![]() |
Mathbox for Richard Penner |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > sqrtcval2 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Explicit formula for the complex square root in terms of the square root of nonnegative reals. The right side is slightly more compact than sqrtcval 42968. (Contributed by RP, 18-May-2024.) |
Ref | Expression |
---|---|
sqrtcval2 | โข (๐ด โ โ โ (โโ๐ด) = ((โโ(((absโ๐ด) + (โโ๐ด)) / 2)) + (if((โโ๐ด) < 0, -i, i) ยท (โโ(((absโ๐ด) โ (โโ๐ด)) / 2))))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | sqrtcval 42968 | . 2 โข (๐ด โ โ โ (โโ๐ด) = ((โโ(((absโ๐ด) + (โโ๐ด)) / 2)) + (i ยท (if((โโ๐ด) < 0, -1, 1) ยท (โโ(((absโ๐ด) โ (โโ๐ด)) / 2)))))) | |
2 | ovif2 7503 | . . . . . . 7 โข (i ยท if((โโ๐ด) < 0, -1, 1)) = if((โโ๐ด) < 0, (i ยท -1), (i ยท 1)) | |
3 | neg1cn 12330 | . . . . . . . . 9 โข -1 โ โ | |
4 | ax-icn 11171 | . . . . . . . . 9 โข i โ โ | |
5 | 4 | mulm1i 11663 | . . . . . . . . 9 โข (-1 ยท i) = -i |
6 | 3, 4, 5 | mulcomli 11227 | . . . . . . . 8 โข (i ยท -1) = -i |
7 | 4 | mulridi 11222 | . . . . . . . 8 โข (i ยท 1) = i |
8 | ifeq12 4541 | . . . . . . . 8 โข (((i ยท -1) = -i โง (i ยท 1) = i) โ if((โโ๐ด) < 0, (i ยท -1), (i ยท 1)) = if((โโ๐ด) < 0, -i, i)) | |
9 | 6, 7, 8 | mp2an 689 | . . . . . . 7 โข if((โโ๐ด) < 0, (i ยท -1), (i ยท 1)) = if((โโ๐ด) < 0, -i, i) |
10 | 2, 9 | eqtr2i 2755 | . . . . . 6 โข if((โโ๐ด) < 0, -i, i) = (i ยท if((โโ๐ด) < 0, -1, 1)) |
11 | 10 | a1i 11 | . . . . 5 โข (๐ด โ โ โ if((โโ๐ด) < 0, -i, i) = (i ยท if((โโ๐ด) < 0, -1, 1))) |
12 | 11 | oveq1d 7420 | . . . 4 โข (๐ด โ โ โ (if((โโ๐ด) < 0, -i, i) ยท (โโ(((absโ๐ด) โ (โโ๐ด)) / 2))) = ((i ยท if((โโ๐ด) < 0, -1, 1)) ยท (โโ(((absโ๐ด) โ (โโ๐ด)) / 2)))) |
13 | 4 | a1i 11 | . . . . 5 โข (๐ด โ โ โ i โ โ) |
14 | neg1rr 12331 | . . . . . . . 8 โข -1 โ โ | |
15 | 1re 11218 | . . . . . . . 8 โข 1 โ โ | |
16 | 14, 15 | ifcli 4570 | . . . . . . 7 โข if((โโ๐ด) < 0, -1, 1) โ โ |
17 | 16 | a1i 11 | . . . . . 6 โข (๐ด โ โ โ if((โโ๐ด) < 0, -1, 1) โ โ) |
18 | 17 | recnd 11246 | . . . . 5 โข (๐ด โ โ โ if((โโ๐ด) < 0, -1, 1) โ โ) |
19 | sqrtcvallem3 42965 | . . . . . 6 โข (๐ด โ โ โ (โโ(((absโ๐ด) โ (โโ๐ด)) / 2)) โ โ) | |
20 | 19 | recnd 11246 | . . . . 5 โข (๐ด โ โ โ (โโ(((absโ๐ด) โ (โโ๐ด)) / 2)) โ โ) |
21 | 13, 18, 20 | mulassd 11241 | . . . 4 โข (๐ด โ โ โ ((i ยท if((โโ๐ด) < 0, -1, 1)) ยท (โโ(((absโ๐ด) โ (โโ๐ด)) / 2))) = (i ยท (if((โโ๐ด) < 0, -1, 1) ยท (โโ(((absโ๐ด) โ (โโ๐ด)) / 2))))) |
22 | 12, 21 | eqtrd 2766 | . . 3 โข (๐ด โ โ โ (if((โโ๐ด) < 0, -i, i) ยท (โโ(((absโ๐ด) โ (โโ๐ด)) / 2))) = (i ยท (if((โโ๐ด) < 0, -1, 1) ยท (โโ(((absโ๐ด) โ (โโ๐ด)) / 2))))) |
23 | 22 | oveq2d 7421 | . 2 โข (๐ด โ โ โ ((โโ(((absโ๐ด) + (โโ๐ด)) / 2)) + (if((โโ๐ด) < 0, -i, i) ยท (โโ(((absโ๐ด) โ (โโ๐ด)) / 2)))) = ((โโ(((absโ๐ด) + (โโ๐ด)) / 2)) + (i ยท (if((โโ๐ด) < 0, -1, 1) ยท (โโ(((absโ๐ด) โ (โโ๐ด)) / 2)))))) |
24 | 1, 23 | eqtr4d 2769 | 1 โข (๐ด โ โ โ (โโ๐ด) = ((โโ(((absโ๐ด) + (โโ๐ด)) / 2)) + (if((โโ๐ด) < 0, -i, i) ยท (โโ(((absโ๐ด) โ (โโ๐ด)) / 2))))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 = wceq 1533 โ wcel 2098 ifcif 4523 class class class wbr 5141 โcfv 6537 (class class class)co 7405 โcc 11110 โcr 11111 0cc0 11112 1c1 11113 ici 11114 + caddc 11115 ยท cmul 11117 < clt 11252 โ cmin 11448 -cneg 11449 / cdiv 11875 2c2 12271 โcre 15050 โcim 15051 โcsqrt 15186 abscabs 15187 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2697 ax-sep 5292 ax-nul 5299 ax-pow 5356 ax-pr 5420 ax-un 7722 ax-cnex 11168 ax-resscn 11169 ax-1cn 11170 ax-icn 11171 ax-addcl 11172 ax-addrcl 11173 ax-mulcl 11174 ax-mulrcl 11175 ax-mulcom 11176 ax-addass 11177 ax-mulass 11178 ax-distr 11179 ax-i2m1 11180 ax-1ne0 11181 ax-1rid 11182 ax-rnegex 11183 ax-rrecex 11184 ax-cnre 11185 ax-pre-lttri 11186 ax-pre-lttrn 11187 ax-pre-ltadd 11188 ax-pre-mulgt0 11189 ax-pre-sup 11190 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2704 df-cleq 2718 df-clel 2804 df-nfc 2879 df-ne 2935 df-nel 3041 df-ral 3056 df-rex 3065 df-rmo 3370 df-reu 3371 df-rab 3427 df-v 3470 df-sbc 3773 df-csb 3889 df-dif 3946 df-un 3948 df-in 3950 df-ss 3960 df-pss 3962 df-nul 4318 df-if 4524 df-pw 4599 df-sn 4624 df-pr 4626 df-op 4630 df-uni 4903 df-iun 4992 df-br 5142 df-opab 5204 df-mpt 5225 df-tr 5259 df-id 5567 df-eprel 5573 df-po 5581 df-so 5582 df-fr 5624 df-we 5626 df-xp 5675 df-rel 5676 df-cnv 5677 df-co 5678 df-dm 5679 df-rn 5680 df-res 5681 df-ima 5682 df-pred 6294 df-ord 6361 df-on 6362 df-lim 6363 df-suc 6364 df-iota 6489 df-fun 6539 df-fn 6540 df-f 6541 df-f1 6542 df-fo 6543 df-f1o 6544 df-fv 6545 df-riota 7361 df-ov 7408 df-oprab 7409 df-mpo 7410 df-om 7853 df-2nd 7975 df-frecs 8267 df-wrecs 8298 df-recs 8372 df-rdg 8411 df-er 8705 df-en 8942 df-dom 8943 df-sdom 8944 df-sup 9439 df-pnf 11254 df-mnf 11255 df-xr 11256 df-ltxr 11257 df-le 11258 df-sub 11450 df-neg 11451 df-div 11876 df-nn 12217 df-2 12279 df-3 12280 df-n0 12477 df-z 12563 df-uz 12827 df-rp 12981 df-seq 13973 df-exp 14033 df-cj 15052 df-re 15053 df-im 15054 df-sqrt 15188 df-abs 15189 |
This theorem is referenced by: (None) |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |