Theorem sqrtcval2 43654

Description: Explicit formula for the complex square root in terms of the square root of nonnegative reals. The right side is slightly more compact than sqrtcval 43653. (Contributed by RP, 18-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
sqrtcval2	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘𝐴) = ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (if((ℑ‘𝐴) < 0, -i, i) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))))

Proof of Theorem sqrtcval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqrtcval 43653	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘𝐴) = ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))))
2		ovif2 7440	. . . . . . 7 ⊢ (i · if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1)) = if((ℑ‘𝐴) < 0, (i · -1), (i · 1))
3		neg1cn 12102	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 ∈ ℂ
4		ax-icn 11057	. . . . . . . . 9 ⊢ i ∈ ℂ
5	4	mulm1i 11554	. . . . . . . . 9 ⊢ (-1 · i) = -i
6	3, 4, 5	mulcomli 11113	. . . . . . . 8 ⊢ (i · -1) = -i
7	4	mulridi 11108	. . . . . . . 8 ⊢ (i · 1) = i
8		ifeq12 4492	. . . . . . . 8 ⊢ (((i · -1) = -i ∧ (i · 1) = i) → if((ℑ‘𝐴) < 0, (i · -1), (i · 1)) = if((ℑ‘𝐴) < 0, -i, i))
9	6, 7, 8	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ if((ℑ‘𝐴) < 0, (i · -1), (i · 1)) = if((ℑ‘𝐴) < 0, -i, i)
10	2, 9	eqtr2i 2754	. . . . . 6 ⊢ if((ℑ‘𝐴) < 0, -i, i) = (i · if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1))
11	10	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → if((ℑ‘𝐴) < 0, -i, i) = (i · if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1)))
12	11	oveq1d 7356	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (if((ℑ‘𝐴) < 0, -i, i) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))) = ((i · if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1)) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))
13	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → i ∈ ℂ)
14		neg1rr 12103	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℝ
15		1re 11104	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
16	14, 15	ifcli 4521	. . . . . . 7 ⊢ if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) ∈ ℝ
17	16	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) ∈ ℝ)
18	17	recnd 11132	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) ∈ ℂ)
19		sqrtcvallem3 43650	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)) ∈ ℝ)
20	19	recnd 11132	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)) ∈ ℂ)
21	13, 18, 20	mulassd 11127	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1)) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))) = (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))))
22	12, 21	eqtrd 2765	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (if((ℑ‘𝐴) < 0, -i, i) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))) = (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))))
23	22	oveq2d 7357	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (if((ℑ‘𝐴) < 0, -i, i) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))) = ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (i · (if((ℑ‘𝐴) < 0, -1, 1) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2))))))
24	1, 23	eqtr4d 2768	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘𝐴) = ((√‘(((abs‘𝐴) + (ℜ‘𝐴)) / 2)) + (if((ℑ‘𝐴) < 0, -i, i) · (√‘(((abs‘𝐴) − (ℜ‘𝐴)) / 2)))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2110  ifcif 4473   class class class wbr 5089  ‘cfv 6477  (class class class)co 7341  ℂcc 10996  ℝcr 10997  0cc0 10998  1c1 10999  ici 11000   + caddc 11001   · cmul 11003   < clt 11138   − cmin 11336  -cneg 11337   / cdiv 11766  2c2 12172  ℜcre 14996  ℑcim 14997  √csqrt 15132  abscabs 15133

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-cnex 11054  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074  ax-pre-mulgt0 11075  ax-pre-sup 11076

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-sup 9321  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-sub 11338  df-neg 11339  df-div 11767  df-nn 12118  df-2 12180  df-3 12181  df-n0 12374  df-z 12461  df-uz 12725  df-rp 12883  df-seq 13901  df-exp 13961  df-cj 14998  df-re 14999  df-im 15000  df-sqrt 15134  df-abs 15135

This theorem is referenced by: (None)