Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrndistlt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrndistlt 45672
Description: Given two points in the space of n-dimensional real numbers, if every component is closer than 𝐸 then the distance between the two points is less then ((√‘𝑛) · 𝐸). (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
rrndistlt.i (𝜑𝐼 ∈ Fin)
rrndistlt.z (𝜑𝐼 ≠ ∅)
rrndistlt.n 𝑁 = (♯‘𝐼)
rrndistlt.x (𝜑𝑋 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
rrndistlt.y (𝜑𝑌 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
rrndistlt.l ((𝜑𝑖𝐼) → (abs‘((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖))) < 𝐸)
rrndistlt.e (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
rrndistlt.d 𝐷 = (dist‘(ℝ^‘𝐼))
Assertion
Ref Expression
rrndistlt (𝜑 → (𝑋𝐷𝑌) < ((√‘𝑁) · 𝐸))
Distinct variable groups:   𝑖,𝐸   𝑖,𝐼   𝑖,𝑋   𝑖,𝑌   𝜑,𝑖
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑖)   𝑁(𝑖)

Proof of Theorem rrndistlt
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rrndistlt.i . . . . 5 (𝜑𝐼 ∈ Fin)
2 rrndistlt.z . . . . 5 (𝜑𝐼 ≠ ∅)
3 rrndistlt.x . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
4 elmapi 8861 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) → 𝑋:𝐼⟶ℝ)
53, 4syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋:𝐼⟶ℝ)
6 ax-resscn 11189 . . . . . . . . . . 11 ℝ ⊆ ℂ
76a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
85, 7fssd 6734 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋:𝐼⟶ℂ)
98ffvelcdmda 7088 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖𝐼) → (𝑋𝑖) ∈ ℂ)
10 rrndistlt.y . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑌 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
11 elmapi 8861 . . . . . . . . . . 11 (𝑌 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) → 𝑌:𝐼⟶ℝ)
1210, 11syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌:𝐼⟶ℝ)
1312, 7fssd 6734 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌:𝐼⟶ℂ)
1413ffvelcdmda 7088 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖𝐼) → (𝑌𝑖) ∈ ℂ)
159, 14subcld 11595 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝐼) → ((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖)) ∈ ℂ)
1615abscld 15409 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝐼) → (abs‘((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖))) ∈ ℝ)
1716resqcld 14115 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝐼) → ((abs‘((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖)))↑2) ∈ ℝ)
18 rrndistlt.e . . . . . . . 8 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
1918rpred 13042 . . . . . . 7 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
2019resqcld 14115 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℝ)
2120adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝐼) → (𝐸↑2) ∈ ℝ)
22 rrndistlt.l . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝐼) → (abs‘((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖))) < 𝐸)
2315absge0d 15417 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝐼) → 0 ≤ (abs‘((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖))))
2419adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝐼) → 𝐸 ∈ ℝ)
2518adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖𝐼) → 𝐸 ∈ ℝ+)
2625rpge0d 13046 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝐼) → 0 ≤ 𝐸)
27 lt2sq 14123 . . . . . . 7 ((((abs‘((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖)))) ∧ (𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐸)) → ((abs‘((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖))) < 𝐸 ↔ ((abs‘((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖)))↑2) < (𝐸↑2)))
2816, 23, 24, 26, 27syl22anc 838 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝐼) → ((abs‘((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖))) < 𝐸 ↔ ((abs‘((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖)))↑2) < (𝐸↑2)))
2922, 28mpbid 231 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝐼) → ((abs‘((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖)))↑2) < (𝐸↑2))
301, 2, 17, 21, 29fsumlt 15772 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑖𝐼 ((abs‘((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖)))↑2) < Σ𝑖𝐼 (𝐸↑2))
315ffvelcdmda 7088 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖𝐼) → (𝑋𝑖) ∈ ℝ)
3212ffvelcdmda 7088 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖𝐼) → (𝑌𝑖) ∈ ℝ)
3331, 32resubcld 11666 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖𝐼) → ((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖)) ∈ ℝ)
34 absresq 15275 . . . . . . . 8 (((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖)) ∈ ℝ → ((abs‘((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖)))↑2) = (((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖))↑2))
3533, 34syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝐼) → ((abs‘((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖)))↑2) = (((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖))↑2))
3635eqcomd 2734 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝐼) → (((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖))↑2) = ((abs‘((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖)))↑2))
3736sumeq2dv 15675 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑖𝐼 (((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖))↑2) = Σ𝑖𝐼 ((abs‘((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖)))↑2))
386, 20sselid 3976 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℂ)
39 fsumconst 15762 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝐸↑2) ∈ ℂ) → Σ𝑖𝐼 (𝐸↑2) = ((♯‘𝐼) · (𝐸↑2)))
401, 38, 39syl2anc 583 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑖𝐼 (𝐸↑2) = ((♯‘𝐼) · (𝐸↑2)))
41 rrndistlt.n . . . . . . . . 9 𝑁 = (♯‘𝐼)
42 eqcom 2735 . . . . . . . . 9 (𝑁 = (♯‘𝐼) ↔ (♯‘𝐼) = 𝑁)
4341, 42mpbi 229 . . . . . . . 8 (♯‘𝐼) = 𝑁
4443oveq1i 7424 . . . . . . 7 ((♯‘𝐼) · (𝐸↑2)) = (𝑁 · (𝐸↑2))
4544a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ((♯‘𝐼) · (𝐸↑2)) = (𝑁 · (𝐸↑2)))
4640, 45eqtr2d 2769 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁 · (𝐸↑2)) = Σ𝑖𝐼 (𝐸↑2))
4737, 46breq12d 5155 . . . 4 (𝜑 → (Σ𝑖𝐼 (((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖))↑2) < (𝑁 · (𝐸↑2)) ↔ Σ𝑖𝐼 ((abs‘((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖)))↑2) < Σ𝑖𝐼 (𝐸↑2)))
4830, 47mpbird 257 . . 3 (𝜑 → Σ𝑖𝐼 (((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖))↑2) < (𝑁 · (𝐸↑2)))
49 nfv 1910 . . . . 5 𝑖𝜑
5033resqcld 14115 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝐼) → (((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖))↑2) ∈ ℝ)
5149, 1, 50fsumreclf 44958 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑖𝐼 (((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖))↑2) ∈ ℝ)
5233sqge0d 14127 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝐼) → 0 ≤ (((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖))↑2))
531, 50, 52fsumge0 15767 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑖𝐼 (((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖))↑2))
54 hashcl 14341 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ Fin → (♯‘𝐼) ∈ ℕ0)
551, 54syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘𝐼) ∈ ℕ0)
5641, 55eqeltrid 2833 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
5756nn0red 12557 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
5857, 20remulcld 11268 . . . 4 (𝜑 → (𝑁 · (𝐸↑2)) ∈ ℝ)
5956nn0ge0d 12559 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ 𝑁)
6019sqge0d 14127 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ (𝐸↑2))
6157, 20, 59, 60mulge0d 11815 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ (𝑁 · (𝐸↑2)))
6251, 53, 58, 61sqrtltd 15400 . . 3 (𝜑 → (Σ𝑖𝐼 (((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖))↑2) < (𝑁 · (𝐸↑2)) ↔ (√‘Σ𝑖𝐼 (((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖))↑2)) < (√‘(𝑁 · (𝐸↑2)))))
6348, 62mpbid 231 . 2 (𝜑 → (√‘Σ𝑖𝐼 (((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖))↑2)) < (√‘(𝑁 · (𝐸↑2))))
64 rrndistlt.d . . . . . 6 𝐷 = (dist‘(ℝ^‘𝐼))
6564a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝐷 = (dist‘(ℝ^‘𝐼)))
66 eqid 2728 . . . . . . 7 (ℝ^‘𝐼) = (ℝ^‘𝐼)
67 eqid 2728 . . . . . . 7 (ℝ ↑m 𝐼) = (ℝ ↑m 𝐼)
6866, 67rrxdsfi 25332 . . . . . 6 (𝐼 ∈ Fin → (dist‘(ℝ^‘𝐼)) = (𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↦ (√‘Σ𝑖𝐼 (((𝑓𝑖) − (𝑔𝑖))↑2))))
691, 68syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (dist‘(ℝ^‘𝐼)) = (𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↦ (√‘Σ𝑖𝐼 (((𝑓𝑖) − (𝑔𝑖))↑2))))
7065, 69eqtrd 2768 . . . 4 (𝜑𝐷 = (𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↦ (√‘Σ𝑖𝐼 (((𝑓𝑖) − (𝑔𝑖))↑2))))
71 fveq1 6890 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = 𝑋 → (𝑓𝑖) = (𝑋𝑖))
7271adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝑓 = 𝑋𝑔 = 𝑌) → (𝑓𝑖) = (𝑋𝑖))
73 fveq1 6890 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = 𝑌 → (𝑔𝑖) = (𝑌𝑖))
7473adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝑓 = 𝑋𝑔 = 𝑌) → (𝑔𝑖) = (𝑌𝑖))
7572, 74oveq12d 7432 . . . . . . . 8 ((𝑓 = 𝑋𝑔 = 𝑌) → ((𝑓𝑖) − (𝑔𝑖)) = ((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖)))
7675oveq1d 7429 . . . . . . 7 ((𝑓 = 𝑋𝑔 = 𝑌) → (((𝑓𝑖) − (𝑔𝑖))↑2) = (((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖))↑2))
7776sumeq2sdv 15676 . . . . . 6 ((𝑓 = 𝑋𝑔 = 𝑌) → Σ𝑖𝐼 (((𝑓𝑖) − (𝑔𝑖))↑2) = Σ𝑖𝐼 (((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖))↑2))
7877fveq2d 6895 . . . . 5 ((𝑓 = 𝑋𝑔 = 𝑌) → (√‘Σ𝑖𝐼 (((𝑓𝑖) − (𝑔𝑖))↑2)) = (√‘Σ𝑖𝐼 (((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖))↑2)))
7978adantl 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑓 = 𝑋𝑔 = 𝑌)) → (√‘Σ𝑖𝐼 (((𝑓𝑖) − (𝑔𝑖))↑2)) = (√‘Σ𝑖𝐼 (((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖))↑2)))
8051, 53resqrtcld 15390 . . . 4 (𝜑 → (√‘Σ𝑖𝐼 (((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖))↑2)) ∈ ℝ)
8170, 79, 3, 10, 80ovmpod 7567 . . 3 (𝜑 → (𝑋𝐷𝑌) = (√‘Σ𝑖𝐼 (((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖))↑2)))
82 sqrtmul 15232 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁) ∧ ((𝐸↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐸↑2))) → (√‘(𝑁 · (𝐸↑2))) = ((√‘𝑁) · (√‘(𝐸↑2))))
8357, 59, 20, 60, 82syl22anc 838 . . . 4 (𝜑 → (√‘(𝑁 · (𝐸↑2))) = ((√‘𝑁) · (√‘(𝐸↑2))))
8418rpge0d 13046 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ 𝐸)
8519, 84sqrtsqd 15392 . . . . 5 (𝜑 → (√‘(𝐸↑2)) = 𝐸)
8685oveq2d 7430 . . . 4 (𝜑 → ((√‘𝑁) · (√‘(𝐸↑2))) = ((√‘𝑁) · 𝐸))
8783, 86eqtr2d 2769 . . 3 (𝜑 → ((√‘𝑁) · 𝐸) = (√‘(𝑁 · (𝐸↑2))))
8881, 87breq12d 5155 . 2 (𝜑 → ((𝑋𝐷𝑌) < ((√‘𝑁) · 𝐸) ↔ (√‘Σ𝑖𝐼 (((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖))↑2)) < (√‘(𝑁 · (𝐸↑2)))))
8963, 88mpbird 257 1 (𝜑 → (𝑋𝐷𝑌) < ((√‘𝑁) · 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2936  wss 3945  c0 4318   class class class wbr 5142  wf 6538  cfv 6542  (class class class)co 7414  cmpo 7416  m cmap 8838  Fincfn 8957  cc 11130  cr 11131  0cc0 11132   · cmul 11137   < clt 11272  cle 11273  cmin 11468  2c2 12291  0cn0 12496  +crp 13000  cexp 14052  chash 14315  csqrt 15206  abscabs 15207  Σcsu 15658  distcds 17235  ℝ^crrx 25304
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9658  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209  ax-pre-sup 11210  ax-addf 11211  ax-mulf 11212
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-tpos 8225  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8840  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9380  df-sup 9459  df-oi 9527  df-card 9956  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11896  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12497  df-z 12583  df-dec 12702  df-uz 12847  df-rp 13001  df-ico 13356  df-fz 13511  df-fzo 13654  df-seq 13993  df-exp 14053  df-hash 14316  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-clim 15458  df-sum 15659  df-struct 17109  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17174  df-ress 17203  df-plusg 17239  df-mulr 17240  df-starv 17241  df-sca 17242  df-vsca 17243  df-ip 17244  df-tset 17245  df-ple 17246  df-ds 17248  df-unif 17249  df-hom 17250  df-cco 17251  df-0g 17416  df-gsum 17417  df-prds 17422  df-pws 17424  df-mgm 18593  df-sgrp 18672  df-mnd 18688  df-mhm 18733  df-grp 18886  df-minusg 18887  df-sbg 18888  df-subg 19071  df-ghm 19161  df-cntz 19261  df-cmn 19730  df-abl 19731  df-mgp 20068  df-rng 20086  df-ur 20115  df-ring 20168  df-cring 20169  df-oppr 20266  df-dvdsr 20289  df-unit 20290  df-invr 20320  df-dvr 20333  df-rhm 20404  df-subrng 20476  df-subrg 20501  df-drng 20619  df-field 20620  df-staf 20718  df-srng 20719  df-lmod 20738  df-lss 20809  df-sra 21051  df-rgmod 21052  df-cnfld 21273  df-refld 21530  df-dsmm 21659  df-frlm 21674  df-nm 24484  df-tng 24486  df-tcph 25090  df-rrx 25306
This theorem is referenced by:  qndenserrnbllem  45676
  Copyright terms: Public domain W3C validator