Theorem nndivre 12252

Description: The quotient of a real and a positive integer is real. (Contributed by NM, 28-Nov-2008.)

Assertion

Ref	Expression
nndivre	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nndivre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 12218	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
2		nnne0 12245	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
3	1, 2	jca 512	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≠ 0))
4		redivcl 11932	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)
5	4	3expb 1120	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)
6	3, 5	sylan2 593	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  (class class class)co 7408  ℝcr 11108  0cc0 11109   / cdiv 11870  ℕcn 12211

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212

This theorem is referenced by:  nnrecre  12253  nndivred  12265  fldiv2  13825  zmodcl  13855  iexpcyc  14170  01sqrexlem7  15194  expcnv  15809  ef01bndlem  16126  sin01bnd  16127  cos01bnd  16128  rpnnen2lem2  16157  rpnnen2lem3  16158  rpnnen2lem4  16159  rpnnen2lem9  16164  fldivp1  16829  ovoliunlem1  25018  dyadf  25107  dyadovol  25109  mbfi1fseqlem3  25234  mbfi1fseqlem4  25235  dveflem  25495  plyeq0lem  25723  tangtx  26014  tan4thpi  26023  root1id  26259  root1eq1  26260  root1cj  26261  cxpeq  26262  1cubrlem  26343  atan1  26430  log2tlbnd  26447  log2ublem1  26448  log2ublem2  26449  log2ub  26451  birthdaylem3  26455  birthday  26456  basellem5  26586  basellem8  26589  ppiub  26704  logfac2  26717  dchrptlem1  26764  dchrptlem2  26765  bposlem3  26786  bposlem4  26787  bposlem5  26788  bposlem6  26789  bposlem9  26792  vmadivsum  26982  dchrisum0lem1a  26986  dchrmusum2  26994  dchrvmasum2if  26997  dchrvmasumlem2  26998  dchrvmasumiflem1  27001  dchrvmasumiflem2  27002  dchrisum0re  27013  dchrisum0lem1b  27015  dchrisum0lem1  27016  dchrvmasumlem  27023  rplogsum  27027  mudivsum  27030  selberg2  27051  chpdifbndlem1  27053  selberg3lem1  27057  selbergr  27068  pntlemb  27097  pntlemg  27098  pntlemf  27105  snmlff  34315  sinccvglem  34652  circum  34654  poimirlem29  36512  poimirlem30  36513  poimirlem32  36515