Theorem nndivre 12234

Description: The quotient of a real and a positive integer is real. (Contributed by NM, 28-Nov-2008.)

Assertion

Ref	Expression
nndivre	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nndivre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 12200	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
2		nnne0 12227	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
3	1, 2	jca 511	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≠ 0))
4		redivcl 11908	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)
5	4	3expb 1120	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)
6	3, 5	sylan2 593	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  (class class class)co 7390  ℝcr 11074  0cc0 11075   / cdiv 11842  ℕcn 12193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194

This theorem is referenced by:  nnrecre  12235  nndivred  12247  fldiv2  13830  zmodcl  13860  iexpcyc  14179  01sqrexlem7  15221  expcnv  15837  ef01bndlem  16159  sin01bnd  16160  cos01bnd  16161  rpnnen2lem2  16190  rpnnen2lem3  16191  rpnnen2lem4  16192  rpnnen2lem9  16197  fldivp1  16875  ovoliunlem1  25410  dyadf  25499  dyadovol  25501  mbfi1fseqlem3  25625  mbfi1fseqlem4  25626  dveflem  25890  plyeq0lem  26122  tangtx  26421  tan4thpiOLD  26431  root1id  26671  root1eq1  26672  root1cj  26673  cxpeq  26674  1cubrlem  26758  atan1  26845  log2tlbnd  26862  log2ublem1  26863  log2ublem2  26864  log2ub  26866  birthdaylem3  26870  birthday  26871  basellem5  27002  basellem8  27005  ppiub  27122  logfac2  27135  dchrptlem1  27182  dchrptlem2  27183  bposlem3  27204  bposlem4  27205  bposlem5  27206  bposlem6  27207  bposlem9  27210  vmadivsum  27400  dchrisum0lem1a  27404  dchrmusum2  27412  dchrvmasum2if  27415  dchrvmasumlem2  27416  dchrvmasumiflem1  27419  dchrvmasumiflem2  27420  dchrisum0re  27431  dchrisum0lem1b  27433  dchrisum0lem1  27434  dchrvmasumlem  27441  rplogsum  27445  mudivsum  27448  selberg2  27469  chpdifbndlem1  27471  selberg3lem1  27475  selbergr  27486  pntlemb  27515  pntlemg  27516  pntlemf  27523  snmlff  35323  sinccvglem  35666  circum  35668  poimirlem29  37650  poimirlem30  37651  poimirlem32  37653