Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sqrtcval2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sqrtcval2 43137
Description: Explicit formula for the complex square root in terms of the square root of nonnegative reals. The right side is slightly more compact than sqrtcval 43136. (Contributed by RP, 18-May-2024.)
Assertion
Ref Expression
sqrtcval2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โˆšโ€˜๐ด) = ((โˆšโ€˜(((absโ€˜๐ด) + (โ„œโ€˜๐ด)) / 2)) + (if((โ„‘โ€˜๐ด) < 0, -i, i) ยท (โˆšโ€˜(((absโ€˜๐ด) โˆ’ (โ„œโ€˜๐ด)) / 2)))))

Proof of Theorem sqrtcval2
StepHypRef Expression
1 sqrtcval 43136 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โˆšโ€˜๐ด) = ((โˆšโ€˜(((absโ€˜๐ด) + (โ„œโ€˜๐ด)) / 2)) + (i ยท (if((โ„‘โ€˜๐ด) < 0, -1, 1) ยท (โˆšโ€˜(((absโ€˜๐ด) โˆ’ (โ„œโ€˜๐ด)) / 2))))))
2 ovif2 7516 . . . . . . 7 (i ยท if((โ„‘โ€˜๐ด) < 0, -1, 1)) = if((โ„‘โ€˜๐ด) < 0, (i ยท -1), (i ยท 1))
3 neg1cn 12356 . . . . . . . . 9 -1 โˆˆ โ„‚
4 ax-icn 11197 . . . . . . . . 9 i โˆˆ โ„‚
54mulm1i 11689 . . . . . . . . 9 (-1 ยท i) = -i
63, 4, 5mulcomli 11253 . . . . . . . 8 (i ยท -1) = -i
74mulridi 11248 . . . . . . . 8 (i ยท 1) = i
8 ifeq12 4542 . . . . . . . 8 (((i ยท -1) = -i โˆง (i ยท 1) = i) โ†’ if((โ„‘โ€˜๐ด) < 0, (i ยท -1), (i ยท 1)) = if((โ„‘โ€˜๐ด) < 0, -i, i))
96, 7, 8mp2an 690 . . . . . . 7 if((โ„‘โ€˜๐ด) < 0, (i ยท -1), (i ยท 1)) = if((โ„‘โ€˜๐ด) < 0, -i, i)
102, 9eqtr2i 2754 . . . . . 6 if((โ„‘โ€˜๐ด) < 0, -i, i) = (i ยท if((โ„‘โ€˜๐ด) < 0, -1, 1))
1110a1i 11 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ if((โ„‘โ€˜๐ด) < 0, -i, i) = (i ยท if((โ„‘โ€˜๐ด) < 0, -1, 1)))
1211oveq1d 7431 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (if((โ„‘โ€˜๐ด) < 0, -i, i) ยท (โˆšโ€˜(((absโ€˜๐ด) โˆ’ (โ„œโ€˜๐ด)) / 2))) = ((i ยท if((โ„‘โ€˜๐ด) < 0, -1, 1)) ยท (โˆšโ€˜(((absโ€˜๐ด) โˆ’ (โ„œโ€˜๐ด)) / 2))))
134a1i 11 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ i โˆˆ โ„‚)
14 neg1rr 12357 . . . . . . . 8 -1 โˆˆ โ„
15 1re 11244 . . . . . . . 8 1 โˆˆ โ„
1614, 15ifcli 4571 . . . . . . 7 if((โ„‘โ€˜๐ด) < 0, -1, 1) โˆˆ โ„
1716a1i 11 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ if((โ„‘โ€˜๐ด) < 0, -1, 1) โˆˆ โ„)
1817recnd 11272 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ if((โ„‘โ€˜๐ด) < 0, -1, 1) โˆˆ โ„‚)
19 sqrtcvallem3 43133 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โˆšโ€˜(((absโ€˜๐ด) โˆ’ (โ„œโ€˜๐ด)) / 2)) โˆˆ โ„)
2019recnd 11272 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โˆšโ€˜(((absโ€˜๐ด) โˆ’ (โ„œโ€˜๐ด)) / 2)) โˆˆ โ„‚)
2113, 18, 20mulassd 11267 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((i ยท if((โ„‘โ€˜๐ด) < 0, -1, 1)) ยท (โˆšโ€˜(((absโ€˜๐ด) โˆ’ (โ„œโ€˜๐ด)) / 2))) = (i ยท (if((โ„‘โ€˜๐ด) < 0, -1, 1) ยท (โˆšโ€˜(((absโ€˜๐ด) โˆ’ (โ„œโ€˜๐ด)) / 2)))))
2212, 21eqtrd 2765 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (if((โ„‘โ€˜๐ด) < 0, -i, i) ยท (โˆšโ€˜(((absโ€˜๐ด) โˆ’ (โ„œโ€˜๐ด)) / 2))) = (i ยท (if((โ„‘โ€˜๐ด) < 0, -1, 1) ยท (โˆšโ€˜(((absโ€˜๐ด) โˆ’ (โ„œโ€˜๐ด)) / 2)))))
2322oveq2d 7432 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((โˆšโ€˜(((absโ€˜๐ด) + (โ„œโ€˜๐ด)) / 2)) + (if((โ„‘โ€˜๐ด) < 0, -i, i) ยท (โˆšโ€˜(((absโ€˜๐ด) โˆ’ (โ„œโ€˜๐ด)) / 2)))) = ((โˆšโ€˜(((absโ€˜๐ด) + (โ„œโ€˜๐ด)) / 2)) + (i ยท (if((โ„‘โ€˜๐ด) < 0, -1, 1) ยท (โˆšโ€˜(((absโ€˜๐ด) โˆ’ (โ„œโ€˜๐ด)) / 2))))))
241, 23eqtr4d 2768 1 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โˆšโ€˜๐ด) = ((โˆšโ€˜(((absโ€˜๐ด) + (โ„œโ€˜๐ด)) / 2)) + (if((โ„‘โ€˜๐ด) < 0, -i, i) ยท (โˆšโ€˜(((absโ€˜๐ด) โˆ’ (โ„œโ€˜๐ด)) / 2)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  ifcif 4524   class class class wbr 5143  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  โ„‚cc 11136  โ„cr 11137  0cc0 11138  1c1 11139  ici 11140   + caddc 11141   ยท cmul 11143   < clt 11278   โˆ’ cmin 11474  -cneg 11475   / cdiv 11901  2c2 12297  โ„œcre 15076  โ„‘cim 15077  โˆšcsqrt 15212  abscabs 15213
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-sup 9465  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13007  df-seq 13999  df-exp 14059  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator