Theorem rrndistlt 46570

Description: Given two points in the space of n-dimensional real numbers, if every component is closer than 𝐸 then the distance between the two points is less than ((√‘𝑛) · 𝐸). (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrndistlt.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
rrndistlt.z	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≠ ∅)
rrndistlt.n	⊢ 𝑁 = (♯‘𝐼)
rrndistlt.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
rrndistlt.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
rrndistlt.l	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (abs‘((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))) < 𝐸)
rrndistlt.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
rrndistlt.d	⊢ 𝐷 = (dist‘(ℝ^‘𝐼))

Assertion

Ref	Expression
rrndistlt	⊢ (𝜑 → (𝑋𝐷𝑌) < ((√‘𝑁) · 𝐸))

Distinct variable groups:   𝑖,𝐸   𝑖,𝐼   𝑖,𝑋   𝑖,𝑌   𝜑,𝑖

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑖)   𝑁(𝑖)

Proof of Theorem rrndistlt

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rrndistlt.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
2		rrndistlt.z	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≠ ∅)
3		rrndistlt.x	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
4		elmapi 8790	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) → 𝑋:𝐼⟶ℝ)
5	3, 4	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋:𝐼⟶ℝ)
6		ax-resscn 11087	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
7	6	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
8	5, 7	fssd 6680	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋:𝐼⟶ℂ)
9	8	ffvelcdmda 7031	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (𝑋‘𝑖) ∈ ℂ)
10		rrndistlt.y	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
11		elmapi 8790	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑌 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) → 𝑌:𝐼⟶ℝ)
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑌:𝐼⟶ℝ)
13	12, 7	fssd 6680	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌:𝐼⟶ℂ)
14	13	ffvelcdmda 7031	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (𝑌‘𝑖) ∈ ℂ)
15	9, 14	subcld 11496	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → ((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖)) ∈ ℂ)
16	15	abscld 15366	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (abs‘((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))) ∈ ℝ)
17	16	resqcld 14052	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → ((abs‘((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖)))↑2) ∈ ℝ)
18		rrndistlt.e	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
19	18	rpred 12953	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
20	19	resqcld 14052	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℝ)
21	20	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (𝐸↑2) ∈ ℝ)
22		rrndistlt.l	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (abs‘((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))) < 𝐸)
23	15	absge0d 15374	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → 0 ≤ (abs‘((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))))
24	19	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → 𝐸 ∈ ℝ)
25	18	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → 𝐸 ∈ ℝ+)
26	25	rpge0d 12957	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → 0 ≤ 𝐸)
27		lt2sq 14060	. . . . . . 7 ⊢ ((((abs‘((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖)))) ∧ (𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐸)) → ((abs‘((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))) < 𝐸 ↔ ((abs‘((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖)))↑2) < (𝐸↑2)))
28	16, 23, 24, 26, 27	syl22anc 839	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → ((abs‘((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))) < 𝐸 ↔ ((abs‘((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖)))↑2) < (𝐸↑2)))
29	22, 28	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → ((abs‘((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖)))↑2) < (𝐸↑2))
30	1, 2, 17, 21, 29	fsumlt 15727	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ 𝐼 ((abs‘((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖)))↑2) < Σ𝑖 ∈ 𝐼 (𝐸↑2))
31	5	ffvelcdmda 7031	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (𝑋‘𝑖) ∈ ℝ)
32	12	ffvelcdmda 7031	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (𝑌‘𝑖) ∈ ℝ)
33	31, 32	resubcld 11569	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → ((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖)) ∈ ℝ)
34		absresq 15229	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖)) ∈ ℝ → ((abs‘((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖)))↑2) = (((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))↑2))
35	33, 34	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → ((abs‘((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖)))↑2) = (((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))↑2))
36	35	eqcomd 2743	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))↑2) = ((abs‘((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖)))↑2))
37	36	sumeq2dv 15629	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ 𝐼 (((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ 𝐼 ((abs‘((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖)))↑2))
38	6, 20	sselid 3932	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℂ)
39		fsumconst 15717	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝐸↑2) ∈ ℂ) → Σ𝑖 ∈ 𝐼 (𝐸↑2) = ((♯‘𝐼) · (𝐸↑2)))
40	1, 38, 39	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ 𝐼 (𝐸↑2) = ((♯‘𝐼) · (𝐸↑2)))
41		rrndistlt.n	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 = (♯‘𝐼)
42		eqcom 2744	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = (♯‘𝐼) ↔ (♯‘𝐼) = 𝑁)
43	41, 42	mpbi 230	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘𝐼) = 𝑁
44	43	oveq1i 7370	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝐼) · (𝐸↑2)) = (𝑁 · (𝐸↑2))
45	44	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐼) · (𝐸↑2)) = (𝑁 · (𝐸↑2)))
46	40, 45	eqtr2d 2773	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · (𝐸↑2)) = Σ𝑖 ∈ 𝐼 (𝐸↑2))
47	37, 46	breq12d 5112	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ 𝐼 (((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))↑2) < (𝑁 · (𝐸↑2)) ↔ Σ𝑖 ∈ 𝐼 ((abs‘((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖)))↑2) < Σ𝑖 ∈ 𝐼 (𝐸↑2)))
48	30, 47	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ 𝐼 (((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))↑2) < (𝑁 · (𝐸↑2)))
49		nfv 1916	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑖𝜑
50	33	resqcld 14052	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))↑2) ∈ ℝ)
51	49, 1, 50	fsumreclf 45858	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ 𝐼 (((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))↑2) ∈ ℝ)
52	33	sqge0d 14064	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → 0 ≤ (((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))↑2))
53	1, 50, 52	fsumge0 15722	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑖 ∈ 𝐼 (((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))↑2))
54		hashcl 14283	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (♯‘𝐼) ∈ ℕ0)
55	1, 54	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐼) ∈ ℕ0)
56	41, 55	eqeltrid 2841	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
57	56	nn0red 12467	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
58	57, 20	remulcld 11166	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · (𝐸↑2)) ∈ ℝ)
59	56	nn0ge0d 12469	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑁)
60	19	sqge0d 14064	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐸↑2))
61	57, 20, 59, 60	mulge0d 11718	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑁 · (𝐸↑2)))
62	51, 53, 58, 61	sqrtltd 15355	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ 𝐼 (((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))↑2) < (𝑁 · (𝐸↑2)) ↔ (√‘Σ𝑖 ∈ 𝐼 (((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))↑2)) < (√‘(𝑁 · (𝐸↑2)))))
63	48, 62	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → (√‘Σ𝑖 ∈ 𝐼 (((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))↑2)) < (√‘(𝑁 · (𝐸↑2))))
64		rrndistlt.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (dist‘(ℝ^‘𝐼))
65	64	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = (dist‘(ℝ^‘𝐼)))
66		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ^‘𝐼) = (ℝ^‘𝐼)
67		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ ↑m 𝐼) = (ℝ ↑m 𝐼)
68	66, 67	rrxdsfi 25371	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (dist‘(ℝ^‘𝐼)) = (𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↦ (√‘Σ𝑖 ∈ 𝐼 (((𝑓‘𝑖) − (𝑔‘𝑖))↑2))))
69	1, 68	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (dist‘(ℝ^‘𝐼)) = (𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↦ (√‘Σ𝑖 ∈ 𝐼 (((𝑓‘𝑖) − (𝑔‘𝑖))↑2))))
70	65, 69	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = (𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↦ (√‘Σ𝑖 ∈ 𝐼 (((𝑓‘𝑖) − (𝑔‘𝑖))↑2))))
71		fveq1 6834	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = 𝑋 → (𝑓‘𝑖) = (𝑋‘𝑖))
72	71	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 = 𝑋 ∧ 𝑔 = 𝑌) → (𝑓‘𝑖) = (𝑋‘𝑖))
73		fveq1 6834	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 = 𝑌 → (𝑔‘𝑖) = (𝑌‘𝑖))
74	73	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 = 𝑋 ∧ 𝑔 = 𝑌) → (𝑔‘𝑖) = (𝑌‘𝑖))
75	72, 74	oveq12d 7378	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 = 𝑋 ∧ 𝑔 = 𝑌) → ((𝑓‘𝑖) − (𝑔‘𝑖)) = ((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖)))
76	75	oveq1d 7375	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 = 𝑋 ∧ 𝑔 = 𝑌) → (((𝑓‘𝑖) − (𝑔‘𝑖))↑2) = (((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))↑2))
77	76	sumeq2sdv 15630	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 = 𝑋 ∧ 𝑔 = 𝑌) → Σ𝑖 ∈ 𝐼 (((𝑓‘𝑖) − (𝑔‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ 𝐼 (((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))↑2))
78	77	fveq2d 6839	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 = 𝑋 ∧ 𝑔 = 𝑌) → (√‘Σ𝑖 ∈ 𝐼 (((𝑓‘𝑖) − (𝑔‘𝑖))↑2)) = (√‘Σ𝑖 ∈ 𝐼 (((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))↑2)))
79	78	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 = 𝑋 ∧ 𝑔 = 𝑌)) → (√‘Σ𝑖 ∈ 𝐼 (((𝑓‘𝑖) − (𝑔‘𝑖))↑2)) = (√‘Σ𝑖 ∈ 𝐼 (((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))↑2)))
80	51, 53	resqrtcld 15345	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (√‘Σ𝑖 ∈ 𝐼 (((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))↑2)) ∈ ℝ)
81	70, 79, 3, 10, 80	ovmpod 7512	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐷𝑌) = (√‘Σ𝑖 ∈ 𝐼 (((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))↑2)))
82		sqrtmul 15186	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁) ∧ ((𝐸↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐸↑2))) → (√‘(𝑁 · (𝐸↑2))) = ((√‘𝑁) · (√‘(𝐸↑2))))
83	57, 59, 20, 60, 82	syl22anc 839	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (√‘(𝑁 · (𝐸↑2))) = ((√‘𝑁) · (√‘(𝐸↑2))))
84	18	rpge0d 12957	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐸)
85	19, 84	sqrtsqd 15347	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (√‘(𝐸↑2)) = 𝐸)
86	85	oveq2d 7376	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((√‘𝑁) · (√‘(𝐸↑2))) = ((√‘𝑁) · 𝐸))
87	83, 86	eqtr2d 2773	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((√‘𝑁) · 𝐸) = (√‘(𝑁 · (𝐸↑2))))
88	81, 87	breq12d 5112	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋𝐷𝑌) < ((√‘𝑁) · 𝐸) ↔ (√‘Σ𝑖 ∈ 𝐼 (((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))↑2)) < (√‘(𝑁 · (𝐸↑2)))))
89	63, 88	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐷𝑌) < ((√‘𝑁) · 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   ⊆ wss 3902  ∅c0 4286   class class class wbr 5099  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360   ∈ cmpo 7362   ↑_m cmap 8767  Fincfn 8887  ℂcc 11028  ℝcr 11029  0cc0 11030   · cmul 11035   < clt 11170   ≤ cle 11171   − cmin 11368  2c2 12204  ℕ₀cn0 12405  ℝ⁺crp 12909  ↑cexp 13988  ♯chash 14257  √csqrt 15160  abscabs 15161  Σcsu 15613  distcds 17190  ℝ^crrx 25343

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-inf2 9554  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108  ax-addf 11109  ax-mulf 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8105  df-tpos 8170  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-map 8769  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-sup 9349  df-oi 9419  df-card 9855  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-5 12215  df-6 12216  df-7 12217  df-8 12218  df-9 12219  df-n0 12406  df-z 12493  df-dec 12612  df-uz 12756  df-rp 12910  df-ico 13271  df-fz 13428  df-fzo 13575  df-seq 13929  df-exp 13989  df-hash 14258  df-cj 15026  df-re 15027  df-im 15028  df-sqrt 15162  df-abs 15163  df-clim 15415  df-sum 15614  df-struct 17078  df-sets 17095  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17141  df-ress 17162  df-plusg 17194  df-mulr 17195  df-starv 17196  df-sca 17197  df-vsca 17198  df-ip 17199  df-tset 17200  df-ple 17201  df-ds 17203  df-unif 17204  df-hom 17205  df-cco 17206  df-0g 17365  df-gsum 17366  df-prds 17371  df-pws 17373  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-mhm 18712  df-grp 18870  df-minusg 18871  df-sbg 18872  df-subg 19057  df-ghm 19146  df-cntz 19250  df-cmn 19715  df-abl 19716  df-mgp 20080  df-rng 20092  df-ur 20121  df-ring 20174  df-cring 20175  df-oppr 20277  df-dvdsr 20297  df-unit 20298  df-invr 20328  df-dvr 20341  df-rhm 20412  df-subrng 20483  df-subrg 20507  df-drng 20668  df-field 20669  df-staf 20776  df-srng 20777  df-lmod 20817  df-lss 20887  df-sra 21129  df-rgmod 21130  df-cnfld 21314  df-refld 21564  df-dsmm 21691  df-frlm 21706  df-nm 24530  df-tng 24532  df-tcph 25129  df-rrx 25345

This theorem is referenced by:  qndenserrnbllem  46574