![]() |
Mathbox for Richard Penner |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > sqrtcval2 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Explicit formula for the complex square root in terms of the square root of nonnegative reals. The right side is slightly more compact than sqrtcval 43136. (Contributed by RP, 18-May-2024.) |
Ref | Expression |
---|---|
sqrtcval2 | โข (๐ด โ โ โ (โโ๐ด) = ((โโ(((absโ๐ด) + (โโ๐ด)) / 2)) + (if((โโ๐ด) < 0, -i, i) ยท (โโ(((absโ๐ด) โ (โโ๐ด)) / 2))))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | sqrtcval 43136 | . 2 โข (๐ด โ โ โ (โโ๐ด) = ((โโ(((absโ๐ด) + (โโ๐ด)) / 2)) + (i ยท (if((โโ๐ด) < 0, -1, 1) ยท (โโ(((absโ๐ด) โ (โโ๐ด)) / 2)))))) | |
2 | ovif2 7516 | . . . . . . 7 โข (i ยท if((โโ๐ด) < 0, -1, 1)) = if((โโ๐ด) < 0, (i ยท -1), (i ยท 1)) | |
3 | neg1cn 12356 | . . . . . . . . 9 โข -1 โ โ | |
4 | ax-icn 11197 | . . . . . . . . 9 โข i โ โ | |
5 | 4 | mulm1i 11689 | . . . . . . . . 9 โข (-1 ยท i) = -i |
6 | 3, 4, 5 | mulcomli 11253 | . . . . . . . 8 โข (i ยท -1) = -i |
7 | 4 | mulridi 11248 | . . . . . . . 8 โข (i ยท 1) = i |
8 | ifeq12 4542 | . . . . . . . 8 โข (((i ยท -1) = -i โง (i ยท 1) = i) โ if((โโ๐ด) < 0, (i ยท -1), (i ยท 1)) = if((โโ๐ด) < 0, -i, i)) | |
9 | 6, 7, 8 | mp2an 690 | . . . . . . 7 โข if((โโ๐ด) < 0, (i ยท -1), (i ยท 1)) = if((โโ๐ด) < 0, -i, i) |
10 | 2, 9 | eqtr2i 2754 | . . . . . 6 โข if((โโ๐ด) < 0, -i, i) = (i ยท if((โโ๐ด) < 0, -1, 1)) |
11 | 10 | a1i 11 | . . . . 5 โข (๐ด โ โ โ if((โโ๐ด) < 0, -i, i) = (i ยท if((โโ๐ด) < 0, -1, 1))) |
12 | 11 | oveq1d 7431 | . . . 4 โข (๐ด โ โ โ (if((โโ๐ด) < 0, -i, i) ยท (โโ(((absโ๐ด) โ (โโ๐ด)) / 2))) = ((i ยท if((โโ๐ด) < 0, -1, 1)) ยท (โโ(((absโ๐ด) โ (โโ๐ด)) / 2)))) |
13 | 4 | a1i 11 | . . . . 5 โข (๐ด โ โ โ i โ โ) |
14 | neg1rr 12357 | . . . . . . . 8 โข -1 โ โ | |
15 | 1re 11244 | . . . . . . . 8 โข 1 โ โ | |
16 | 14, 15 | ifcli 4571 | . . . . . . 7 โข if((โโ๐ด) < 0, -1, 1) โ โ |
17 | 16 | a1i 11 | . . . . . 6 โข (๐ด โ โ โ if((โโ๐ด) < 0, -1, 1) โ โ) |
18 | 17 | recnd 11272 | . . . . 5 โข (๐ด โ โ โ if((โโ๐ด) < 0, -1, 1) โ โ) |
19 | sqrtcvallem3 43133 | . . . . . 6 โข (๐ด โ โ โ (โโ(((absโ๐ด) โ (โโ๐ด)) / 2)) โ โ) | |
20 | 19 | recnd 11272 | . . . . 5 โข (๐ด โ โ โ (โโ(((absโ๐ด) โ (โโ๐ด)) / 2)) โ โ) |
21 | 13, 18, 20 | mulassd 11267 | . . . 4 โข (๐ด โ โ โ ((i ยท if((โโ๐ด) < 0, -1, 1)) ยท (โโ(((absโ๐ด) โ (โโ๐ด)) / 2))) = (i ยท (if((โโ๐ด) < 0, -1, 1) ยท (โโ(((absโ๐ด) โ (โโ๐ด)) / 2))))) |
22 | 12, 21 | eqtrd 2765 | . . 3 โข (๐ด โ โ โ (if((โโ๐ด) < 0, -i, i) ยท (โโ(((absโ๐ด) โ (โโ๐ด)) / 2))) = (i ยท (if((โโ๐ด) < 0, -1, 1) ยท (โโ(((absโ๐ด) โ (โโ๐ด)) / 2))))) |
23 | 22 | oveq2d 7432 | . 2 โข (๐ด โ โ โ ((โโ(((absโ๐ด) + (โโ๐ด)) / 2)) + (if((โโ๐ด) < 0, -i, i) ยท (โโ(((absโ๐ด) โ (โโ๐ด)) / 2)))) = ((โโ(((absโ๐ด) + (โโ๐ด)) / 2)) + (i ยท (if((โโ๐ด) < 0, -1, 1) ยท (โโ(((absโ๐ด) โ (โโ๐ด)) / 2)))))) |
24 | 1, 23 | eqtr4d 2768 | 1 โข (๐ด โ โ โ (โโ๐ด) = ((โโ(((absโ๐ด) + (โโ๐ด)) / 2)) + (if((โโ๐ด) < 0, -i, i) ยท (โโ(((absโ๐ด) โ (โโ๐ด)) / 2))))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 = wceq 1533 โ wcel 2098 ifcif 4524 class class class wbr 5143 โcfv 6543 (class class class)co 7416 โcc 11136 โcr 11137 0cc0 11138 1c1 11139 ici 11140 + caddc 11141 ยท cmul 11143 < clt 11278 โ cmin 11474 -cneg 11475 / cdiv 11901 2c2 12297 โcre 15076 โcim 15077 โcsqrt 15212 abscabs 15213 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2166 ax-ext 2696 ax-sep 5294 ax-nul 5301 ax-pow 5359 ax-pr 5423 ax-un 7738 ax-cnex 11194 ax-resscn 11195 ax-1cn 11196 ax-icn 11197 ax-addcl 11198 ax-addrcl 11199 ax-mulcl 11200 ax-mulrcl 11201 ax-mulcom 11202 ax-addass 11203 ax-mulass 11204 ax-distr 11205 ax-i2m1 11206 ax-1ne0 11207 ax-1rid 11208 ax-rnegex 11209 ax-rrecex 11210 ax-cnre 11211 ax-pre-lttri 11212 ax-pre-lttrn 11213 ax-pre-ltadd 11214 ax-pre-mulgt0 11215 ax-pre-sup 11216 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 846 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2703 df-cleq 2717 df-clel 2802 df-nfc 2877 df-ne 2931 df-nel 3037 df-ral 3052 df-rex 3061 df-rmo 3364 df-reu 3365 df-rab 3420 df-v 3465 df-sbc 3769 df-csb 3885 df-dif 3942 df-un 3944 df-in 3946 df-ss 3956 df-pss 3959 df-nul 4319 df-if 4525 df-pw 4600 df-sn 4625 df-pr 4627 df-op 4631 df-uni 4904 df-iun 4993 df-br 5144 df-opab 5206 df-mpt 5227 df-tr 5261 df-id 5570 df-eprel 5576 df-po 5584 df-so 5585 df-fr 5627 df-we 5629 df-xp 5678 df-rel 5679 df-cnv 5680 df-co 5681 df-dm 5682 df-rn 5683 df-res 5684 df-ima 5685 df-pred 6300 df-ord 6367 df-on 6368 df-lim 6369 df-suc 6370 df-iota 6495 df-fun 6545 df-fn 6546 df-f 6547 df-f1 6548 df-fo 6549 df-f1o 6550 df-fv 6551 df-riota 7372 df-ov 7419 df-oprab 7420 df-mpo 7421 df-om 7869 df-2nd 7992 df-frecs 8285 df-wrecs 8316 df-recs 8390 df-rdg 8429 df-er 8723 df-en 8963 df-dom 8964 df-sdom 8965 df-sup 9465 df-pnf 11280 df-mnf 11281 df-xr 11282 df-ltxr 11283 df-le 11284 df-sub 11476 df-neg 11477 df-div 11902 df-nn 12243 df-2 12305 df-3 12306 df-n0 12503 df-z 12589 df-uz 12853 df-rp 13007 df-seq 13999 df-exp 14059 df-cj 15078 df-re 15079 df-im 15080 df-sqrt 15214 df-abs 15215 |
This theorem is referenced by: (None) |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |