Theorem sqrtcval2 43749

Description: Explicit formula for the complex square root in terms of the square root of nonnegative reals. The right side is slightly more compact than sqrtcval 43748. (Contributed by RP, 18-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
sqrtcval2	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘𝐴) = ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (if((ℑ‘𝐴) < 0, -i, i) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))))

Proof of Theorem sqrtcval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqrtcval 43748	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘𝐴) = ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))))
2		ovif2 7454	. . . . . . 7 ⊢ (i · if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1)) = if((ℑ‘𝐴) < 0, (i · -1), (i · 1))
3		neg1cn 12120	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 ∈ ℂ
4		ax-icn 11075	. . . . . . . . 9 ⊢ i ∈ ℂ
5	4	mulm1i 11572	. . . . . . . . 9 ⊢ (-1 · i) = -i
6	3, 4, 5	mulcomli 11131	. . . . . . . 8 ⊢ (i · -1) = -i
7	4	mulridi 11126	. . . . . . . 8 ⊢ (i · 1) = i
8		ifeq12 4495	. . . . . . . 8 ⊢ (((i · -1) = -i ∧ (i · 1) = i) → if((ℑ‘𝐴) < 0, (i · -1), (i · 1)) = if((ℑ‘𝐴) < 0, -i, i))
9	6, 7, 8	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ if((ℑ‘𝐴) < 0, (i · -1), (i · 1)) = if((ℑ‘𝐴) < 0, -i, i)
10	2, 9	eqtr2i 2757	. . . . . 6 ⊢ if((ℑ‘𝐴) < 0, -i, i) = (i · if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1))
11	10	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → if((ℑ‘𝐴) < 0, -i, i) = (i · if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1)))
12	11	oveq1d 7370	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (if((ℑ‘𝐴) < 0, -i, i) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))) = ((i · if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1)) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))
13	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → i ∈ ℂ)
14		neg1rr 12121	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℝ
15		1re 11122	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
16	14, 15	ifcli 4524	. . . . . . 7 ⊢ if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) ∈ ℝ
17	16	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) ∈ ℝ)
18	17	recnd 11150	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) ∈ ℂ)
19		sqrtcvallem3 43745	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)) ∈ ℝ)
20	19	recnd 11150	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)) ∈ ℂ)
21	13, 18, 20	mulassd 11145	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1)) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))) = (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))))
22	12, 21	eqtrd 2768	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (if((ℑ‘𝐴) < 0, -i, i) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))) = (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))))
23	22	oveq2d 7371	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (if((ℑ‘𝐴) < 0, -i, i) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))) = ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))))
24	1, 23	eqtr4d 2771	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘𝐴) = ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (if((ℑ‘𝐴) < 0, -i, i) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ifcif 4476   class class class wbr 5095  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  ℂcc 11014  ℝcr 11015  0cc0 11016  1c1 11017  ici 11018   + caddc 11019   · cmul 11021   < clt 11156   − cmin 11354  -cneg 11355   / cdiv 11784  2c2 12190  ℜcre 15014  ℑcim 15015  √csqrt 15150  abscabs 15151

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11072  ax-resscn 11073  ax-1cn 11074  ax-icn 11075  ax-addcl 11076  ax-addrcl 11077  ax-mulcl 11078  ax-mulrcl 11079  ax-mulcom 11080  ax-addass 11081  ax-mulass 11082  ax-distr 11083  ax-i2m1 11084  ax-1ne0 11085  ax-1rid 11086  ax-rnegex 11087  ax-rrecex 11088  ax-cnre 11089  ax-pre-lttri 11090  ax-pre-lttrn 11091  ax-pre-ltadd 11092  ax-pre-mulgt0 11093  ax-pre-sup 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8631  df-en 8879  df-dom 8880  df-sdom 8881  df-sup 9336  df-pnf 11158  df-mnf 11159  df-xr 11160  df-ltxr 11161  df-le 11162  df-sub 11356  df-neg 11357  df-div 11785  df-nn 12136  df-2 12198  df-3 12199  df-n0 12392  df-z 12479  df-uz 12743  df-rp 12901  df-seq 13919  df-exp 13979  df-cj 15016  df-re 15017  df-im 15018  df-sqrt 15152  df-abs 15153

This theorem is referenced by: (None)