Theorem nndivre 12205

Description: The quotient of a real and a positive integer is real. (Contributed by NM, 28-Nov-2008.)

Assertion

Ref	Expression
nndivre	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nndivre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 12171	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
2		nnne0 12198	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
3	1, 2	jca 511	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≠ 0))
4		redivcl 11879	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)
5	4	3expb 1120	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)
6	3, 5	sylan2 593	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  (class class class)co 7369  ℝcr 11045  0cc0 11046   / cdiv 11813  ℕcn 12164

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-resscn 11103  ax-1cn 11104  ax-icn 11105  ax-addcl 11106  ax-addrcl 11107  ax-mulcl 11108  ax-mulrcl 11109  ax-mulcom 11110  ax-addass 11111  ax-mulass 11112  ax-distr 11113  ax-i2m1 11114  ax-1ne0 11115  ax-1rid 11116  ax-rnegex 11117  ax-rrecex 11118  ax-cnre 11119  ax-pre-lttri 11120  ax-pre-lttrn 11121  ax-pre-ltadd 11122  ax-pre-mulgt0 11123

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11188  df-mnf 11189  df-xr 11190  df-ltxr 11191  df-le 11192  df-sub 11385  df-neg 11386  df-div 11814  df-nn 12165

This theorem is referenced by:  nnrecre  12206  nndivred  12218  fldiv2  13801  zmodcl  13831  iexpcyc  14150  01sqrexlem7  15191  expcnv  15807  ef01bndlem  16129  sin01bnd  16130  cos01bnd  16131  rpnnen2lem2  16160  rpnnen2lem3  16161  rpnnen2lem4  16162  rpnnen2lem9  16167  fldivp1  16845  ovoliunlem1  25437  dyadf  25526  dyadovol  25528  mbfi1fseqlem3  25652  mbfi1fseqlem4  25653  dveflem  25917  plyeq0lem  26149  tangtx  26448  tan4thpiOLD  26458  root1id  26698  root1eq1  26699  root1cj  26700  cxpeq  26701  1cubrlem  26785  atan1  26872  log2tlbnd  26889  log2ublem1  26890  log2ublem2  26891  log2ub  26893  birthdaylem3  26897  birthday  26898  basellem5  27029  basellem8  27032  ppiub  27149  logfac2  27162  dchrptlem1  27209  dchrptlem2  27210  bposlem3  27231  bposlem4  27232  bposlem5  27233  bposlem6  27234  bposlem9  27237  vmadivsum  27427  dchrisum0lem1a  27431  dchrmusum2  27439  dchrvmasum2if  27442  dchrvmasumlem2  27443  dchrvmasumiflem1  27446  dchrvmasumiflem2  27447  dchrisum0re  27458  dchrisum0lem1b  27460  dchrisum0lem1  27461  dchrvmasumlem  27468  rplogsum  27472  mudivsum  27475  selberg2  27496  chpdifbndlem1  27498  selberg3lem1  27502  selbergr  27513  pntlemb  27542  pntlemg  27543  pntlemf  27550  snmlff  35310  sinccvglem  35653  circum  35655  poimirlem29  37637  poimirlem30  37638  poimirlem32  37640