Theorem uhgrwkspthlem2 29774

Description: Lemma 2 for uhgrwkspth 29775. (Contributed by AV, 25-Jan-2021.)

Assertion

Ref	Expression
uhgrwkspthlem2	⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ ((♯‘𝐹) = 1 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)) → Fun ◡𝑃)

Proof of Theorem uhgrwkspthlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2	1	wlkp 29634	. . 3 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))
3		oveq2 7439	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝐹) = 1 → (0...(♯‘𝐹)) = (0...1))
4		1e0p1 12775	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 = (0 + 1)
5	4	oveq2i 7442	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0...1) = (0...(0 + 1))
6		0z 12624	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 ∈ ℤ
7		fzpr 13619	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0 ∈ ℤ → (0...(0 + 1)) = {0, (0 + 1)})
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0...(0 + 1)) = {0, (0 + 1)}
9		0p1e1 12388	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0 + 1) = 1
10	9	preq2i 4737	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ {0, (0 + 1)} = {0, 1}
11	5, 8, 10	3eqtri 2769	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0...1) = {0, 1}
12	3, 11	eqtrdi 2793	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝐹) = 1 → (0...(♯‘𝐹)) = {0, 1})
13	12	feq2d 6722	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝐹) = 1 → (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ↔ 𝑃:{0, 1}⟶(Vtx‘𝐺)))
14	13	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((♯‘𝐹) = 1 ∧ ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)) → (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ↔ 𝑃:{0, 1}⟶(Vtx‘𝐺)))
15		simpl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) → (𝑃‘0) = 𝐴)
16		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) → (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)
17	15, 16	neeq12d 3002	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹)) ↔ 𝐴 ≠ 𝐵))
18	17	bicomd 223	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) → (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹))))
19		fveq2 6906	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝐹) = 1 → (𝑃‘(♯‘𝐹)) = (𝑃‘1))
20	19	neeq2d 3001	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝐹) = 1 → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹)) ↔ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)))
21	18, 20	sylan9bbr 510	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((♯‘𝐹) = 1 ∧ ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)) → (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)))
22	14, 21	anbi12d 632	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝐹) = 1 ∧ ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)) → ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ↔ (𝑃:{0, 1}⟶(Vtx‘𝐺) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1))))
23		1z 12647	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℤ
24		fpr2g 7231	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑃:{0, 1}⟶(Vtx‘𝐺) ↔ ((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑃‘1) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 = {⟨0, (𝑃‘0)⟩, ⟨1, (𝑃‘1)⟩})))
25	6, 23, 24	mp2an 692	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃:{0, 1}⟶(Vtx‘𝐺) ↔ ((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑃‘1) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 = {⟨0, (𝑃‘0)⟩, ⟨1, (𝑃‘1)⟩}))
26		funcnvs2 14952	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑃‘1) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)) → Fun ◡⟨“(𝑃‘0)(𝑃‘1)”⟩)
27	26	3expa 1119	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑃‘1) ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)) → Fun ◡⟨“(𝑃‘0)(𝑃‘1)”⟩)
28	27	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 = {⟨0, (𝑃‘0)⟩, ⟨1, (𝑃‘1)⟩} ∧ (((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑃‘1) ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1))) → Fun ◡⟨“(𝑃‘0)(𝑃‘1)”⟩)
29		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑃 = {⟨0, (𝑃‘0)⟩, ⟨1, (𝑃‘1)⟩} ∧ (((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑃‘1) ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1))) → 𝑃 = {⟨0, (𝑃‘0)⟩, ⟨1, (𝑃‘1)⟩})
30		s2prop 14946	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑃‘1) ∈ (Vtx‘𝐺)) → ⟨“(𝑃‘0)(𝑃‘1)”⟩ = {⟨0, (𝑃‘0)⟩, ⟨1, (𝑃‘1)⟩})
31	30	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑃‘1) ∈ (Vtx‘𝐺)) → {⟨0, (𝑃‘0)⟩, ⟨1, (𝑃‘1)⟩} = ⟨“(𝑃‘0)(𝑃‘1)”⟩)
32	31	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑃‘1) ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)) → {⟨0, (𝑃‘0)⟩, ⟨1, (𝑃‘1)⟩} = ⟨“(𝑃‘0)(𝑃‘1)”⟩)
33	32	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑃 = {⟨0, (𝑃‘0)⟩, ⟨1, (𝑃‘1)⟩} ∧ (((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑃‘1) ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1))) → {⟨0, (𝑃‘0)⟩, ⟨1, (𝑃‘1)⟩} = ⟨“(𝑃‘0)(𝑃‘1)”⟩)
34	29, 33	eqtrd 2777	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑃 = {⟨0, (𝑃‘0)⟩, ⟨1, (𝑃‘1)⟩} ∧ (((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑃‘1) ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1))) → 𝑃 = ⟨“(𝑃‘0)(𝑃‘1)”⟩)
35	34	cnveqd 5886	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃 = {⟨0, (𝑃‘0)⟩, ⟨1, (𝑃‘1)⟩} ∧ (((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑃‘1) ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1))) → ◡𝑃 = ◡⟨“(𝑃‘0)(𝑃‘1)”⟩)
36	35	funeqd 6588	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 = {⟨0, (𝑃‘0)⟩, ⟨1, (𝑃‘1)⟩} ∧ (((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑃‘1) ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1))) → (Fun ◡𝑃 ↔ Fun ◡⟨“(𝑃‘0)(𝑃‘1)”⟩))
37	28, 36	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 = {⟨0, (𝑃‘0)⟩, ⟨1, (𝑃‘1)⟩} ∧ (((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑃‘1) ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1))) → Fun ◡𝑃)
38	37	exp32 420	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 = {⟨0, (𝑃‘0)⟩, ⟨1, (𝑃‘1)⟩} → (((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑃‘1) ∈ (Vtx‘𝐺)) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) → Fun ◡𝑃)))
39	38	impcom 407	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑃‘1) ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑃 = {⟨0, (𝑃‘0)⟩, ⟨1, (𝑃‘1)⟩}) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) → Fun ◡𝑃))
40	39	3impa 1110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑃‘1) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 = {⟨0, (𝑃‘0)⟩, ⟨1, (𝑃‘1)⟩}) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) → Fun ◡𝑃))
41	25, 40	sylbi 217	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃:{0, 1}⟶(Vtx‘𝐺) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) → Fun ◡𝑃))
42	41	imp 406	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃:{0, 1}⟶(Vtx‘𝐺) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)) → Fun ◡𝑃)
43	22, 42	biimtrdi 253	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝐹) = 1 ∧ ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)) → ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → Fun ◡𝑃))
44	43	expd 415	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝐹) = 1 ∧ ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)) → (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → (𝐴 ≠ 𝐵 → Fun ◡𝑃)))
45	44	com12 32	. . . . . 6 ⊢ (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → (((♯‘𝐹) = 1 ∧ ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)) → (𝐴 ≠ 𝐵 → Fun ◡𝑃)))
46	45	expd 415	. . . . 5 ⊢ (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → ((♯‘𝐹) = 1 → (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) → (𝐴 ≠ 𝐵 → Fun ◡𝑃))))
47	46	com34 91	. . . 4 ⊢ (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → ((♯‘𝐹) = 1 → (𝐴 ≠ 𝐵 → (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) → Fun ◡𝑃))))
48	47	impd 410	. . 3 ⊢ (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → (((♯‘𝐹) = 1 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) → Fun ◡𝑃)))
49	2, 48	syl 17	. 2 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (((♯‘𝐹) = 1 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) → Fun ◡𝑃)))
50	49	3imp 1111	1 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ ((♯‘𝐹) = 1 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)) → Fun ◡𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  {cpr 4628  ⟨cop 4632   class class class wbr 5143  ^◡ccnv 5684  Fun wfun 6555  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158  ℤcz 12613  ...cfz 13547  ♯chash 14369  ⟨“cs2 14880  Vtxcvtx 29013  Walkscwlks 29614

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-ifp 1064  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-hash 14370  df-word 14553  df-concat 14609  df-s1 14634  df-s2 14887  df-wlks 29617

This theorem is referenced by:  uhgrwkspth  29775