Theorem nndivre 12256

Description: The quotient of a real and a positive integer is real. (Contributed by NM, 28-Nov-2008.)

Assertion

Ref	Expression
nndivre	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nndivre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 12219	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
2		nnne0 12249	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
3	1, 2	jca 519	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≠ 0))
4		redivcl 11912	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)
5	4	3expb 1134	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)
6	3, 5	sylan2 602	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2959  (class class class)co 7398  ℝcr 11074  0cc0 11075   / cdiv 11846  ℕcn 12212

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-er 8680  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-div 11847  df-nn 12213

This theorem is referenced by:  nnrecre  12257  nndivred  12269  fldiv2  13873  zmodcl  13903  iexpcyc  14222  01sqrexlem7  15277  expcnv  15896  ef01bndlem  16218  sin01bnd  16219  cos01bnd  16220  rpnnen2lem2  16249  rpnnen2lem3  16250  rpnnen2lem4  16251  rpnnen2lem9  16256  fldivp1  16935  ovoliunlem1  25566  dyadf  25655  dyadovol  25657  mbfi1fseqlem3  25781  mbfi1fseqlem4  25782  dveflem  26043  plyeq0lem  26272  tangtx  26572  tan4thpiOLD  26582  root1id  26821  root1eq1  26822  root1cj  26823  cxpeq  26824  1cubrlem  26908  atan1  26995  log2tlbnd  27012  log2ublem1  27013  log2ublem2  27014  log2ub  27016  birthdaylem3  27020  birthday  27021  basellem5  27151  basellem8  27154  ppiub  27270  logfac2  27283  dchrptlem1  27330  dchrptlem2  27331  bposlem3  27352  bposlem4  27353  bposlem5  27354  bposlem6  27355  bposlem9  27358  vmadivsum  27548  dchrisum0lem1a  27552  dchrmusum2  27560  dchrvmasum2if  27563  dchrvmasumlem2  27564  dchrvmasumiflem1  27567  dchrvmasumiflem2  27568  dchrisum0re  27579  dchrisum0lem1b  27581  dchrisum0lem1  27582  dchrvmasumlem  27589  rplogsum  27593  mudivsum  27596  selberg2  27617  chpdifbndlem1  27619  selberg3lem1  27623  selbergr  27634  pntlemb  27663  pntlemg  27664  pntlemf  27671  snmlff  35684  sinccvglem  36027  circum  36029  poimirlem29  38153  poimirlem30  38154  poimirlem32  38156