax-pre-mulgt0 10599
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rmo 3140  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4820  df-iun 4902  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-tr 5154  df-id 5441  df-eprel 5446  df-po 5455  df-so 5456  df-fr 5495  df-we 5497  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7096  df-ov 7141  df-oprab 7142  df-mpo 7143  df-om 7564  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10662  df-mnf 10663  df-xr 10664  df-ltxr 10665  df-le 10666  df-sub 10857  df-neg 10858  df-div 11283  df-nn 11624
This theorem is referenced by:  nnrecre  11665  nndivred  11677  fldiv2  13222  zmodcl  13252  iexpcyc  13563  sqrlem7  14597  expcnv  15208  ef01bndlem  15526  sin01bnd  15527  cos01bnd  15528  rpnnen2lem2  15557  rpnnen2lem3  15558  rpnnen2lem4  15559  rpnnen2lem9  15564  fldivp1  16220  ovoliunlem1  24095  dyadf  24184  dyadovol  24186  mbfi1fseqlem3  24310  mbfi1fseqlem4  24311  dveflem  24571  plyeq0lem  24796  tangtx  25087  tan4thpi  25096  root1id  25332  root1eq1  25333  root1cj  25334  cxpeq  25335  1cubrlem  25416  atan1  25503  log2tlbnd  25520  log2ublem1  25521  log2ublem2  25522  log2ub  25524  birthdaylem3  25528  birthday  25529  basellem5  25659  basellem8  25662  ppiub  25777  logfac2  25790  dchrptlem1  25837  dchrptlem2  25838  bposlem3  25859  bposlem4  25860  bposlem5  25861  bposlem6  25862  bposlem9  25865  vmadivsum  26055  dchrisum0lem1a  26059  dchrmusum2  26067  dchrvmasum2if  26070  dchrvmasumlem2  26071  dchrvmasumiflem1  26074  dchrvmasumiflem2  26075  dchrisum0re  26086  dchrisum0lem1b  26088  dchrisum0lem1  26089  dchrvmasumlem  26096  rplogsum  26100  mudivsum  26103  selberg2  26124  chpdifbndlem1  26126  selberg3lem1  26130  selbergr  26141  pntlemb  26170  pntlemg  26171  pntlemf  26178  snmlff  32594  sinccvglem  32933  circum  32935  poimirlem29  34986  poimirlem30  34987  poimirlem32  34989
  Copyright terms: Public domain W3C validator