Theorem nndivre 12304

Description: The quotient of a real and a positive integer is real. (Contributed by NM, 28-Nov-2008.)

Assertion

Ref	Expression
nndivre	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nndivre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 12267	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
2		nnne0 12297	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
3	1, 2	jca 521	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≠ 0))
4		redivcl 11961	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)
5	4	3expb 1138	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)
6	3, 5	sylan2 605	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  (class class class)co 7416  ℝcr 11126  0cc0 11127   / cdiv 11898  ℕcn 12260

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261

This theorem is used by:  nnrecre  12305  nndivred  12317  fldiv2  13924  zmodcl  13954  iexpcyc  14273  01sqrexlem7  15337  expcnv  15955  ef01bndlem  16276  sin01bnd  16277  cos01bnd  16278  rpnnen2lem2  16307  rpnnen2lem3  16308  rpnnen2lem4  16309  rpnnen2lem9  16314  fldivp1  16993  ovoliunlem1  25731  dyadf  25820  dyadovol  25822  mbfi1fseqlem3  25946  mbfi1fseqlem4  25947  dveflem  26208  plyeq0lem  26437  tangtx  26740  tan4thpiOLD  26750  root1id  26989  root1eq1  26990  root1cj  26991  cxpeq  26992  1cubrlem  27076  atan1  27163  log2tlbnd  27180  log2ublem1  27181  log2ublem2  27182  log2ub  27184  birthdaylem3  27188  birthday  27189  basellem5  27319  basellem8  27322  ppiub  27438  logfac2  27451  dchrptlem1  27498  dchrptlem2  27499  bposlem3  27520  bposlem4  27521  bposlem5  27522  bposlem6  27523  bposlem9  27526  vmadivsum  27716  dchrisum0lem1a  27720  dchrmusum2  27728  dchrvmasum2if  27731  dchrvmasumlem2  27732  dchrvmasumiflem1  27735  dchrvmasumiflem2  27736  dchrisum0re  27747  dchrisum0lem1b  27749  dchrisum0lem1  27750  dchrvmasumlem  27757  rplogsum  27761  mudivsum  27764  selberg2  27785  chpdifbndlem1  27787  selberg3lem1  27791  selbergr  27802  pntlemb  27831  pntlemg  27832  pntlemf  27839  snmlff  35895  sinccvglem  36238  circum  36240  poimirlem29  38385  poimirlem30  38386  poimirlem32  38388