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Theorem uhgrwkspthlem2 29000
Description: Lemma 2 for uhgrwkspth 29001. (Contributed by AV, 25-Jan-2021.)
Assertion
Ref Expression
uhgrwkspthlem2 ((𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ∧ ((β™―β€˜πΉ) = 1 ∧ 𝐴 β‰  𝐡) ∧ ((π‘ƒβ€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)) = 𝐡)) β†’ Fun ◑𝑃)
Proof of Theorem uhgrwkspthlem2
StepHypRef Expression
1 eqid 2732 . . . 4 (Vtxβ€˜πΊ) = (Vtxβ€˜πΊ)
21wlkp 28862 . . 3 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ))
3 oveq2 7413 . . . . . . . . . . . . 13 ((β™―β€˜πΉ) = 1 β†’ (0...(β™―β€˜πΉ)) = (0...1))
4 1e0p1 12715 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 = (0 + 1)
54oveq2i 7416 . . . . . . . . . . . . . 14 (0...1) = (0...(0 + 1))
6 0z 12565 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ β„€
7 fzpr 13552 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 ∈ β„€ β†’ (0...(0 + 1)) = {0, (0 + 1)})
86, 7ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (0...(0 + 1)) = {0, (0 + 1)}
9 0p1e1 12330 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 + 1) = 1
109preq2i 4740 . . . . . . . . . . . . . 14 {0, (0 + 1)} = {0, 1}
115, 8, 103eqtri 2764 . . . . . . . . . . . . 13 (0...1) = {0, 1}
123, 11eqtrdi 2788 . . . . . . . . . . . 12 ((β™―β€˜πΉ) = 1 β†’ (0...(β™―β€˜πΉ)) = {0, 1})
1312feq2d 6700 . . . . . . . . . . 11 ((β™―β€˜πΉ) = 1 β†’ (𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ) ↔ 𝑃:{0, 1}⟢(Vtxβ€˜πΊ)))
1413adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((β™―β€˜πΉ) = 1 ∧ ((π‘ƒβ€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)) = 𝐡)) β†’ (𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ) ↔ 𝑃:{0, 1}⟢(Vtxβ€˜πΊ)))
15 simpl 483 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘ƒβ€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)) = 𝐡) β†’ (π‘ƒβ€˜0) = 𝐴)
16 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘ƒβ€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)) = 𝐡) β†’ (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)) = 𝐡)
1715, 16neeq12d 3002 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘ƒβ€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)) = 𝐡) β†’ ((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)) ↔ 𝐴 β‰  𝐡))
1817bicomd 222 . . . . . . . . . . 11 (((π‘ƒβ€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)) = 𝐡) β†’ (𝐴 β‰  𝐡 ↔ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ))))
19 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . 12 ((β™―β€˜πΉ) = 1 β†’ (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)) = (π‘ƒβ€˜1))
2019neeq2d 3001 . . . . . . . . . . 11 ((β™―β€˜πΉ) = 1 β†’ ((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)) ↔ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1)))
2118, 20sylan9bbr 511 . . . . . . . . . 10 (((β™―β€˜πΉ) = 1 ∧ ((π‘ƒβ€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)) = 𝐡)) β†’ (𝐴 β‰  𝐡 ↔ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1)))
2214, 21anbi12d 631 . . . . . . . . 9 (((β™―β€˜πΉ) = 1 ∧ ((π‘ƒβ€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)) = 𝐡)) β†’ ((𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝐴 β‰  𝐡) ↔ (𝑃:{0, 1}⟢(Vtxβ€˜πΊ) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1))))
23 1z 12588 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ β„€
24 fpr2g 7209 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ β„€ ∧ 1 ∈ β„€) β†’ (𝑃:{0, 1}⟢(Vtxβ€˜πΊ) ↔ ((π‘ƒβ€˜0) ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (π‘ƒβ€˜1) ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑃 = {⟨0, (π‘ƒβ€˜0)⟩, ⟨1, (π‘ƒβ€˜1)⟩})))
256, 23, 24mp2an 690 . . . . . . . . . . 11 (𝑃:{0, 1}⟢(Vtxβ€˜πΊ) ↔ ((π‘ƒβ€˜0) ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (π‘ƒβ€˜1) ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑃 = {⟨0, (π‘ƒβ€˜0)⟩, ⟨1, (π‘ƒβ€˜1)⟩}))
26 funcnvs2 14860 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((π‘ƒβ€˜0) ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (π‘ƒβ€˜1) ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1)) β†’ Fun β—‘βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)(π‘ƒβ€˜1)β€βŸ©)
27263expa 1118 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((π‘ƒβ€˜0) ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (π‘ƒβ€˜1) ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1)) β†’ Fun β—‘βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)(π‘ƒβ€˜1)β€βŸ©)
2827adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 = {⟨0, (π‘ƒβ€˜0)⟩, ⟨1, (π‘ƒβ€˜1)⟩} ∧ (((π‘ƒβ€˜0) ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (π‘ƒβ€˜1) ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1))) β†’ Fun β—‘βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)(π‘ƒβ€˜1)β€βŸ©)
29 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃 = {⟨0, (π‘ƒβ€˜0)⟩, ⟨1, (π‘ƒβ€˜1)⟩} ∧ (((π‘ƒβ€˜0) ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (π‘ƒβ€˜1) ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1))) β†’ 𝑃 = {⟨0, (π‘ƒβ€˜0)⟩, ⟨1, (π‘ƒβ€˜1)⟩})
30 s2prop 14854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((π‘ƒβ€˜0) ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (π‘ƒβ€˜1) ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) β†’ βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)(π‘ƒβ€˜1)β€βŸ© = {⟨0, (π‘ƒβ€˜0)⟩, ⟨1, (π‘ƒβ€˜1)⟩})
3130eqcomd 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((π‘ƒβ€˜0) ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (π‘ƒβ€˜1) ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) β†’ {⟨0, (π‘ƒβ€˜0)⟩, ⟨1, (π‘ƒβ€˜1)⟩} = βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)(π‘ƒβ€˜1)β€βŸ©)
3231adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((π‘ƒβ€˜0) ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (π‘ƒβ€˜1) ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1)) β†’ {⟨0, (π‘ƒβ€˜0)⟩, ⟨1, (π‘ƒβ€˜1)⟩} = βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)(π‘ƒβ€˜1)β€βŸ©)
3332adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃 = {⟨0, (π‘ƒβ€˜0)⟩, ⟨1, (π‘ƒβ€˜1)⟩} ∧ (((π‘ƒβ€˜0) ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (π‘ƒβ€˜1) ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1))) β†’ {⟨0, (π‘ƒβ€˜0)⟩, ⟨1, (π‘ƒβ€˜1)⟩} = βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)(π‘ƒβ€˜1)β€βŸ©)
3429, 33eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑃 = {⟨0, (π‘ƒβ€˜0)⟩, ⟨1, (π‘ƒβ€˜1)⟩} ∧ (((π‘ƒβ€˜0) ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (π‘ƒβ€˜1) ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1))) β†’ 𝑃 = βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)(π‘ƒβ€˜1)β€βŸ©)
3534cnveqd 5873 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 = {⟨0, (π‘ƒβ€˜0)⟩, ⟨1, (π‘ƒβ€˜1)⟩} ∧ (((π‘ƒβ€˜0) ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (π‘ƒβ€˜1) ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1))) β†’ ◑𝑃 = β—‘βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)(π‘ƒβ€˜1)β€βŸ©)
3635funeqd 6567 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 = {⟨0, (π‘ƒβ€˜0)⟩, ⟨1, (π‘ƒβ€˜1)⟩} ∧ (((π‘ƒβ€˜0) ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (π‘ƒβ€˜1) ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1))) β†’ (Fun ◑𝑃 ↔ Fun β—‘βŸ¨β€œ(π‘ƒβ€˜0)(π‘ƒβ€˜1)β€βŸ©))
3728, 36mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 = {⟨0, (π‘ƒβ€˜0)⟩, ⟨1, (π‘ƒβ€˜1)⟩} ∧ (((π‘ƒβ€˜0) ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (π‘ƒβ€˜1) ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1))) β†’ Fun ◑𝑃)
3837exp32 421 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 = {⟨0, (π‘ƒβ€˜0)⟩, ⟨1, (π‘ƒβ€˜1)⟩} β†’ (((π‘ƒβ€˜0) ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (π‘ƒβ€˜1) ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) β†’ ((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1) β†’ Fun ◑𝑃)))
3938impcom 408 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘ƒβ€˜0) ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (π‘ƒβ€˜1) ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ 𝑃 = {⟨0, (π‘ƒβ€˜0)⟩, ⟨1, (π‘ƒβ€˜1)⟩}) β†’ ((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1) β†’ Fun ◑𝑃))
40393impa 1110 . . . . . . . . . . 11 (((π‘ƒβ€˜0) ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ (π‘ƒβ€˜1) ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑃 = {⟨0, (π‘ƒβ€˜0)⟩, ⟨1, (π‘ƒβ€˜1)⟩}) β†’ ((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1) β†’ Fun ◑𝑃))
4125, 40sylbi 216 . . . . . . . . . 10 (𝑃:{0, 1}⟢(Vtxβ€˜πΊ) β†’ ((π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1) β†’ Fun ◑𝑃))
4241imp 407 . . . . . . . . 9 ((𝑃:{0, 1}⟢(Vtxβ€˜πΊ) ∧ (π‘ƒβ€˜0) β‰  (π‘ƒβ€˜1)) β†’ Fun ◑𝑃)
4322, 42syl6bi 252 . . . . . . . 8 (((β™―β€˜πΉ) = 1 ∧ ((π‘ƒβ€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)) = 𝐡)) β†’ ((𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝐴 β‰  𝐡) β†’ Fun ◑𝑃))
4443expd 416 . . . . . . 7 (((β™―β€˜πΉ) = 1 ∧ ((π‘ƒβ€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)) = 𝐡)) β†’ (𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ) β†’ (𝐴 β‰  𝐡 β†’ Fun ◑𝑃)))
4544com12 32 . . . . . 6 (𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ) β†’ (((β™―β€˜πΉ) = 1 ∧ ((π‘ƒβ€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)) = 𝐡)) β†’ (𝐴 β‰  𝐡 β†’ Fun ◑𝑃)))
4645expd 416 . . . . 5 (𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ) β†’ ((β™―β€˜πΉ) = 1 β†’ (((π‘ƒβ€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)) = 𝐡) β†’ (𝐴 β‰  𝐡 β†’ Fun ◑𝑃))))
4746com34 91 . . . 4 (𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ) β†’ ((β™―β€˜πΉ) = 1 β†’ (𝐴 β‰  𝐡 β†’ (((π‘ƒβ€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)) = 𝐡) β†’ Fun ◑𝑃))))
4847impd 411 . . 3 (𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))⟢(Vtxβ€˜πΊ) β†’ (((β™―β€˜πΉ) = 1 ∧ 𝐴 β‰  𝐡) β†’ (((π‘ƒβ€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)) = 𝐡) β†’ Fun ◑𝑃)))
492, 48syl 17 . 2 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (((β™―β€˜πΉ) = 1 ∧ 𝐴 β‰  𝐡) β†’ (((π‘ƒβ€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)) = 𝐡) β†’ Fun ◑𝑃)))
50493imp 1111 1 ((𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ∧ ((β™―β€˜πΉ) = 1 ∧ 𝐴 β‰  𝐡) ∧ ((π‘ƒβ€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘ƒβ€˜(β™―β€˜πΉ)) = 𝐡)) β†’ Fun ◑𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  {cpr 4629  βŸ¨cop 4633   class class class wbr 5147  β—‘ccnv 5674  Fun wfun 6534  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109  β„€cz 12554  ...cfz 13480  β™―chash 14286  βŸ¨β€œcs2 14788  Vtxcvtx 28245  Walkscwlks 28842
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-ifp 1062  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-hash 14287  df-word 14461  df-concat 14517  df-s1 14542  df-s2 14795  df-wlks 28845
This theorem is referenced by:  uhgrwkspth  29001
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