MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpnnen2lem7 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem rpnnen2lem7 16168
Description: Lemma for rpnnen2 16174. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
rpnnen2.1 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝒫 β„• ↦ (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ π‘₯, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
Assertion
Ref Expression
rpnnen2lem7 ((𝐴 βŠ† 𝐡 ∧ 𝐡 βŠ† β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑛,π‘˜,𝐴   𝐡,π‘˜,𝑛,π‘₯   π‘˜,𝐹   π‘˜,𝑀,𝑛,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐹(π‘₯,𝑛)
Proof of Theorem rpnnen2lem7
StepHypRef Expression
1 eqid 2731 . 2 (β„€β‰₯β€˜π‘€) = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
2 simp3 1137 . . 3 ((𝐴 βŠ† 𝐡 ∧ 𝐡 βŠ† β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ 𝑀 ∈ β„•)
32nnzd 12590 . 2 ((𝐴 βŠ† 𝐡 ∧ 𝐡 βŠ† β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
4 eqidd 2732 . 2 (((𝐴 βŠ† 𝐡 ∧ 𝐡 βŠ† β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ ((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜) = ((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜))
5 eluznn 12907 . . . 4 ((𝑀 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
62, 5sylan 579 . . 3 (((𝐴 βŠ† 𝐡 ∧ 𝐡 βŠ† β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
7 sstr 3990 . . . . . 6 ((𝐴 βŠ† 𝐡 ∧ 𝐡 βŠ† β„•) β†’ 𝐴 βŠ† β„•)
873adant3 1131 . . . . 5 ((𝐴 βŠ† 𝐡 ∧ 𝐡 βŠ† β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ 𝐴 βŠ† β„•)
9 rpnnen2.1 . . . . . 6 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝒫 β„• ↦ (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ π‘₯, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
109rpnnen2lem2 16163 . . . . 5 (𝐴 βŠ† β„• β†’ (πΉβ€˜π΄):β„•βŸΆβ„)
118, 10syl 17 . . . 4 ((𝐴 βŠ† 𝐡 ∧ 𝐡 βŠ† β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π΄):β„•βŸΆβ„)
1211ffvelcdmda 7086 . . 3 (((𝐴 βŠ† 𝐡 ∧ 𝐡 βŠ† β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
136, 12syldan 590 . 2 (((𝐴 βŠ† 𝐡 ∧ 𝐡 βŠ† β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ ((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
14 eqidd 2732 . 2 (((𝐴 βŠ† 𝐡 ∧ 𝐡 βŠ† β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ ((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜) = ((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜))
159rpnnen2lem2 16163 . . . . 5 (𝐡 βŠ† β„• β†’ (πΉβ€˜π΅):β„•βŸΆβ„)
16153ad2ant2 1133 . . . 4 ((𝐴 βŠ† 𝐡 ∧ 𝐡 βŠ† β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π΅):β„•βŸΆβ„)
1716ffvelcdmda 7086 . . 3 (((𝐴 βŠ† 𝐡 ∧ 𝐡 βŠ† β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
186, 17syldan 590 . 2 (((𝐴 βŠ† 𝐡 ∧ 𝐡 βŠ† β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ ((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
199rpnnen2lem4 16165 . . . . . 6 ((𝐴 βŠ† 𝐡 ∧ 𝐡 βŠ† β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (0 ≀ ((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜) ∧ ((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜) ≀ ((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜)))
2019simprd 495 . . . . 5 ((𝐴 βŠ† 𝐡 ∧ 𝐡 βŠ† β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜) ≀ ((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜))
21203expa 1117 . . . 4 (((𝐴 βŠ† 𝐡 ∧ 𝐡 βŠ† β„•) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜) ≀ ((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜))
22213adantl3 1167 . . 3 (((𝐴 βŠ† 𝐡 ∧ 𝐡 βŠ† β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜) ≀ ((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜))
236, 22syldan 590 . 2 (((𝐴 βŠ† 𝐡 ∧ 𝐡 βŠ† β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ ((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜) ≀ ((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜))
249rpnnen2lem5 16166 . . 3 ((𝐴 βŠ† β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ seq𝑀( + , (πΉβ€˜π΄)) ∈ dom ⇝ )
257, 24stoic3 1777 . 2 ((𝐴 βŠ† 𝐡 ∧ 𝐡 βŠ† β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ seq𝑀( + , (πΉβ€˜π΄)) ∈ dom ⇝ )
269rpnnen2lem5 16166 . . 3 ((𝐡 βŠ† β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ seq𝑀( + , (πΉβ€˜π΅)) ∈ dom ⇝ )
27263adant1 1129 . 2 ((𝐴 βŠ† 𝐡 ∧ 𝐡 βŠ† β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ seq𝑀( + , (πΉβ€˜π΅)) ∈ dom ⇝ )
281, 3, 4, 13, 14, 18, 23, 25, 27isumle 15795 1 ((𝐴 βŠ† 𝐡 ∧ 𝐡 βŠ† β„• ∧ 𝑀 ∈ β„•) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)((πΉβ€˜π΄)β€˜π‘˜) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)((πΉβ€˜π΅)β€˜π‘˜))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   βŠ† wss 3948  ifcif 4528  π’« cpw 4602   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  dom cdm 5676  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  β„cr 11113  0cc0 11114  1c1 11115   + caddc 11117   ≀ cle 11254   / cdiv 11876  β„•cn 12217  3c3 12273  β„€β‰₯cuz 12827  seqcseq 13971  β†‘cexp 14032   ⇝ cli 15433  Ξ£csu 15637
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9640  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-pm 8827  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9509  df-card 9938  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-rp 12980  df-ico 13335  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-seq 13972  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-limsup 15420  df-clim 15437  df-rlim 15438  df-sum 15638
This theorem is referenced by:  rpnnen2lem11  16172  rpnnen2lem12  16173
  Copyright terms: Public domain W3C validator