Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfpimgtxrmpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfpimgtxrmpt 44319
Description: Given a function measurable w.r.t. to a sigma-algebra, the preimage of an open interval unbounded above is in the subspace sigma-algebra induced by its domain. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smfpimgtxrmpt.x 𝑥𝜑
smfpimgtxrmpt.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smfpimgtxrmpt.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
smfpimgtxrmpt.f (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfpimgtxrmpt.l (𝜑𝐿 ∈ ℝ*)
Assertion
Ref Expression
smfpimgtxrmpt (𝜑 → {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵} ∈ (𝑆t 𝐴))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐿
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem smfpimgtxrmpt
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfmpt1 5182 . . . . . 6 𝑥(𝑥𝐴𝐵)
21nfdm 5860 . . . . 5 𝑥dom (𝑥𝐴𝐵)
3 nfcv 2907 . . . . 5 𝑦dom (𝑥𝐴𝐵)
4 nfv 1917 . . . . 5 𝑦 𝐿 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)
5 nfcv 2907 . . . . . 6 𝑥𝐿
6 nfcv 2907 . . . . . 6 𝑥 <
7 nfcv 2907 . . . . . . 7 𝑥𝑦
81, 7nffv 6784 . . . . . 6 𝑥((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦)
95, 6, 8nfbr 5121 . . . . 5 𝑥 𝐿 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦)
10 fveq2 6774 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) = ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦))
1110breq2d 5086 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (𝐿 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ↔ 𝐿 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦)))
122, 3, 4, 9, 11cbvrabw 3424 . . . 4 {𝑥 ∈ dom (𝑥𝐴𝐵) ∣ 𝐿 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)} = {𝑦 ∈ dom (𝑥𝐴𝐵) ∣ 𝐿 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦)}
1312a1i 11 . . 3 (𝜑 → {𝑥 ∈ dom (𝑥𝐴𝐵) ∣ 𝐿 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)} = {𝑦 ∈ dom (𝑥𝐴𝐵) ∣ 𝐿 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦)})
14 nfcv 2907 . . . 4 𝑦(𝑥𝐴𝐵)
15 smfpimgtxrmpt.s . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
16 smfpimgtxrmpt.f . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
17 eqid 2738 . . . 4 dom (𝑥𝐴𝐵) = dom (𝑥𝐴𝐵)
18 smfpimgtxrmpt.l . . . 4 (𝜑𝐿 ∈ ℝ*)
1914, 15, 16, 17, 18smfpimgtxr 44315 . . 3 (𝜑 → {𝑦 ∈ dom (𝑥𝐴𝐵) ∣ 𝐿 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦)} ∈ (𝑆t dom (𝑥𝐴𝐵)))
2013, 19eqeltrd 2839 . 2 (𝜑 → {𝑥 ∈ dom (𝑥𝐴𝐵) ∣ 𝐿 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)} ∈ (𝑆t dom (𝑥𝐴𝐵)))
21 smfpimgtxrmpt.x . . . . . 6 𝑥𝜑
22 eqid 2738 . . . . . 6 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
23 smfpimgtxrmpt.b . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
2421, 22, 23dmmptdf 42763 . . . . 5 (𝜑 → dom (𝑥𝐴𝐵) = 𝐴)
25 nfcv 2907 . . . . . 6 𝑥𝐴
262, 25rabeqf 3415 . . . . 5 (dom (𝑥𝐴𝐵) = 𝐴 → {𝑥 ∈ dom (𝑥𝐴𝐵) ∣ 𝐿 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)} = {𝑥𝐴𝐿 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)})
2724, 26syl 17 . . . 4 (𝜑 → {𝑥 ∈ dom (𝑥𝐴𝐵) ∣ 𝐿 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)} = {𝑥𝐴𝐿 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)})
2822a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵))
2928, 23fvmpt2d 6888 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
3029breq2d 5086 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐿 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) ↔ 𝐿 < 𝐵))
3121, 30rabbida 3409 . . . 4 (𝜑 → {𝑥𝐴𝐿 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)} = {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵})
32 eqidd 2739 . . . 4 (𝜑 → {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵} = {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵})
3327, 31, 323eqtrrd 2783 . . 3 (𝜑 → {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵} = {𝑥 ∈ dom (𝑥𝐴𝐵) ∣ 𝐿 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)})
3424eqcomd 2744 . . . 4 (𝜑𝐴 = dom (𝑥𝐴𝐵))
3534oveq2d 7291 . . 3 (𝜑 → (𝑆t 𝐴) = (𝑆t dom (𝑥𝐴𝐵)))
3633, 35eleq12d 2833 . 2 (𝜑 → ({𝑥𝐴𝐿 < 𝐵} ∈ (𝑆t 𝐴) ↔ {𝑥 ∈ dom (𝑥𝐴𝐵) ∣ 𝐿 < ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)} ∈ (𝑆t dom (𝑥𝐴𝐵))))
3720, 36mpbird 256 1 (𝜑 → {𝑥𝐴𝐿 < 𝐵} ∈ (𝑆t 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1539  wnf 1786  wcel 2106  {crab 3068   class class class wbr 5074  cmpt 5157  dom cdm 5589  cfv 6433  (class class class)co 7275  *cxr 11008   < clt 11009  t crest 17131  SAlgcsalg 43849  SMblFncsmblfn 44233
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cc 10191  ax-ac2 10219  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-inf 9202  df-card 9697  df-acn 9700  df-ac 9872  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-ioo 13083  df-ico 13085  df-fl 13512  df-rest 17133  df-salg 43850  df-smblfn 44234
This theorem is referenced by:  smfpimioompt  44320
  Copyright terms: Public domain W3C validator