Theorem nndivre 11944

Description: The quotient of a real and a positive integer is real. (Contributed by NM, 28-Nov-2008.)

Assertion

Ref	Expression
nndivre	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nndivre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 11910	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
2		nnne0 11937	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
3	1, 2	jca 511	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≠ 0))
4		redivcl 11624	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)
5	4	3expb 1118	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)
6	3, 5	sylan2 592	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  (class class class)co 7255  ℝcr 10801  0cc0 10802   / cdiv 11562  ℕcn 11903

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904

This theorem is referenced by:  nnrecre  11945  nndivred  11957  fldiv2  13509  zmodcl  13539  iexpcyc  13851  sqrlem7  14888  expcnv  15504  ef01bndlem  15821  sin01bnd  15822  cos01bnd  15823  rpnnen2lem2  15852  rpnnen2lem3  15853  rpnnen2lem4  15854  rpnnen2lem9  15859  fldivp1  16526  ovoliunlem1  24571  dyadf  24660  dyadovol  24662  mbfi1fseqlem3  24787  mbfi1fseqlem4  24788  dveflem  25048  plyeq0lem  25276  tangtx  25567  tan4thpi  25576  root1id  25812  root1eq1  25813  root1cj  25814  cxpeq  25815  1cubrlem  25896  atan1  25983  log2tlbnd  26000  log2ublem1  26001  log2ublem2  26002  log2ub  26004  birthdaylem3  26008  birthday  26009  basellem5  26139  basellem8  26142  ppiub  26257  logfac2  26270  dchrptlem1  26317  dchrptlem2  26318  bposlem3  26339  bposlem4  26340  bposlem5  26341  bposlem6  26342  bposlem9  26345  vmadivsum  26535  dchrisum0lem1a  26539  dchrmusum2  26547  dchrvmasum2if  26550  dchrvmasumlem2  26551  dchrvmasumiflem1  26554  dchrvmasumiflem2  26555  dchrisum0re  26566  dchrisum0lem1b  26568  dchrisum0lem1  26569  dchrvmasumlem  26576  rplogsum  26580  mudivsum  26583  selberg2  26604  chpdifbndlem1  26606  selberg3lem1  26610  selbergr  26621  pntlemb  26650  pntlemg  26651  pntlemf  26658  snmlff  33191  sinccvglem  33530  circum  33532  poimirlem29  35733  poimirlem30  35734  poimirlem32  35736