MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpnnen2lem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rpnnen2lem7 16256
Description: Lemma for rpnnen2 16262. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
rpnnen2.1 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
Assertion
Ref Expression
rpnnen2lem7 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)((𝐹𝐴)‘𝑘) ≤ Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)((𝐹𝐵)‘𝑘))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝑘,𝐴   𝐵,𝑘,𝑛,𝑥   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀,𝑛,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem rpnnen2lem7
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . 2 (ℤ𝑀) = (ℤ𝑀)
2 simp3 1139 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℕ)
32nnzd 12640 . 2 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℤ)
4 eqidd 2738 . 2 (((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝐹𝐴)‘𝑘) = ((𝐹𝐴)‘𝑘))
5 eluznn 12960 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ)
62, 5sylan 580 . . 3 (((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ)
7 sstr 3992 . . . . . 6 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℕ) → 𝐴 ⊆ ℕ)
873adant3 1133 . . . . 5 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝐴 ⊆ ℕ)
9 rpnnen2.1 . . . . . 6 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
109rpnnen2lem2 16251 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℕ → (𝐹𝐴):ℕ⟶ℝ)
118, 10syl 17 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝐹𝐴):ℕ⟶ℝ)
1211ffvelcdmda 7104 . . 3 (((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝐴)‘𝑘) ∈ ℝ)
136, 12syldan 591 . 2 (((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝐹𝐴)‘𝑘) ∈ ℝ)
14 eqidd 2738 . 2 (((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝐹𝐵)‘𝑘) = ((𝐹𝐵)‘𝑘))
159rpnnen2lem2 16251 . . . . 5 (𝐵 ⊆ ℕ → (𝐹𝐵):ℕ⟶ℝ)
16153ad2ant2 1135 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝐹𝐵):ℕ⟶ℝ)
1716ffvelcdmda 7104 . . 3 (((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝐵)‘𝑘) ∈ ℝ)
186, 17syldan 591 . 2 (((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝐹𝐵)‘𝑘) ∈ ℝ)
199rpnnen2lem4 16253 . . . . . 6 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (0 ≤ ((𝐹𝐴)‘𝑘) ∧ ((𝐹𝐴)‘𝑘) ≤ ((𝐹𝐵)‘𝑘)))
2019simprd 495 . . . . 5 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝐴)‘𝑘) ≤ ((𝐹𝐵)‘𝑘))
21203expa 1119 . . . 4 (((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝐴)‘𝑘) ≤ ((𝐹𝐵)‘𝑘))
22213adantl3 1169 . . 3 (((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝐴)‘𝑘) ≤ ((𝐹𝐵)‘𝑘))
236, 22syldan 591 . 2 (((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝐹𝐴)‘𝑘) ≤ ((𝐹𝐵)‘𝑘))
249rpnnen2lem5 16254 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → seq𝑀( + , (𝐹𝐴)) ∈ dom ⇝ )
257, 24stoic3 1776 . 2 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → seq𝑀( + , (𝐹𝐴)) ∈ dom ⇝ )
269rpnnen2lem5 16254 . . 3 ((𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → seq𝑀( + , (𝐹𝐵)) ∈ dom ⇝ )
27263adant1 1131 . 2 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → seq𝑀( + , (𝐹𝐵)) ∈ dom ⇝ )
281, 3, 4, 13, 14, 18, 23, 25, 27isumle 15880 1 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)((𝐹𝐴)‘𝑘) ≤ Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)((𝐹𝐵)‘𝑘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wss 3951  ifcif 4525  𝒫 cpw 4600   class class class wbr 5143  cmpt 5225  dom cdm 5685  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158  cle 11296   / cdiv 11920  cn 12266  3c3 12322  cuz 12878  seqcseq 14042  cexp 14102  cli 15520  Σcsu 15722
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-ico 13393  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723
This theorem is referenced by:  rpnnen2lem11  16260  rpnnen2lem12  16261
  Copyright terms: Public domain W3C validator