Theorem nndivre 12286

Description: The quotient of a real and a positive integer is real. (Contributed by NM, 28-Nov-2008.)

Assertion

Ref	Expression
nndivre	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nndivre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 12252	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
2		nnne0 12279	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
3	1, 2	jca 511	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≠ 0))
4		redivcl 11965	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)
5	4	3expb 1120	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)
6	3, 5	sylan2 593	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2933  (class class class)co 7410  ℝcr 11133  0cc0 11134   / cdiv 11899  ℕcn 12245

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-nn 12246

This theorem is referenced by:  nnrecre  12287  nndivred  12299  fldiv2  13883  zmodcl  13913  iexpcyc  14230  01sqrexlem7  15272  expcnv  15885  ef01bndlem  16207  sin01bnd  16208  cos01bnd  16209  rpnnen2lem2  16238  rpnnen2lem3  16239  rpnnen2lem4  16240  rpnnen2lem9  16245  fldivp1  16922  ovoliunlem1  25460  dyadf  25549  dyadovol  25551  mbfi1fseqlem3  25675  mbfi1fseqlem4  25676  dveflem  25940  plyeq0lem  26172  tangtx  26471  tan4thpiOLD  26481  root1id  26721  root1eq1  26722  root1cj  26723  cxpeq  26724  1cubrlem  26808  atan1  26895  log2tlbnd  26912  log2ublem1  26913  log2ublem2  26914  log2ub  26916  birthdaylem3  26920  birthday  26921  basellem5  27052  basellem8  27055  ppiub  27172  logfac2  27185  dchrptlem1  27232  dchrptlem2  27233  bposlem3  27254  bposlem4  27255  bposlem5  27256  bposlem6  27257  bposlem9  27260  vmadivsum  27450  dchrisum0lem1a  27454  dchrmusum2  27462  dchrvmasum2if  27465  dchrvmasumlem2  27466  dchrvmasumiflem1  27469  dchrvmasumiflem2  27470  dchrisum0re  27481  dchrisum0lem1b  27483  dchrisum0lem1  27484  dchrvmasumlem  27491  rplogsum  27495  mudivsum  27498  selberg2  27519  chpdifbndlem1  27521  selberg3lem1  27525  selbergr  27536  pntlemb  27565  pntlemg  27566  pntlemf  27573  snmlff  35356  sinccvglem  35699  circum  35701  poimirlem29  37678  poimirlem30  37679  poimirlem32  37681