Theorem sqrtcval2 43638

Description: Explicit formula for the complex square root in terms of the square root of nonnegative reals. The right side is slightly more compact than sqrtcval 43637. (Contributed by RP, 18-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
sqrtcval2	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘𝐴) = ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (if((ℑ‘𝐴) < 0, -i, i) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))))

Proof of Theorem sqrtcval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqrtcval 43637	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘𝐴) = ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))))
2		ovif2 7491	. . . . . . 7 ⊢ (i · if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1)) = if((ℑ‘𝐴) < 0, (i · -1), (i · 1))
3		neg1cn 12178	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 ∈ ℂ
4		ax-icn 11134	. . . . . . . . 9 ⊢ i ∈ ℂ
5	4	mulm1i 11630	. . . . . . . . 9 ⊢ (-1 · i) = -i
6	3, 4, 5	mulcomli 11190	. . . . . . . 8 ⊢ (i · -1) = -i
7	4	mulridi 11185	. . . . . . . 8 ⊢ (i · 1) = i
8		ifeq12 4510	. . . . . . . 8 ⊢ (((i · -1) = -i ∧ (i · 1) = i) → if((ℑ‘𝐴) < 0, (i · -1), (i · 1)) = if((ℑ‘𝐴) < 0, -i, i))
9	6, 7, 8	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ if((ℑ‘𝐴) < 0, (i · -1), (i · 1)) = if((ℑ‘𝐴) < 0, -i, i)
10	2, 9	eqtr2i 2754	. . . . . 6 ⊢ if((ℑ‘𝐴) < 0, -i, i) = (i · if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1))
11	10	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → if((ℑ‘𝐴) < 0, -i, i) = (i · if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1)))
12	11	oveq1d 7405	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (if((ℑ‘𝐴) < 0, -i, i) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))) = ((i · if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1)) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))
13	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → i ∈ ℂ)
14		neg1rr 12179	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℝ
15		1re 11181	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
16	14, 15	ifcli 4539	. . . . . . 7 ⊢ if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) ∈ ℝ
17	16	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) ∈ ℝ)
18	17	recnd 11209	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) ∈ ℂ)
19		sqrtcvallem3 43634	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)) ∈ ℝ)
20	19	recnd 11209	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)) ∈ ℂ)
21	13, 18, 20	mulassd 11204	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1)) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))) = (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))))
22	12, 21	eqtrd 2765	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (if((ℑ‘𝐴) < 0, -i, i) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))) = (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))))
23	22	oveq2d 7406	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (if((ℑ‘𝐴) < 0, -i, i) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))) = ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))))
24	1, 23	eqtr4d 2768	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘𝐴) = ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (if((ℑ‘𝐴) < 0, -i, i) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ifcif 4491   class class class wbr 5110  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  ℝcr 11074  0cc0 11075  1c1 11076  ici 11077   + caddc 11078   · cmul 11080   < clt 11215   − cmin 11412  -cneg 11413   / cdiv 11842  2c2 12248  ℜcre 15070  ℑcim 15071  √csqrt 15206  abscabs 15207

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-sup 9400  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-rp 12959  df-seq 13974  df-exp 14034  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209

This theorem is referenced by: (None)