MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpnnen2lem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rpnnen2lem7 16200
Description: Lemma for rpnnen2 16206. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
rpnnen2.1 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
Assertion
Ref Expression
rpnnen2lem7 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)((𝐹𝐴)‘𝑘) ≤ Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)((𝐹𝐵)‘𝑘))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝑘,𝐴   𝐵,𝑘,𝑛,𝑥   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀,𝑛,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem rpnnen2lem7
StepHypRef Expression
1 eqid 2725 . 2 (ℤ𝑀) = (ℤ𝑀)
2 simp3 1135 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℕ)
32nnzd 12618 . 2 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℤ)
4 eqidd 2726 . 2 (((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝐹𝐴)‘𝑘) = ((𝐹𝐴)‘𝑘))
5 eluznn 12935 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ)
62, 5sylan 578 . . 3 (((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ)
7 sstr 3985 . . . . . 6 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℕ) → 𝐴 ⊆ ℕ)
873adant3 1129 . . . . 5 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝐴 ⊆ ℕ)
9 rpnnen2.1 . . . . . 6 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
109rpnnen2lem2 16195 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℕ → (𝐹𝐴):ℕ⟶ℝ)
118, 10syl 17 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝐹𝐴):ℕ⟶ℝ)
1211ffvelcdmda 7093 . . 3 (((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝐴)‘𝑘) ∈ ℝ)
136, 12syldan 589 . 2 (((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝐹𝐴)‘𝑘) ∈ ℝ)
14 eqidd 2726 . 2 (((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝐹𝐵)‘𝑘) = ((𝐹𝐵)‘𝑘))
159rpnnen2lem2 16195 . . . . 5 (𝐵 ⊆ ℕ → (𝐹𝐵):ℕ⟶ℝ)
16153ad2ant2 1131 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝐹𝐵):ℕ⟶ℝ)
1716ffvelcdmda 7093 . . 3 (((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝐵)‘𝑘) ∈ ℝ)
186, 17syldan 589 . 2 (((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝐹𝐵)‘𝑘) ∈ ℝ)
199rpnnen2lem4 16197 . . . . . 6 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (0 ≤ ((𝐹𝐴)‘𝑘) ∧ ((𝐹𝐴)‘𝑘) ≤ ((𝐹𝐵)‘𝑘)))
2019simprd 494 . . . . 5 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝐴)‘𝑘) ≤ ((𝐹𝐵)‘𝑘))
21203expa 1115 . . . 4 (((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝐴)‘𝑘) ≤ ((𝐹𝐵)‘𝑘))
22213adantl3 1165 . . 3 (((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝐴)‘𝑘) ≤ ((𝐹𝐵)‘𝑘))
236, 22syldan 589 . 2 (((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝐹𝐴)‘𝑘) ≤ ((𝐹𝐵)‘𝑘))
249rpnnen2lem5 16198 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → seq𝑀( + , (𝐹𝐴)) ∈ dom ⇝ )
257, 24stoic3 1770 . 2 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → seq𝑀( + , (𝐹𝐴)) ∈ dom ⇝ )
269rpnnen2lem5 16198 . . 3 ((𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → seq𝑀( + , (𝐹𝐵)) ∈ dom ⇝ )
27263adant1 1127 . 2 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → seq𝑀( + , (𝐹𝐵)) ∈ dom ⇝ )
281, 3, 4, 13, 14, 18, 23, 25, 27isumle 15826 1 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)((𝐹𝐴)‘𝑘) ≤ Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)((𝐹𝐵)‘𝑘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wss 3944  ifcif 4530  𝒫 cpw 4604   class class class wbr 5149  cmpt 5232  dom cdm 5678  wf 6545  cfv 6549  (class class class)co 7419  cr 11139  0cc0 11140  1c1 11141   + caddc 11143  cle 11281   / cdiv 11903  cn 12245  3c3 12301  cuz 12855  seqcseq 14002  cexp 14062  cli 15464  Σcsu 15668
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-inf2 9666  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9467  df-inf 9468  df-oi 9535  df-card 9964  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-rp 13010  df-ico 13365  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-fl 13793  df-seq 14003  df-exp 14063  df-hash 14326  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219  df-limsup 15451  df-clim 15468  df-rlim 15469  df-sum 15669
This theorem is referenced by:  rpnnen2lem11  16204  rpnnen2lem12  16205
  Copyright terms: Public domain W3C validator