Theorem rpnnen2lem7 16179

Description: Lemma for rpnnen2 16185. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpnnen2.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ 𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))

Assertion

Ref	Expression
rpnnen2lem7	⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)((𝐹‘𝐴)‘𝑘) ≤ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)((𝐹‘𝐵)‘𝑘))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝑘,𝐴   𝐵,𝑘,𝑛,𝑥   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀,𝑛,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem rpnnen2lem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2739	. 2 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑀)
2		simp3 1144	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℕ)
3	2	nnzd 12542	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℤ)
4		eqidd 2740	. 2 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) = ((𝐹‘𝐴)‘𝑘))
5		eluznn 12860	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ)
6	2, 5	sylan 586	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ)
7		sstr 3923	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ) → 𝐴 ⊆ ℕ)
8	7	3adant3 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝐴 ⊆ ℕ)
9		rpnnen2.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ 𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
10	9	rpnnen2lem2 16174	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℕ → (𝐹‘𝐴):ℕ⟶ℝ)
11	8, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝐴):ℕ⟶ℝ)
12	11	ffvelcdmda 7026	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) ∈ ℝ)
13	6, 12	syldan 597	. 2 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) ∈ ℝ)
14		eqidd 2740	. 2 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝐹‘𝐵)‘𝑘) = ((𝐹‘𝐵)‘𝑘))
15	9	rpnnen2lem2 16174	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ⊆ ℕ → (𝐹‘𝐵):ℕ⟶ℝ)
16	15	3ad2ant2 1140	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝐵):ℕ⟶ℝ)
17	16	ffvelcdmda 7026	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝐵)‘𝑘) ∈ ℝ)
18	6, 17	syldan 597	. 2 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝐹‘𝐵)‘𝑘) ∈ ℝ)
19	9	rpnnen2lem4 16176	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (0 ≤ ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) ∧ ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) ≤ ((𝐹‘𝐵)‘𝑘)))
20	19	simprd 496	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) ≤ ((𝐹‘𝐵)‘𝑘))
21	20	3expa 1124	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) ≤ ((𝐹‘𝐵)‘𝑘))
22	21	3adantl3 1175	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) ≤ ((𝐹‘𝐵)‘𝑘))
23	6, 22	syldan 597	. 2 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) ≤ ((𝐹‘𝐵)‘𝑘))
24	9	rpnnen2lem5 16177	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → seq𝑀( + , (𝐹‘𝐴)) ∈ dom ⇝ )
25	7, 24	stoic3 1783	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → seq𝑀( + , (𝐹‘𝐴)) ∈ dom ⇝ )
26	9	rpnnen2lem5 16177	. . 3 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → seq𝑀( + , (𝐹‘𝐵)) ∈ dom ⇝ )
27	26	3adant1 1136	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → seq𝑀( + , (𝐹‘𝐵)) ∈ dom ⇝ )
28	1, 3, 4, 13, 14, 18, 23, 25, 27	isumle 15801	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)((𝐹‘𝐴)‘𝑘) ≤ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)((𝐹‘𝐵)‘𝑘))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ⊆ wss 3883  ifcif 4455  𝒫 cpw 4530   class class class wbr 5073   ↦ cmpt 5154  dom cdm 5619  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  (class class class)co 7357  ℝcr 11029  0cc0 11030  1c1 11031   + caddc 11033   ≤ cle 11172   / cdiv 11799  ℕcn 12166  3c3 12229  ℤ_≥cuz 12780  seqcseq 13955  ↑cexp 14015   ⇝ cli 15438  Σcsu 15640

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5200  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-inf2 9554  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4840  df-int 4879  df-iun 4924  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-tr 5181  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7314  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7808  df-1st 7932  df-2nd 7933  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-er 8634  df-pm 8767  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-sup 9346  df-inf 9347  df-oi 9416  df-card 9855  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-div 11800  df-nn 12167  df-2 12236  df-3 12237  df-n0 12430  df-z 12517  df-uz 12781  df-rp 12935  df-ico 13296  df-fz 13454  df-fzo 13601  df-fl 13743  df-seq 13956  df-exp 14016  df-hash 14285  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-limsup 15425  df-clim 15442  df-rlim 15443  df-sum 15641

This theorem is referenced by:  rpnnen2lem11  16183  rpnnen2lem12  16184