Theorem nndivre 12218

Description: The quotient of a real and a positive integer is real. (Contributed by NM, 28-Nov-2008.)

Assertion

Ref	Expression
nndivre	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nndivre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 12181	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
2		nnne0 12211	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
3	1, 2	jca 511	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≠ 0))
4		redivcl 11874	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)
5	4	3expb 1121	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)
6	3, 5	sylan2 594	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  (class class class)co 7367  ℝcr 11037  0cc0 11038   / cdiv 11807  ℕcn 12174

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175

This theorem is referenced by:  nnrecre  12219  nndivred  12231  fldiv2  13820  zmodcl  13850  iexpcyc  14169  01sqrexlem7  15210  expcnv  15829  ef01bndlem  16151  sin01bnd  16152  cos01bnd  16153  rpnnen2lem2  16182  rpnnen2lem3  16183  rpnnen2lem4  16184  rpnnen2lem9  16189  fldivp1  16868  ovoliunlem1  25469  dyadf  25558  dyadovol  25560  mbfi1fseqlem3  25684  mbfi1fseqlem4  25685  dveflem  25946  plyeq0lem  26175  tangtx  26469  tan4thpiOLD  26479  root1id  26718  root1eq1  26719  root1cj  26720  cxpeq  26721  1cubrlem  26805  atan1  26892  log2tlbnd  26909  log2ublem1  26910  log2ublem2  26911  log2ub  26913  birthdaylem3  26917  birthday  26918  basellem5  27048  basellem8  27051  ppiub  27167  logfac2  27180  dchrptlem1  27227  dchrptlem2  27228  bposlem3  27249  bposlem4  27250  bposlem5  27251  bposlem6  27252  bposlem9  27255  vmadivsum  27445  dchrisum0lem1a  27449  dchrmusum2  27457  dchrvmasum2if  27460  dchrvmasumlem2  27461  dchrvmasumiflem1  27464  dchrvmasumiflem2  27465  dchrisum0re  27476  dchrisum0lem1b  27478  dchrisum0lem1  27479  dchrvmasumlem  27486  rplogsum  27490  mudivsum  27493  selberg2  27514  chpdifbndlem1  27516  selberg3lem1  27520  selbergr  27531  pntlemb  27560  pntlemg  27561  pntlemf  27568  snmlff  35511  sinccvglem  35854  circum  35856  poimirlem29  37970  poimirlem30  37971  poimirlem32  37973