Theorem nndivre 12190

Description: The quotient of a real and a positive integer is real. (Contributed by NM, 28-Nov-2008.)

Assertion

Ref	Expression
nndivre	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nndivre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 12156	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
2		nnne0 12183	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
3	1, 2	jca 511	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≠ 0))
4		redivcl 11864	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)
5	4	3expb 1121	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)
6	3, 5	sylan2 594	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  (class class class)co 7360  ℝcr 11029  0cc0 11030   / cdiv 11798  ℕcn 12149

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12150

This theorem is referenced by:  nnrecre  12191  nndivred  12203  fldiv2  13785  zmodcl  13815  iexpcyc  14134  01sqrexlem7  15175  expcnv  15791  ef01bndlem  16113  sin01bnd  16114  cos01bnd  16115  rpnnen2lem2  16144  rpnnen2lem3  16145  rpnnen2lem4  16146  rpnnen2lem9  16151  fldivp1  16829  ovoliunlem1  25463  dyadf  25552  dyadovol  25554  mbfi1fseqlem3  25678  mbfi1fseqlem4  25679  dveflem  25943  plyeq0lem  26175  tangtx  26474  tan4thpiOLD  26484  root1id  26724  root1eq1  26725  root1cj  26726  cxpeq  26727  1cubrlem  26811  atan1  26898  log2tlbnd  26915  log2ublem1  26916  log2ublem2  26917  log2ub  26919  birthdaylem3  26923  birthday  26924  basellem5  27055  basellem8  27058  ppiub  27175  logfac2  27188  dchrptlem1  27235  dchrptlem2  27236  bposlem3  27257  bposlem4  27258  bposlem5  27259  bposlem6  27260  bposlem9  27263  vmadivsum  27453  dchrisum0lem1a  27457  dchrmusum2  27465  dchrvmasum2if  27468  dchrvmasumlem2  27469  dchrvmasumiflem1  27472  dchrvmasumiflem2  27473  dchrisum0re  27484  dchrisum0lem1b  27486  dchrisum0lem1  27487  dchrvmasumlem  27494  rplogsum  27498  mudivsum  27501  selberg2  27522  chpdifbndlem1  27524  selberg3lem1  27528  selbergr  27539  pntlemb  27568  pntlemg  27569  pntlemf  27576  snmlff  35525  sinccvglem  35868  circum  35870  poimirlem29  37852  poimirlem30  37853  poimirlem32  37855