MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpnnen2lem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rpnnen2lem7 16252
Description: Lemma for rpnnen2 16258. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
rpnnen2.1 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
Assertion
Ref Expression
rpnnen2lem7 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)((𝐹𝐴)‘𝑘) ≤ Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)((𝐹𝐵)‘𝑘))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝑘,𝐴   𝐵,𝑘,𝑛,𝑥   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀,𝑛,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem rpnnen2lem7
StepHypRef Expression
1 eqid 2734 . 2 (ℤ𝑀) = (ℤ𝑀)
2 simp3 1137 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℕ)
32nnzd 12637 . 2 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℤ)
4 eqidd 2735 . 2 (((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝐹𝐴)‘𝑘) = ((𝐹𝐴)‘𝑘))
5 eluznn 12957 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ)
62, 5sylan 580 . . 3 (((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ)
7 sstr 4003 . . . . . 6 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℕ) → 𝐴 ⊆ ℕ)
873adant3 1131 . . . . 5 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝐴 ⊆ ℕ)
9 rpnnen2.1 . . . . . 6 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
109rpnnen2lem2 16247 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℕ → (𝐹𝐴):ℕ⟶ℝ)
118, 10syl 17 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝐹𝐴):ℕ⟶ℝ)
1211ffvelcdmda 7103 . . 3 (((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝐴)‘𝑘) ∈ ℝ)
136, 12syldan 591 . 2 (((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝐹𝐴)‘𝑘) ∈ ℝ)
14 eqidd 2735 . 2 (((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝐹𝐵)‘𝑘) = ((𝐹𝐵)‘𝑘))
159rpnnen2lem2 16247 . . . . 5 (𝐵 ⊆ ℕ → (𝐹𝐵):ℕ⟶ℝ)
16153ad2ant2 1133 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝐹𝐵):ℕ⟶ℝ)
1716ffvelcdmda 7103 . . 3 (((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝐵)‘𝑘) ∈ ℝ)
186, 17syldan 591 . 2 (((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝐹𝐵)‘𝑘) ∈ ℝ)
199rpnnen2lem4 16249 . . . . . 6 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (0 ≤ ((𝐹𝐴)‘𝑘) ∧ ((𝐹𝐴)‘𝑘) ≤ ((𝐹𝐵)‘𝑘)))
2019simprd 495 . . . . 5 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝐴)‘𝑘) ≤ ((𝐹𝐵)‘𝑘))
21203expa 1117 . . . 4 (((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝐴)‘𝑘) ≤ ((𝐹𝐵)‘𝑘))
22213adantl3 1167 . . 3 (((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝐴)‘𝑘) ≤ ((𝐹𝐵)‘𝑘))
236, 22syldan 591 . 2 (((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝐹𝐴)‘𝑘) ≤ ((𝐹𝐵)‘𝑘))
249rpnnen2lem5 16250 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → seq𝑀( + , (𝐹𝐴)) ∈ dom ⇝ )
257, 24stoic3 1772 . 2 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → seq𝑀( + , (𝐹𝐴)) ∈ dom ⇝ )
269rpnnen2lem5 16250 . . 3 ((𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → seq𝑀( + , (𝐹𝐵)) ∈ dom ⇝ )
27263adant1 1129 . 2 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → seq𝑀( + , (𝐹𝐵)) ∈ dom ⇝ )
281, 3, 4, 13, 14, 18, 23, 25, 27isumle 15876 1 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)((𝐹𝐴)‘𝑘) ≤ Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)((𝐹𝐵)‘𝑘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  wss 3962  ifcif 4530  𝒫 cpw 4604   class class class wbr 5147  cmpt 5230  dom cdm 5688  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430  cr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155  cle 11293   / cdiv 11917  cn 12263  3c3 12319  cuz 12875  seqcseq 14038  cexp 14098  cli 15516  Σcsu 15718
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-pm 8867  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-rp 13032  df-ico 13389  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-seq 14039  df-exp 14099  df-hash 14366  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-limsup 15503  df-clim 15520  df-rlim 15521  df-sum 15719
This theorem is referenced by:  rpnnen2lem11  16256  rpnnen2lem12  16257
  Copyright terms: Public domain W3C validator