Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrndistlt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrndistlt 45578
Description: Given two points in the space of n-dimensional real numbers, if every component is closer than 𝐸 then the distance between the two points is less then ((βˆšβ€˜π‘›) Β· 𝐸). (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
rrndistlt.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ Fin)
rrndistlt.z (πœ‘ β†’ 𝐼 β‰  βˆ…)
rrndistlt.n 𝑁 = (β™―β€˜πΌ)
rrndistlt.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
rrndistlt.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
rrndistlt.l ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ (absβ€˜((π‘‹β€˜π‘–) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘–))) < 𝐸)
rrndistlt.e (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
rrndistlt.d 𝐷 = (distβ€˜(ℝ^β€˜πΌ))
Assertion
Ref Expression
rrndistlt (πœ‘ β†’ (π‘‹π·π‘Œ) < ((βˆšβ€˜π‘) Β· 𝐸))
Distinct variable groups:   𝑖,𝐸   𝑖,𝐼   𝑖,𝑋   𝑖,π‘Œ   πœ‘,𝑖
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑖)   𝑁(𝑖)

Proof of Theorem rrndistlt
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rrndistlt.i . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ Fin)
2 rrndistlt.z . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐼 β‰  βˆ…)
3 rrndistlt.x . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
4 elmapi 8845 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) β†’ 𝑋:πΌβŸΆβ„)
53, 4syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑋:πΌβŸΆβ„)
6 ax-resscn 11169 . . . . . . . . . . 11 ℝ βŠ† β„‚
76a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ℝ βŠ† β„‚)
85, 7fssd 6729 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑋:πΌβŸΆβ„‚)
98ffvelcdmda 7080 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ (π‘‹β€˜π‘–) ∈ β„‚)
10 rrndistlt.y . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
11 elmapi 8845 . . . . . . . . . . 11 (π‘Œ ∈ (ℝ ↑m 𝐼) β†’ π‘Œ:πΌβŸΆβ„)
1210, 11syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘Œ:πΌβŸΆβ„)
1312, 7fssd 6729 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘Œ:πΌβŸΆβ„‚)
1413ffvelcdmda 7080 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ (π‘Œβ€˜π‘–) ∈ β„‚)
159, 14subcld 11575 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ ((π‘‹β€˜π‘–) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘–)) ∈ β„‚)
1615abscld 15389 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ (absβ€˜((π‘‹β€˜π‘–) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘–))) ∈ ℝ)
1716resqcld 14095 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ ((absβ€˜((π‘‹β€˜π‘–) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘–)))↑2) ∈ ℝ)
18 rrndistlt.e . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
1918rpred 13022 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ)
2019resqcld 14095 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐸↑2) ∈ ℝ)
2120adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ (𝐸↑2) ∈ ℝ)
22 rrndistlt.l . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ (absβ€˜((π‘‹β€˜π‘–) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘–))) < 𝐸)
2315absge0d 15397 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ 0 ≀ (absβ€˜((π‘‹β€˜π‘–) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘–))))
2419adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ 𝐸 ∈ ℝ)
2518adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
2625rpge0d 13026 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ 0 ≀ 𝐸)
27 lt2sq 14103 . . . . . . 7 ((((absβ€˜((π‘‹β€˜π‘–) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘–))) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (absβ€˜((π‘‹β€˜π‘–) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘–)))) ∧ (𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐸)) β†’ ((absβ€˜((π‘‹β€˜π‘–) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘–))) < 𝐸 ↔ ((absβ€˜((π‘‹β€˜π‘–) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘–)))↑2) < (𝐸↑2)))
2816, 23, 24, 26, 27syl22anc 836 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ ((absβ€˜((π‘‹β€˜π‘–) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘–))) < 𝐸 ↔ ((absβ€˜((π‘‹β€˜π‘–) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘–)))↑2) < (𝐸↑2)))
2922, 28mpbid 231 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ ((absβ€˜((π‘‹β€˜π‘–) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘–)))↑2) < (𝐸↑2))
301, 2, 17, 21, 29fsumlt 15752 . . . 4 (πœ‘ β†’ Σ𝑖 ∈ 𝐼 ((absβ€˜((π‘‹β€˜π‘–) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘–)))↑2) < Σ𝑖 ∈ 𝐼 (𝐸↑2))
315ffvelcdmda 7080 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ (π‘‹β€˜π‘–) ∈ ℝ)
3212ffvelcdmda 7080 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ (π‘Œβ€˜π‘–) ∈ ℝ)
3331, 32resubcld 11646 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ ((π‘‹β€˜π‘–) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘–)) ∈ ℝ)
34 absresq 15255 . . . . . . . 8 (((π‘‹β€˜π‘–) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘–)) ∈ ℝ β†’ ((absβ€˜((π‘‹β€˜π‘–) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘–)))↑2) = (((π‘‹β€˜π‘–) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘–))↑2))
3533, 34syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ ((absβ€˜((π‘‹β€˜π‘–) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘–)))↑2) = (((π‘‹β€˜π‘–) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘–))↑2))
3635eqcomd 2732 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ (((π‘‹β€˜π‘–) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘–))↑2) = ((absβ€˜((π‘‹β€˜π‘–) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘–)))↑2))
3736sumeq2dv 15655 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Σ𝑖 ∈ 𝐼 (((π‘‹β€˜π‘–) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘–))↑2) = Σ𝑖 ∈ 𝐼 ((absβ€˜((π‘‹β€˜π‘–) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘–)))↑2))
386, 20sselid 3975 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐸↑2) ∈ β„‚)
39 fsumconst 15742 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝐸↑2) ∈ β„‚) β†’ Σ𝑖 ∈ 𝐼 (𝐸↑2) = ((β™―β€˜πΌ) Β· (𝐸↑2)))
401, 38, 39syl2anc 583 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Σ𝑖 ∈ 𝐼 (𝐸↑2) = ((β™―β€˜πΌ) Β· (𝐸↑2)))
41 rrndistlt.n . . . . . . . . 9 𝑁 = (β™―β€˜πΌ)
42 eqcom 2733 . . . . . . . . 9 (𝑁 = (β™―β€˜πΌ) ↔ (β™―β€˜πΌ) = 𝑁)
4341, 42mpbi 229 . . . . . . . 8 (β™―β€˜πΌ) = 𝑁
4443oveq1i 7415 . . . . . . 7 ((β™―β€˜πΌ) Β· (𝐸↑2)) = (𝑁 Β· (𝐸↑2))
4544a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜πΌ) Β· (𝐸↑2)) = (𝑁 Β· (𝐸↑2)))
4640, 45eqtr2d 2767 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑁 Β· (𝐸↑2)) = Σ𝑖 ∈ 𝐼 (𝐸↑2))
4737, 46breq12d 5154 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Σ𝑖 ∈ 𝐼 (((π‘‹β€˜π‘–) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘–))↑2) < (𝑁 Β· (𝐸↑2)) ↔ Σ𝑖 ∈ 𝐼 ((absβ€˜((π‘‹β€˜π‘–) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘–)))↑2) < Σ𝑖 ∈ 𝐼 (𝐸↑2)))
4830, 47mpbird 257 . . 3 (πœ‘ β†’ Σ𝑖 ∈ 𝐼 (((π‘‹β€˜π‘–) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘–))↑2) < (𝑁 Β· (𝐸↑2)))
49 nfv 1909 . . . . 5 β„²π‘–πœ‘
5033resqcld 14095 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ (((π‘‹β€˜π‘–) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘–))↑2) ∈ ℝ)
5149, 1, 50fsumreclf 44864 . . . 4 (πœ‘ β†’ Σ𝑖 ∈ 𝐼 (((π‘‹β€˜π‘–) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘–))↑2) ∈ ℝ)
5233sqge0d 14107 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ 0 ≀ (((π‘‹β€˜π‘–) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘–))↑2))
531, 50, 52fsumge0 15747 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ≀ Σ𝑖 ∈ 𝐼 (((π‘‹β€˜π‘–) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘–))↑2))
54 hashcl 14321 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ Fin β†’ (β™―β€˜πΌ) ∈ β„•0)
551, 54syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜πΌ) ∈ β„•0)
5641, 55eqeltrid 2831 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
5756nn0red 12537 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
5857, 20remulcld 11248 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑁 Β· (𝐸↑2)) ∈ ℝ)
5956nn0ge0d 12539 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝑁)
6019sqge0d 14107 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (𝐸↑2))
6157, 20, 59, 60mulge0d 11795 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (𝑁 Β· (𝐸↑2)))
6251, 53, 58, 61sqrtltd 15380 . . 3 (πœ‘ β†’ (Σ𝑖 ∈ 𝐼 (((π‘‹β€˜π‘–) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘–))↑2) < (𝑁 Β· (𝐸↑2)) ↔ (βˆšβ€˜Ξ£π‘– ∈ 𝐼 (((π‘‹β€˜π‘–) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘–))↑2)) < (βˆšβ€˜(𝑁 Β· (𝐸↑2)))))
6348, 62mpbid 231 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆšβ€˜Ξ£π‘– ∈ 𝐼 (((π‘‹β€˜π‘–) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘–))↑2)) < (βˆšβ€˜(𝑁 Β· (𝐸↑2))))
64 rrndistlt.d . . . . . 6 𝐷 = (distβ€˜(ℝ^β€˜πΌ))
6564a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐷 = (distβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)))
66 eqid 2726 . . . . . . 7 (ℝ^β€˜πΌ) = (ℝ^β€˜πΌ)
67 eqid 2726 . . . . . . 7 (ℝ ↑m 𝐼) = (ℝ ↑m 𝐼)
6866, 67rrxdsfi 25294 . . . . . 6 (𝐼 ∈ Fin β†’ (distβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)) = (𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↦ (βˆšβ€˜Ξ£π‘– ∈ 𝐼 (((π‘“β€˜π‘–) βˆ’ (π‘”β€˜π‘–))↑2))))
691, 68syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (distβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)) = (𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↦ (βˆšβ€˜Ξ£π‘– ∈ 𝐼 (((π‘“β€˜π‘–) βˆ’ (π‘”β€˜π‘–))↑2))))
7065, 69eqtrd 2766 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷 = (𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↦ (βˆšβ€˜Ξ£π‘– ∈ 𝐼 (((π‘“β€˜π‘–) βˆ’ (π‘”β€˜π‘–))↑2))))
71 fveq1 6884 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = 𝑋 β†’ (π‘“β€˜π‘–) = (π‘‹β€˜π‘–))
7271adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝑓 = 𝑋 ∧ 𝑔 = π‘Œ) β†’ (π‘“β€˜π‘–) = (π‘‹β€˜π‘–))
73 fveq1 6884 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = π‘Œ β†’ (π‘”β€˜π‘–) = (π‘Œβ€˜π‘–))
7473adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝑓 = 𝑋 ∧ 𝑔 = π‘Œ) β†’ (π‘”β€˜π‘–) = (π‘Œβ€˜π‘–))
7572, 74oveq12d 7423 . . . . . . . 8 ((𝑓 = 𝑋 ∧ 𝑔 = π‘Œ) β†’ ((π‘“β€˜π‘–) βˆ’ (π‘”β€˜π‘–)) = ((π‘‹β€˜π‘–) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘–)))
7675oveq1d 7420 . . . . . . 7 ((𝑓 = 𝑋 ∧ 𝑔 = π‘Œ) β†’ (((π‘“β€˜π‘–) βˆ’ (π‘”β€˜π‘–))↑2) = (((π‘‹β€˜π‘–) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘–))↑2))
7776sumeq2sdv 15656 . . . . . 6 ((𝑓 = 𝑋 ∧ 𝑔 = π‘Œ) β†’ Σ𝑖 ∈ 𝐼 (((π‘“β€˜π‘–) βˆ’ (π‘”β€˜π‘–))↑2) = Σ𝑖 ∈ 𝐼 (((π‘‹β€˜π‘–) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘–))↑2))
7877fveq2d 6889 . . . . 5 ((𝑓 = 𝑋 ∧ 𝑔 = π‘Œ) β†’ (βˆšβ€˜Ξ£π‘– ∈ 𝐼 (((π‘“β€˜π‘–) βˆ’ (π‘”β€˜π‘–))↑2)) = (βˆšβ€˜Ξ£π‘– ∈ 𝐼 (((π‘‹β€˜π‘–) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘–))↑2)))
7978adantl 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑓 = 𝑋 ∧ 𝑔 = π‘Œ)) β†’ (βˆšβ€˜Ξ£π‘– ∈ 𝐼 (((π‘“β€˜π‘–) βˆ’ (π‘”β€˜π‘–))↑2)) = (βˆšβ€˜Ξ£π‘– ∈ 𝐼 (((π‘‹β€˜π‘–) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘–))↑2)))
8051, 53resqrtcld 15370 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆšβ€˜Ξ£π‘– ∈ 𝐼 (((π‘‹β€˜π‘–) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘–))↑2)) ∈ ℝ)
8170, 79, 3, 10, 80ovmpod 7556 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘‹π·π‘Œ) = (βˆšβ€˜Ξ£π‘– ∈ 𝐼 (((π‘‹β€˜π‘–) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘–))↑2)))
82 sqrtmul 15212 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑁) ∧ ((𝐸↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝐸↑2))) β†’ (βˆšβ€˜(𝑁 Β· (𝐸↑2))) = ((βˆšβ€˜π‘) Β· (βˆšβ€˜(𝐸↑2))))
8357, 59, 20, 60, 82syl22anc 836 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆšβ€˜(𝑁 Β· (𝐸↑2))) = ((βˆšβ€˜π‘) Β· (βˆšβ€˜(𝐸↑2))))
8418rpge0d 13026 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝐸)
8519, 84sqrtsqd 15372 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆšβ€˜(𝐸↑2)) = 𝐸)
8685oveq2d 7421 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((βˆšβ€˜π‘) Β· (βˆšβ€˜(𝐸↑2))) = ((βˆšβ€˜π‘) Β· 𝐸))
8783, 86eqtr2d 2767 . . 3 (πœ‘ β†’ ((βˆšβ€˜π‘) Β· 𝐸) = (βˆšβ€˜(𝑁 Β· (𝐸↑2))))
8881, 87breq12d 5154 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘‹π·π‘Œ) < ((βˆšβ€˜π‘) Β· 𝐸) ↔ (βˆšβ€˜Ξ£π‘– ∈ 𝐼 (((π‘‹β€˜π‘–) βˆ’ (π‘Œβ€˜π‘–))↑2)) < (βˆšβ€˜(𝑁 Β· (𝐸↑2)))))
8963, 88mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ (π‘‹π·π‘Œ) < ((βˆšβ€˜π‘) Β· 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934   βŠ† wss 3943  βˆ…c0 4317   class class class wbr 5141  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   ∈ cmpo 7407   ↑m cmap 8822  Fincfn 8941  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112   Β· cmul 11117   < clt 11252   ≀ cle 11253   βˆ’ cmin 11448  2c2 12271  β„•0cn0 12476  β„+crp 12980  β†‘cexp 14032  β™―chash 14295  βˆšcsqrt 15186  abscabs 15187  Ξ£csu 15638  distcds 17215  β„^crrx 25266
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-tpos 8212  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-rp 12981  df-ico 13336  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-sum 15639  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-prds 17402  df-pws 17404  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18713  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-subg 19050  df-ghm 19139  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-cring 20141  df-oppr 20236  df-dvdsr 20259  df-unit 20260  df-invr 20290  df-dvr 20303  df-rhm 20374  df-subrng 20446  df-subrg 20471  df-drng 20589  df-field 20590  df-staf 20688  df-srng 20689  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-sra 21021  df-rgmod 21022  df-cnfld 21241  df-refld 21498  df-dsmm 21627  df-frlm 21642  df-nm 24446  df-tng 24448  df-tcph 25052  df-rrx 25268
This theorem is referenced by:  qndenserrnbllem  45582
  Copyright terms: Public domain W3C validator