Theorem sqrtcval2 41463

Description: Explicit formula for the complex square root in terms of the square root of nonnegative reals. The right side is slightly more compact than sqrtcval 41462. (Contributed by RP, 18-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
sqrtcval2	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘𝐴) = ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (if((ℑ‘𝐴) < 0, -i, i) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))))

Proof of Theorem sqrtcval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqrtcval 41462	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘𝐴) = ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))))
2		ovif2 7405	. . . . . . 7 ⊢ (i · if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1)) = if((ℑ‘𝐴) < 0, (i · -1), (i · 1))
3		neg1cn 12137	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 ∈ ℂ
4		ax-icn 10980	. . . . . . . . 9 ⊢ i ∈ ℂ
5	4	mulm1i 11470	. . . . . . . . 9 ⊢ (-1 · i) = -i
6	3, 4, 5	mulcomli 11034	. . . . . . . 8 ⊢ (i · -1) = -i
7	4	mulid1i 11029	. . . . . . . 8 ⊢ (i · 1) = i
8		ifeq12 4483	. . . . . . . 8 ⊢ (((i · -1) = -i ∧ (i · 1) = i) → if((ℑ‘𝐴) < 0, (i · -1), (i · 1)) = if((ℑ‘𝐴) < 0, -i, i))
9	6, 7, 8	mp2an 690	. . . . . . 7 ⊢ if((ℑ‘𝐴) < 0, (i · -1), (i · 1)) = if((ℑ‘𝐴) < 0, -i, i)
10	2, 9	eqtr2i 2765	. . . . . 6 ⊢ if((ℑ‘𝐴) < 0, -i, i) = (i · if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1))
11	10	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → if((ℑ‘𝐴) < 0, -i, i) = (i · if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1)))
12	11	oveq1d 7322	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (if((ℑ‘𝐴) < 0, -i, i) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))) = ((i · if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1)) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))
13	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → i ∈ ℂ)
14		neg1rr 12138	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℝ
15		1re 11025	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
16	14, 15	ifcli 4512	. . . . . . 7 ⊢ if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) ∈ ℝ
17	16	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) ∈ ℝ)
18	17	recnd 11053	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) ∈ ℂ)
19		sqrtcvallem3 41459	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)) ∈ ℝ)
20	19	recnd 11053	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)) ∈ ℂ)
21	13, 18, 20	mulassd 11048	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1)) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))) = (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))))
22	12, 21	eqtrd 2776	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (if((ℑ‘𝐴) < 0, -i, i) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))) = (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))))
23	22	oveq2d 7323	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (if((ℑ‘𝐴) < 0, -i, i) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))) = ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))))
24	1, 23	eqtr4d 2779	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘𝐴) = ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (if((ℑ‘𝐴) < 0, -i, i) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  ifcif 4465   class class class wbr 5081  ‘cfv 6458  (class class class)co 7307  ℂcc 10919  ℝcr 10920  0cc0 10921  1c1 10922  ici 10923   + caddc 10924   · cmul 10926   < clt 11059   − cmin 11255  -cneg 11256   / cdiv 11682  2c2 12078  ℜcre 14857  ℑcim 14858  √csqrt 14993  abscabs 14994

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-cnex 10977  ax-resscn 10978  ax-1cn 10979  ax-icn 10980  ax-addcl 10981  ax-addrcl 10982  ax-mulcl 10983  ax-mulrcl 10984  ax-mulcom 10985  ax-addass 10986  ax-mulass 10987  ax-distr 10988  ax-i2m1 10989  ax-1ne0 10990  ax-1rid 10991  ax-rnegex 10992  ax-rrecex 10993  ax-cnre 10994  ax-pre-lttri 10995  ax-pre-lttrn 10996  ax-pre-ltadd 10997  ax-pre-mulgt0 10998  ax-pre-sup 10999

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3304  df-reu 3305  df-rab 3306  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-om 7745  df-2nd 7864  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-er 8529  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-sup 9249  df-pnf 11061  df-mnf 11062  df-xr 11063  df-ltxr 11064  df-le 11065  df-sub 11257  df-neg 11258  df-div 11683  df-nn 12024  df-2 12086  df-3 12087  df-n0 12284  df-z 12370  df-uz 12633  df-rp 12781  df-seq 13772  df-exp 13833  df-cj 14859  df-re 14860  df-im 14861  df-sqrt 14995  df-abs 14996

This theorem is referenced by: (None)