Theorem nndivre 12200

Description: The quotient of a real and a positive integer is real. (Contributed by NM, 28-Nov-2008.)

Assertion

Ref	Expression
nndivre	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nndivre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 12166	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
2		nnne0 12193	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
3	1, 2	jca 511	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≠ 0))
4		redivcl 11874	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)
5	4	3expb 1121	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)
6	3, 5	sylan2 594	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  (class class class)co 7370  ℝcr 11039  0cc0 11040   / cdiv 11808  ℕcn 12159

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-2nd 7946  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-er 8647  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-div 11809  df-nn 12160

This theorem is referenced by:  nnrecre  12201  nndivred  12213  fldiv2  13795  zmodcl  13825  iexpcyc  14144  01sqrexlem7  15185  expcnv  15801  ef01bndlem  16123  sin01bnd  16124  cos01bnd  16125  rpnnen2lem2  16154  rpnnen2lem3  16155  rpnnen2lem4  16156  rpnnen2lem9  16161  fldivp1  16839  ovoliunlem1  25476  dyadf  25565  dyadovol  25567  mbfi1fseqlem3  25691  mbfi1fseqlem4  25692  dveflem  25956  plyeq0lem  26188  tangtx  26487  tan4thpiOLD  26497  root1id  26737  root1eq1  26738  root1cj  26739  cxpeq  26740  1cubrlem  26824  atan1  26911  log2tlbnd  26928  log2ublem1  26929  log2ublem2  26930  log2ub  26932  birthdaylem3  26936  birthday  26937  basellem5  27068  basellem8  27071  ppiub  27188  logfac2  27201  dchrptlem1  27248  dchrptlem2  27249  bposlem3  27270  bposlem4  27271  bposlem5  27272  bposlem6  27273  bposlem9  27276  vmadivsum  27466  dchrisum0lem1a  27470  dchrmusum2  27478  dchrvmasum2if  27481  dchrvmasumlem2  27482  dchrvmasumiflem1  27485  dchrvmasumiflem2  27486  dchrisum0re  27497  dchrisum0lem1b  27499  dchrisum0lem1  27500  dchrvmasumlem  27507  rplogsum  27511  mudivsum  27514  selberg2  27535  chpdifbndlem1  27537  selberg3lem1  27541  selbergr  27552  pntlemb  27581  pntlemg  27582  pntlemf  27589  snmlff  35551  sinccvglem  35894  circum  35896  poimirlem29  37929  poimirlem30  37930  poimirlem32  37932