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Theorem uhgrwkspthlem2 29279
Description: Lemma 2 for uhgrwkspth 29280. (Contributed by AV, 25-Jan-2021.)
Assertion
Ref Expression
uhgrwkspthlem2 ((𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ∧ ((β™―β€˜πΉ) = 1 ∧ 𝐴 β‰  𝐡) ∧ ((π‘ƒβ€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)) = 𝐡)) β†’ Fun ◑𝑃)
Proof of Theorem uhgrwkspthlem2
StepHypRef Expression
1 eqid 2731 . . . 4 (Vtxβ€˜πΊ) = (Vtxβ€˜πΊ)
21wlkp 29141 . . 3 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ))
3 oveq2 7420 . . . . . . . . . . . . 13 ((β™―β€˜πΉ) = 1 β†’ (0...(β™―β€˜πΉ)) = (0...1))
4 1e0p1 12724 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 = (0 + 1)
54oveq2i 7423 . . . . . . . . . . . . . 14 (0...1) = (0...(0 + 1))
6 0z 12574 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ β„€
7 fzpr 13561 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 ∈ β„€ β†’ (0...(0 + 1)) = {0, (0 + 1)})
86, 7ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (0...(0 + 1)) = {0, (0 + 1)}
9 0p1e1 12339 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 + 1) = 1
109preq2i 4741 . . . . . . . . . . . . . 14 {0, (0 + 1)} = {0, 1}
115, 8, 103eqtri 2763 . . . . . . . . . . . . 13 (0...1) = {0, 1}
123, 11eqtrdi 2787 . . . . . . . . . . . 12 ((β™―β€˜πΉ) = 1 β†’ (0...(β™―β€˜πΉ)) = {0, 1})
1312feq2d 6703 . . . . . . . . . . 11 ((β™―β€˜πΉ) = 1 β†’ (𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ) ↔ 𝑃:{0, 1}⟢(Vtxβ€˜πΊ)))
1413adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((β™―β€˜πΉ) = 1 ∧ ((π‘ƒβ€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)) = 𝐡)) β†’ (𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ) ↔ 𝑃:{0, 1}⟢(Vtxβ€˜πΊ)))
15 simpl 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘ƒβ€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)) = 𝐡) β†’ (π‘ƒβ€˜0) = 𝐴)
16 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘ƒβ€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)) = 𝐡) β†’ (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)) = 𝐡)
1715, 16neeq12d 3001 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘ƒβ€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)) = 𝐡) β†’ ((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)) ↔ 𝐴 β‰  𝐡))
1817bicomd 222 . . . . . . . . . . 11 (((π‘ƒβ€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)) = 𝐡) β†’ (𝐴 β‰  𝐡 ↔ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))))
19 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . 12 ((β™―β€˜πΉ) = 1 β†’ (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)) = (π‘ƒβ€˜1))
2019neeq2d 3000 . . . . . . . . . . 11 ((β™―β€˜πΉ) = 1 β†’ ((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)) ↔ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1)))
2118, 20sylan9bbr 510 . . . . . . . . . 10 (((β™―β€˜πΉ) = 1 ∧ ((π‘ƒβ€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)) = 𝐡)) β†’ (𝐴 β‰  𝐡 ↔ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1)))
2214, 21anbi12d 630 . . . . . . . . 9 (((β™―β€˜πΉ) = 1 ∧ ((π‘ƒβ€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)) = 𝐡)) β†’ ((𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝐴 β‰  𝐡) ↔ (𝑃:{0, 1}⟢(Vtxβ€˜πΊ) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1))))
23 1z 12597 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ β„€
24 fpr2g 7215 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ β„€ ∧ 1 ∈ β„€) β†’ (𝑃:{0, 1}⟢(Vtxβ€˜πΊ) ↔ ((π‘ƒβ€˜0) ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (π‘ƒβ€˜1) ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑃 = {⟨0, (π‘ƒβ€˜0)⟩, ⟨1, (π‘ƒβ€˜1)⟩})))
256, 23, 24mp2an 689 . . . . . . . . . . 11 (𝑃:{0, 1}⟢(Vtxβ€˜πΊ) ↔ ((π‘ƒβ€˜0) ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (π‘ƒβ€˜1) ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑃 = {⟨0, (π‘ƒβ€˜0)⟩, ⟨1, (π‘ƒβ€˜1)⟩}))
26 funcnvs2 14869 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((π‘ƒβ€˜0) ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (π‘ƒβ€˜1) ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1)) β†’ Fun β—‘βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)(π‘ƒβ€˜1)β€βŸ©)
27263expa 1117 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((π‘ƒβ€˜0) ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (π‘ƒβ€˜1) ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1)) β†’ Fun β—‘βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)(π‘ƒβ€˜1)β€βŸ©)
2827adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 = {⟨0, (π‘ƒβ€˜0)⟩, ⟨1, (π‘ƒβ€˜1)⟩} ∧ (((π‘ƒβ€˜0) ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (π‘ƒβ€˜1) ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1))) β†’ Fun β—‘βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)(π‘ƒβ€˜1)β€βŸ©)
29 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃 = {⟨0, (π‘ƒβ€˜0)⟩, ⟨1, (π‘ƒβ€˜1)⟩} ∧ (((π‘ƒβ€˜0) ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (π‘ƒβ€˜1) ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1))) β†’ 𝑃 = {⟨0, (π‘ƒβ€˜0)⟩, ⟨1, (π‘ƒβ€˜1)⟩})
30 s2prop 14863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((π‘ƒβ€˜0) ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (π‘ƒβ€˜1) ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) β†’ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)(π‘ƒβ€˜1)β€βŸ© = {⟨0, (π‘ƒβ€˜0)⟩, ⟨1, (π‘ƒβ€˜1)⟩})
3130eqcomd 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((π‘ƒβ€˜0) ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (π‘ƒβ€˜1) ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) β†’ {⟨0, (π‘ƒβ€˜0)⟩, ⟨1, (π‘ƒβ€˜1)⟩} = βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)(π‘ƒβ€˜1)β€βŸ©)
3231adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((π‘ƒβ€˜0) ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (π‘ƒβ€˜1) ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1)) β†’ {⟨0, (π‘ƒβ€˜0)⟩, ⟨1, (π‘ƒβ€˜1)⟩} = βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)(π‘ƒβ€˜1)β€βŸ©)
3332adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃 = {⟨0, (π‘ƒβ€˜0)⟩, ⟨1, (π‘ƒβ€˜1)⟩} ∧ (((π‘ƒβ€˜0) ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (π‘ƒβ€˜1) ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1))) β†’ {⟨0, (π‘ƒβ€˜0)⟩, ⟨1, (π‘ƒβ€˜1)⟩} = βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)(π‘ƒβ€˜1)β€βŸ©)
3429, 33eqtrd 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑃 = {⟨0, (π‘ƒβ€˜0)⟩, ⟨1, (π‘ƒβ€˜1)⟩} ∧ (((π‘ƒβ€˜0) ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (π‘ƒβ€˜1) ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1))) β†’ 𝑃 = βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)(π‘ƒβ€˜1)β€βŸ©)
3534cnveqd 5875 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 = {⟨0, (π‘ƒβ€˜0)⟩, ⟨1, (π‘ƒβ€˜1)⟩} ∧ (((π‘ƒβ€˜0) ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (π‘ƒβ€˜1) ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1))) β†’ ◑𝑃 = β—‘βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)(π‘ƒβ€˜1)β€βŸ©)
3635funeqd 6570 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 = {⟨0, (π‘ƒβ€˜0)⟩, ⟨1, (π‘ƒβ€˜1)⟩} ∧ (((π‘ƒβ€˜0) ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (π‘ƒβ€˜1) ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1))) β†’ (Fun ◑𝑃 ↔ Fun β—‘βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)(π‘ƒβ€˜1)β€βŸ©))
3728, 36mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 = {⟨0, (π‘ƒβ€˜0)⟩, ⟨1, (π‘ƒβ€˜1)⟩} ∧ (((π‘ƒβ€˜0) ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (π‘ƒβ€˜1) ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1))) β†’ Fun ◑𝑃)
3837exp32 420 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 = {⟨0, (π‘ƒβ€˜0)⟩, ⟨1, (π‘ƒβ€˜1)⟩} β†’ (((π‘ƒβ€˜0) ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (π‘ƒβ€˜1) ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) β†’ ((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1) β†’ Fun ◑𝑃)))
3938impcom 407 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘ƒβ€˜0) ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (π‘ƒβ€˜1) ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ 𝑃 = {⟨0, (π‘ƒβ€˜0)⟩, ⟨1, (π‘ƒβ€˜1)⟩}) β†’ ((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1) β†’ Fun ◑𝑃))
40393impa 1109 . . . . . . . . . . 11 (((π‘ƒβ€˜0) ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (π‘ƒβ€˜1) ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑃 = {⟨0, (π‘ƒβ€˜0)⟩, ⟨1, (π‘ƒβ€˜1)⟩}) β†’ ((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1) β†’ Fun ◑𝑃))
4125, 40sylbi 216 . . . . . . . . . 10 (𝑃:{0, 1}⟢(Vtxβ€˜πΊ) β†’ ((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1) β†’ Fun ◑𝑃))
4241imp 406 . . . . . . . . 9 ((𝑃:{0, 1}⟢(Vtxβ€˜πΊ) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1)) β†’ Fun ◑𝑃)
4322, 42syl6bi 253 . . . . . . . 8 (((β™―β€˜πΉ) = 1 ∧ ((π‘ƒβ€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)) = 𝐡)) β†’ ((𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝐴 β‰  𝐡) β†’ Fun ◑𝑃))
4443expd 415 . . . . . . 7 (((β™―β€˜πΉ) = 1 ∧ ((π‘ƒβ€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)) = 𝐡)) β†’ (𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ) β†’ (𝐴 β‰  𝐡 β†’ Fun ◑𝑃)))
4544com12 32 . . . . . 6 (𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ) β†’ (((β™―β€˜πΉ) = 1 ∧ ((π‘ƒβ€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)) = 𝐡)) β†’ (𝐴 β‰  𝐡 β†’ Fun ◑𝑃)))
4645expd 415 . . . . 5 (𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ) β†’ ((β™―β€˜πΉ) = 1 β†’ (((π‘ƒβ€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)) = 𝐡) β†’ (𝐴 β‰  𝐡 β†’ Fun ◑𝑃))))
4746com34 91 . . . 4 (𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ) β†’ ((β™―β€˜πΉ) = 1 β†’ (𝐴 β‰  𝐡 β†’ (((π‘ƒβ€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)) = 𝐡) β†’ Fun ◑𝑃))))
4847impd 410 . . 3 (𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ) β†’ (((β™―β€˜πΉ) = 1 ∧ 𝐴 β‰  𝐡) β†’ (((π‘ƒβ€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)) = 𝐡) β†’ Fun ◑𝑃)))
492, 48syl 17 . 2 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (((β™―β€˜πΉ) = 1 ∧ 𝐴 β‰  𝐡) β†’ (((π‘ƒβ€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)) = 𝐡) β†’ Fun ◑𝑃)))
50493imp 1110 1 ((𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ∧ ((β™―β€˜πΉ) = 1 ∧ 𝐴 β‰  𝐡) ∧ ((π‘ƒβ€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)) = 𝐡)) β†’ Fun ◑𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  {cpr 4630  βŸ¨cop 4634   class class class wbr 5148  β—‘ccnv 5675  Fun wfun 6537  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  0cc0 11114  1c1 11115   + caddc 11117  β„€cz 12563  ...cfz 13489  β™―chash 14295  βŸ¨β€œcs2 14797  Vtxcvtx 28524  Walkscwlks 29121
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-ifp 1061  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-card 9938  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-hash 14296  df-word 14470  df-concat 14526  df-s1 14551  df-s2 14804  df-wlks 29124
This theorem is referenced by:  uhgrwkspth  29280
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