Theorem nndivre 12281

Description: The quotient of a real and a positive integer is real. (Contributed by NM, 28-Nov-2008.)

Assertion

Ref	Expression
nndivre	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nndivre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 12244	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
2		nnne0 12274	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
3	1, 2	jca 520	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≠ 0))
4		redivcl 11938	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)
5	4	3expb 1138	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)
6	3, 5	sylan2 604	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  (class class class)co 7410  ℝcr 11103  0cc0 11104   / cdiv 11875  ℕcn 12237

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11876  df-nn 12238

This theorem is used by:  nnrecre  12282  nndivred  12294  fldiv2  13899  zmodcl  13929  iexpcyc  14248  01sqrexlem7  15304  expcnv  15923  ef01bndlem  16244  sin01bnd  16245  cos01bnd  16246  rpnnen2lem2  16275  rpnnen2lem3  16276  rpnnen2lem4  16277  rpnnen2lem9  16282  fldivp1  16961  ovoliunlem1  25670  dyadf  25759  dyadovol  25761  mbfi1fseqlem3  25885  mbfi1fseqlem4  25886  dveflem  26147  plyeq0lem  26376  tangtx  26679  tan4thpiOLD  26689  root1id  26928  root1eq1  26929  root1cj  26930  cxpeq  26931  1cubrlem  27015  atan1  27102  log2tlbnd  27119  log2ublem1  27120  log2ublem2  27121  log2ub  27123  birthdaylem3  27127  birthday  27128  basellem5  27258  basellem8  27261  ppiub  27377  logfac2  27390  dchrptlem1  27437  dchrptlem2  27438  bposlem3  27459  bposlem4  27460  bposlem5  27461  bposlem6  27462  bposlem9  27465  vmadivsum  27655  dchrisum0lem1a  27659  dchrmusum2  27667  dchrvmasum2if  27670  dchrvmasumlem2  27671  dchrvmasumiflem1  27674  dchrvmasumiflem2  27675  dchrisum0re  27686  dchrisum0lem1b  27688  dchrisum0lem1  27689  dchrvmasumlem  27696  rplogsum  27700  mudivsum  27703  selberg2  27724  chpdifbndlem1  27726  selberg3lem1  27730  selbergr  27741  pntlemb  27770  pntlemg  27771  pntlemf  27778  snmlff  35829  sinccvglem  36172  circum  36174  poimirlem29  38328  poimirlem30  38329  poimirlem32  38331