Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  signstfveq0a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem signstfveq0a 34570
Description: Lemma for signstfveq0 34571. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Oct-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
signsv.p = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
signsv.w 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⟩}
signsv.t 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓𝑖))))))
signsv.v 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
signstfveq0.1 𝑁 = (♯‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
signstfveq0a (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 𝑁 ∈ (ℤ‘2))
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,   𝑓,𝑖,𝑛,𝐹   𝑓,𝑊,𝑖,𝑛   𝐹,𝑎,𝑏,𝑓,𝑖,𝑛   𝑁,𝑎   𝑓,𝑏,𝑖,𝑛,𝑁   𝑇,𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   (𝑓,𝑖,𝑗,𝑛)   𝑇(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛)   𝐹(𝑗)   𝑁(𝑗)   𝑉(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝑊(𝑗,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem signstfveq0a
StepHypRef Expression
1 simpll 767 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}))
21eldifad 3975 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 𝐹 ∈ Word ℝ)
3 signstfveq0.1 . . . . 5 𝑁 = (♯‘𝐹)
4 lencl 14568 . . . . 5 (𝐹 ∈ Word ℝ → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
53, 4eqeltrid 2843 . . . 4 (𝐹 ∈ Word ℝ → 𝑁 ∈ ℕ0)
62, 5syl 17 . . 3 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
7 eldifsn 4791 . . . . 5 (𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ↔ (𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐹 ≠ ∅))
81, 7sylib 218 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐹 ≠ ∅))
9 hasheq0 14399 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ Word ℝ → ((♯‘𝐹) = 0 ↔ 𝐹 = ∅))
109necon3bid 2983 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Word ℝ → ((♯‘𝐹) ≠ 0 ↔ 𝐹 ≠ ∅))
1110biimpar 477 . . . . 5 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐹 ≠ ∅) → (♯‘𝐹) ≠ 0)
123neeq1i 3003 . . . . 5 (𝑁 ≠ 0 ↔ (♯‘𝐹) ≠ 0)
1311, 12sylibr 234 . . . 4 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐹 ≠ ∅) → 𝑁 ≠ 0)
148, 13syl 17 . . 3 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 𝑁 ≠ 0)
15 elnnne0 12538 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ≠ 0))
166, 14, 15sylanbrc 583 . 2 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 𝑁 ∈ ℕ)
17 simplr 769 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝐹‘0) ≠ 0)
18 simpr 484 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0)
1917, 18neeqtrrd 3013 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝐹‘0) ≠ (𝐹‘(𝑁 − 1)))
2019necomd 2994 . . 3 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ (𝐹‘0))
21 oveq1 7438 . . . . . 6 (𝑁 = 1 → (𝑁 − 1) = (1 − 1))
22 1m1e0 12336 . . . . . 6 (1 − 1) = 0
2321, 22eqtrdi 2791 . . . . 5 (𝑁 = 1 → (𝑁 − 1) = 0)
2423fveq2d 6911 . . . 4 (𝑁 = 1 → (𝐹‘(𝑁 − 1)) = (𝐹‘0))
2524necon3i 2971 . . 3 ((𝐹‘(𝑁 − 1)) ≠ (𝐹‘0) → 𝑁 ≠ 1)
2620, 25syl 17 . 2 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 𝑁 ≠ 1)
27 eluz2b3 12962 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≠ 1))
2816, 26, 27sylanbrc 583 1 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 𝑁 ∈ (ℤ‘2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  cdif 3960  c0 4339  ifcif 4531  {csn 4631  {cpr 4633  {ctp 4635  cop 4637  cmpt 5231  cfv 6563  (class class class)co 7431  cmpo 7433  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154  cmin 11490  -cneg 11491  cn 12264  2c2 12319  0cn0 12524  cuz 12876  ...cfz 13544  ..^cfzo 13691  chash 14366  Word cword 14549  sgncsgn 15122  Σcsu 15719  ndxcnx 17227  Basecbs 17245  +gcplusg 17298   Σg cgsu 17487
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-hash 14367  df-word 14550
This theorem is referenced by:  signstfveq0  34571
  Copyright terms: Public domain W3C validator