Theorem nndivre 12188

Description: The quotient of a real and a positive integer is real. (Contributed by NM, 28-Nov-2008.)

Assertion

Ref	Expression
nndivre	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nndivre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 12154	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
2		nnne0 12181	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
3	1, 2	jca 511	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≠ 0))
4		redivcl 11862	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)
5	4	3expb 1121	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)
6	3, 5	sylan2 594	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2931  (class class class)co 7358  ℝcr 11027  0cc0 11028   / cdiv 11796  ℕcn 12147

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4947  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6258  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12148

This theorem is referenced by:  nnrecre  12189  nndivred  12201  fldiv2  13783  zmodcl  13813  iexpcyc  14132  01sqrexlem7  15173  expcnv  15789  ef01bndlem  16111  sin01bnd  16112  cos01bnd  16113  rpnnen2lem2  16142  rpnnen2lem3  16143  rpnnen2lem4  16144  rpnnen2lem9  16149  fldivp1  16827  ovoliunlem1  25461  dyadf  25550  dyadovol  25552  mbfi1fseqlem3  25676  mbfi1fseqlem4  25677  dveflem  25941  plyeq0lem  26173  tangtx  26472  tan4thpiOLD  26482  root1id  26722  root1eq1  26723  root1cj  26724  cxpeq  26725  1cubrlem  26809  atan1  26896  log2tlbnd  26913  log2ublem1  26914  log2ublem2  26915  log2ub  26917  birthdaylem3  26921  birthday  26922  basellem5  27053  basellem8  27056  ppiub  27173  logfac2  27186  dchrptlem1  27233  dchrptlem2  27234  bposlem3  27255  bposlem4  27256  bposlem5  27257  bposlem6  27258  bposlem9  27261  vmadivsum  27451  dchrisum0lem1a  27455  dchrmusum2  27463  dchrvmasum2if  27466  dchrvmasumlem2  27467  dchrvmasumiflem1  27470  dchrvmasumiflem2  27471  dchrisum0re  27482  dchrisum0lem1b  27484  dchrisum0lem1  27485  dchrvmasumlem  27492  rplogsum  27496  mudivsum  27499  selberg2  27520  chpdifbndlem1  27522  selberg3lem1  27526  selbergr  27537  pntlemb  27566  pntlemg  27567  pntlemf  27574  snmlff  35502  sinccvglem  35845  circum  35847  poimirlem29  37819  poimirlem30  37820  poimirlem32  37822