Theorem nndivre 11681

Description: The quotient of a real and a positive integer is real. (Contributed by NM, 28-Nov-2008.)

Assertion

Ref	Expression
nndivre	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nndivre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 11648	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
2		nnne0 11674	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
3	1, 2	jca 514	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≠ 0))
4		redivcl 11362	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)
5	4	3expb 1116	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)
6	3, 5	sylan2 594	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∈ wcel 2113   ≠ wne 3019  (class class class)co 7159  ℝcr 10539  0cc0 10540   / cdiv 11300  ℕcn 11641

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-div 11301  df-nn 11642

This theorem is referenced by:  nnrecre  11682  nndivred  11694  fldiv2  13232  zmodcl  13262  iexpcyc  13572  sqrlem7  14611  expcnv  15222  ef01bndlem  15540  sin01bnd  15541  cos01bnd  15542  rpnnen2lem2  15571  rpnnen2lem3  15572  rpnnen2lem4  15573  rpnnen2lem9  15578  fldivp1  16236  ovoliunlem1  24106  dyadf  24195  dyadovol  24197  mbfi1fseqlem3  24321  mbfi1fseqlem4  24322  dveflem  24579  plyeq0lem  24803  tangtx  25094  tan4thpi  25103  root1id  25338  root1eq1  25339  root1cj  25340  cxpeq  25341  1cubrlem  25422  atan1  25509  log2tlbnd  25526  log2ublem1  25527  log2ublem2  25528  log2ub  25530  birthdaylem3  25534  birthday  25535  basellem5  25665  basellem8  25668  ppiub  25783  logfac2  25796  dchrptlem1  25843  dchrptlem2  25844  bposlem3  25865  bposlem4  25866  bposlem5  25867  bposlem6  25868  bposlem9  25871  vmadivsum  26061  dchrisum0lem1a  26065  dchrmusum2  26073  dchrvmasum2if  26076  dchrvmasumlem2  26077  dchrvmasumiflem1  26080  dchrvmasumiflem2  26081  dchrisum0re  26092  dchrisum0lem1b  26094  dchrisum0lem1  26095  dchrvmasumlem  26102  rplogsum  26106  mudivsum  26109  selberg2  26130  chpdifbndlem1  26132  selberg3lem1  26136  selbergr  26147  pntlemb  26176  pntlemg  26177  pntlemf  26184  snmlff  32580  sinccvglem  32919  circum  32921  poimirlem29  34925  poimirlem30  34926  poimirlem32  34928