Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrndistlt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrndistlt 45741
Description: Given two points in the space of n-dimensional real numbers, if every component is closer than 𝐸 then the distance between the two points is less then ((βˆšβ€˜π‘›) Β· 𝐸). (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
rrndistlt.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ Fin)
rrndistlt.z (πœ‘ β†’ 𝐼 β‰  βˆ…)
rrndistlt.n 𝑁 = (β™―β€˜πΌ)
rrndistlt.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
rrndistlt.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
rrndistlt.l ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ (absβ€˜((π‘‹β€˜π‘–) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘–))) < 𝐸)
rrndistlt.e (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
rrndistlt.d 𝐷 = (distβ€˜(ℝ^β€˜πΌ))
Assertion
Ref Expression
rrndistlt (πœ‘ β†’ (π‘‹π·π‘Œ) < ((βˆšβ€˜π‘) Β· 𝐸))
Distinct variable groups:   𝑖,𝐸   𝑖,𝐼   𝑖,𝑋   𝑖,π‘Œ   πœ‘,𝑖
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑖)   𝑁(𝑖)

Proof of Theorem rrndistlt
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rrndistlt.i . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ Fin)
2 rrndistlt.z . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐼 β‰  βˆ…)
3 rrndistlt.x . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
4 elmapi 8866 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) β†’ 𝑋:πΌβŸΆβ„)
53, 4syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑋:πΌβŸΆβ„)
6 ax-resscn 11195 . . . . . . . . . . 11 ℝ βŠ† β„‚
76a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ℝ βŠ† β„‚)
85, 7fssd 6735 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑋:πΌβŸΆβ„‚)
98ffvelcdmda 7089 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ (π‘‹β€˜π‘–) ∈ β„‚)
10 rrndistlt.y . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
11 elmapi 8866 . . . . . . . . . . 11 (π‘Œ ∈ (ℝ ↑m 𝐼) β†’ π‘Œ:πΌβŸΆβ„)
1210, 11syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘Œ:πΌβŸΆβ„)
1312, 7fssd 6735 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘Œ:πΌβŸΆβ„‚)
1413ffvelcdmda 7089 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ (π‘Œβ€˜π‘–) ∈ β„‚)
159, 14subcld 11601 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ ((π‘‹β€˜π‘–) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘–)) ∈ β„‚)
1615abscld 15415 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ (absβ€˜((π‘‹β€˜π‘–) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘–))) ∈ ℝ)
1716resqcld 14121 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ ((absβ€˜((π‘‹β€˜π‘–) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘–)))↑2) ∈ ℝ)
18 rrndistlt.e . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
1918rpred 13048 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ)
2019resqcld 14121 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐸↑2) ∈ ℝ)
2120adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ (𝐸↑2) ∈ ℝ)
22 rrndistlt.l . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ (absβ€˜((π‘‹β€˜π‘–) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘–))) < 𝐸)
2315absge0d 15423 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ 0 ≀ (absβ€˜((π‘‹β€˜π‘–) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘–))))
2419adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ 𝐸 ∈ ℝ)
2518adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
2625rpge0d 13052 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ 0 ≀ 𝐸)
27 lt2sq 14129 . . . . . . 7 ((((absβ€˜((π‘‹β€˜π‘–) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘–))) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (absβ€˜((π‘‹β€˜π‘–) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘–)))) ∧ (𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐸)) β†’ ((absβ€˜((π‘‹β€˜π‘–) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘–))) < 𝐸 ↔ ((absβ€˜((π‘‹β€˜π‘–) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘–)))↑2) < (𝐸↑2)))
2816, 23, 24, 26, 27syl22anc 837 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ ((absβ€˜((π‘‹β€˜π‘–) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘–))) < 𝐸 ↔ ((absβ€˜((π‘‹β€˜π‘–) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘–)))↑2) < (𝐸↑2)))
2922, 28mpbid 231 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ ((absβ€˜((π‘‹β€˜π‘–) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘–)))↑2) < (𝐸↑2))
301, 2, 17, 21, 29fsumlt 15778 . . . 4 (πœ‘ β†’ Σ𝑖 ∈ 𝐼 ((absβ€˜((π‘‹β€˜π‘–) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘–)))↑2) < Σ𝑖 ∈ 𝐼 (𝐸↑2))
315ffvelcdmda 7089 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ (π‘‹β€˜π‘–) ∈ ℝ)
3212ffvelcdmda 7089 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ (π‘Œβ€˜π‘–) ∈ ℝ)
3331, 32resubcld 11672 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ ((π‘‹β€˜π‘–) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘–)) ∈ ℝ)
34 absresq 15281 . . . . . . . 8 (((π‘‹β€˜π‘–) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘–)) ∈ ℝ β†’ ((absβ€˜((π‘‹β€˜π‘–) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘–)))↑2) = (((π‘‹β€˜π‘–) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘–))↑2))
3533, 34syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ ((absβ€˜((π‘‹β€˜π‘–) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘–)))↑2) = (((π‘‹β€˜π‘–) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘–))↑2))
3635eqcomd 2731 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ (((π‘‹β€˜π‘–) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘–))↑2) = ((absβ€˜((π‘‹β€˜π‘–) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘–)))↑2))
3736sumeq2dv 15681 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Σ𝑖 ∈ 𝐼 (((π‘‹β€˜π‘–) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘–))↑2) = Σ𝑖 ∈ 𝐼 ((absβ€˜((π‘‹β€˜π‘–) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘–)))↑2))
386, 20sselid 3970 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐸↑2) ∈ β„‚)
39 fsumconst 15768 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝐸↑2) ∈ β„‚) β†’ Σ𝑖 ∈ 𝐼 (𝐸↑2) = ((β™―β€˜πΌ) Β· (𝐸↑2)))
401, 38, 39syl2anc 582 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Σ𝑖 ∈ 𝐼 (𝐸↑2) = ((β™―β€˜πΌ) Β· (𝐸↑2)))
41 rrndistlt.n . . . . . . . . 9 𝑁 = (β™―β€˜πΌ)
42 eqcom 2732 . . . . . . . . 9 (𝑁 = (β™―β€˜πΌ) ↔ (β™―β€˜πΌ) = 𝑁)
4341, 42mpbi 229 . . . . . . . 8 (β™―β€˜πΌ) = 𝑁
4443oveq1i 7426 . . . . . . 7 ((β™―β€˜πΌ) Β· (𝐸↑2)) = (𝑁 Β· (𝐸↑2))
4544a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜πΌ) Β· (𝐸↑2)) = (𝑁 Β· (𝐸↑2)))
4640, 45eqtr2d 2766 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑁 Β· (𝐸↑2)) = Σ𝑖 ∈ 𝐼 (𝐸↑2))
4737, 46breq12d 5156 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Σ𝑖 ∈ 𝐼 (((π‘‹β€˜π‘–) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘–))↑2) < (𝑁 Β· (𝐸↑2)) ↔ Σ𝑖 ∈ 𝐼 ((absβ€˜((π‘‹β€˜π‘–) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘–)))↑2) < Σ𝑖 ∈ 𝐼 (𝐸↑2)))
4830, 47mpbird 256 . . 3 (πœ‘ β†’ Σ𝑖 ∈ 𝐼 (((π‘‹β€˜π‘–) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘–))↑2) < (𝑁 Β· (𝐸↑2)))
49 nfv 1909 . . . . 5 β„²π‘–πœ‘
5033resqcld 14121 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ (((π‘‹β€˜π‘–) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘–))↑2) ∈ ℝ)
5149, 1, 50fsumreclf 45027 . . . 4 (πœ‘ β†’ Σ𝑖 ∈ 𝐼 (((π‘‹β€˜π‘–) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘–))↑2) ∈ ℝ)
5233sqge0d 14133 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ 0 ≀ (((π‘‹β€˜π‘–) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘–))↑2))
531, 50, 52fsumge0 15773 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ≀ Σ𝑖 ∈ 𝐼 (((π‘‹β€˜π‘–) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘–))↑2))
54 hashcl 14347 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ Fin β†’ (β™―β€˜πΌ) ∈ β„•0)
551, 54syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜πΌ) ∈ β„•0)
5641, 55eqeltrid 2829 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
5756nn0red 12563 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
5857, 20remulcld 11274 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑁 Β· (𝐸↑2)) ∈ ℝ)
5956nn0ge0d 12565 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝑁)
6019sqge0d 14133 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (𝐸↑2))
6157, 20, 59, 60mulge0d 11821 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (𝑁 Β· (𝐸↑2)))
6251, 53, 58, 61sqrtltd 15406 . . 3 (πœ‘ β†’ (Σ𝑖 ∈ 𝐼 (((π‘‹β€˜π‘–) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘–))↑2) < (𝑁 Β· (𝐸↑2)) ↔ (βˆšβ€˜Ξ£π‘– ∈ 𝐼 (((π‘‹β€˜π‘–) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘–))↑2)) < (βˆšβ€˜(𝑁 Β· (𝐸↑2)))))
6348, 62mpbid 231 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆšβ€˜Ξ£π‘– ∈ 𝐼 (((π‘‹β€˜π‘–) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘–))↑2)) < (βˆšβ€˜(𝑁 Β· (𝐸↑2))))
64 rrndistlt.d . . . . . 6 𝐷 = (distβ€˜(ℝ^β€˜πΌ))
6564a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐷 = (distβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)))
66 eqid 2725 . . . . . . 7 (ℝ^β€˜πΌ) = (ℝ^β€˜πΌ)
67 eqid 2725 . . . . . . 7 (ℝ ↑m 𝐼) = (ℝ ↑m 𝐼)
6866, 67rrxdsfi 25357 . . . . . 6 (𝐼 ∈ Fin β†’ (distβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)) = (𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↦ (βˆšβ€˜Ξ£π‘– ∈ 𝐼 (((π‘“β€˜π‘–) βˆ’ (π‘”β€˜π‘–))↑2))))
691, 68syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (distβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)) = (𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↦ (βˆšβ€˜Ξ£π‘– ∈ 𝐼 (((π‘“β€˜π‘–) βˆ’ (π‘”β€˜π‘–))↑2))))
7065, 69eqtrd 2765 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷 = (𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↦ (βˆšβ€˜Ξ£π‘– ∈ 𝐼 (((π‘“β€˜π‘–) βˆ’ (π‘”β€˜π‘–))↑2))))
71 fveq1 6891 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = 𝑋 β†’ (π‘“β€˜π‘–) = (π‘‹β€˜π‘–))
7271adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝑓 = 𝑋 ∧ 𝑔 = π‘Œ) β†’ (π‘“β€˜π‘–) = (π‘‹β€˜π‘–))
73 fveq1 6891 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = π‘Œ β†’ (π‘”β€˜π‘–) = (π‘Œβ€˜π‘–))
7473adantl 480 . . . . . . . . 9 ((𝑓 = 𝑋 ∧ 𝑔 = π‘Œ) β†’ (π‘”β€˜π‘–) = (π‘Œβ€˜π‘–))
7572, 74oveq12d 7434 . . . . . . . 8 ((𝑓 = 𝑋 ∧ 𝑔 = π‘Œ) β†’ ((π‘“β€˜π‘–) βˆ’ (π‘”β€˜π‘–)) = ((π‘‹β€˜π‘–) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘–)))
7675oveq1d 7431 . . . . . . 7 ((𝑓 = 𝑋 ∧ 𝑔 = π‘Œ) β†’ (((π‘“β€˜π‘–) βˆ’ (π‘”β€˜π‘–))↑2) = (((π‘‹β€˜π‘–) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘–))↑2))
7776sumeq2sdv 15682 . . . . . 6 ((𝑓 = 𝑋 ∧ 𝑔 = π‘Œ) β†’ Σ𝑖 ∈ 𝐼 (((π‘“β€˜π‘–) βˆ’ (π‘”β€˜π‘–))↑2) = Σ𝑖 ∈ 𝐼 (((π‘‹β€˜π‘–) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘–))↑2))
7877fveq2d 6896 . . . . 5 ((𝑓 = 𝑋 ∧ 𝑔 = π‘Œ) β†’ (βˆšβ€˜Ξ£π‘– ∈ 𝐼 (((π‘“β€˜π‘–) βˆ’ (π‘”β€˜π‘–))↑2)) = (βˆšβ€˜Ξ£π‘– ∈ 𝐼 (((π‘‹β€˜π‘–) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘–))↑2)))
7978adantl 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑓 = 𝑋 ∧ 𝑔 = π‘Œ)) β†’ (βˆšβ€˜Ξ£π‘– ∈ 𝐼 (((π‘“β€˜π‘–) βˆ’ (π‘”β€˜π‘–))↑2)) = (βˆšβ€˜Ξ£π‘– ∈ 𝐼 (((π‘‹β€˜π‘–) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘–))↑2)))
8051, 53resqrtcld 15396 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆšβ€˜Ξ£π‘– ∈ 𝐼 (((π‘‹β€˜π‘–) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘–))↑2)) ∈ ℝ)
8170, 79, 3, 10, 80ovmpod 7570 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘‹π·π‘Œ) = (βˆšβ€˜Ξ£π‘– ∈ 𝐼 (((π‘‹β€˜π‘–) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘–))↑2)))
82 sqrtmul 15238 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑁) ∧ ((𝐸↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝐸↑2))) β†’ (βˆšβ€˜(𝑁 Β· (𝐸↑2))) = ((βˆšβ€˜π‘) Β· (βˆšβ€˜(𝐸↑2))))
8357, 59, 20, 60, 82syl22anc 837 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆšβ€˜(𝑁 Β· (𝐸↑2))) = ((βˆšβ€˜π‘) Β· (βˆšβ€˜(𝐸↑2))))
8418rpge0d 13052 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝐸)
8519, 84sqrtsqd 15398 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆšβ€˜(𝐸↑2)) = 𝐸)
8685oveq2d 7432 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((βˆšβ€˜π‘) Β· (βˆšβ€˜(𝐸↑2))) = ((βˆšβ€˜π‘) Β· 𝐸))
8783, 86eqtr2d 2766 . . 3 (πœ‘ β†’ ((βˆšβ€˜π‘) Β· 𝐸) = (βˆšβ€˜(𝑁 Β· (𝐸↑2))))
8881, 87breq12d 5156 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘‹π·π‘Œ) < ((βˆšβ€˜π‘) Β· 𝐸) ↔ (βˆšβ€˜Ξ£π‘– ∈ 𝐼 (((π‘‹β€˜π‘–) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘–))↑2)) < (βˆšβ€˜(𝑁 Β· (𝐸↑2)))))
8963, 88mpbird 256 1 (πœ‘ β†’ (π‘‹π·π‘Œ) < ((βˆšβ€˜π‘) Β· 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930   βŠ† wss 3939  βˆ…c0 4318   class class class wbr 5143  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416   ∈ cmpo 7418   ↑m cmap 8843  Fincfn 8962  β„‚cc 11136  β„cr 11137  0cc0 11138   Β· cmul 11143   < clt 11278   ≀ cle 11279   βˆ’ cmin 11474  2c2 12297  β„•0cn0 12502  β„+crp 13006  β†‘cexp 14058  β™―chash 14321  βˆšcsqrt 15212  abscabs 15213  Ξ£csu 15664  distcds 17241  β„^crrx 25329
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-inf2 9664  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216  ax-addf 11217  ax-mulf 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-supp 8164  df-tpos 8230  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8845  df-ixp 8915  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-fsupp 9386  df-sup 9465  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-rp 13007  df-ico 13362  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-seq 13999  df-exp 14059  df-hash 14322  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-clim 15464  df-sum 15665  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-starv 17247  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-unif 17255  df-hom 17256  df-cco 17257  df-0g 17422  df-gsum 17423  df-prds 17428  df-pws 17430  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18739  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-sbg 18899  df-subg 19082  df-ghm 19172  df-cntz 19272  df-cmn 19741  df-abl 19742  df-mgp 20079  df-rng 20097  df-ur 20126  df-ring 20179  df-cring 20180  df-oppr 20277  df-dvdsr 20300  df-unit 20301  df-invr 20331  df-dvr 20344  df-rhm 20415  df-subrng 20487  df-subrg 20512  df-drng 20630  df-field 20631  df-staf 20729  df-srng 20730  df-lmod 20749  df-lss 20820  df-sra 21062  df-rgmod 21063  df-cnfld 21284  df-refld 21541  df-dsmm 21670  df-frlm 21685  df-nm 24509  df-tng 24511  df-tcph 25115  df-rrx 25331
This theorem is referenced by:  qndenserrnbllem  45745
  Copyright terms: Public domain W3C validator