Theorem nndivre 12379

Description: The quotient of a real and a positive integer is real. (Contributed by NM, 28-Nov-2008.)

Assertion

Ref	Expression
nndivre	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nndivre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 12342	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
2		nnne0 12372	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
3	1, 2	jca 521	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≠ 0))
4		redivcl 12036	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)
5	4	3expb 1138	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)
6	3, 5	sylan2 605	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  (class class class)co 7420  ℝcr 11199  0cc0 11200   / cdiv 11973  ℕcn 12335

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336

This theorem is used by:  nnrecre  12380  nndivred  12392  fldiv2  14001  zmodcl  14031  iexpcyc  14351  01sqrexlem7  15415  expcnv  16033  ef01bndlem  16352  sin01bnd  16353  cos01bnd  16354  rpnnen2lem2  16383  rpnnen2lem3  16384  rpnnen2lem4  16385  rpnnen2lem9  16390  fldivp1  17075  ovoliunlem1  25823  dyadf  25912  dyadovol  25914  mbfi1fseqlem3  26038  mbfi1fseqlem4  26039  dveflem  26299  plyeq0lem  26529  tangtx  26834  root1id  27082  root1eq1  27083  root1cj  27084  cxpeq  27085  1cubrlem  27169  atan1  27256  log2tlbnd  27273  log2ublem1  27274  log2ublem2  27275  log2ub  27277  birthdaylem3  27281  birthday  27282  basellem5  27412  basellem8  27415  ppiub  27531  logfac2  27544  dchrptlem1  27591  dchrptlem2  27592  bposlem3  27613  bposlem4  27614  bposlem5  27615  bposlem6  27616  bposlem9  27619  vmadivsum  27809  dchrisum0lem1a  27813  dchrmusum2  27821  dchrvmasum2if  27824  dchrvmasumlem2  27825  dchrvmasumiflem1  27828  dchrvmasumiflem2  27829  dchrisum0re  27840  dchrisum0lem1b  27842  dchrisum0lem1  27843  dchrvmasumlem  27850  rplogsum  27854  mudivsum  27857  selberg2  27878  chpdifbndlem1  27880  selberg3lem1  27884  selbergr  27895  pntlemb  27924  pntlemg  27925  pntlemf  27932  snmlff  36094  sinccvglem  36437  circum  36439  poimirlem29  38568  poimirlem30  38569  poimirlem32  38571