Theorem nndivre 12213

Description: The quotient of a real and a positive integer is real. (Contributed by NM, 28-Nov-2008.)

Assertion

Ref	Expression
nndivre	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nndivre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 12176	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
2		nnne0 12206	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
3	1, 2	jca 511	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≠ 0))
4		redivcl 11869	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)
5	4	3expb 1121	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)
6	3, 5	sylan2 594	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  (class class class)co 7362  ℝcr 11032  0cc0 11033   / cdiv 11802  ℕcn 12169

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7813  df-2nd 7938  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-er 8638  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170

This theorem is referenced by:  nnrecre  12214  nndivred  12226  fldiv2  13815  zmodcl  13845  iexpcyc  14164  01sqrexlem7  15205  expcnv  15824  ef01bndlem  16146  sin01bnd  16147  cos01bnd  16148  rpnnen2lem2  16177  rpnnen2lem3  16178  rpnnen2lem4  16179  rpnnen2lem9  16184  fldivp1  16863  ovoliunlem1  25483  dyadf  25572  dyadovol  25574  mbfi1fseqlem3  25698  mbfi1fseqlem4  25699  dveflem  25960  plyeq0lem  26189  tangtx  26486  tan4thpiOLD  26496  root1id  26735  root1eq1  26736  root1cj  26737  cxpeq  26738  1cubrlem  26822  atan1  26909  log2tlbnd  26926  log2ublem1  26927  log2ublem2  26928  log2ub  26930  birthdaylem3  26934  birthday  26935  basellem5  27066  basellem8  27069  ppiub  27185  logfac2  27198  dchrptlem1  27245  dchrptlem2  27246  bposlem3  27267  bposlem4  27268  bposlem5  27269  bposlem6  27270  bposlem9  27273  vmadivsum  27463  dchrisum0lem1a  27467  dchrmusum2  27475  dchrvmasum2if  27478  dchrvmasumlem2  27479  dchrvmasumiflem1  27482  dchrvmasumiflem2  27483  dchrisum0re  27494  dchrisum0lem1b  27496  dchrisum0lem1  27497  dchrvmasumlem  27504  rplogsum  27508  mudivsum  27511  selberg2  27532  chpdifbndlem1  27534  selberg3lem1  27538  selbergr  27549  pntlemb  27578  pntlemg  27579  pntlemf  27586  snmlff  35531  sinccvglem  35874  circum  35876  poimirlem29  37990  poimirlem30  37991  poimirlem32  37993