Theorem nndivre 12308

Description: The quotient of a real and a positive integer is real. (Contributed by NM, 28-Nov-2008.)

Assertion

Ref	Expression
nndivre	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nndivre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 12274	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
2		nnne0 12301	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
3	1, 2	jca 511	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≠ 0))
4		redivcl 11987	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)
5	4	3expb 1120	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)
6	3, 5	sylan2 593	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2939  (class class class)co 7432  ℝcr 11155  0cc0 11156   / cdiv 11921  ℕcn 12267

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268

This theorem is referenced by:  nnrecre  12309  nndivred  12321  fldiv2  13902  zmodcl  13932  iexpcyc  14247  01sqrexlem7  15288  expcnv  15901  ef01bndlem  16221  sin01bnd  16222  cos01bnd  16223  rpnnen2lem2  16252  rpnnen2lem3  16253  rpnnen2lem4  16254  rpnnen2lem9  16259  fldivp1  16936  ovoliunlem1  25538  dyadf  25627  dyadovol  25629  mbfi1fseqlem3  25753  mbfi1fseqlem4  25754  dveflem  26018  plyeq0lem  26250  tangtx  26548  tan4thpiOLD  26558  root1id  26798  root1eq1  26799  root1cj  26800  cxpeq  26801  1cubrlem  26885  atan1  26972  log2tlbnd  26989  log2ublem1  26990  log2ublem2  26991  log2ub  26993  birthdaylem3  26997  birthday  26998  basellem5  27129  basellem8  27132  ppiub  27249  logfac2  27262  dchrptlem1  27309  dchrptlem2  27310  bposlem3  27331  bposlem4  27332  bposlem5  27333  bposlem6  27334  bposlem9  27337  vmadivsum  27527  dchrisum0lem1a  27531  dchrmusum2  27539  dchrvmasum2if  27542  dchrvmasumlem2  27543  dchrvmasumiflem1  27546  dchrvmasumiflem2  27547  dchrisum0re  27558  dchrisum0lem1b  27560  dchrisum0lem1  27561  dchrvmasumlem  27568  rplogsum  27572  mudivsum  27575  selberg2  27596  chpdifbndlem1  27598  selberg3lem1  27602  selbergr  27613  pntlemb  27642  pntlemg  27643  pntlemf  27650  snmlff  35335  sinccvglem  35678  circum  35680  poimirlem29  37657  poimirlem30  37658  poimirlem32  37660