Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrndistlt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrndistlt 46246
Description: Given two points in the space of n-dimensional real numbers, if every component is closer than 𝐸 then the distance between the two points is less then ((√‘𝑛) · 𝐸). (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
rrndistlt.i (𝜑𝐼 ∈ Fin)
rrndistlt.z (𝜑𝐼 ≠ ∅)
rrndistlt.n 𝑁 = (♯‘𝐼)
rrndistlt.x (𝜑𝑋 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
rrndistlt.y (𝜑𝑌 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
rrndistlt.l ((𝜑𝑖𝐼) → (abs‘((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖))) < 𝐸)
rrndistlt.e (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
rrndistlt.d 𝐷 = (dist‘(ℝ^‘𝐼))
Assertion
Ref Expression
rrndistlt (𝜑 → (𝑋𝐷𝑌) < ((√‘𝑁) · 𝐸))
Distinct variable groups:   𝑖,𝐸   𝑖,𝐼   𝑖,𝑋   𝑖,𝑌   𝜑,𝑖
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑖)   𝑁(𝑖)

Proof of Theorem rrndistlt
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rrndistlt.i . . . . 5 (𝜑𝐼 ∈ Fin)
2 rrndistlt.z . . . . 5 (𝜑𝐼 ≠ ∅)
3 rrndistlt.x . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
4 elmapi 8888 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) → 𝑋:𝐼⟶ℝ)
53, 4syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋:𝐼⟶ℝ)
6 ax-resscn 11210 . . . . . . . . . . 11 ℝ ⊆ ℂ
76a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
85, 7fssd 6754 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋:𝐼⟶ℂ)
98ffvelcdmda 7104 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖𝐼) → (𝑋𝑖) ∈ ℂ)
10 rrndistlt.y . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑌 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
11 elmapi 8888 . . . . . . . . . . 11 (𝑌 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) → 𝑌:𝐼⟶ℝ)
1210, 11syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌:𝐼⟶ℝ)
1312, 7fssd 6754 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌:𝐼⟶ℂ)
1413ffvelcdmda 7104 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖𝐼) → (𝑌𝑖) ∈ ℂ)
159, 14subcld 11618 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝐼) → ((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖)) ∈ ℂ)
1615abscld 15472 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝐼) → (abs‘((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖))) ∈ ℝ)
1716resqcld 14162 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝐼) → ((abs‘((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖)))↑2) ∈ ℝ)
18 rrndistlt.e . . . . . . . 8 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
1918rpred 13075 . . . . . . 7 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
2019resqcld 14162 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℝ)
2120adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝐼) → (𝐸↑2) ∈ ℝ)
22 rrndistlt.l . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝐼) → (abs‘((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖))) < 𝐸)
2315absge0d 15480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝐼) → 0 ≤ (abs‘((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖))))
2419adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝐼) → 𝐸 ∈ ℝ)
2518adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖𝐼) → 𝐸 ∈ ℝ+)
2625rpge0d 13079 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝐼) → 0 ≤ 𝐸)
27 lt2sq 14170 . . . . . . 7 ((((abs‘((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖)))) ∧ (𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐸)) → ((abs‘((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖))) < 𝐸 ↔ ((abs‘((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖)))↑2) < (𝐸↑2)))
2816, 23, 24, 26, 27syl22anc 839 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝐼) → ((abs‘((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖))) < 𝐸 ↔ ((abs‘((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖)))↑2) < (𝐸↑2)))
2922, 28mpbid 232 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝐼) → ((abs‘((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖)))↑2) < (𝐸↑2))
301, 2, 17, 21, 29fsumlt 15833 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑖𝐼 ((abs‘((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖)))↑2) < Σ𝑖𝐼 (𝐸↑2))
315ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖𝐼) → (𝑋𝑖) ∈ ℝ)
3212ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖𝐼) → (𝑌𝑖) ∈ ℝ)
3331, 32resubcld 11689 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖𝐼) → ((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖)) ∈ ℝ)
34 absresq 15338 . . . . . . . 8 (((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖)) ∈ ℝ → ((abs‘((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖)))↑2) = (((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖))↑2))
3533, 34syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝐼) → ((abs‘((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖)))↑2) = (((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖))↑2))
3635eqcomd 2741 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝐼) → (((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖))↑2) = ((abs‘((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖)))↑2))
3736sumeq2dv 15735 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑖𝐼 (((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖))↑2) = Σ𝑖𝐼 ((abs‘((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖)))↑2))
386, 20sselid 3993 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℂ)
39 fsumconst 15823 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝐸↑2) ∈ ℂ) → Σ𝑖𝐼 (𝐸↑2) = ((♯‘𝐼) · (𝐸↑2)))
401, 38, 39syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑖𝐼 (𝐸↑2) = ((♯‘𝐼) · (𝐸↑2)))
41 rrndistlt.n . . . . . . . . 9 𝑁 = (♯‘𝐼)
42 eqcom 2742 . . . . . . . . 9 (𝑁 = (♯‘𝐼) ↔ (♯‘𝐼) = 𝑁)
4341, 42mpbi 230 . . . . . . . 8 (♯‘𝐼) = 𝑁
4443oveq1i 7441 . . . . . . 7 ((♯‘𝐼) · (𝐸↑2)) = (𝑁 · (𝐸↑2))
4544a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ((♯‘𝐼) · (𝐸↑2)) = (𝑁 · (𝐸↑2)))
4640, 45eqtr2d 2776 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁 · (𝐸↑2)) = Σ𝑖𝐼 (𝐸↑2))
4737, 46breq12d 5161 . . . 4 (𝜑 → (Σ𝑖𝐼 (((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖))↑2) < (𝑁 · (𝐸↑2)) ↔ Σ𝑖𝐼 ((abs‘((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖)))↑2) < Σ𝑖𝐼 (𝐸↑2)))
4830, 47mpbird 257 . . 3 (𝜑 → Σ𝑖𝐼 (((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖))↑2) < (𝑁 · (𝐸↑2)))
49 nfv 1912 . . . . 5 𝑖𝜑
5033resqcld 14162 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝐼) → (((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖))↑2) ∈ ℝ)
5149, 1, 50fsumreclf 45532 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑖𝐼 (((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖))↑2) ∈ ℝ)
5233sqge0d 14174 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝐼) → 0 ≤ (((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖))↑2))
531, 50, 52fsumge0 15828 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑖𝐼 (((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖))↑2))
54 hashcl 14392 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ Fin → (♯‘𝐼) ∈ ℕ0)
551, 54syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘𝐼) ∈ ℕ0)
5641, 55eqeltrid 2843 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
5756nn0red 12586 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
5857, 20remulcld 11289 . . . 4 (𝜑 → (𝑁 · (𝐸↑2)) ∈ ℝ)
5956nn0ge0d 12588 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ 𝑁)
6019sqge0d 14174 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ (𝐸↑2))
6157, 20, 59, 60mulge0d 11838 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ (𝑁 · (𝐸↑2)))
6251, 53, 58, 61sqrtltd 15463 . . 3 (𝜑 → (Σ𝑖𝐼 (((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖))↑2) < (𝑁 · (𝐸↑2)) ↔ (√‘Σ𝑖𝐼 (((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖))↑2)) < (√‘(𝑁 · (𝐸↑2)))))
6348, 62mpbid 232 . 2 (𝜑 → (√‘Σ𝑖𝐼 (((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖))↑2)) < (√‘(𝑁 · (𝐸↑2))))
64 rrndistlt.d . . . . . 6 𝐷 = (dist‘(ℝ^‘𝐼))
6564a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝐷 = (dist‘(ℝ^‘𝐼)))
66 eqid 2735 . . . . . . 7 (ℝ^‘𝐼) = (ℝ^‘𝐼)
67 eqid 2735 . . . . . . 7 (ℝ ↑m 𝐼) = (ℝ ↑m 𝐼)
6866, 67rrxdsfi 25459 . . . . . 6 (𝐼 ∈ Fin → (dist‘(ℝ^‘𝐼)) = (𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↦ (√‘Σ𝑖𝐼 (((𝑓𝑖) − (𝑔𝑖))↑2))))
691, 68syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (dist‘(ℝ^‘𝐼)) = (𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↦ (√‘Σ𝑖𝐼 (((𝑓𝑖) − (𝑔𝑖))↑2))))
7065, 69eqtrd 2775 . . . 4 (𝜑𝐷 = (𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↦ (√‘Σ𝑖𝐼 (((𝑓𝑖) − (𝑔𝑖))↑2))))
71 fveq1 6906 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = 𝑋 → (𝑓𝑖) = (𝑋𝑖))
7271adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝑓 = 𝑋𝑔 = 𝑌) → (𝑓𝑖) = (𝑋𝑖))
73 fveq1 6906 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = 𝑌 → (𝑔𝑖) = (𝑌𝑖))
7473adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝑓 = 𝑋𝑔 = 𝑌) → (𝑔𝑖) = (𝑌𝑖))
7572, 74oveq12d 7449 . . . . . . . 8 ((𝑓 = 𝑋𝑔 = 𝑌) → ((𝑓𝑖) − (𝑔𝑖)) = ((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖)))
7675oveq1d 7446 . . . . . . 7 ((𝑓 = 𝑋𝑔 = 𝑌) → (((𝑓𝑖) − (𝑔𝑖))↑2) = (((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖))↑2))
7776sumeq2sdv 15736 . . . . . 6 ((𝑓 = 𝑋𝑔 = 𝑌) → Σ𝑖𝐼 (((𝑓𝑖) − (𝑔𝑖))↑2) = Σ𝑖𝐼 (((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖))↑2))
7877fveq2d 6911 . . . . 5 ((𝑓 = 𝑋𝑔 = 𝑌) → (√‘Σ𝑖𝐼 (((𝑓𝑖) − (𝑔𝑖))↑2)) = (√‘Σ𝑖𝐼 (((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖))↑2)))
7978adantl 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑓 = 𝑋𝑔 = 𝑌)) → (√‘Σ𝑖𝐼 (((𝑓𝑖) − (𝑔𝑖))↑2)) = (√‘Σ𝑖𝐼 (((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖))↑2)))
8051, 53resqrtcld 15453 . . . 4 (𝜑 → (√‘Σ𝑖𝐼 (((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖))↑2)) ∈ ℝ)
8170, 79, 3, 10, 80ovmpod 7585 . . 3 (𝜑 → (𝑋𝐷𝑌) = (√‘Σ𝑖𝐼 (((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖))↑2)))
82 sqrtmul 15295 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁) ∧ ((𝐸↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐸↑2))) → (√‘(𝑁 · (𝐸↑2))) = ((√‘𝑁) · (√‘(𝐸↑2))))
8357, 59, 20, 60, 82syl22anc 839 . . . 4 (𝜑 → (√‘(𝑁 · (𝐸↑2))) = ((√‘𝑁) · (√‘(𝐸↑2))))
8418rpge0d 13079 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ 𝐸)
8519, 84sqrtsqd 15455 . . . . 5 (𝜑 → (√‘(𝐸↑2)) = 𝐸)
8685oveq2d 7447 . . . 4 (𝜑 → ((√‘𝑁) · (√‘(𝐸↑2))) = ((√‘𝑁) · 𝐸))
8783, 86eqtr2d 2776 . . 3 (𝜑 → ((√‘𝑁) · 𝐸) = (√‘(𝑁 · (𝐸↑2))))
8881, 87breq12d 5161 . 2 (𝜑 → ((𝑋𝐷𝑌) < ((√‘𝑁) · 𝐸) ↔ (√‘Σ𝑖𝐼 (((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖))↑2)) < (√‘(𝑁 · (𝐸↑2)))))
8963, 88mpbird 257 1 (𝜑 → (𝑋𝐷𝑌) < ((√‘𝑁) · 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wss 3963  c0 4339   class class class wbr 5148  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  cmpo 7433  m cmap 8865  Fincfn 8984  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153   · cmul 11158   < clt 11293  cle 11294  cmin 11490  2c2 12319  0cn0 12524  +crp 13032  cexp 14099  chash 14366  csqrt 15269  abscabs 15270  Σcsu 15719  distcds 17307  ℝ^crrx 25431
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232  ax-mulf 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-rp 13033  df-ico 13390  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-sum 15720  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-prds 17494  df-pws 17496  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-subg 19154  df-ghm 19244  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-cring 20254  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-dvr 20418  df-rhm 20489  df-subrng 20563  df-subrg 20587  df-drng 20748  df-field 20749  df-staf 20857  df-srng 20858  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-sra 21190  df-rgmod 21191  df-cnfld 21383  df-refld 21641  df-dsmm 21770  df-frlm 21785  df-nm 24611  df-tng 24613  df-tcph 25217  df-rrx 25433
This theorem is referenced by:  qndenserrnbllem  46250
  Copyright terms: Public domain W3C validator