Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrndistlt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrndistlt 40989
Description: Given two points in the space of n-dimensional real numbers, if every component is closer than 𝐸 then the distance between the two points is less then ((√‘𝑛) · 𝐸) (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
rrndistlt.i (𝜑𝐼 ∈ Fin)
rrndistlt.z (𝜑𝐼 ≠ ∅)
rrndistlt.n 𝑁 = (♯‘𝐼)
rrndistlt.x (𝜑𝑋 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼))
rrndistlt.y (𝜑𝑌 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼))
rrndistlt.l ((𝜑𝑖𝐼) → (abs‘((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖))) < 𝐸)
rrndistlt.e (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
rrndistlt.d 𝐷 = (dist‘(ℝ^‘𝐼))
Assertion
Ref Expression
rrndistlt (𝜑 → (𝑋𝐷𝑌) < ((√‘𝑁) · 𝐸))
Distinct variable groups:   𝑖,𝐸   𝑖,𝐼   𝑖,𝑋   𝑖,𝑌   𝜑,𝑖
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑖)   𝑁(𝑖)

Proof of Theorem rrndistlt
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rrndistlt.i . . . . 5 (𝜑𝐼 ∈ Fin)
2 rrndistlt.z . . . . 5 (𝜑𝐼 ≠ ∅)
3 rrndistlt.x . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼))
4 elmapi 8114 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) → 𝑋:𝐼⟶ℝ)
53, 4syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋:𝐼⟶ℝ)
6 ax-resscn 10278 . . . . . . . . . . 11 ℝ ⊆ ℂ
76a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
85, 7fssd 6270 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋:𝐼⟶ℂ)
98ffvelrnda 6581 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖𝐼) → (𝑋𝑖) ∈ ℂ)
10 rrndistlt.y . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑌 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼))
11 elmapi 8114 . . . . . . . . . . 11 (𝑌 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) → 𝑌:𝐼⟶ℝ)
1210, 11syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌:𝐼⟶ℝ)
1312, 7fssd 6270 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌:𝐼⟶ℂ)
1413ffvelrnda 6581 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖𝐼) → (𝑌𝑖) ∈ ℂ)
159, 14subcld 10677 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝐼) → ((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖)) ∈ ℂ)
1615abscld 14398 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝐼) → (abs‘((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖))) ∈ ℝ)
1716resqcld 13258 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝐼) → ((abs‘((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖)))↑2) ∈ ℝ)
18 rrndistlt.e . . . . . . . 8 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
1918rpred 12086 . . . . . . 7 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
2019resqcld 13258 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℝ)
2120adantr 468 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝐼) → (𝐸↑2) ∈ ℝ)
22 rrndistlt.l . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝐼) → (abs‘((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖))) < 𝐸)
2315absge0d 14406 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝐼) → 0 ≤ (abs‘((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖))))
2419adantr 468 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝐼) → 𝐸 ∈ ℝ)
2518adantr 468 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖𝐼) → 𝐸 ∈ ℝ+)
2625rpge0d 12090 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝐼) → 0 ≤ 𝐸)
27 lt2sq 13160 . . . . . . 7 ((((abs‘((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖)))) ∧ (𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐸)) → ((abs‘((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖))) < 𝐸 ↔ ((abs‘((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖)))↑2) < (𝐸↑2)))
2816, 23, 24, 26, 27syl22anc 858 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝐼) → ((abs‘((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖))) < 𝐸 ↔ ((abs‘((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖)))↑2) < (𝐸↑2)))
2922, 28mpbid 223 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝐼) → ((abs‘((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖)))↑2) < (𝐸↑2))
301, 2, 17, 21, 29fsumlt 14754 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑖𝐼 ((abs‘((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖)))↑2) < Σ𝑖𝐼 (𝐸↑2))
315ffvelrnda 6581 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖𝐼) → (𝑋𝑖) ∈ ℝ)
3212ffvelrnda 6581 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖𝐼) → (𝑌𝑖) ∈ ℝ)
3331, 32resubcld 10743 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖𝐼) → ((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖)) ∈ ℝ)
34 absresq 14265 . . . . . . . 8 (((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖)) ∈ ℝ → ((abs‘((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖)))↑2) = (((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖))↑2))
3533, 34syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝐼) → ((abs‘((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖)))↑2) = (((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖))↑2))
3635eqcomd 2812 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝐼) → (((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖))↑2) = ((abs‘((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖)))↑2))
3736sumeq2dv 14656 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑖𝐼 (((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖))↑2) = Σ𝑖𝐼 ((abs‘((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖)))↑2))
386, 20sseldi 3796 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℂ)
39 fsumconst 14744 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝐸↑2) ∈ ℂ) → Σ𝑖𝐼 (𝐸↑2) = ((♯‘𝐼) · (𝐸↑2)))
401, 38, 39syl2anc 575 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑖𝐼 (𝐸↑2) = ((♯‘𝐼) · (𝐸↑2)))
41 rrndistlt.n . . . . . . . . 9 𝑁 = (♯‘𝐼)
42 eqcom 2813 . . . . . . . . 9 (𝑁 = (♯‘𝐼) ↔ (♯‘𝐼) = 𝑁)
4341, 42mpbi 221 . . . . . . . 8 (♯‘𝐼) = 𝑁
4443oveq1i 6884 . . . . . . 7 ((♯‘𝐼) · (𝐸↑2)) = (𝑁 · (𝐸↑2))
4544a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ((♯‘𝐼) · (𝐸↑2)) = (𝑁 · (𝐸↑2)))
4640, 45eqtr2d 2841 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁 · (𝐸↑2)) = Σ𝑖𝐼 (𝐸↑2))
4737, 46breq12d 4857 . . . 4 (𝜑 → (Σ𝑖𝐼 (((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖))↑2) < (𝑁 · (𝐸↑2)) ↔ Σ𝑖𝐼 ((abs‘((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖)))↑2) < Σ𝑖𝐼 (𝐸↑2)))
4830, 47mpbird 248 . . 3 (𝜑 → Σ𝑖𝐼 (((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖))↑2) < (𝑁 · (𝐸↑2)))
49 nfv 2005 . . . . 5 𝑖𝜑
5033resqcld 13258 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝐼) → (((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖))↑2) ∈ ℝ)
5149, 1, 50fsumreclf 40288 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑖𝐼 (((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖))↑2) ∈ ℝ)
5233sqge0d 13259 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝐼) → 0 ≤ (((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖))↑2))
531, 50, 52fsumge0 14749 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑖𝐼 (((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖))↑2))
54 hashcl 13365 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ Fin → (♯‘𝐼) ∈ ℕ0)
551, 54syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘𝐼) ∈ ℕ0)
5641, 55syl5eqel 2889 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
5756nn0red 11618 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
5857, 20remulcld 10355 . . . 4 (𝜑 → (𝑁 · (𝐸↑2)) ∈ ℝ)
5956nn0ge0d 11620 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ 𝑁)
6019sqge0d 13259 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ (𝐸↑2))
6157, 20, 59, 60mulge0d 10889 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ (𝑁 · (𝐸↑2)))
6251, 53, 58, 61sqrtltd 14389 . . 3 (𝜑 → (Σ𝑖𝐼 (((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖))↑2) < (𝑁 · (𝐸↑2)) ↔ (√‘Σ𝑖𝐼 (((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖))↑2)) < (√‘(𝑁 · (𝐸↑2)))))
6348, 62mpbid 223 . 2 (𝜑 → (√‘Σ𝑖𝐼 (((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖))↑2)) < (√‘(𝑁 · (𝐸↑2))))
64 rrndistlt.d . . . . . 6 𝐷 = (dist‘(ℝ^‘𝐼))
6564a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝐷 = (dist‘(ℝ^‘𝐼)))
66 eqid 2806 . . . . . . 7 (ℝ^‘𝐼) = (ℝ^‘𝐼)
67 eqid 2806 . . . . . . 7 (ℝ ↑𝑚 𝐼) = (ℝ ↑𝑚 𝐼)
6866, 67rrxdsfi 40984 . . . . . 6 (𝐼 ∈ Fin → (dist‘(ℝ^‘𝐼)) = (𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ↦ (√‘Σ𝑖𝐼 (((𝑓𝑖) − (𝑔𝑖))↑2))))
691, 68syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (dist‘(ℝ^‘𝐼)) = (𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ↦ (√‘Σ𝑖𝐼 (((𝑓𝑖) − (𝑔𝑖))↑2))))
7065, 69eqtrd 2840 . . . 4 (𝜑𝐷 = (𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ↦ (√‘Σ𝑖𝐼 (((𝑓𝑖) − (𝑔𝑖))↑2))))
71 fveq1 6407 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = 𝑋 → (𝑓𝑖) = (𝑋𝑖))
7271adantr 468 . . . . . . . . 9 ((𝑓 = 𝑋𝑔 = 𝑌) → (𝑓𝑖) = (𝑋𝑖))
73 fveq1 6407 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = 𝑌 → (𝑔𝑖) = (𝑌𝑖))
7473adantl 469 . . . . . . . . 9 ((𝑓 = 𝑋𝑔 = 𝑌) → (𝑔𝑖) = (𝑌𝑖))
7572, 74oveq12d 6892 . . . . . . . 8 ((𝑓 = 𝑋𝑔 = 𝑌) → ((𝑓𝑖) − (𝑔𝑖)) = ((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖)))
7675oveq1d 6889 . . . . . . 7 ((𝑓 = 𝑋𝑔 = 𝑌) → (((𝑓𝑖) − (𝑔𝑖))↑2) = (((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖))↑2))
7776sumeq2ad 14657 . . . . . 6 ((𝑓 = 𝑋𝑔 = 𝑌) → Σ𝑖𝐼 (((𝑓𝑖) − (𝑔𝑖))↑2) = Σ𝑖𝐼 (((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖))↑2))
7877fveq2d 6412 . . . . 5 ((𝑓 = 𝑋𝑔 = 𝑌) → (√‘Σ𝑖𝐼 (((𝑓𝑖) − (𝑔𝑖))↑2)) = (√‘Σ𝑖𝐼 (((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖))↑2)))
7978adantl 469 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑓 = 𝑋𝑔 = 𝑌)) → (√‘Σ𝑖𝐼 (((𝑓𝑖) − (𝑔𝑖))↑2)) = (√‘Σ𝑖𝐼 (((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖))↑2)))
8051, 53resqrtcld 14379 . . . 4 (𝜑 → (√‘Σ𝑖𝐼 (((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖))↑2)) ∈ ℝ)
8170, 79, 3, 10, 80ovmpt2d 7018 . . 3 (𝜑 → (𝑋𝐷𝑌) = (√‘Σ𝑖𝐼 (((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖))↑2)))
82 sqrtmul 14223 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁) ∧ ((𝐸↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐸↑2))) → (√‘(𝑁 · (𝐸↑2))) = ((√‘𝑁) · (√‘(𝐸↑2))))
8357, 59, 20, 60, 82syl22anc 858 . . . 4 (𝜑 → (√‘(𝑁 · (𝐸↑2))) = ((√‘𝑁) · (√‘(𝐸↑2))))
8418rpge0d 12090 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ 𝐸)
8519, 84sqrtsqd 14381 . . . . 5 (𝜑 → (√‘(𝐸↑2)) = 𝐸)
8685oveq2d 6890 . . . 4 (𝜑 → ((√‘𝑁) · (√‘(𝐸↑2))) = ((√‘𝑁) · 𝐸))
8783, 86eqtr2d 2841 . . 3 (𝜑 → ((√‘𝑁) · 𝐸) = (√‘(𝑁 · (𝐸↑2))))
8881, 87breq12d 4857 . 2 (𝜑 → ((𝑋𝐷𝑌) < ((√‘𝑁) · 𝐸) ↔ (√‘Σ𝑖𝐼 (((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖))↑2)) < (√‘(𝑁 · (𝐸↑2)))))
8963, 88mpbird 248 1 (𝜑 → (𝑋𝐷𝑌) < ((√‘𝑁) · 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1637  wcel 2156  wne 2978  wss 3769  c0 4116   class class class wbr 4844  wf 6097  cfv 6101  (class class class)co 6874  cmpt2 6876  𝑚 cmap 8092  Fincfn 8192  cc 10219  cr 10220  0cc0 10221   · cmul 10226   < clt 10359  cle 10360  cmin 10551  2c2 11356  0cn0 11559  +crp 12046  cexp 13083  chash 13337  csqrt 14196  abscabs 14197  Σcsu 14639  distcds 16162  ℝ^crrx 23383
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7179  ax-inf2 8785  ax-cnex 10277  ax-resscn 10278  ax-1cn 10279  ax-icn 10280  ax-addcl 10281  ax-addrcl 10282  ax-mulcl 10283  ax-mulrcl 10284  ax-mulcom 10285  ax-addass 10286  ax-mulass 10287  ax-distr 10288  ax-i2m1 10289  ax-1ne0 10290  ax-1rid 10291  ax-rnegex 10292  ax-rrecex 10293  ax-cnre 10294  ax-pre-lttri 10295  ax-pre-lttrn 10296  ax-pre-ltadd 10297  ax-pre-mulgt0 10298  ax-pre-sup 10299  ax-addf 10300  ax-mulf 10301
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-fal 1651  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-nel 3082  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rmo 3104  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-tp 4375  df-op 4377  df-uni 4631  df-int 4670  df-iun 4714  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-se 5271  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5893  df-ord 5939  df-on 5940  df-lim 5941  df-suc 5942  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-isom 6110  df-riota 6835  df-ov 6877  df-oprab 6878  df-mpt2 6879  df-of 7127  df-om 7296  df-1st 7398  df-2nd 7399  df-supp 7530  df-tpos 7587  df-wrecs 7642  df-recs 7704  df-rdg 7742  df-1o 7796  df-oadd 7800  df-er 7979  df-map 8094  df-ixp 8146  df-en 8193  df-dom 8194  df-sdom 8195  df-fin 8196  df-fsupp 8515  df-sup 8587  df-oi 8654  df-card 9048  df-pnf 10361  df-mnf 10362  df-xr 10363  df-ltxr 10364  df-le 10365  df-sub 10553  df-neg 10554  df-div 10970  df-nn 11306  df-2 11364  df-3 11365  df-4 11366  df-5 11367  df-6 11368  df-7 11369  df-8 11370  df-9 11371  df-n0 11560  df-z 11644  df-dec 11760  df-uz 11905  df-rp 12047  df-ico 12399  df-fz 12550  df-fzo 12690  df-seq 13025  df-exp 13084  df-hash 13338  df-cj 14062  df-re 14063  df-im 14064  df-sqrt 14198  df-abs 14199  df-clim 14442  df-sum 14640  df-struct 16070  df-ndx 16071  df-slot 16072  df-base 16074  df-sets 16075  df-ress 16076  df-plusg 16166  df-mulr 16167  df-starv 16168  df-sca 16169  df-vsca 16170  df-ip 16171  df-tset 16172  df-ple 16173  df-ds 16175  df-unif 16176  df-hom 16177  df-cco 16178  df-0g 16307  df-gsum 16308  df-prds 16313  df-pws 16315  df-mgm 17447  df-sgrp 17489  df-mnd 17500  df-mhm 17540  df-grp 17630  df-minusg 17631  df-sbg 17632  df-subg 17793  df-ghm 17860  df-cntz 17951  df-cmn 18396  df-abl 18397  df-mgp 18692  df-ur 18704  df-ring 18751  df-cring 18752  df-oppr 18825  df-dvdsr 18843  df-unit 18844  df-invr 18874  df-dvr 18885  df-rnghom 18919  df-drng 18953  df-field 18954  df-subrg 18982  df-staf 19049  df-srng 19050  df-lmod 19069  df-lss 19137  df-sra 19381  df-rgmod 19382  df-cnfld 19955  df-refld 20160  df-dsmm 20286  df-frlm 20301  df-nm 22600  df-tng 22602  df-tch 23181  df-rrx 23385
This theorem is referenced by:  qndenserrnbllem  40993
  Copyright terms: Public domain W3C validator