Theorem nndivre 12213

Description: The quotient of a real and a positive integer is real. (Contributed by NM, 28-Nov-2008.)

Assertion

Ref	Expression
nndivre	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nndivre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 12176	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
2		nnne0 12206	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
3	1, 2	jca 517	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≠ 0))
4		redivcl 11869	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)
5	4	3expb 1127	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)
6	3, 5	sylan2 600	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∈ wcel 2121   ≠ wne 2936  (class class class)co 7360  ℝcr 11032  0cc0 11033   / cdiv 11802  ℕcn 12169

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170

This theorem is referenced by:  nnrecre  12214  nndivred  12226  fldiv2  13815  zmodcl  13845  iexpcyc  14164  01sqrexlem7  15205  expcnv  15824  ef01bndlem  16146  sin01bnd  16147  cos01bnd  16148  rpnnen2lem2  16177  rpnnen2lem3  16178  rpnnen2lem4  16179  rpnnen2lem9  16184  fldivp1  16863  ovoliunlem1  25491  dyadf  25580  dyadovol  25582  mbfi1fseqlem3  25706  mbfi1fseqlem4  25707  dveflem  25968  plyeq0lem  26197  tangtx  26491  tan4thpiOLD  26501  root1id  26740  root1eq1  26741  root1cj  26742  cxpeq  26743  1cubrlem  26827  atan1  26914  log2tlbnd  26931  log2ublem1  26932  log2ublem2  26933  log2ub  26935  birthdaylem3  26939  birthday  26940  basellem5  27070  basellem8  27073  ppiub  27189  logfac2  27202  dchrptlem1  27249  dchrptlem2  27250  bposlem3  27271  bposlem4  27272  bposlem5  27273  bposlem6  27274  bposlem9  27277  vmadivsum  27467  dchrisum0lem1a  27471  dchrmusum2  27479  dchrvmasum2if  27482  dchrvmasumlem2  27483  dchrvmasumiflem1  27486  dchrvmasumiflem2  27487  dchrisum0re  27498  dchrisum0lem1b  27500  dchrisum0lem1  27501  dchrvmasumlem  27508  rplogsum  27512  mudivsum  27515  selberg2  27536  chpdifbndlem1  27538  selberg3lem1  27542  selbergr  27553  pntlemb  27582  pntlemg  27583  pntlemf  27590  snmlff  35572  sinccvglem  35915  circum  35917  poimirlem29  38031  poimirlem30  38032  poimirlem32  38034