Theorem nndivre 11354

Description: The quotient of a real and a positive integer is real. (Contributed by NM, 28-Nov-2008.)

Assertion

Ref	Expression
nndivre	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nndivre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 11320	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
2		nnne0 11348	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
3	1, 2	jca 508	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≠ 0))
4		redivcl 11036	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)
5	4	3expb 1150	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)
6	3, 5	sylan2 587	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 385   ∈ wcel 2157   ≠ wne 2971  (class class class)co 6878  ℝcr 10223  0cc0 10224   / cdiv 10976  ℕcn 11312

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-div 10977  df-nn 11313

This theorem is referenced by:  nnrecre  11355  nndivred  11367  fldiv2  12915  zmodcl  12945  iexpcyc  13223  sqrlem7  14330  expcnv  14934  ef01bndlem  15250  sin01bnd  15251  cos01bnd  15252  rpnnen2lem2  15280  rpnnen2lem3  15281  rpnnen2lem4  15282  rpnnen2lem9  15287  fldivp1  15934  ovoliunlem1  23610  dyadf  23699  dyadovol  23701  mbfi1fseqlem3  23825  mbfi1fseqlem4  23826  dveflem  24083  plyeq0lem  24307  tangtx  24599  tan4thpi  24608  root1id  24839  root1eq1  24840  root1cj  24841  cxpeq  24842  1cubrlem  24920  atan1  25007  log2tlbnd  25024  log2ublem1  25025  log2ublem2  25026  log2ub  25028  birthdaylem3  25032  birthday  25033  basellem5  25163  basellem8  25166  ppiub  25281  logfac2  25294  dchrptlem1  25341  dchrptlem2  25342  bposlem3  25363  bposlem4  25364  bposlem5  25365  bposlem6  25366  bposlem9  25369  vmadivsum  25523  dchrisum0lem1a  25527  dchrmusum2  25535  dchrvmasum2if  25538  dchrvmasumlem2  25539  dchrvmasumiflem1  25542  dchrvmasumiflem2  25543  dchrisum0re  25554  dchrisum0lem1b  25556  dchrisum0lem1  25557  dchrvmasumlem  25564  rplogsum  25568  mudivsum  25571  selberg2  25592  chpdifbndlem1  25594  selberg3lem1  25598  selbergr  25609  pntlemb  25638  pntlemg  25639  pntlemf  25646  snmlff  31828  sinccvglem  32081  circum  32083  poimirlem29  33927  poimirlem30  33928  poimirlem32  33930