Theorem nndivre 12291

Description: The quotient of a real and a positive integer is real. (Contributed by NM, 28-Nov-2008.)

Assertion

Ref	Expression
nndivre	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nndivre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 12257	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
2		nnne0 12284	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
3	1, 2	jca 510	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≠ 0))
4		redivcl 11971	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)
5	4	3expb 1117	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)
6	3, 5	sylan2 591	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2929  (class class class)co 7419  ℝcr 11144  0cc0 11145   / cdiv 11908  ℕcn 12250

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-resscn 11202  ax-1cn 11203  ax-icn 11204  ax-addcl 11205  ax-addrcl 11206  ax-mulcl 11207  ax-mulrcl 11208  ax-mulcom 11209  ax-addass 11210  ax-mulass 11211  ax-distr 11212  ax-i2m1 11213  ax-1ne0 11214  ax-1rid 11215  ax-rnegex 11216  ax-rrecex 11217  ax-cnre 11218  ax-pre-lttri 11219  ax-pre-lttrn 11220  ax-pre-ltadd 11221  ax-pre-mulgt0 11222

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11287  df-mnf 11288  df-xr 11289  df-ltxr 11290  df-le 11291  df-sub 11483  df-neg 11484  df-div 11909  df-nn 12251

This theorem is referenced by:  nnrecre  12292  nndivred  12304  fldiv2  13867  zmodcl  13897  iexpcyc  14211  01sqrexlem7  15236  expcnv  15851  ef01bndlem  16169  sin01bnd  16170  cos01bnd  16171  rpnnen2lem2  16200  rpnnen2lem3  16201  rpnnen2lem4  16202  rpnnen2lem9  16207  fldivp1  16874  ovoliunlem1  25480  dyadf  25569  dyadovol  25571  mbfi1fseqlem3  25696  mbfi1fseqlem4  25697  dveflem  25960  plyeq0lem  26194  tangtx  26490  tan4thpi  26499  root1id  26739  root1eq1  26740  root1cj  26741  cxpeq  26742  1cubrlem  26823  atan1  26910  log2tlbnd  26927  log2ublem1  26928  log2ublem2  26929  log2ub  26931  birthdaylem3  26935  birthday  26936  basellem5  27067  basellem8  27070  ppiub  27187  logfac2  27200  dchrptlem1  27247  dchrptlem2  27248  bposlem3  27269  bposlem4  27270  bposlem5  27271  bposlem6  27272  bposlem9  27275  vmadivsum  27465  dchrisum0lem1a  27469  dchrmusum2  27477  dchrvmasum2if  27480  dchrvmasumlem2  27481  dchrvmasumiflem1  27484  dchrvmasumiflem2  27485  dchrisum0re  27496  dchrisum0lem1b  27498  dchrisum0lem1  27499  dchrvmasumlem  27506  rplogsum  27510  mudivsum  27513  selberg2  27534  chpdifbndlem1  27536  selberg3lem1  27540  selbergr  27551  pntlemb  27580  pntlemg  27581  pntlemf  27588  snmlff  35072  sinccvglem  35409  circum  35411  poimirlem29  37255  poimirlem30  37256  poimirlem32  37258