MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uhgrwkspthlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uhgrwkspthlem2 29774
Description: Lemma 2 for uhgrwkspth 29775. (Contributed by AV, 25-Jan-2021.)
Assertion
Ref Expression
uhgrwkspthlem2 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ ((♯‘𝐹) = 1 ∧ 𝐴𝐵) ∧ ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)) → Fun 𝑃)

Proof of Theorem uhgrwkspthlem2
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . . . 4 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
21wlkp 29634 . . 3 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))
3 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . . 13 ((♯‘𝐹) = 1 → (0...(♯‘𝐹)) = (0...1))
4 1e0p1 12775 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 = (0 + 1)
54oveq2i 7442 . . . . . . . . . . . . . 14 (0...1) = (0...(0 + 1))
6 0z 12624 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ ℤ
7 fzpr 13619 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 ∈ ℤ → (0...(0 + 1)) = {0, (0 + 1)})
86, 7ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (0...(0 + 1)) = {0, (0 + 1)}
9 0p1e1 12388 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 + 1) = 1
109preq2i 4737 . . . . . . . . . . . . . 14 {0, (0 + 1)} = {0, 1}
115, 8, 103eqtri 2769 . . . . . . . . . . . . 13 (0...1) = {0, 1}
123, 11eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘𝐹) = 1 → (0...(♯‘𝐹)) = {0, 1})
1312feq2d 6722 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝐹) = 1 → (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ↔ 𝑃:{0, 1}⟶(Vtx‘𝐺)))
1413adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((♯‘𝐹) = 1 ∧ ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)) → (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ↔ 𝑃:{0, 1}⟶(Vtx‘𝐺)))
15 simpl 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) → (𝑃‘0) = 𝐴)
16 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) → (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)
1715, 16neeq12d 3002 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹)) ↔ 𝐴𝐵))
1817bicomd 223 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) → (𝐴𝐵 ↔ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹))))
19 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘𝐹) = 1 → (𝑃‘(♯‘𝐹)) = (𝑃‘1))
2019neeq2d 3001 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝐹) = 1 → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹)) ↔ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)))
2118, 20sylan9bbr 510 . . . . . . . . . 10 (((♯‘𝐹) = 1 ∧ ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)) → (𝐴𝐵 ↔ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)))
2214, 21anbi12d 632 . . . . . . . . 9 (((♯‘𝐹) = 1 ∧ ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)) → ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴𝐵) ↔ (𝑃:{0, 1}⟶(Vtx‘𝐺) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1))))
23 1z 12647 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℤ
24 fpr2g 7231 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑃:{0, 1}⟶(Vtx‘𝐺) ↔ ((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑃‘1) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 = {⟨0, (𝑃‘0)⟩, ⟨1, (𝑃‘1)⟩})))
256, 23, 24mp2an 692 . . . . . . . . . . 11 (𝑃:{0, 1}⟶(Vtx‘𝐺) ↔ ((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑃‘1) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 = {⟨0, (𝑃‘0)⟩, ⟨1, (𝑃‘1)⟩}))
26 funcnvs2 14952 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑃‘1) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)) → Fun ⟨“(𝑃‘0)(𝑃‘1)”⟩)
27263expa 1119 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑃‘1) ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)) → Fun ⟨“(𝑃‘0)(𝑃‘1)”⟩)
2827adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 = {⟨0, (𝑃‘0)⟩, ⟨1, (𝑃‘1)⟩} ∧ (((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑃‘1) ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1))) → Fun ⟨“(𝑃‘0)(𝑃‘1)”⟩)
29 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃 = {⟨0, (𝑃‘0)⟩, ⟨1, (𝑃‘1)⟩} ∧ (((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑃‘1) ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1))) → 𝑃 = {⟨0, (𝑃‘0)⟩, ⟨1, (𝑃‘1)⟩})
30 s2prop 14946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑃‘1) ∈ (Vtx‘𝐺)) → ⟨“(𝑃‘0)(𝑃‘1)”⟩ = {⟨0, (𝑃‘0)⟩, ⟨1, (𝑃‘1)⟩})
3130eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑃‘1) ∈ (Vtx‘𝐺)) → {⟨0, (𝑃‘0)⟩, ⟨1, (𝑃‘1)⟩} = ⟨“(𝑃‘0)(𝑃‘1)”⟩)
3231adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑃‘1) ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)) → {⟨0, (𝑃‘0)⟩, ⟨1, (𝑃‘1)⟩} = ⟨“(𝑃‘0)(𝑃‘1)”⟩)
3332adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃 = {⟨0, (𝑃‘0)⟩, ⟨1, (𝑃‘1)⟩} ∧ (((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑃‘1) ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1))) → {⟨0, (𝑃‘0)⟩, ⟨1, (𝑃‘1)⟩} = ⟨“(𝑃‘0)(𝑃‘1)”⟩)
3429, 33eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑃 = {⟨0, (𝑃‘0)⟩, ⟨1, (𝑃‘1)⟩} ∧ (((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑃‘1) ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1))) → 𝑃 = ⟨“(𝑃‘0)(𝑃‘1)”⟩)
3534cnveqd 5886 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 = {⟨0, (𝑃‘0)⟩, ⟨1, (𝑃‘1)⟩} ∧ (((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑃‘1) ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1))) → 𝑃 = ⟨“(𝑃‘0)(𝑃‘1)”⟩)
3635funeqd 6588 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 = {⟨0, (𝑃‘0)⟩, ⟨1, (𝑃‘1)⟩} ∧ (((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑃‘1) ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1))) → (Fun 𝑃 ↔ Fun ⟨“(𝑃‘0)(𝑃‘1)”⟩))
3728, 36mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 = {⟨0, (𝑃‘0)⟩, ⟨1, (𝑃‘1)⟩} ∧ (((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑃‘1) ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1))) → Fun 𝑃)
3837exp32 420 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 = {⟨0, (𝑃‘0)⟩, ⟨1, (𝑃‘1)⟩} → (((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑃‘1) ∈ (Vtx‘𝐺)) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) → Fun 𝑃)))
3938impcom 407 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑃‘1) ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑃 = {⟨0, (𝑃‘0)⟩, ⟨1, (𝑃‘1)⟩}) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) → Fun 𝑃))
40393impa 1110 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑃‘1) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 = {⟨0, (𝑃‘0)⟩, ⟨1, (𝑃‘1)⟩}) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) → Fun 𝑃))
4125, 40sylbi 217 . . . . . . . . . 10 (𝑃:{0, 1}⟶(Vtx‘𝐺) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) → Fun 𝑃))
4241imp 406 . . . . . . . . 9 ((𝑃:{0, 1}⟶(Vtx‘𝐺) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)) → Fun 𝑃)
4322, 42biimtrdi 253 . . . . . . . 8 (((♯‘𝐹) = 1 ∧ ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)) → ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴𝐵) → Fun 𝑃))
4443expd 415 . . . . . . 7 (((♯‘𝐹) = 1 ∧ ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)) → (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → (𝐴𝐵 → Fun 𝑃)))
4544com12 32 . . . . . 6 (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → (((♯‘𝐹) = 1 ∧ ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)) → (𝐴𝐵 → Fun 𝑃)))
4645expd 415 . . . . 5 (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → ((♯‘𝐹) = 1 → (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) → (𝐴𝐵 → Fun 𝑃))))
4746com34 91 . . . 4 (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → ((♯‘𝐹) = 1 → (𝐴𝐵 → (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) → Fun 𝑃))))
4847impd 410 . . 3 (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → (((♯‘𝐹) = 1 ∧ 𝐴𝐵) → (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) → Fun 𝑃)))
492, 48syl 17 . 2 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (((♯‘𝐹) = 1 ∧ 𝐴𝐵) → (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) → Fun 𝑃)))
50493imp 1111 1 ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ ((♯‘𝐹) = 1 ∧ 𝐴𝐵) ∧ ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)) → Fun 𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  {cpr 4628  cop 4632   class class class wbr 5143  ccnv 5684  Fun wfun 6555  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158  cz 12613  ...cfz 13547  chash 14369  ⟨“cs2 14880  Vtxcvtx 29013  Walkscwlks 29614
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-ifp 1064  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-hash 14370  df-word 14553  df-concat 14609  df-s1 14634  df-s2 14887  df-wlks 29617
This theorem is referenced by:  uhgrwkspth  29775
  Copyright terms: Public domain W3C validator