MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uhgrwkspthlem2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem uhgrwkspthlem2 29011
Description: Lemma 2 for uhgrwkspth 29012. (Contributed by AV, 25-Jan-2021.)
Assertion
Ref Expression
uhgrwkspthlem2 ((𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ∧ ((β™―β€˜πΉ) = 1 ∧ 𝐴 β‰  𝐡) ∧ ((π‘ƒβ€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)) = 𝐡)) β†’ Fun ◑𝑃)
Proof of Theorem uhgrwkspthlem2
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . . 4 (Vtxβ€˜πΊ) = (Vtxβ€˜πΊ)
21wlkp 28873 . . 3 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ))
3 oveq2 7417 . . . . . . . . . . . . 13 ((β™―β€˜πΉ) = 1 β†’ (0...(β™―β€˜πΉ)) = (0...1))
4 1e0p1 12719 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 = (0 + 1)
54oveq2i 7420 . . . . . . . . . . . . . 14 (0...1) = (0...(0 + 1))
6 0z 12569 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ β„€
7 fzpr 13556 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 ∈ β„€ β†’ (0...(0 + 1)) = {0, (0 + 1)})
86, 7ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (0...(0 + 1)) = {0, (0 + 1)}
9 0p1e1 12334 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 + 1) = 1
109preq2i 4742 . . . . . . . . . . . . . 14 {0, (0 + 1)} = {0, 1}
115, 8, 103eqtri 2765 . . . . . . . . . . . . 13 (0...1) = {0, 1}
123, 11eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . 12 ((β™―β€˜πΉ) = 1 β†’ (0...(β™―β€˜πΉ)) = {0, 1})
1312feq2d 6704 . . . . . . . . . . 11 ((β™―β€˜πΉ) = 1 β†’ (𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ) ↔ 𝑃:{0, 1}⟢(Vtxβ€˜πΊ)))
1413adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((β™―β€˜πΉ) = 1 ∧ ((π‘ƒβ€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)) = 𝐡)) β†’ (𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ) ↔ 𝑃:{0, 1}⟢(Vtxβ€˜πΊ)))
15 simpl 484 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘ƒβ€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)) = 𝐡) β†’ (π‘ƒβ€˜0) = 𝐴)
16 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘ƒβ€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)) = 𝐡) β†’ (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)) = 𝐡)
1715, 16neeq12d 3003 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘ƒβ€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)) = 𝐡) β†’ ((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)) ↔ 𝐴 β‰  𝐡))
1817bicomd 222 . . . . . . . . . . 11 (((π‘ƒβ€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)) = 𝐡) β†’ (𝐴 β‰  𝐡 ↔ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))))
19 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . 12 ((β™―β€˜πΉ) = 1 β†’ (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)) = (π‘ƒβ€˜1))
2019neeq2d 3002 . . . . . . . . . . 11 ((β™―β€˜πΉ) = 1 β†’ ((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)) ↔ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1)))
2118, 20sylan9bbr 512 . . . . . . . . . 10 (((β™―β€˜πΉ) = 1 ∧ ((π‘ƒβ€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)) = 𝐡)) β†’ (𝐴 β‰  𝐡 ↔ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1)))
2214, 21anbi12d 632 . . . . . . . . 9 (((β™―β€˜πΉ) = 1 ∧ ((π‘ƒβ€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)) = 𝐡)) β†’ ((𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝐴 β‰  𝐡) ↔ (𝑃:{0, 1}⟢(Vtxβ€˜πΊ) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1))))
23 1z 12592 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ β„€
24 fpr2g 7213 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ β„€ ∧ 1 ∈ β„€) β†’ (𝑃:{0, 1}⟢(Vtxβ€˜πΊ) ↔ ((π‘ƒβ€˜0) ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (π‘ƒβ€˜1) ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑃 = {⟨0, (π‘ƒβ€˜0)⟩, ⟨1, (π‘ƒβ€˜1)⟩})))
256, 23, 24mp2an 691 . . . . . . . . . . 11 (𝑃:{0, 1}⟢(Vtxβ€˜πΊ) ↔ ((π‘ƒβ€˜0) ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (π‘ƒβ€˜1) ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑃 = {⟨0, (π‘ƒβ€˜0)⟩, ⟨1, (π‘ƒβ€˜1)⟩}))
26 funcnvs2 14864 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((π‘ƒβ€˜0) ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (π‘ƒβ€˜1) ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1)) β†’ Fun β—‘βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)(π‘ƒβ€˜1)β€βŸ©)
27263expa 1119 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((π‘ƒβ€˜0) ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (π‘ƒβ€˜1) ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1)) β†’ Fun β—‘βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)(π‘ƒβ€˜1)β€βŸ©)
2827adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 = {⟨0, (π‘ƒβ€˜0)⟩, ⟨1, (π‘ƒβ€˜1)⟩} ∧ (((π‘ƒβ€˜0) ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (π‘ƒβ€˜1) ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1))) β†’ Fun β—‘βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)(π‘ƒβ€˜1)β€βŸ©)
29 simpl 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃 = {⟨0, (π‘ƒβ€˜0)⟩, ⟨1, (π‘ƒβ€˜1)⟩} ∧ (((π‘ƒβ€˜0) ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (π‘ƒβ€˜1) ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1))) β†’ 𝑃 = {⟨0, (π‘ƒβ€˜0)⟩, ⟨1, (π‘ƒβ€˜1)⟩})
30 s2prop 14858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((π‘ƒβ€˜0) ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (π‘ƒβ€˜1) ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) β†’ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)(π‘ƒβ€˜1)β€βŸ© = {⟨0, (π‘ƒβ€˜0)⟩, ⟨1, (π‘ƒβ€˜1)⟩})
3130eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((π‘ƒβ€˜0) ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (π‘ƒβ€˜1) ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) β†’ {⟨0, (π‘ƒβ€˜0)⟩, ⟨1, (π‘ƒβ€˜1)⟩} = βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)(π‘ƒβ€˜1)β€βŸ©)
3231adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((π‘ƒβ€˜0) ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (π‘ƒβ€˜1) ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1)) β†’ {⟨0, (π‘ƒβ€˜0)⟩, ⟨1, (π‘ƒβ€˜1)⟩} = βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)(π‘ƒβ€˜1)β€βŸ©)
3332adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃 = {⟨0, (π‘ƒβ€˜0)⟩, ⟨1, (π‘ƒβ€˜1)⟩} ∧ (((π‘ƒβ€˜0) ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (π‘ƒβ€˜1) ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1))) β†’ {⟨0, (π‘ƒβ€˜0)⟩, ⟨1, (π‘ƒβ€˜1)⟩} = βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)(π‘ƒβ€˜1)β€βŸ©)
3429, 33eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑃 = {⟨0, (π‘ƒβ€˜0)⟩, ⟨1, (π‘ƒβ€˜1)⟩} ∧ (((π‘ƒβ€˜0) ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (π‘ƒβ€˜1) ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1))) β†’ 𝑃 = βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)(π‘ƒβ€˜1)β€βŸ©)
3534cnveqd 5876 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 = {⟨0, (π‘ƒβ€˜0)⟩, ⟨1, (π‘ƒβ€˜1)⟩} ∧ (((π‘ƒβ€˜0) ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (π‘ƒβ€˜1) ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1))) β†’ ◑𝑃 = β—‘βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)(π‘ƒβ€˜1)β€βŸ©)
3635funeqd 6571 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 = {⟨0, (π‘ƒβ€˜0)⟩, ⟨1, (π‘ƒβ€˜1)⟩} ∧ (((π‘ƒβ€˜0) ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (π‘ƒβ€˜1) ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1))) β†’ (Fun ◑𝑃 ↔ Fun β—‘βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)(π‘ƒβ€˜1)β€βŸ©))
3728, 36mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 = {⟨0, (π‘ƒβ€˜0)⟩, ⟨1, (π‘ƒβ€˜1)⟩} ∧ (((π‘ƒβ€˜0) ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (π‘ƒβ€˜1) ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1))) β†’ Fun ◑𝑃)
3837exp32 422 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 = {⟨0, (π‘ƒβ€˜0)⟩, ⟨1, (π‘ƒβ€˜1)⟩} β†’ (((π‘ƒβ€˜0) ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (π‘ƒβ€˜1) ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) β†’ ((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1) β†’ Fun ◑𝑃)))
3938impcom 409 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘ƒβ€˜0) ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (π‘ƒβ€˜1) ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ 𝑃 = {⟨0, (π‘ƒβ€˜0)⟩, ⟨1, (π‘ƒβ€˜1)⟩}) β†’ ((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1) β†’ Fun ◑𝑃))
40393impa 1111 . . . . . . . . . . 11 (((π‘ƒβ€˜0) ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (π‘ƒβ€˜1) ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑃 = {⟨0, (π‘ƒβ€˜0)⟩, ⟨1, (π‘ƒβ€˜1)⟩}) β†’ ((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1) β†’ Fun ◑𝑃))
4125, 40sylbi 216 . . . . . . . . . 10 (𝑃:{0, 1}⟢(Vtxβ€˜πΊ) β†’ ((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1) β†’ Fun ◑𝑃))
4241imp 408 . . . . . . . . 9 ((𝑃:{0, 1}⟢(Vtxβ€˜πΊ) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1)) β†’ Fun ◑𝑃)
4322, 42syl6bi 253 . . . . . . . 8 (((β™―β€˜πΉ) = 1 ∧ ((π‘ƒβ€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)) = 𝐡)) β†’ ((𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝐴 β‰  𝐡) β†’ Fun ◑𝑃))
4443expd 417 . . . . . . 7 (((β™―β€˜πΉ) = 1 ∧ ((π‘ƒβ€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)) = 𝐡)) β†’ (𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ) β†’ (𝐴 β‰  𝐡 β†’ Fun ◑𝑃)))
4544com12 32 . . . . . 6 (𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ) β†’ (((β™―β€˜πΉ) = 1 ∧ ((π‘ƒβ€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)) = 𝐡)) β†’ (𝐴 β‰  𝐡 β†’ Fun ◑𝑃)))
4645expd 417 . . . . 5 (𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ) β†’ ((β™―β€˜πΉ) = 1 β†’ (((π‘ƒβ€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)) = 𝐡) β†’ (𝐴 β‰  𝐡 β†’ Fun ◑𝑃))))
4746com34 91 . . . 4 (𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ) β†’ ((β™―β€˜πΉ) = 1 β†’ (𝐴 β‰  𝐡 β†’ (((π‘ƒβ€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)) = 𝐡) β†’ Fun ◑𝑃))))
4847impd 412 . . 3 (𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ) β†’ (((β™―β€˜πΉ) = 1 ∧ 𝐴 β‰  𝐡) β†’ (((π‘ƒβ€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)) = 𝐡) β†’ Fun ◑𝑃)))
492, 48syl 17 . 2 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (((β™―β€˜πΉ) = 1 ∧ 𝐴 β‰  𝐡) β†’ (((π‘ƒβ€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)) = 𝐡) β†’ Fun ◑𝑃)))
50493imp 1112 1 ((𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ∧ ((β™―β€˜πΉ) = 1 ∧ 𝐴 β‰  𝐡) ∧ ((π‘ƒβ€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)) = 𝐡)) β†’ Fun ◑𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  {cpr 4631  βŸ¨cop 4635   class class class wbr 5149  β—‘ccnv 5676  Fun wfun 6538  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113  β„€cz 12558  ...cfz 13484  β™―chash 14290  βŸ¨β€œcs2 14792  Vtxcvtx 28256  Walkscwlks 28853
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-ifp 1063  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-hash 14291  df-word 14465  df-concat 14521  df-s1 14546  df-s2 14799  df-wlks 28856
This theorem is referenced by:  uhgrwkspth  29012
  Copyright terms: Public domain W3C validator