Theorem nndivre 12084

Description: The quotient of a real and a positive integer is real. (Contributed by NM, 28-Nov-2008.)

Assertion

Ref	Expression
nndivre	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nndivre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 12050	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
2		nnne0 12077	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
3	1, 2	jca 512	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≠ 0))
4		redivcl 11764	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)
5	4	3expb 1119	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)
6	3, 5	sylan2 593	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2941  (class class class)co 7313  ℝcr 10940  0cc0 10941   / cdiv 11702  ℕcn 12043

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-sep 5236  ax-nul 5243  ax-pow 5301  ax-pr 5365  ax-un 7626  ax-resscn 10998  ax-1cn 10999  ax-icn 11000  ax-addcl 11001  ax-addrcl 11002  ax-mulcl 11003  ax-mulrcl 11004  ax-mulcom 11005  ax-addass 11006  ax-mulass 11007  ax-distr 11008  ax-i2m1 11009  ax-1ne0 11010  ax-1rid 11011  ax-rnegex 11012  ax-rrecex 11013  ax-cnre 11014  ax-pre-lttri 11015  ax-pre-lttrn 11016  ax-pre-ltadd 11017  ax-pre-mulgt0 11018

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3726  df-csb 3842  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3913  df-pss 3915  df-nul 4267  df-if 4470  df-pw 4545  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4849  df-iun 4937  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5169  df-tr 5203  df-id 5505  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5560  df-we 5562  df-xp 5611  df-rel 5612  df-cnv 5613  df-co 5614  df-dm 5615  df-rn 5616  df-res 5617  df-ima 5618  df-pred 6222  df-ord 6289  df-on 6290  df-lim 6291  df-suc 6292  df-iota 6415  df-fun 6465  df-fn 6466  df-f 6467  df-f1 6468  df-fo 6469  df-f1o 6470  df-fv 6471  df-riota 7270  df-ov 7316  df-oprab 7317  df-mpo 7318  df-om 7756  df-2nd 7875  df-frecs 8142  df-wrecs 8173  df-recs 8247  df-rdg 8286  df-er 8544  df-en 8780  df-dom 8781  df-sdom 8782  df-pnf 11081  df-mnf 11082  df-xr 11083  df-ltxr 11084  df-le 11085  df-sub 11277  df-neg 11278  df-div 11703  df-nn 12044

This theorem is referenced by:  nnrecre  12085  nndivred  12097  fldiv2  13651  zmodcl  13681  iexpcyc  13993  sqrlem7  15029  expcnv  15645  ef01bndlem  15962  sin01bnd  15963  cos01bnd  15964  rpnnen2lem2  15993  rpnnen2lem3  15994  rpnnen2lem4  15995  rpnnen2lem9  16000  fldivp1  16665  ovoliunlem1  24737  dyadf  24826  dyadovol  24828  mbfi1fseqlem3  24953  mbfi1fseqlem4  24954  dveflem  25214  plyeq0lem  25442  tangtx  25733  tan4thpi  25742  root1id  25978  root1eq1  25979  root1cj  25980  cxpeq  25981  1cubrlem  26062  atan1  26149  log2tlbnd  26166  log2ublem1  26167  log2ublem2  26168  log2ub  26170  birthdaylem3  26174  birthday  26175  basellem5  26305  basellem8  26308  ppiub  26423  logfac2  26436  dchrptlem1  26483  dchrptlem2  26484  bposlem3  26505  bposlem4  26506  bposlem5  26507  bposlem6  26508  bposlem9  26511  vmadivsum  26701  dchrisum0lem1a  26705  dchrmusum2  26713  dchrvmasum2if  26716  dchrvmasumlem2  26717  dchrvmasumiflem1  26720  dchrvmasumiflem2  26721  dchrisum0re  26732  dchrisum0lem1b  26734  dchrisum0lem1  26735  dchrvmasumlem  26742  rplogsum  26746  mudivsum  26749  selberg2  26770  chpdifbndlem1  26772  selberg3lem1  26776  selbergr  26787  pntlemb  26816  pntlemg  26817  pntlemf  26824  snmlff  33397  sinccvglem  33736  circum  33738  poimirlem29  35866  poimirlem30  35867  poimirlem32  35869