Theorem sqrtcval2 43919

Description: Explicit formula for the complex square root in terms of the square root of nonnegative reals. The right side is slightly more compact than sqrtcval 43918. (Contributed by RP, 18-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
sqrtcval2	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘𝐴) = ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (if((ℑ‘𝐴) < 0, -i, i) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))))

Proof of Theorem sqrtcval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqrtcval 43918	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘𝐴) = ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))))
2		ovif2 7459	. . . . . . 7 ⊢ (i · if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1)) = if((ℑ‘𝐴) < 0, (i · -1), (i · 1))
3		neg1cn 12134	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 ∈ ℂ
4		ax-icn 11089	. . . . . . . . 9 ⊢ i ∈ ℂ
5	4	mulm1i 11586	. . . . . . . . 9 ⊢ (-1 · i) = -i
6	3, 4, 5	mulcomli 11145	. . . . . . . 8 ⊢ (i · -1) = -i
7	4	mulridi 11140	. . . . . . . 8 ⊢ (i · 1) = i
8		ifeq12 4499	. . . . . . . 8 ⊢ (((i · -1) = -i ∧ (i · 1) = i) → if((ℑ‘𝐴) < 0, (i · -1), (i · 1)) = if((ℑ‘𝐴) < 0, -i, i))
9	6, 7, 8	mp2an 693	. . . . . . 7 ⊢ if((ℑ‘𝐴) < 0, (i · -1), (i · 1)) = if((ℑ‘𝐴) < 0, -i, i)
10	2, 9	eqtr2i 2761	. . . . . 6 ⊢ if((ℑ‘𝐴) < 0, -i, i) = (i · if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1))
11	10	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → if((ℑ‘𝐴) < 0, -i, i) = (i · if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1)))
12	11	oveq1d 7375	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (if((ℑ‘𝐴) < 0, -i, i) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))) = ((i · if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1)) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))
13	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → i ∈ ℂ)
14		neg1rr 12135	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℝ
15		1re 11136	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
16	14, 15	ifcli 4528	. . . . . . 7 ⊢ if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) ∈ ℝ
17	16	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) ∈ ℝ)
18	17	recnd 11164	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) ∈ ℂ)
19		sqrtcvallem3 43915	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)) ∈ ℝ)
20	19	recnd 11164	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)) ∈ ℂ)
21	13, 18, 20	mulassd 11159	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1)) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))) = (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))))
22	12, 21	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (if((ℑ‘𝐴) < 0, -i, i) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))) = (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))))
23	22	oveq2d 7376	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (if((ℑ‘𝐴) < 0, -i, i) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))) = ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))))
24	1, 23	eqtr4d 2775	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘𝐴) = ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (if((ℑ‘𝐴) < 0, -i, i) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ifcif 4480   class class class wbr 5099  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  ℂcc 11028  ℝcr 11029  0cc0 11030  1c1 11031  ici 11032   + caddc 11033   · cmul 11035   < clt 11170   − cmin 11368  -cneg 11369   / cdiv 11798  2c2 12204  ℜcre 15024  ℑcim 15025  √csqrt 15160  abscabs 15161

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-sup 9349  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-n0 12406  df-z 12493  df-uz 12756  df-rp 12910  df-seq 13929  df-exp 13989  df-cj 15026  df-re 15027  df-im 15028  df-sqrt 15162  df-abs 15163

This theorem is referenced by: (None)