Theorem rrndistlt 46282

Description: Given two points in the space of n-dimensional real numbers, if every component is closer than 𝐸 then the distance between the two points is less than ((√‘𝑛) · 𝐸). (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrndistlt.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
rrndistlt.z	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≠ ∅)
rrndistlt.n	⊢ 𝑁 = (♯‘𝐼)
rrndistlt.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
rrndistlt.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
rrndistlt.l	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (abs‘((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))) < 𝐸)
rrndistlt.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
rrndistlt.d	⊢ 𝐷 = (dist‘(ℝ^‘𝐼))

Assertion

Ref	Expression
rrndistlt	⊢ (𝜑 → (𝑋𝐷𝑌) < ((√‘𝑁) · 𝐸))

Distinct variable groups:   𝑖,𝐸   𝑖,𝐼   𝑖,𝑋   𝑖,𝑌   𝜑,𝑖

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑖)   𝑁(𝑖)

Proof of Theorem rrndistlt

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rrndistlt.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
2		rrndistlt.z	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≠ ∅)
3		rrndistlt.x	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
4		elmapi 8799	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) → 𝑋:𝐼⟶ℝ)
5	3, 4	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋:𝐼⟶ℝ)
6		ax-resscn 11103	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
7	6	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
8	5, 7	fssd 6687	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋:𝐼⟶ℂ)
9	8	ffvelcdmda 7038	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (𝑋‘𝑖) ∈ ℂ)
10		rrndistlt.y	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
11		elmapi 8799	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑌 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) → 𝑌:𝐼⟶ℝ)
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑌:𝐼⟶ℝ)
13	12, 7	fssd 6687	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌:𝐼⟶ℂ)
14	13	ffvelcdmda 7038	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (𝑌‘𝑖) ∈ ℂ)
15	9, 14	subcld 11511	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → ((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖)) ∈ ℂ)
16	15	abscld 15382	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (abs‘((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))) ∈ ℝ)
17	16	resqcld 14068	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → ((abs‘((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖)))↑2) ∈ ℝ)
18		rrndistlt.e	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
19	18	rpred 12973	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
20	19	resqcld 14068	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℝ)
21	20	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (𝐸↑2) ∈ ℝ)
22		rrndistlt.l	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (abs‘((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))) < 𝐸)
23	15	absge0d 15390	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → 0 ≤ (abs‘((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))))
24	19	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → 𝐸 ∈ ℝ)
25	18	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → 𝐸 ∈ ℝ+)
26	25	rpge0d 12977	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → 0 ≤ 𝐸)
27		lt2sq 14076	. . . . . . 7 ⊢ ((((abs‘((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖)))) ∧ (𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐸)) → ((abs‘((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))) < 𝐸 ↔ ((abs‘((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖)))↑2) < (𝐸↑2)))
28	16, 23, 24, 26, 27	syl22anc 838	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → ((abs‘((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))) < 𝐸 ↔ ((abs‘((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖)))↑2) < (𝐸↑2)))
29	22, 28	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → ((abs‘((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖)))↑2) < (𝐸↑2))
30	1, 2, 17, 21, 29	fsumlt 15743	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ 𝐼 ((abs‘((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖)))↑2) < Σ𝑖 ∈ 𝐼 (𝐸↑2))
31	5	ffvelcdmda 7038	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (𝑋‘𝑖) ∈ ℝ)
32	12	ffvelcdmda 7038	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (𝑌‘𝑖) ∈ ℝ)
33	31, 32	resubcld 11584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → ((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖)) ∈ ℝ)
34		absresq 15245	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖)) ∈ ℝ → ((abs‘((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖)))↑2) = (((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))↑2))
35	33, 34	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → ((abs‘((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖)))↑2) = (((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))↑2))
36	35	eqcomd 2735	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))↑2) = ((abs‘((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖)))↑2))
37	36	sumeq2dv 15645	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ 𝐼 (((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ 𝐼 ((abs‘((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖)))↑2))
38	6, 20	sselid 3941	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℂ)
39		fsumconst 15733	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝐸↑2) ∈ ℂ) → Σ𝑖 ∈ 𝐼 (𝐸↑2) = ((♯‘𝐼) · (𝐸↑2)))
40	1, 38, 39	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ 𝐼 (𝐸↑2) = ((♯‘𝐼) · (𝐸↑2)))
41		rrndistlt.n	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 = (♯‘𝐼)
42		eqcom 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = (♯‘𝐼) ↔ (♯‘𝐼) = 𝑁)
43	41, 42	mpbi 230	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘𝐼) = 𝑁
44	43	oveq1i 7379	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝐼) · (𝐸↑2)) = (𝑁 · (𝐸↑2))
45	44	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐼) · (𝐸↑2)) = (𝑁 · (𝐸↑2)))
46	40, 45	eqtr2d 2765	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · (𝐸↑2)) = Σ𝑖 ∈ 𝐼 (𝐸↑2))
47	37, 46	breq12d 5115	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ 𝐼 (((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))↑2) < (𝑁 · (𝐸↑2)) ↔ Σ𝑖 ∈ 𝐼 ((abs‘((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖)))↑2) < Σ𝑖 ∈ 𝐼 (𝐸↑2)))
48	30, 47	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ 𝐼 (((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))↑2) < (𝑁 · (𝐸↑2)))
49		nfv 1914	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑖𝜑
50	33	resqcld 14068	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))↑2) ∈ ℝ)
51	49, 1, 50	fsumreclf 45568	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ 𝐼 (((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))↑2) ∈ ℝ)
52	33	sqge0d 14080	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → 0 ≤ (((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))↑2))
53	1, 50, 52	fsumge0 15738	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑖 ∈ 𝐼 (((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))↑2))
54		hashcl 14299	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (♯‘𝐼) ∈ ℕ0)
55	1, 54	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐼) ∈ ℕ0)
56	41, 55	eqeltrid 2832	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
57	56	nn0red 12482	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
58	57, 20	remulcld 11182	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · (𝐸↑2)) ∈ ℝ)
59	56	nn0ge0d 12484	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑁)
60	19	sqge0d 14080	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐸↑2))
61	57, 20, 59, 60	mulge0d 11733	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑁 · (𝐸↑2)))
62	51, 53, 58, 61	sqrtltd 15371	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ 𝐼 (((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))↑2) < (𝑁 · (𝐸↑2)) ↔ (√‘Σ𝑖 ∈ 𝐼 (((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))↑2)) < (√‘(𝑁 · (𝐸↑2)))))
63	48, 62	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → (√‘Σ𝑖 ∈ 𝐼 (((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))↑2)) < (√‘(𝑁 · (𝐸↑2))))
64		rrndistlt.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (dist‘(ℝ^‘𝐼))
65	64	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = (dist‘(ℝ^‘𝐼)))
66		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ^‘𝐼) = (ℝ^‘𝐼)
67		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ ↑m 𝐼) = (ℝ ↑m 𝐼)
68	66, 67	rrxdsfi 25345	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (dist‘(ℝ^‘𝐼)) = (𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↦ (√‘Σ𝑖 ∈ 𝐼 (((𝑓‘𝑖) − (𝑔‘𝑖))↑2))))
69	1, 68	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (dist‘(ℝ^‘𝐼)) = (𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↦ (√‘Σ𝑖 ∈ 𝐼 (((𝑓‘𝑖) − (𝑔‘𝑖))↑2))))
70	65, 69	eqtrd 2764	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = (𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↦ (√‘Σ𝑖 ∈ 𝐼 (((𝑓‘𝑖) − (𝑔‘𝑖))↑2))))
71		fveq1 6839	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = 𝑋 → (𝑓‘𝑖) = (𝑋‘𝑖))
72	71	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 = 𝑋 ∧ 𝑔 = 𝑌) → (𝑓‘𝑖) = (𝑋‘𝑖))
73		fveq1 6839	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 = 𝑌 → (𝑔‘𝑖) = (𝑌‘𝑖))
74	73	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 = 𝑋 ∧ 𝑔 = 𝑌) → (𝑔‘𝑖) = (𝑌‘𝑖))
75	72, 74	oveq12d 7387	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 = 𝑋 ∧ 𝑔 = 𝑌) → ((𝑓‘𝑖) − (𝑔‘𝑖)) = ((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖)))
76	75	oveq1d 7384	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 = 𝑋 ∧ 𝑔 = 𝑌) → (((𝑓‘𝑖) − (𝑔‘𝑖))↑2) = (((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))↑2))
77	76	sumeq2sdv 15646	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 = 𝑋 ∧ 𝑔 = 𝑌) → Σ𝑖 ∈ 𝐼 (((𝑓‘𝑖) − (𝑔‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ 𝐼 (((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))↑2))
78	77	fveq2d 6844	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 = 𝑋 ∧ 𝑔 = 𝑌) → (√‘Σ𝑖 ∈ 𝐼 (((𝑓‘𝑖) − (𝑔‘𝑖))↑2)) = (√‘Σ𝑖 ∈ 𝐼 (((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))↑2)))
79	78	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 = 𝑋 ∧ 𝑔 = 𝑌)) → (√‘Σ𝑖 ∈ 𝐼 (((𝑓‘𝑖) − (𝑔‘𝑖))↑2)) = (√‘Σ𝑖 ∈ 𝐼 (((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))↑2)))
80	51, 53	resqrtcld 15361	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (√‘Σ𝑖 ∈ 𝐼 (((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))↑2)) ∈ ℝ)
81	70, 79, 3, 10, 80	ovmpod 7521	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐷𝑌) = (√‘Σ𝑖 ∈ 𝐼 (((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))↑2)))
82		sqrtmul 15202	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁) ∧ ((𝐸↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐸↑2))) → (√‘(𝑁 · (𝐸↑2))) = ((√‘𝑁) · (√‘(𝐸↑2))))
83	57, 59, 20, 60, 82	syl22anc 838	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (√‘(𝑁 · (𝐸↑2))) = ((√‘𝑁) · (√‘(𝐸↑2))))
84	18	rpge0d 12977	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐸)
85	19, 84	sqrtsqd 15363	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (√‘(𝐸↑2)) = 𝐸)
86	85	oveq2d 7385	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((√‘𝑁) · (√‘(𝐸↑2))) = ((√‘𝑁) · 𝐸))
87	83, 86	eqtr2d 2765	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((√‘𝑁) · 𝐸) = (√‘(𝑁 · (𝐸↑2))))
88	81, 87	breq12d 5115	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋𝐷𝑌) < ((√‘𝑁) · 𝐸) ↔ (√‘Σ𝑖 ∈ 𝐼 (((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))↑2)) < (√‘(𝑁 · (𝐸↑2)))))
89	63, 88	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐷𝑌) < ((√‘𝑁) · 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   ⊆ wss 3911  ∅c0 4292   class class class wbr 5102  ⟶wf 6495  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369   ∈ cmpo 7371   ↑_m cmap 8776  Fincfn 8895  ℂcc 11044  ℝcr 11045  0cc0 11046   · cmul 11051   < clt 11186   ≤ cle 11187   − cmin 11383  2c2 12219  ℕ₀cn0 12420  ℝ⁺crp 12929  ↑cexp 14004  ♯chash 14273  √csqrt 15176  abscabs 15177  Σcsu 15629  distcds 17206  ℝ^crrx 25317

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-inf2 9572  ax-cnex 11102  ax-resscn 11103  ax-1cn 11104  ax-icn 11105  ax-addcl 11106  ax-addrcl 11107  ax-mulcl 11108  ax-mulrcl 11109  ax-mulcom 11110  ax-addass 11111  ax-mulass 11112  ax-distr 11113  ax-i2m1 11114  ax-1ne0 11115  ax-1rid 11116  ax-rnegex 11117  ax-rrecex 11118  ax-cnre 11119  ax-pre-lttri 11120  ax-pre-lttrn 11121  ax-pre-ltadd 11122  ax-pre-mulgt0 11123  ax-pre-sup 11124  ax-addf 11125  ax-mulf 11126

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-of 7633  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-supp 8117  df-tpos 8182  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-map 8778  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9289  df-sup 9369  df-oi 9439  df-card 9870  df-pnf 11188  df-mnf 11189  df-xr 11190  df-ltxr 11191  df-le 11192  df-sub 11385  df-neg 11386  df-div 11814  df-nn 12165  df-2 12227  df-3 12228  df-4 12229  df-5 12230  df-6 12231  df-7 12232  df-8 12233  df-9 12234  df-n0 12421  df-z 12508  df-dec 12628  df-uz 12772  df-rp 12930  df-ico 13290  df-fz 13447  df-fzo 13594  df-seq 13945  df-exp 14005  df-hash 14274  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15431  df-sum 15630  df-struct 17094  df-sets 17111  df-slot 17129  df-ndx 17141  df-base 17157  df-ress 17178  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-0g 17381  df-gsum 17382  df-prds 17387  df-pws 17389  df-mgm 18550  df-sgrp 18629  df-mnd 18645  df-mhm 18693  df-grp 18851  df-minusg 18852  df-sbg 18853  df-subg 19038  df-ghm 19128  df-cntz 19232  df-cmn 19697  df-abl 19698  df-mgp 20062  df-rng 20074  df-ur 20103  df-ring 20156  df-cring 20157  df-oppr 20258  df-dvdsr 20278  df-unit 20279  df-invr 20309  df-dvr 20322  df-rhm 20393  df-subrng 20467  df-subrg 20491  df-drng 20652  df-field 20653  df-staf 20760  df-srng 20761  df-lmod 20801  df-lss 20871  df-sra 21113  df-rgmod 21114  df-cnfld 21298  df-refld 21548  df-dsmm 21675  df-frlm 21690  df-nm 24504  df-tng 24506  df-tcph 25103  df-rrx 25319

This theorem is referenced by:  qndenserrnbllem  46286