Theorem uhgrwkspthlem2 28122

Description: Lemma 2 for uhgrwkspth 28123. (Contributed by AV, 25-Jan-2021.)

Assertion

Ref	Expression
uhgrwkspthlem2	⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ ((♯‘𝐹) = 1 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)) → Fun ◡𝑃)

Proof of Theorem uhgrwkspthlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2	1	wlkp 27983	. . 3 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))
3		oveq2 7283	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝐹) = 1 → (0...(♯‘𝐹)) = (0...1))
4		1e0p1 12479	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 = (0 + 1)
5	4	oveq2i 7286	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0...1) = (0...(0 + 1))
6		0z 12330	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 ∈ ℤ
7		fzpr 13311	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0 ∈ ℤ → (0...(0 + 1)) = {0, (0 + 1)})
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0...(0 + 1)) = {0, (0 + 1)}
9		0p1e1 12095	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0 + 1) = 1
10	9	preq2i 4673	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ {0, (0 + 1)} = {0, 1}
11	5, 8, 10	3eqtri 2770	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0...1) = {0, 1}
12	3, 11	eqtrdi 2794	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝐹) = 1 → (0...(♯‘𝐹)) = {0, 1})
13	12	feq2d 6586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝐹) = 1 → (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ↔ 𝑃:{0, 1}⟶(Vtx‘𝐺)))
14	13	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((♯‘𝐹) = 1 ∧ ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)) → (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ↔ 𝑃:{0, 1}⟶(Vtx‘𝐺)))
15		simpl 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) → (𝑃‘0) = 𝐴)
16		simpr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) → (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)
17	15, 16	neeq12d 3005	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹)) ↔ 𝐴 ≠ 𝐵))
18	17	bicomd 222	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) → (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹))))
19		fveq2 6774	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘𝐹) = 1 → (𝑃‘(♯‘𝐹)) = (𝑃‘1))
20	19	neeq2d 3004	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝐹) = 1 → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹)) ↔ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)))
21	18, 20	sylan9bbr 511	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((♯‘𝐹) = 1 ∧ ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)) → (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)))
22	14, 21	anbi12d 631	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝐹) = 1 ∧ ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)) → ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ↔ (𝑃:{0, 1}⟶(Vtx‘𝐺) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1))))
23		1z 12350	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℤ
24		fpr2g 7087	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑃:{0, 1}⟶(Vtx‘𝐺) ↔ ((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑃‘1) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 = {⟨0, (𝑃‘0)⟩, ⟨1, (𝑃‘1)⟩})))
25	6, 23, 24	mp2an 689	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃:{0, 1}⟶(Vtx‘𝐺) ↔ ((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑃‘1) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 = {⟨0, (𝑃‘0)⟩, ⟨1, (𝑃‘1)⟩}))
26		funcnvs2 14626	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑃‘1) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)) → Fun ◡⟨“(𝑃‘0)(𝑃‘1)”⟩)
27	26	3expa 1117	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑃‘1) ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)) → Fun ◡⟨“(𝑃‘0)(𝑃‘1)”⟩)
28	27	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 = {⟨0, (𝑃‘0)⟩, ⟨1, (𝑃‘1)⟩} ∧ (((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑃‘1) ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1))) → Fun ◡⟨“(𝑃‘0)(𝑃‘1)”⟩)
29		simpl 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑃 = {⟨0, (𝑃‘0)⟩, ⟨1, (𝑃‘1)⟩} ∧ (((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑃‘1) ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1))) → 𝑃 = {⟨0, (𝑃‘0)⟩, ⟨1, (𝑃‘1)⟩})
30		s2prop 14620	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑃‘1) ∈ (Vtx‘𝐺)) → ⟨“(𝑃‘0)(𝑃‘1)”⟩ = {⟨0, (𝑃‘0)⟩, ⟨1, (𝑃‘1)⟩})
31	30	eqcomd 2744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑃‘1) ∈ (Vtx‘𝐺)) → {⟨0, (𝑃‘0)⟩, ⟨1, (𝑃‘1)⟩} = ⟨“(𝑃‘0)(𝑃‘1)”⟩)
32	31	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑃‘1) ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)) → {⟨0, (𝑃‘0)⟩, ⟨1, (𝑃‘1)⟩} = ⟨“(𝑃‘0)(𝑃‘1)”⟩)
33	32	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑃 = {⟨0, (𝑃‘0)⟩, ⟨1, (𝑃‘1)⟩} ∧ (((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑃‘1) ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1))) → {⟨0, (𝑃‘0)⟩, ⟨1, (𝑃‘1)⟩} = ⟨“(𝑃‘0)(𝑃‘1)”⟩)
34	29, 33	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑃 = {⟨0, (𝑃‘0)⟩, ⟨1, (𝑃‘1)⟩} ∧ (((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑃‘1) ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1))) → 𝑃 = ⟨“(𝑃‘0)(𝑃‘1)”⟩)
35	34	cnveqd 5784	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃 = {⟨0, (𝑃‘0)⟩, ⟨1, (𝑃‘1)⟩} ∧ (((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑃‘1) ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1))) → ◡𝑃 = ◡⟨“(𝑃‘0)(𝑃‘1)”⟩)
36	35	funeqd 6456	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 = {⟨0, (𝑃‘0)⟩, ⟨1, (𝑃‘1)⟩} ∧ (((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑃‘1) ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1))) → (Fun ◡𝑃 ↔ Fun ◡⟨“(𝑃‘0)(𝑃‘1)”⟩))
37	28, 36	mpbird 256	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 = {⟨0, (𝑃‘0)⟩, ⟨1, (𝑃‘1)⟩} ∧ (((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑃‘1) ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1))) → Fun ◡𝑃)
38	37	exp32 421	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 = {⟨0, (𝑃‘0)⟩, ⟨1, (𝑃‘1)⟩} → (((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑃‘1) ∈ (Vtx‘𝐺)) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) → Fun ◡𝑃)))
39	38	impcom 408	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑃‘1) ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑃 = {⟨0, (𝑃‘0)⟩, ⟨1, (𝑃‘1)⟩}) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) → Fun ◡𝑃))
40	39	3impa 1109	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑃‘1) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 = {⟨0, (𝑃‘0)⟩, ⟨1, (𝑃‘1)⟩}) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) → Fun ◡𝑃))
41	25, 40	sylbi 216	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃:{0, 1}⟶(Vtx‘𝐺) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) → Fun ◡𝑃))
42	41	imp 407	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃:{0, 1}⟶(Vtx‘𝐺) ∧ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)) → Fun ◡𝑃)
43	22, 42	syl6bi 252	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝐹) = 1 ∧ ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)) → ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → Fun ◡𝑃))
44	43	expd 416	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝐹) = 1 ∧ ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)) → (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → (𝐴 ≠ 𝐵 → Fun ◡𝑃)))
45	44	com12 32	. . . . . 6 ⊢ (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → (((♯‘𝐹) = 1 ∧ ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)) → (𝐴 ≠ 𝐵 → Fun ◡𝑃)))
46	45	expd 416	. . . . 5 ⊢ (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → ((♯‘𝐹) = 1 → (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) → (𝐴 ≠ 𝐵 → Fun ◡𝑃))))
47	46	com34 91	. . . 4 ⊢ (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → ((♯‘𝐹) = 1 → (𝐴 ≠ 𝐵 → (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) → Fun ◡𝑃))))
48	47	impd 411	. . 3 ⊢ (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) → (((♯‘𝐹) = 1 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) → Fun ◡𝑃)))
49	2, 48	syl 17	. 2 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (((♯‘𝐹) = 1 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵) → Fun ◡𝑃)))
50	49	3imp 1110	1 ⊢ ((𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ ((♯‘𝐹) = 1 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = 𝐵)) → Fun ◡𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  {cpr 4563  ⟨cop 4567   class class class wbr 5074  ^◡ccnv 5588  Fun wfun 6427  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874  ℤcz 12319  ...cfz 13239  ♯chash 14044  ⟨“cs2 14554  Vtxcvtx 27366  Walkscwlks 27963

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-ifp 1061  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-hash 14045  df-word 14218  df-concat 14274  df-s1 14301  df-s2 14561  df-wlks 27966

This theorem is referenced by:  uhgrwkspth  28123