Theorem nndivre 12277

Description: The quotient of a real and a positive integer is real. (Contributed by NM, 28-Nov-2008.)

Assertion

Ref	Expression
nndivre	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nndivre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 12240	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
2		nnne0 12270	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
3	1, 2	jca 520	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≠ 0))
4		redivcl 11934	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)
5	4	3expb 1136	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)
6	3, 5	sylan2 604	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  (class class class)co 7411  ℝcr 11099  0cc0 11100   / cdiv 11871  ℕcn 12233

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3423  df-v 3463  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234

This theorem is referenced by:  nnrecre  12278  nndivred  12290  fldiv2  13894  zmodcl  13924  iexpcyc  14243  01sqrexlem7  15299  expcnv  15918  ef01bndlem  16240  sin01bnd  16241  cos01bnd  16242  rpnnen2lem2  16271  rpnnen2lem3  16272  rpnnen2lem4  16273  rpnnen2lem9  16278  fldivp1  16957  ovoliunlem1  25630  dyadf  25719  dyadovol  25721  mbfi1fseqlem3  25845  mbfi1fseqlem4  25846  dveflem  26107  plyeq0lem  26336  tangtx  26636  tan4thpiOLD  26646  root1id  26885  root1eq1  26886  root1cj  26887  cxpeq  26888  1cubrlem  26972  atan1  27059  log2tlbnd  27076  log2ublem1  27077  log2ublem2  27078  log2ub  27080  birthdaylem3  27084  birthday  27085  basellem5  27215  basellem8  27218  ppiub  27334  logfac2  27347  dchrptlem1  27394  dchrptlem2  27395  bposlem3  27416  bposlem4  27417  bposlem5  27418  bposlem6  27419  bposlem9  27422  vmadivsum  27612  dchrisum0lem1a  27616  dchrmusum2  27624  dchrvmasum2if  27627  dchrvmasumlem2  27628  dchrvmasumiflem1  27631  dchrvmasumiflem2  27632  dchrisum0re  27643  dchrisum0lem1b  27645  dchrisum0lem1  27646  dchrvmasumlem  27653  rplogsum  27657  mudivsum  27660  selberg2  27681  chpdifbndlem1  27683  selberg3lem1  27687  selbergr  27698  pntlemb  27727  pntlemg  27728  pntlemf  27735  snmlff  35754  sinccvglem  36097  circum  36099  poimirlem29  38223  poimirlem30  38224  poimirlem32  38226