Theorem nndivre 12166

Description: The quotient of a real and a positive integer is real. (Contributed by NM, 28-Nov-2008.)

Assertion

Ref	Expression
nndivre	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nndivre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 12132	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
2		nnne0 12159	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
3	1, 2	jca 511	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≠ 0))
4		redivcl 11840	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)
5	4	3expb 1120	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)
6	3, 5	sylan2 593	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  (class class class)co 7346  ℝcr 11005  0cc0 11006   / cdiv 11774  ℕcn 12125

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126

This theorem is referenced by:  nnrecre  12167  nndivred  12179  fldiv2  13765  zmodcl  13795  iexpcyc  14114  01sqrexlem7  15155  expcnv  15771  ef01bndlem  16093  sin01bnd  16094  cos01bnd  16095  rpnnen2lem2  16124  rpnnen2lem3  16125  rpnnen2lem4  16126  rpnnen2lem9  16131  fldivp1  16809  ovoliunlem1  25430  dyadf  25519  dyadovol  25521  mbfi1fseqlem3  25645  mbfi1fseqlem4  25646  dveflem  25910  plyeq0lem  26142  tangtx  26441  tan4thpiOLD  26451  root1id  26691  root1eq1  26692  root1cj  26693  cxpeq  26694  1cubrlem  26778  atan1  26865  log2tlbnd  26882  log2ublem1  26883  log2ublem2  26884  log2ub  26886  birthdaylem3  26890  birthday  26891  basellem5  27022  basellem8  27025  ppiub  27142  logfac2  27155  dchrptlem1  27202  dchrptlem2  27203  bposlem3  27224  bposlem4  27225  bposlem5  27226  bposlem6  27227  bposlem9  27230  vmadivsum  27420  dchrisum0lem1a  27424  dchrmusum2  27432  dchrvmasum2if  27435  dchrvmasumlem2  27436  dchrvmasumiflem1  27439  dchrvmasumiflem2  27440  dchrisum0re  27451  dchrisum0lem1b  27453  dchrisum0lem1  27454  dchrvmasumlem  27461  rplogsum  27465  mudivsum  27468  selberg2  27489  chpdifbndlem1  27491  selberg3lem1  27495  selbergr  27506  pntlemb  27535  pntlemg  27536  pntlemf  27543  snmlff  35373  sinccvglem  35716  circum  35718  poimirlem29  37688  poimirlem30  37689  poimirlem32  37691