Theorem nndivre 12283

Description: The quotient of a real and a positive integer is real. (Contributed by NM, 28-Nov-2008.)

Assertion

Ref	Expression
nndivre	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nndivre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 12246	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
2		nnne0 12276	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
3	1, 2	jca 520	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≠ 0))
4		redivcl 11940	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)
5	4	3expb 1137	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)
6	3, 5	sylan2 604	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  (class class class)co 7412  ℝcr 11105  0cc0 11106   / cdiv 11877  ℕcn 12239

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-div 11878  df-nn 12240

This theorem is used by:  nnrecre  12284  nndivred  12296  fldiv2  13901  zmodcl  13931  iexpcyc  14250  01sqrexlem7  15306  expcnv  15925  ef01bndlem  16246  sin01bnd  16247  cos01bnd  16248  rpnnen2lem2  16277  rpnnen2lem3  16278  rpnnen2lem4  16279  rpnnen2lem9  16284  fldivp1  16963  ovoliunlem1  25672  dyadf  25761  dyadovol  25763  mbfi1fseqlem3  25887  mbfi1fseqlem4  25888  dveflem  26149  plyeq0lem  26378  tangtx  26681  tan4thpiOLD  26691  root1id  26930  root1eq1  26931  root1cj  26932  cxpeq  26933  1cubrlem  27017  atan1  27104  log2tlbnd  27121  log2ublem1  27122  log2ublem2  27123  log2ub  27125  birthdaylem3  27129  birthday  27130  basellem5  27260  basellem8  27263  ppiub  27379  logfac2  27392  dchrptlem1  27439  dchrptlem2  27440  bposlem3  27461  bposlem4  27462  bposlem5  27463  bposlem6  27464  bposlem9  27467  vmadivsum  27657  dchrisum0lem1a  27661  dchrmusum2  27669  dchrvmasum2if  27672  dchrvmasumlem2  27673  dchrvmasumiflem1  27676  dchrvmasumiflem2  27677  dchrisum0re  27688  dchrisum0lem1b  27690  dchrisum0lem1  27691  dchrvmasumlem  27698  rplogsum  27702  mudivsum  27705  selberg2  27726  chpdifbndlem1  27728  selberg3lem1  27732  selbergr  27743  pntlemb  27772  pntlemg  27773  pntlemf  27780  snmlff  35829  sinccvglem  36172  circum  36174  poimirlem29  38328  poimirlem30  38329  poimirlem32  38331