Theorem rrndistlt 47037

Description: Given two points in the space of n-dimensional real numbers, if every component is closer than 𝐸 then the distance between the two points is less than ((√‘𝑛) · 𝐸). (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrndistlt.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
rrndistlt.z	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≠ ∅)
rrndistlt.n	⊢ 𝑁 = (♯‘𝐼)
rrndistlt.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
rrndistlt.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
rrndistlt.l	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (abs‘((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))) < 𝐸)
rrndistlt.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
rrndistlt.d	⊢ 𝐷 = (dist‘(ℝ^‘𝐼))

Assertion

Ref	Expression
rrndistlt	⊢ (𝜑 → (𝑋𝐷𝑌) < ((√‘𝑁) · 𝐸))

Distinct variable groups:   𝑖,𝐸   𝑖,𝐼   𝑖,𝑋   𝑖,𝑌   𝜑,𝑖

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑖)   𝑁(𝑖)

Proof of Theorem rrndistlt

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rrndistlt.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
2		rrndistlt.z	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≠ ∅)
3		rrndistlt.x	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
4		elmapi 8855	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) → 𝑋:𝐼⟶ℝ)
5	3, 4	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋:𝐼⟶ℝ)
6		ax-resscn 11175	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
7	6	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
8	5, 7	fssd 6730	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋:𝐼⟶ℂ)
9	8	ffvelcdmda 7086	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (𝑋‘𝑖) ∈ ℂ)
10		rrndistlt.y	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
11		elmapi 8855	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑌 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) → 𝑌:𝐼⟶ℝ)
12	10, 11	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑌:𝐼⟶ℝ)
13	12, 7	fssd 6730	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌:𝐼⟶ℂ)
14	13	ffvelcdmda 7086	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (𝑌‘𝑖) ∈ ℂ)
15	9, 14	subcld 11587	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → ((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖)) ∈ ℂ)
16	15	abscld 15516	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (abs‘((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))) ∈ ℝ)
17	16	resqcld 14181	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → ((abs‘((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖)))↑2) ∈ ℝ)
18		rrndistlt.e	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
19	18	rpred 13078	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
20	19	resqcld 14181	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℝ)
21	20	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (𝐸↑2) ∈ ℝ)
22		rrndistlt.l	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (abs‘((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))) < 𝐸)
23	15	absge0d 15524	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → 0 ≤ (abs‘((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))))
24	19	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → 𝐸 ∈ ℝ)
25	18	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → 𝐸 ∈ ℝ+)
26	25	rpge0d 13082	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → 0 ≤ 𝐸)
27		lt2sq 14189	. . . . . . 7 ⊢ ((((abs‘((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖)))) ∧ (𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐸)) → ((abs‘((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))) < 𝐸 ↔ ((abs‘((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖)))↑2) < (𝐸↑2)))
28	16, 23, 24, 26, 27	syl22anc 852	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → ((abs‘((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))) < 𝐸 ↔ ((abs‘((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖)))↑2) < (𝐸↑2)))
29	22, 28	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → ((abs‘((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖)))↑2) < (𝐸↑2))
30	1, 2, 17, 21, 29	fsumlt 15878	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ 𝐼 ((abs‘((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖)))↑2) < Σ𝑖 ∈ 𝐼 (𝐸↑2))
31	5	ffvelcdmda 7086	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (𝑋‘𝑖) ∈ ℝ)
32	12	ffvelcdmda 7086	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (𝑌‘𝑖) ∈ ℝ)
33	31, 32	resubcld 11660	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → ((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖)) ∈ ℝ)
34		absresq 15379	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖)) ∈ ℝ → ((abs‘((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖)))↑2) = (((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))↑2))
35	33, 34	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → ((abs‘((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖)))↑2) = (((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))↑2))
36	35	eqcomd 2772	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))↑2) = ((abs‘((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖)))↑2))
37	36	sumeq2dv 15779	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ 𝐼 (((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ 𝐼 ((abs‘((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖)))↑2))
38	6, 20	sselid 3938	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℂ)
39		fsumconst 15867	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝐸↑2) ∈ ℂ) → Σ𝑖 ∈ 𝐼 (𝐸↑2) = ((♯‘𝐼) · (𝐸↑2)))
40	1, 38, 39	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ 𝐼 (𝐸↑2) = ((♯‘𝐼) · (𝐸↑2)))
41		rrndistlt.n	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 = (♯‘𝐼)
42		eqcom 2773	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = (♯‘𝐼) ↔ (♯‘𝐼) = 𝑁)
43	41, 42	mpbi 233	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘𝐼) = 𝑁
44	43	oveq1i 7433	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝐼) · (𝐸↑2)) = (𝑁 · (𝐸↑2))
45	44	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐼) · (𝐸↑2)) = (𝑁 · (𝐸↑2)))
46	40, 45	eqtr2d 2802	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · (𝐸↑2)) = Σ𝑖 ∈ 𝐼 (𝐸↑2))
47	37, 46	breq12d 5127	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ 𝐼 (((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))↑2) < (𝑁 · (𝐸↑2)) ↔ Σ𝑖 ∈ 𝐼 ((abs‘((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖)))↑2) < Σ𝑖 ∈ 𝐼 (𝐸↑2)))
48	30, 47	mpbird 260	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ 𝐼 (((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))↑2) < (𝑁 · (𝐸↑2)))
49		nfv 1947	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑖𝜑
50	33	resqcld 14181	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))↑2) ∈ ℝ)
51	49, 1, 50	fsumreclf 46325	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ 𝐼 (((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))↑2) ∈ ℝ)
52	33	sqge0d 14193	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → 0 ≤ (((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))↑2))
53	1, 50, 52	fsumge0 15873	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑖 ∈ 𝐼 (((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))↑2))
54		hashcl 14412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (♯‘𝐼) ∈ ℕ0)
55	1, 54	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐼) ∈ ℕ0)
56	41, 55	eqeltrid 2870	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
57	56	nn0red 12584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
58	57, 20	remulcld 11257	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · (𝐸↑2)) ∈ ℝ)
59	56	nn0ge0d 12586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑁)
60	19	sqge0d 14193	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐸↑2))
61	57, 20, 59, 60	mulge0d 11809	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑁 · (𝐸↑2)))
62	51, 53, 58, 61	sqrtltd 15505	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ 𝐼 (((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))↑2) < (𝑁 · (𝐸↑2)) ↔ (√‘Σ𝑖 ∈ 𝐼 (((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))↑2)) < (√‘(𝑁 · (𝐸↑2)))))
63	48, 62	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → (√‘Σ𝑖 ∈ 𝐼 (((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))↑2)) < (√‘(𝑁 · (𝐸↑2))))
64		rrndistlt.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (dist‘(ℝ^‘𝐼))
65	64	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = (dist‘(ℝ^‘𝐼)))
66		eqid 2766	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ^‘𝐼) = (ℝ^‘𝐼)
67		eqid 2766	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ ↑m 𝐼) = (ℝ ↑m 𝐼)
68	66, 67	rrxdsfi 25600	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (dist‘(ℝ^‘𝐼)) = (𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↦ (√‘Σ𝑖 ∈ 𝐼 (((𝑓‘𝑖) − (𝑔‘𝑖))↑2))))
69	1, 68	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (dist‘(ℝ^‘𝐼)) = (𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↦ (√‘Σ𝑖 ∈ 𝐼 (((𝑓‘𝑖) − (𝑔‘𝑖))↑2))))
70	65, 69	eqtrd 2801	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = (𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↦ (√‘Σ𝑖 ∈ 𝐼 (((𝑓‘𝑖) − (𝑔‘𝑖))↑2))))
71		fveq1 6887	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = 𝑋 → (𝑓‘𝑖) = (𝑋‘𝑖))
72	71	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 = 𝑋 ∧ 𝑔 = 𝑌) → (𝑓‘𝑖) = (𝑋‘𝑖))
73		fveq1 6887	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 = 𝑌 → (𝑔‘𝑖) = (𝑌‘𝑖))
74	73	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 = 𝑋 ∧ 𝑔 = 𝑌) → (𝑔‘𝑖) = (𝑌‘𝑖))
75	72, 74	oveq12d 7441	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 = 𝑋 ∧ 𝑔 = 𝑌) → ((𝑓‘𝑖) − (𝑔‘𝑖)) = ((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖)))
76	75	oveq1d 7438	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 = 𝑋 ∧ 𝑔 = 𝑌) → (((𝑓‘𝑖) − (𝑔‘𝑖))↑2) = (((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))↑2))
77	76	sumeq2sdv 15780	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 = 𝑋 ∧ 𝑔 = 𝑌) → Σ𝑖 ∈ 𝐼 (((𝑓‘𝑖) − (𝑔‘𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ 𝐼 (((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))↑2))
78	77	fveq2d 6892	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 = 𝑋 ∧ 𝑔 = 𝑌) → (√‘Σ𝑖 ∈ 𝐼 (((𝑓‘𝑖) − (𝑔‘𝑖))↑2)) = (√‘Σ𝑖 ∈ 𝐼 (((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))↑2)))
79	78	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 = 𝑋 ∧ 𝑔 = 𝑌)) → (√‘Σ𝑖 ∈ 𝐼 (((𝑓‘𝑖) − (𝑔‘𝑖))↑2)) = (√‘Σ𝑖 ∈ 𝐼 (((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))↑2)))
80	51, 53	resqrtcld 15495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (√‘Σ𝑖 ∈ 𝐼 (((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))↑2)) ∈ ℝ)
81	70, 79, 3, 10, 80	ovmpod 7575	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐷𝑌) = (√‘Σ𝑖 ∈ 𝐼 (((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))↑2)))
82		sqrtmul 15336	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁) ∧ ((𝐸↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐸↑2))) → (√‘(𝑁 · (𝐸↑2))) = ((√‘𝑁) · (√‘(𝐸↑2))))
83	57, 59, 20, 60, 82	syl22anc 852	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (√‘(𝑁 · (𝐸↑2))) = ((√‘𝑁) · (√‘(𝐸↑2))))
84	18	rpge0d 13082	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐸)
85	19, 84	sqrtsqd 15497	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (√‘(𝐸↑2)) = 𝐸)
86	85	oveq2d 7439	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((√‘𝑁) · (√‘(𝐸↑2))) = ((√‘𝑁) · 𝐸))
87	83, 86	eqtr2d 2802	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((√‘𝑁) · 𝐸) = (√‘(𝑁 · (𝐸↑2))))
88	81, 87	breq12d 5127	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋𝐷𝑌) < ((√‘𝑁) · 𝐸) ↔ (√‘Σ𝑖 ∈ 𝐼 (((𝑋‘𝑖) − (𝑌‘𝑖))↑2)) < (√‘(𝑁 · (𝐸↑2)))))
89	63, 88	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐷𝑌) < ((√‘𝑁) · 𝐸))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961   ⊆ wss 3908  ∅c0 4289   class class class wbr 5114  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423   ∈ cmpo 7425   ↑_m cmap 8833  Fincfn 8952  ℂcc 11116  ℝcr 11117  0cc0 11118   · cmul 11123   < clt 11261   ≤ cle 11262   − cmin 11459  2c2 12313  ℕ₀cn0 12522  ℝ⁺crp 13034  ↑cexp 14117  ♯chash 14386  √csqrt 15310  abscabs 15311  Σcsu 15763  distcds 17344  ℝ^crrx 25572

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-inf2 9620  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196  ax-addf 11197  ax-mulf 11198

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-of 7687  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-supp 8166  df-tpos 8231  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8703  df-map 8835  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-sup 9412  df-oi 9482  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12523  df-z 12610  df-dec 12730  df-uz 12881  df-rp 13035  df-ico 13396  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-seq 14058  df-exp 14118  df-hash 14387  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-clim 15565  df-sum 15764  df-struct 17232  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-ress 17316  df-plusg 17348  df-mulr 17349  df-starv 17350  df-sca 17351  df-vsca 17352  df-ip 17353  df-tset 17354  df-ple 17355  df-ds 17357  df-unif 17358  df-hom 17359  df-cco 17360  df-0g 17519  df-gsum 17520  df-prds 17525  df-pws 17527  df-mgm 18723  df-sgrp 18802  df-mnd 18818  df-mhm 18866  df-grp 19028  df-minusg 19029  df-sbg 19030  df-subg 19214  df-ghm 19309  df-cntz 19412  df-cmn 19877  df-abl 19878  df-mgp 20242  df-rng 20256  df-ur 20289  df-ring 20342  df-cring 20343  df-oppr 20445  df-dvdsr 20465  df-unit 20466  df-invr 20496  df-dvr 20509  df-rhm 20580  df-subrng 20675  df-subrg 20699  df-drng 20859  df-field 20860  df-staf 20972  df-srng 20973  df-lmod 21013  df-lss 21083  df-sra 21324  df-rgmod 21325  df-cnfld 21553  df-refld 21785  df-dsmm 21912  df-frlm 21927  df-nm 24769  df-tng 24771  df-tcph 25358  df-rrx 25574

This theorem is used by:  qndenserrnbllem  47041