Theorem rpnnen2lem7 15431

Description: Lemma for rpnnen2 15437. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpnnen2.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ 𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))

Assertion

Ref	Expression
rpnnen2lem7	⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)((𝐹‘𝐴)‘𝑘) ≤ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)((𝐹‘𝐵)‘𝑘))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝑘,𝐴   𝐵,𝑘,𝑛,𝑥   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀,𝑛,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem rpnnen2lem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2772	. 2 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑀)
2		simp3 1118	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℕ)
3	2	nnzd 11897	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℤ)
4		eqidd 2773	. 2 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) = ((𝐹‘𝐴)‘𝑘))
5		eluznn 12130	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ)
6	2, 5	sylan 572	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ)
7		sstr 3860	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ) → 𝐴 ⊆ ℕ)
8	7	3adant3 1112	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝐴 ⊆ ℕ)
9		rpnnen2.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ 𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
10	9	rpnnen2lem2 15426	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℕ → (𝐹‘𝐴):ℕ⟶ℝ)
11	8, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝐴):ℕ⟶ℝ)
12	11	ffvelrnda 6674	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) ∈ ℝ)
13	6, 12	syldan 582	. 2 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) ∈ ℝ)
14		eqidd 2773	. 2 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝐹‘𝐵)‘𝑘) = ((𝐹‘𝐵)‘𝑘))
15	9	rpnnen2lem2 15426	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ⊆ ℕ → (𝐹‘𝐵):ℕ⟶ℝ)
16	15	3ad2ant2 1114	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝐵):ℕ⟶ℝ)
17	16	ffvelrnda 6674	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝐵)‘𝑘) ∈ ℝ)
18	6, 17	syldan 582	. 2 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝐹‘𝐵)‘𝑘) ∈ ℝ)
19	9	rpnnen2lem4 15428	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (0 ≤ ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) ∧ ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) ≤ ((𝐹‘𝐵)‘𝑘)))
20	19	simprd 488	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) ≤ ((𝐹‘𝐵)‘𝑘))
21	20	3expa 1098	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) ≤ ((𝐹‘𝐵)‘𝑘))
22	21	3adantl3 1148	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) ≤ ((𝐹‘𝐵)‘𝑘))
23	6, 22	syldan 582	. 2 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) ≤ ((𝐹‘𝐵)‘𝑘))
24	9	rpnnen2lem5 15429	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → seq𝑀( + , (𝐹‘𝐴)) ∈ dom ⇝ )
25	7, 24	stoic3 1739	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → seq𝑀( + , (𝐹‘𝐴)) ∈ dom ⇝ )
26	9	rpnnen2lem5 15429	. . 3 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → seq𝑀( + , (𝐹‘𝐵)) ∈ dom ⇝ )
27	26	3adant1 1110	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → seq𝑀( + , (𝐹‘𝐵)) ∈ dom ⇝ )
28	1, 3, 4, 13, 14, 18, 23, 25, 27	isumle 15057	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)((𝐹‘𝐴)‘𝑘) ≤ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)((𝐹‘𝐵)‘𝑘))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 387   ∧ w3a 1068   = wceq 1507   ∈ wcel 2050   ⊆ wss 3823  ifcif 4344  𝒫 cpw 4416   class class class wbr 4925   ↦ cmpt 5004  dom cdm 5403  ⟶wf 6181  ‘cfv 6185  (class class class)co 6974  ℝcr 10332  0cc0 10333  1c1 10334   + caddc 10336   ≤ cle 10473   / cdiv 11096  ℕcn 11437  3c3 11494  ℤ_≥cuz 12056  seqcseq 13182  ↑cexp 13242   ⇝ cli 14700  Σcsu 14901

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2744  ax-rep 5045  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-inf2 8896  ax-cnex 10389  ax-resscn 10390  ax-1cn 10391  ax-icn 10392  ax-addcl 10393  ax-addrcl 10394  ax-mulcl 10395  ax-mulrcl 10396  ax-mulcom 10397  ax-addass 10398  ax-mulass 10399  ax-distr 10400  ax-i2m1 10401  ax-1ne0 10402  ax-1rid 10403  ax-rnegex 10404  ax-rrecex 10405  ax-cnre 10406  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408  ax-pre-ltadd 10409  ax-pre-mulgt0 10410  ax-pre-sup 10411

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2753  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3676  df-csb 3781  df-dif 3826  df-un 3828  df-in 3830  df-ss 3837  df-pss 3839  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4709  df-int 4746  df-iun 4790  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-tr 5027  df-id 5308  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-se 5363  df-we 5364  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-pred 5983  df-ord 6029  df-on 6030  df-lim 6031  df-suc 6032  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-isom 6194  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-om 7395  df-1st 7499  df-2nd 7500  df-wrecs 7748  df-recs 7810  df-rdg 7848  df-1o 7903  df-oadd 7907  df-er 8087  df-pm 8207  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-fin 8308  df-sup 8699  df-inf 8700  df-oi 8767  df-card 9160  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-xr 10476  df-ltxr 10477  df-le 10478  df-sub 10670  df-neg 10671  df-div 11097  df-nn 11438  df-2 11501  df-3 11502  df-n0 11706  df-z 11792  df-uz 12057  df-rp 12203  df-ico 12558  df-fz 12707  df-fzo 12848  df-fl 12975  df-seq 13183  df-exp 13243  df-hash 13504  df-cj 14317  df-re 14318  df-im 14319  df-sqrt 14453  df-abs 14454  df-limsup 14687  df-clim 14704  df-rlim 14705  df-sum 14902

This theorem is referenced by:  rpnnen2lem11  15435  rpnnen2lem12  15436