Theorem rrndistlt 46718

Description: Given two points in the space of n-dimensional real numbers, if every component is closer than 𝐸 then the distance between the two points is less than ((√‘𝑛) · 𝐸). (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrndistlt.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
rrndistlt.z	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≠ ∅)
rrndistlt.n	⊢ 𝑁 = (♯‘𝐼)
rrndistlt.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
rrndistlt.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
rrndistlt.l	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (abs‘((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))) < 𝐸)
rrndistlt.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
rrndistlt.d	⊢ 𝐷 = (dist‘(ℝ^‘𝐼))

Assertion

Ref	Expression
rrndistlt	⊢ (𝜑 → (𝑋𝐷𝑌) < ((√‘𝑁) · 𝐸))

Distinct variable groups:   𝑖,𝐸   𝑖,𝐼   𝑖,𝑋   𝑖,𝑌   𝜑,𝑖

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑖)   𝑁(𝑖)

Proof of Theorem rrndistlt

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rrndistlt.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
2		rrndistlt.z	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≠ ∅)
3		rrndistlt.x	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
4		elmapi 8796	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) → 𝑋:𝐼⟶ℝ)
5	3, 4	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋:𝐼⟶ℝ)
6		ax-resscn 11095	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
7	6	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
8	5, 7	fssd 6686	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋:𝐼⟶ℂ)
9	8	ffvelcdmda 7037	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (𝑋‘𝑖) ∈ ℂ)
10		rrndistlt.y	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
11		elmapi 8796	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑌 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) → 𝑌:𝐼⟶ℝ)
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑌:𝐼⟶ℝ)
13	12, 7	fssd 6686	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌:𝐼⟶ℂ)
14	13	ffvelcdmda 7037	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (𝑌‘𝑖) ∈ ℂ)
15	9, 14	subcld 11505	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → ((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖)) ∈ ℂ)
16	15	abscld 15401	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (abs‘((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))) ∈ ℝ)
17	16	resqcld 14087	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → ((abs‘((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖)))↑2) ∈ ℝ)
18		rrndistlt.e	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
19	18	rpred 12986	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
20	19	resqcld 14087	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℝ)
21	20	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (𝐸↑2) ∈ ℝ)
22		rrndistlt.l	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (abs‘((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))) < 𝐸)
23	15	absge0d 15409	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → 0 ≤ (abs‘((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))))
24	19	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → 𝐸 ∈ ℝ)
25	18	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → 𝐸 ∈ ℝ+)
26	25	rpge0d 12990	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → 0 ≤ 𝐸)
27		lt2sq 14095	. . . . . . 7 ⊢ ((((abs‘((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖)))) ∧ (𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐸)) → ((abs‘((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))) < 𝐸 ↔ ((abs‘((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖)))↑2) < (𝐸↑2)))
28	16, 23, 24, 26, 27	syl22anc 839	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → ((abs‘((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))) < 𝐸 ↔ ((abs‘((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖)))↑2) < (𝐸↑2)))
29	22, 28	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → ((abs‘((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖)))↑2) < (𝐸↑2))
30	1, 2, 17, 21, 29	fsumlt 15763	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ 𝐼 ((abs‘((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖)))↑2) < Σ𝑖 ∈ 𝐼 (𝐸↑2))
31	5	ffvelcdmda 7037	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (𝑋‘𝑖) ∈ ℝ)
32	12	ffvelcdmda 7037	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (𝑌‘𝑖) ∈ ℝ)
33	31, 32	resubcld 11578	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → ((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖)) ∈ ℝ)
34		absresq 15264	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖)) ∈ ℝ → ((abs‘((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖)))↑2) = (((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))↑2))
35	33, 34	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → ((abs‘((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖)))↑2) = (((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))↑2))
36	35	eqcomd 2743	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))↑2) = ((abs‘((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖)))↑2))
37	36	sumeq2dv 15664	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ 𝐼 (((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ 𝐼 ((abs‘((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖)))↑2))
38	6, 20	sselid 3920	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℂ)
39		fsumconst 15752	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝐸↑2) ∈ ℂ) → Σ𝑖 ∈ 𝐼 (𝐸↑2) = ((♯‘𝐼) · (𝐸↑2)))
40	1, 38, 39	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ 𝐼 (𝐸↑2) = ((♯‘𝐼) · (𝐸↑2)))
41		rrndistlt.n	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 = (♯‘𝐼)
42		eqcom 2744	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = (♯‘𝐼) ↔ (♯‘𝐼) = 𝑁)
43	41, 42	mpbi 230	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘𝐼) = 𝑁
44	43	oveq1i 7377	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝐼) · (𝐸↑2)) = (𝑁 · (𝐸↑2))
45	44	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐼) · (𝐸↑2)) = (𝑁 · (𝐸↑2)))
46	40, 45	eqtr2d 2773	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · (𝐸↑2)) = Σ𝑖 ∈ 𝐼 (𝐸↑2))
47	37, 46	breq12d 5099	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ 𝐼 (((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))↑2) < (𝑁 · (𝐸↑2)) ↔ Σ𝑖 ∈ 𝐼 ((abs‘((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖)))↑2) < Σ𝑖 ∈ 𝐼 (𝐸↑2)))
48	30, 47	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ 𝐼 (((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))↑2) < (𝑁 · (𝐸↑2)))
49		nfv 1916	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑖𝜑
50	33	resqcld 14087	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))↑2) ∈ ℝ)
51	49, 1, 50	fsumreclf 46006	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ 𝐼 (((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))↑2) ∈ ℝ)
52	33	sqge0d 14099	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → 0 ≤ (((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))↑2))
53	1, 50, 52	fsumge0 15758	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑖 ∈ 𝐼 (((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))↑2))
54		hashcl 14318	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (♯‘𝐼) ∈ ℕ0)
55	1, 54	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐼) ∈ ℕ0)
56	41, 55	eqeltrid 2841	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
57	56	nn0red 12499	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
58	57, 20	remulcld 11175	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · (𝐸↑2)) ∈ ℝ)
59	56	nn0ge0d 12501	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑁)
60	19	sqge0d 14099	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐸↑2))
61	57, 20, 59, 60	mulge0d 11727	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑁 · (𝐸↑2)))
62	51, 53, 58, 61	sqrtltd 15390	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ 𝐼 (((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))↑2) < (𝑁 · (𝐸↑2)) ↔ (√‘Σ𝑖 ∈ 𝐼 (((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))↑2)) < (√‘(𝑁 · (𝐸↑2)))))
63	48, 62	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → (√‘Σ𝑖 ∈ 𝐼 (((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))↑2)) < (√‘(𝑁 · (𝐸↑2))))
64		rrndistlt.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (dist‘(ℝ^‘𝐼))
65	64	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = (dist‘(ℝ^‘𝐼)))
66		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ^‘𝐼) = (ℝ^‘𝐼)
67		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ ↑m 𝐼) = (ℝ ↑m 𝐼)
68	66, 67	rrxdsfi 25378	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (dist‘(ℝ^‘𝐼)) = (𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↦ (√‘Σ𝑖 ∈ 𝐼 (((𝑓‘𝑖) − (𝑔‘𝑖))↑2))))
69	1, 68	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (dist‘(ℝ^‘𝐼)) = (𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↦ (√‘Σ𝑖 ∈ 𝐼 (((𝑓‘𝑖) − (𝑔‘𝑖))↑2))))
70	65, 69	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = (𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↦ (√‘Σ𝑖 ∈ 𝐼 (((𝑓‘𝑖) − (𝑔‘𝑖))↑2))))
71		fveq1 6840	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = 𝑋 → (𝑓‘𝑖) = (𝑋‘𝑖))
72	71	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 = 𝑋 ∧ 𝑔 = 𝑌) → (𝑓‘𝑖) = (𝑋‘𝑖))
73		fveq1 6840	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 = 𝑌 → (𝑔‘𝑖) = (𝑌‘𝑖))
74	73	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 = 𝑋 ∧ 𝑔 = 𝑌) → (𝑔‘𝑖) = (𝑌‘𝑖))
75	72, 74	oveq12d 7385	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 = 𝑋 ∧ 𝑔 = 𝑌) → ((𝑓‘𝑖) − (𝑔‘𝑖)) = ((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖)))
76	75	oveq1d 7382	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 = 𝑋 ∧ 𝑔 = 𝑌) → (((𝑓‘𝑖) − (𝑔‘𝑖))↑2) = (((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))↑2))
77	76	sumeq2sdv 15665	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 = 𝑋 ∧ 𝑔 = 𝑌) → Σ𝑖 ∈ 𝐼 (((𝑓‘𝑖) − (𝑔‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ 𝐼 (((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))↑2))
78	77	fveq2d 6845	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 = 𝑋 ∧ 𝑔 = 𝑌) → (√‘Σ𝑖 ∈ 𝐼 (((𝑓‘𝑖) − (𝑔‘𝑖))↑2)) = (√‘Σ𝑖 ∈ 𝐼 (((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))↑2)))
79	78	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 = 𝑋 ∧ 𝑔 = 𝑌)) → (√‘Σ𝑖 ∈ 𝐼 (((𝑓‘𝑖) − (𝑔‘𝑖))↑2)) = (√‘Σ𝑖 ∈ 𝐼 (((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))↑2)))
80	51, 53	resqrtcld 15380	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (√‘Σ𝑖 ∈ 𝐼 (((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))↑2)) ∈ ℝ)
81	70, 79, 3, 10, 80	ovmpod 7519	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐷𝑌) = (√‘Σ𝑖 ∈ 𝐼 (((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))↑2)))
82		sqrtmul 15221	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁) ∧ ((𝐸↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐸↑2))) → (√‘(𝑁 · (𝐸↑2))) = ((√‘𝑁) · (√‘(𝐸↑2))))
83	57, 59, 20, 60, 82	syl22anc 839	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (√‘(𝑁 · (𝐸↑2))) = ((√‘𝑁) · (√‘(𝐸↑2))))
84	18	rpge0d 12990	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐸)
85	19, 84	sqrtsqd 15382	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (√‘(𝐸↑2)) = 𝐸)
86	85	oveq2d 7383	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((√‘𝑁) · (√‘(𝐸↑2))) = ((√‘𝑁) · 𝐸))
87	83, 86	eqtr2d 2773	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((√‘𝑁) · 𝐸) = (√‘(𝑁 · (𝐸↑2))))
88	81, 87	breq12d 5099	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋𝐷𝑌) < ((√‘𝑁) · 𝐸) ↔ (√‘Σ𝑖 ∈ 𝐼 (((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))↑2)) < (√‘(𝑁 · (𝐸↑2)))))
89	63, 88	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐷𝑌) < ((√‘𝑁) · 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274   class class class wbr 5086  ⟶wf 6495  ‘cfv 6499  (class class class)co 7367   ∈ cmpo 7369   ↑_m cmap 8773  Fincfn 8893  ℂcc 11036  ℝcr 11037  0cc0 11038   · cmul 11043   < clt 11179   ≤ cle 11180   − cmin 11377  2c2 12236  ℕ₀cn0 12437  ℝ⁺crp 12942  ↑cexp 14023  ♯chash 14292  √csqrt 15195  abscabs 15196  Σcsu 15648  distcds 17229  ℝ^crrx 25350

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117  ax-mulf 11118

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6266  df-ord 6327  df-on 6328  df-lim 6329  df-suc 6330  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-supp 8111  df-tpos 8176  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-map 8775  df-ixp 8846  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fsupp 9275  df-sup 9355  df-oi 9425  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-rp 12943  df-ico 13304  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-seq 13964  df-exp 14024  df-hash 14293  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-clim 15450  df-sum 15649  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-prds 17410  df-pws 17412  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-mhm 18751  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-sbg 18914  df-subg 19099  df-ghm 19188  df-cntz 19292  df-cmn 19757  df-abl 19758  df-mgp 20122  df-rng 20134  df-ur 20163  df-ring 20216  df-cring 20217  df-oppr 20317  df-dvdsr 20337  df-unit 20338  df-invr 20368  df-dvr 20381  df-rhm 20452  df-subrng 20523  df-subrg 20547  df-drng 20708  df-field 20709  df-staf 20816  df-srng 20817  df-lmod 20857  df-lss 20927  df-sra 21168  df-rgmod 21169  df-cnfld 21353  df-refld 21585  df-dsmm 21712  df-frlm 21727  df-nm 24547  df-tng 24549  df-tcph 25136  df-rrx 25352

This theorem is referenced by:  qndenserrnbllem  46722