Theorem nndivre 12334

Description: The quotient of a real and a positive integer is real. (Contributed by NM, 28-Nov-2008.)

Assertion

Ref	Expression
nndivre	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nndivre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 12297	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
2		nnne0 12327	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
3	1, 2	jca 521	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≠ 0))
4		redivcl 11991	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)
5	4	3expb 1138	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)
6	3, 5	sylan2 605	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  (class class class)co 7409  ℝcr 11156  0cc0 11157   / cdiv 11928  ℕcn 12290

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-icn 11216  ax-addcl 11217  ax-addrcl 11218  ax-mulcl 11219  ax-mulrcl 11220  ax-mulcom 11221  ax-addass 11222  ax-mulass 11223  ax-distr 11224  ax-i2m1 11225  ax-1ne0 11226  ax-1rid 11227  ax-rnegex 11228  ax-rrecex 11229  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232  ax-pre-ltadd 11233  ax-pre-mulgt0 11234

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7862  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11500  df-neg 11501  df-div 11929  df-nn 12291

This theorem is used by:  nnrecre  12335  nndivred  12347  fldiv2  13955  zmodcl  13985  iexpcyc  14304  01sqrexlem7  15368  expcnv  15986  ef01bndlem  16305  sin01bnd  16306  cos01bnd  16307  rpnnen2lem2  16336  rpnnen2lem3  16337  rpnnen2lem4  16338  rpnnen2lem9  16343  fldivp1  17022  ovoliunlem1  25770  dyadf  25859  dyadovol  25861  mbfi1fseqlem3  25985  mbfi1fseqlem4  25986  dveflem  26246  plyeq0lem  26476  tangtx  26783  root1id  27031  root1eq1  27032  root1cj  27033  cxpeq  27034  1cubrlem  27118  atan1  27205  log2tlbnd  27222  log2ublem1  27223  log2ublem2  27224  log2ub  27226  birthdaylem3  27230  birthday  27231  basellem5  27361  basellem8  27364  ppiub  27480  logfac2  27493  dchrptlem1  27540  dchrptlem2  27541  bposlem3  27562  bposlem4  27563  bposlem5  27564  bposlem6  27565  bposlem9  27568  vmadivsum  27758  dchrisum0lem1a  27762  dchrmusum2  27770  dchrvmasum2if  27773  dchrvmasumlem2  27774  dchrvmasumiflem1  27777  dchrvmasumiflem2  27778  dchrisum0re  27789  dchrisum0lem1b  27791  dchrisum0lem1  27792  dchrvmasumlem  27799  rplogsum  27803  mudivsum  27806  selberg2  27827  chpdifbndlem1  27829  selberg3lem1  27833  selbergr  27844  pntlemb  27873  pntlemg  27874  pntlemf  27881  snmlff  36009  sinccvglem  36352  circum  36354  poimirlem29  38481  poimirlem30  38482  poimirlem32  38484