Theorem nndivre 12157

Description: The quotient of a real and a positive integer is real. (Contributed by NM, 28-Nov-2008.)

Assertion

Ref	Expression
nndivre	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nndivre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 12123	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
2		nnne0 12150	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
3	1, 2	jca 511	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≠ 0))
4		redivcl 11831	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)
5	4	3expb 1120	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)
6	3, 5	sylan2 593	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  (class class class)co 7340  ℝcr 10996  0cc0 10997   / cdiv 11765  ℕcn 12116

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5367  ax-un 7662  ax-resscn 11054  ax-1cn 11055  ax-icn 11056  ax-addcl 11057  ax-addrcl 11058  ax-mulcl 11059  ax-mulrcl 11060  ax-mulcom 11061  ax-addass 11062  ax-mulass 11063  ax-distr 11064  ax-i2m1 11065  ax-1ne0 11066  ax-1rid 11067  ax-rnegex 11068  ax-rrecex 11069  ax-cnre 11070  ax-pre-lttri 11071  ax-pre-lttrn 11072  ax-pre-ltadd 11073  ax-pre-mulgt0 11074

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3393  df-v 3435  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4940  df-br 5089  df-opab 5151  df-mpt 5170  df-tr 5196  df-id 5508  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5566  df-we 5568  df-xp 5619  df-rel 5620  df-cnv 5621  df-co 5622  df-dm 5623  df-rn 5624  df-res 5625  df-ima 5626  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7297  df-ov 7343  df-oprab 7344  df-mpo 7345  df-om 7791  df-2nd 7916  df-frecs 8205  df-wrecs 8236  df-recs 8285  df-rdg 8323  df-er 8616  df-en 8864  df-dom 8865  df-sdom 8866  df-pnf 11139  df-mnf 11140  df-xr 11141  df-ltxr 11142  df-le 11143  df-sub 11337  df-neg 11338  df-div 11766  df-nn 12117

This theorem is referenced by:  nnrecre  12158  nndivred  12170  fldiv2  13753  zmodcl  13783  iexpcyc  14102  01sqrexlem7  15142  expcnv  15758  ef01bndlem  16080  sin01bnd  16081  cos01bnd  16082  rpnnen2lem2  16111  rpnnen2lem3  16112  rpnnen2lem4  16113  rpnnen2lem9  16118  fldivp1  16796  ovoliunlem1  25384  dyadf  25473  dyadovol  25475  mbfi1fseqlem3  25599  mbfi1fseqlem4  25600  dveflem  25864  plyeq0lem  26096  tangtx  26395  tan4thpiOLD  26405  root1id  26645  root1eq1  26646  root1cj  26647  cxpeq  26648  1cubrlem  26732  atan1  26819  log2tlbnd  26836  log2ublem1  26837  log2ublem2  26838  log2ub  26840  birthdaylem3  26844  birthday  26845  basellem5  26976  basellem8  26979  ppiub  27096  logfac2  27109  dchrptlem1  27156  dchrptlem2  27157  bposlem3  27178  bposlem4  27179  bposlem5  27180  bposlem6  27181  bposlem9  27184  vmadivsum  27374  dchrisum0lem1a  27378  dchrmusum2  27386  dchrvmasum2if  27389  dchrvmasumlem2  27390  dchrvmasumiflem1  27393  dchrvmasumiflem2  27394  dchrisum0re  27405  dchrisum0lem1b  27407  dchrisum0lem1  27408  dchrvmasumlem  27415  rplogsum  27419  mudivsum  27422  selberg2  27443  chpdifbndlem1  27445  selberg3lem1  27449  selbergr  27460  pntlemb  27489  pntlemg  27490  pntlemf  27497  snmlff  35319  sinccvglem  35662  circum  35664  poimirlem29  37646  poimirlem30  37647  poimirlem32  37649