Theorem nndivre 12227

Description: The quotient of a real and a positive integer is real. (Contributed by NM, 28-Nov-2008.)

Assertion

Ref	Expression
nndivre	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nndivre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 12193	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
2		nnne0 12220	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
3	1, 2	jca 511	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≠ 0))
4		redivcl 11901	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)
5	4	3expb 1120	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)
6	3, 5	sylan2 593	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  (class class class)co 7387  ℝcr 11067  0cc0 11068   / cdiv 11835  ℕcn 12186

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187

This theorem is referenced by:  nnrecre  12228  nndivred  12240  fldiv2  13823  zmodcl  13853  iexpcyc  14172  01sqrexlem7  15214  expcnv  15830  ef01bndlem  16152  sin01bnd  16153  cos01bnd  16154  rpnnen2lem2  16183  rpnnen2lem3  16184  rpnnen2lem4  16185  rpnnen2lem9  16190  fldivp1  16868  ovoliunlem1  25403  dyadf  25492  dyadovol  25494  mbfi1fseqlem3  25618  mbfi1fseqlem4  25619  dveflem  25883  plyeq0lem  26115  tangtx  26414  tan4thpiOLD  26424  root1id  26664  root1eq1  26665  root1cj  26666  cxpeq  26667  1cubrlem  26751  atan1  26838  log2tlbnd  26855  log2ublem1  26856  log2ublem2  26857  log2ub  26859  birthdaylem3  26863  birthday  26864  basellem5  26995  basellem8  26998  ppiub  27115  logfac2  27128  dchrptlem1  27175  dchrptlem2  27176  bposlem3  27197  bposlem4  27198  bposlem5  27199  bposlem6  27200  bposlem9  27203  vmadivsum  27393  dchrisum0lem1a  27397  dchrmusum2  27405  dchrvmasum2if  27408  dchrvmasumlem2  27409  dchrvmasumiflem1  27412  dchrvmasumiflem2  27413  dchrisum0re  27424  dchrisum0lem1b  27426  dchrisum0lem1  27427  dchrvmasumlem  27434  rplogsum  27438  mudivsum  27441  selberg2  27462  chpdifbndlem1  27464  selberg3lem1  27468  selbergr  27479  pntlemb  27508  pntlemg  27509  pntlemf  27516  snmlff  35316  sinccvglem  35659  circum  35661  poimirlem29  37643  poimirlem30  37644  poimirlem32  37646