Theorem nndivre 12305

Description: The quotient of a real and a positive integer is real. (Contributed by NM, 28-Nov-2008.)

Assertion

Ref	Expression
nndivre	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nndivre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 12271	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
2		nnne0 12298	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
3	1, 2	jca 511	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≠ 0))
4		redivcl 11984	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)
5	4	3expb 1119	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)
6	3, 5	sylan2 593	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  (class class class)co 7431  ℝcr 11152  0cc0 11153   / cdiv 11918  ℕcn 12264

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265

This theorem is referenced by:  nnrecre  12306  nndivred  12318  fldiv2  13898  zmodcl  13928  iexpcyc  14243  01sqrexlem7  15284  expcnv  15897  ef01bndlem  16217  sin01bnd  16218  cos01bnd  16219  rpnnen2lem2  16248  rpnnen2lem3  16249  rpnnen2lem4  16250  rpnnen2lem9  16255  fldivp1  16931  ovoliunlem1  25551  dyadf  25640  dyadovol  25642  mbfi1fseqlem3  25767  mbfi1fseqlem4  25768  dveflem  26032  plyeq0lem  26264  tangtx  26562  tan4thpiOLD  26572  root1id  26812  root1eq1  26813  root1cj  26814  cxpeq  26815  1cubrlem  26899  atan1  26986  log2tlbnd  27003  log2ublem1  27004  log2ublem2  27005  log2ub  27007  birthdaylem3  27011  birthday  27012  basellem5  27143  basellem8  27146  ppiub  27263  logfac2  27276  dchrptlem1  27323  dchrptlem2  27324  bposlem3  27345  bposlem4  27346  bposlem5  27347  bposlem6  27348  bposlem9  27351  vmadivsum  27541  dchrisum0lem1a  27545  dchrmusum2  27553  dchrvmasum2if  27556  dchrvmasumlem2  27557  dchrvmasumiflem1  27560  dchrvmasumiflem2  27561  dchrisum0re  27572  dchrisum0lem1b  27574  dchrisum0lem1  27575  dchrvmasumlem  27582  rplogsum  27586  mudivsum  27589  selberg2  27610  chpdifbndlem1  27612  selberg3lem1  27616  selbergr  27627  pntlemb  27656  pntlemg  27657  pntlemf  27664  snmlff  35314  sinccvglem  35657  circum  35659  poimirlem29  37636  poimirlem30  37637  poimirlem32  37639