Theorem nndivre 12406

Description: The quotient of a real and a positive integer is real. (Contributed by NM, 28-Nov-2008.)

Assertion

Ref	Expression
nndivre	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nndivre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 12369	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
2		nnne0 12399	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
3	1, 2	jca 521	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≠ 0))
4		redivcl 12063	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)
5	4	3expb 1138	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)
6	3, 5	sylan2 605	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  (class class class)co 7443  ℝcr 11226  0cc0 11227   / cdiv 12000  ℕcn 12362

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001  df-nn 12363

This theorem is used by:  nnrecre  12407  nndivred  12419  fldiv2  14028  zmodcl  14058  iexpcyc  14378  01sqrexlem7  15444  expcnv  16062  ef01bndlem  16381  sin01bnd  16382  cos01bnd  16383  rpnnen2lem2  16412  rpnnen2lem3  16413  rpnnen2lem4  16414  rpnnen2lem9  16419  fldivp1  17104  ovoliunlem1  25853  dyadf  25942  dyadovol  25944  mbfi1fseqlem3  26068  mbfi1fseqlem4  26069  dveflem  26329  plyeq0lem  26559  tangtx  26864  root1id  27112  root1eq1  27113  root1cj  27114  cxpeq  27115  1cubrlem  27199  atan1  27286  log2tlbnd  27303  log2ublem1  27304  log2ublem2  27305  log2ub  27307  birthdaylem3  27311  birthday  27312  basellem5  27442  basellem8  27445  ppiub  27561  logfac2  27574  dchrptlem1  27621  dchrptlem2  27622  bposlem3  27643  bposlem4  27644  bposlem5  27645  bposlem6  27646  bposlem9  27649  vmadivsum  27839  dchrisum0lem1a  27843  dchrmusum2  27851  dchrvmasum2if  27854  dchrvmasumlem2  27855  dchrvmasumiflem1  27858  dchrvmasumiflem2  27859  dchrisum0re  27870  dchrisum0lem1b  27872  dchrisum0lem1  27873  dchrvmasumlem  27880  rplogsum  27884  mudivsum  27887  selberg2  27908  chpdifbndlem1  27910  selberg3lem1  27914  selbergr  27925  pntlemb  27954  pntlemg  27955  pntlemf  27962  snmlff  36261  sinccvglem  36604  circum  36606  poimirlem29  38759  poimirlem30  38760  poimirlem32  38762