Theorem signstfveq0a 34076

Description: Lemma for signstfveq0 34077. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Oct-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
signsv.p	⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
signsv.w	⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩}
signsv.t	⊢ 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓‘𝑖))))))
signsv.v	⊢ 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇‘𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
signstfveq0.1	⊢ 𝑁 = (♯‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
signstfveq0a	⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏, ⨣   𝑓,𝑖,𝑛,𝐹   𝑓,𝑊,𝑖,𝑛   𝐹,𝑎,𝑏,𝑓,𝑖,𝑛   𝑁,𝑎   𝑓,𝑏,𝑖,𝑛,𝑁   𝑇,𝑎,𝑏

Allowed substitution hints:   ⨣ (𝑓,𝑖,𝑗,𝑛)   𝑇(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛)   𝐹(𝑗)   𝑁(𝑗)   𝑉(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝑊(𝑗,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem signstfveq0a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 764	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}))
2	1	eldifad 3952	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 𝐹 ∈ Word ℝ)
3		signstfveq0.1	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (♯‘𝐹)
4		lencl 14480	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ Word ℝ → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
5	3, 4	eqeltrid 2829	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ Word ℝ → 𝑁 ∈ ℕ0)
6	2, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
7		eldifsn 4782	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ↔ (𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐹 ≠ ∅))
8	1, 7	sylib 217	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐹 ≠ ∅))
9		hasheq0 14320	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ Word ℝ → ((♯‘𝐹) = 0 ↔ 𝐹 = ∅))
10	9	necon3bid 2977	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ Word ℝ → ((♯‘𝐹) ≠ 0 ↔ 𝐹 ≠ ∅))
11	10	biimpar 477	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐹 ≠ ∅) → (♯‘𝐹) ≠ 0)
12	3	neeq1i 2997	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ≠ 0 ↔ (♯‘𝐹) ≠ 0)
13	11, 12	sylibr 233	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐹 ≠ ∅) → 𝑁 ≠ 0)
14	8, 13	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 𝑁 ≠ 0)
15		elnnne0 12483	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0))
16	6, 14, 15	sylanbrc 582	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 𝑁 ∈ ℕ)
17		simplr 766	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝐹‘0) ≠ 0)
18		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0)
19	17, 18	neeqtrrd 3007	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘(𝑁 − 1)))
20	19	necomd 2988	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ (𝐹‘0))
21		oveq1 7408	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑁 − 1) = (1 − 1))
22		1m1e0 12281	. . . . . 6 ⊢ (1 − 1) = 0
23	21, 22	eqtrdi 2780	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑁 − 1) = 0)
24	23	fveq2d 6885	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝐹‘(𝑁 − 1)) = (𝐹‘0))
25	24	necon3i 2965	. . 3 ⊢ ((𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ (𝐹‘0) → 𝑁 ≠ 1)
26	20, 25	syl 17	. 2 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 𝑁 ≠ 1)
27		eluz2b3 12903	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≠ 1))
28	16, 26, 27	sylanbrc 582	1 ⊢ (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2932   ∖ cdif 3937  ∅c0 4314  ifcif 4520  {csn 4620  {cpr 4622  {ctp 4624  ⟨cop 4626   ↦ cmpt 5221  ‘cfv 6533  (class class class)co 7401   ∈ cmpo 7403  ℝcr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   − cmin 11441  -cneg 11442  ℕcn 12209  2c2 12264  ℕ₀cn0 12469  ℤ_≥cuz 12819  ...cfz 13481  ..^cfzo 13624  ♯chash 14287  Word cword 14461  sgncsgn 15030  Σcsu 15629  ndxcnx 17125  Basecbs 17143  +_gcplusg 17196   Σ_g cgsu 17385

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-card 9930  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-hash 14288  df-word 14462

This theorem is referenced by:  signstfveq0  34077