Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrndistlt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrndistlt 41301
Description: Given two points in the space of n-dimensional real numbers, if every component is closer than 𝐸 then the distance between the two points is less then ((√‘𝑛) · 𝐸) (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
rrndistlt.i (𝜑𝐼 ∈ Fin)
rrndistlt.z (𝜑𝐼 ≠ ∅)
rrndistlt.n 𝑁 = (♯‘𝐼)
rrndistlt.x (𝜑𝑋 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼))
rrndistlt.y (𝜑𝑌 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼))
rrndistlt.l ((𝜑𝑖𝐼) → (abs‘((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖))) < 𝐸)
rrndistlt.e (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
rrndistlt.d 𝐷 = (dist‘(ℝ^‘𝐼))
Assertion
Ref Expression
rrndistlt (𝜑 → (𝑋𝐷𝑌) < ((√‘𝑁) · 𝐸))
Distinct variable groups:   𝑖,𝐸   𝑖,𝐼   𝑖,𝑋   𝑖,𝑌   𝜑,𝑖
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑖)   𝑁(𝑖)

Proof of Theorem rrndistlt
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rrndistlt.i . . . . 5 (𝜑𝐼 ∈ Fin)
2 rrndistlt.z . . . . 5 (𝜑𝐼 ≠ ∅)
3 rrndistlt.x . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼))
4 elmapi 8144 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) → 𝑋:𝐼⟶ℝ)
53, 4syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋:𝐼⟶ℝ)
6 ax-resscn 10309 . . . . . . . . . . 11 ℝ ⊆ ℂ
76a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
85, 7fssd 6292 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋:𝐼⟶ℂ)
98ffvelrnda 6608 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖𝐼) → (𝑋𝑖) ∈ ℂ)
10 rrndistlt.y . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑌 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼))
11 elmapi 8144 . . . . . . . . . . 11 (𝑌 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) → 𝑌:𝐼⟶ℝ)
1210, 11syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌:𝐼⟶ℝ)
1312, 7fssd 6292 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌:𝐼⟶ℂ)
1413ffvelrnda 6608 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖𝐼) → (𝑌𝑖) ∈ ℂ)
159, 14subcld 10713 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝐼) → ((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖)) ∈ ℂ)
1615abscld 14552 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝐼) → (abs‘((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖))) ∈ ℝ)
1716resqcld 13331 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝐼) → ((abs‘((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖)))↑2) ∈ ℝ)
18 rrndistlt.e . . . . . . . 8 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
1918rpred 12156 . . . . . . 7 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
2019resqcld 13331 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℝ)
2120adantr 474 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝐼) → (𝐸↑2) ∈ ℝ)
22 rrndistlt.l . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝐼) → (abs‘((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖))) < 𝐸)
2315absge0d 14560 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝐼) → 0 ≤ (abs‘((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖))))
2419adantr 474 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝐼) → 𝐸 ∈ ℝ)
2518adantr 474 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖𝐼) → 𝐸 ∈ ℝ+)
2625rpge0d 12160 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝐼) → 0 ≤ 𝐸)
27 lt2sq 13231 . . . . . . 7 ((((abs‘((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖)))) ∧ (𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐸)) → ((abs‘((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖))) < 𝐸 ↔ ((abs‘((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖)))↑2) < (𝐸↑2)))
2816, 23, 24, 26, 27syl22anc 874 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝐼) → ((abs‘((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖))) < 𝐸 ↔ ((abs‘((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖)))↑2) < (𝐸↑2)))
2922, 28mpbid 224 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝐼) → ((abs‘((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖)))↑2) < (𝐸↑2))
301, 2, 17, 21, 29fsumlt 14906 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑖𝐼 ((abs‘((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖)))↑2) < Σ𝑖𝐼 (𝐸↑2))
315ffvelrnda 6608 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖𝐼) → (𝑋𝑖) ∈ ℝ)
3212ffvelrnda 6608 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖𝐼) → (𝑌𝑖) ∈ ℝ)
3331, 32resubcld 10782 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖𝐼) → ((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖)) ∈ ℝ)
34 absresq 14419 . . . . . . . 8 (((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖)) ∈ ℝ → ((abs‘((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖)))↑2) = (((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖))↑2))
3533, 34syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖𝐼) → ((abs‘((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖)))↑2) = (((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖))↑2))
3635eqcomd 2831 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝐼) → (((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖))↑2) = ((abs‘((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖)))↑2))
3736sumeq2dv 14810 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑖𝐼 (((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖))↑2) = Σ𝑖𝐼 ((abs‘((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖)))↑2))
386, 20sseldi 3825 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℂ)
39 fsumconst 14896 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝐸↑2) ∈ ℂ) → Σ𝑖𝐼 (𝐸↑2) = ((♯‘𝐼) · (𝐸↑2)))
401, 38, 39syl2anc 581 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑖𝐼 (𝐸↑2) = ((♯‘𝐼) · (𝐸↑2)))
41 rrndistlt.n . . . . . . . . 9 𝑁 = (♯‘𝐼)
42 eqcom 2832 . . . . . . . . 9 (𝑁 = (♯‘𝐼) ↔ (♯‘𝐼) = 𝑁)
4341, 42mpbi 222 . . . . . . . 8 (♯‘𝐼) = 𝑁
4443oveq1i 6915 . . . . . . 7 ((♯‘𝐼) · (𝐸↑2)) = (𝑁 · (𝐸↑2))
4544a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ((♯‘𝐼) · (𝐸↑2)) = (𝑁 · (𝐸↑2)))
4640, 45eqtr2d 2862 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁 · (𝐸↑2)) = Σ𝑖𝐼 (𝐸↑2))
4737, 46breq12d 4886 . . . 4 (𝜑 → (Σ𝑖𝐼 (((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖))↑2) < (𝑁 · (𝐸↑2)) ↔ Σ𝑖𝐼 ((abs‘((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖)))↑2) < Σ𝑖𝐼 (𝐸↑2)))
4830, 47mpbird 249 . . 3 (𝜑 → Σ𝑖𝐼 (((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖))↑2) < (𝑁 · (𝐸↑2)))
49 nfv 2015 . . . . 5 𝑖𝜑
5033resqcld 13331 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝐼) → (((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖))↑2) ∈ ℝ)
5149, 1, 50fsumreclf 40603 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑖𝐼 (((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖))↑2) ∈ ℝ)
5233sqge0d 13332 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝐼) → 0 ≤ (((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖))↑2))
531, 50, 52fsumge0 14901 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑖𝐼 (((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖))↑2))
54 hashcl 13437 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ Fin → (♯‘𝐼) ∈ ℕ0)
551, 54syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘𝐼) ∈ ℕ0)
5641, 55syl5eqel 2910 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
5756nn0red 11679 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
5857, 20remulcld 10387 . . . 4 (𝜑 → (𝑁 · (𝐸↑2)) ∈ ℝ)
5956nn0ge0d 11681 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ 𝑁)
6019sqge0d 13332 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ (𝐸↑2))
6157, 20, 59, 60mulge0d 10929 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ (𝑁 · (𝐸↑2)))
6251, 53, 58, 61sqrtltd 14543 . . 3 (𝜑 → (Σ𝑖𝐼 (((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖))↑2) < (𝑁 · (𝐸↑2)) ↔ (√‘Σ𝑖𝐼 (((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖))↑2)) < (√‘(𝑁 · (𝐸↑2)))))
6348, 62mpbid 224 . 2 (𝜑 → (√‘Σ𝑖𝐼 (((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖))↑2)) < (√‘(𝑁 · (𝐸↑2))))
64 rrndistlt.d . . . . . 6 𝐷 = (dist‘(ℝ^‘𝐼))
6564a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝐷 = (dist‘(ℝ^‘𝐼)))
66 eqid 2825 . . . . . . 7 (ℝ^‘𝐼) = (ℝ^‘𝐼)
67 eqid 2825 . . . . . . 7 (ℝ ↑𝑚 𝐼) = (ℝ ↑𝑚 𝐼)
6866, 67rrxdsfi 23579 . . . . . 6 (𝐼 ∈ Fin → (dist‘(ℝ^‘𝐼)) = (𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ↦ (√‘Σ𝑖𝐼 (((𝑓𝑖) − (𝑔𝑖))↑2))))
691, 68syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (dist‘(ℝ^‘𝐼)) = (𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ↦ (√‘Σ𝑖𝐼 (((𝑓𝑖) − (𝑔𝑖))↑2))))
7065, 69eqtrd 2861 . . . 4 (𝜑𝐷 = (𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ↦ (√‘Σ𝑖𝐼 (((𝑓𝑖) − (𝑔𝑖))↑2))))
71 fveq1 6432 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = 𝑋 → (𝑓𝑖) = (𝑋𝑖))
7271adantr 474 . . . . . . . . 9 ((𝑓 = 𝑋𝑔 = 𝑌) → (𝑓𝑖) = (𝑋𝑖))
73 fveq1 6432 . . . . . . . . . 10 (𝑔 = 𝑌 → (𝑔𝑖) = (𝑌𝑖))
7473adantl 475 . . . . . . . . 9 ((𝑓 = 𝑋𝑔 = 𝑌) → (𝑔𝑖) = (𝑌𝑖))
7572, 74oveq12d 6923 . . . . . . . 8 ((𝑓 = 𝑋𝑔 = 𝑌) → ((𝑓𝑖) − (𝑔𝑖)) = ((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖)))
7675oveq1d 6920 . . . . . . 7 ((𝑓 = 𝑋𝑔 = 𝑌) → (((𝑓𝑖) − (𝑔𝑖))↑2) = (((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖))↑2))
7776sumeq2ad 14811 . . . . . 6 ((𝑓 = 𝑋𝑔 = 𝑌) → Σ𝑖𝐼 (((𝑓𝑖) − (𝑔𝑖))↑2) = Σ𝑖𝐼 (((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖))↑2))
7877fveq2d 6437 . . . . 5 ((𝑓 = 𝑋𝑔 = 𝑌) → (√‘Σ𝑖𝐼 (((𝑓𝑖) − (𝑔𝑖))↑2)) = (√‘Σ𝑖𝐼 (((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖))↑2)))
7978adantl 475 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑓 = 𝑋𝑔 = 𝑌)) → (√‘Σ𝑖𝐼 (((𝑓𝑖) − (𝑔𝑖))↑2)) = (√‘Σ𝑖𝐼 (((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖))↑2)))
8051, 53resqrtcld 14533 . . . 4 (𝜑 → (√‘Σ𝑖𝐼 (((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖))↑2)) ∈ ℝ)
8170, 79, 3, 10, 80ovmpt2d 7048 . . 3 (𝜑 → (𝑋𝐷𝑌) = (√‘Σ𝑖𝐼 (((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖))↑2)))
82 sqrtmul 14377 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁) ∧ ((𝐸↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐸↑2))) → (√‘(𝑁 · (𝐸↑2))) = ((√‘𝑁) · (√‘(𝐸↑2))))
8357, 59, 20, 60, 82syl22anc 874 . . . 4 (𝜑 → (√‘(𝑁 · (𝐸↑2))) = ((√‘𝑁) · (√‘(𝐸↑2))))
8418rpge0d 12160 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ 𝐸)
8519, 84sqrtsqd 14535 . . . . 5 (𝜑 → (√‘(𝐸↑2)) = 𝐸)
8685oveq2d 6921 . . . 4 (𝜑 → ((√‘𝑁) · (√‘(𝐸↑2))) = ((√‘𝑁) · 𝐸))
8783, 86eqtr2d 2862 . . 3 (𝜑 → ((√‘𝑁) · 𝐸) = (√‘(𝑁 · (𝐸↑2))))
8881, 87breq12d 4886 . 2 (𝜑 → ((𝑋𝐷𝑌) < ((√‘𝑁) · 𝐸) ↔ (√‘Σ𝑖𝐼 (((𝑋𝑖) − (𝑌𝑖))↑2)) < (√‘(𝑁 · (𝐸↑2)))))
8963, 88mpbird 249 1 (𝜑 → (𝑋𝐷𝑌) < ((√‘𝑁) · 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386   = wceq 1658  wcel 2166  wne 2999  wss 3798  c0 4144   class class class wbr 4873  wf 6119  cfv 6123  (class class class)co 6905  cmpt2 6907  𝑚 cmap 8122  Fincfn 8222  cc 10250  cr 10251  0cc0 10252   · cmul 10257   < clt 10391  cle 10392  cmin 10585  2c2 11406  0cn0 11618  +crp 12112  cexp 13154  chash 13410  csqrt 14350  abscabs 14351  Σcsu 14793  distcds 16314  ℝ^crrx 23551
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-inf2 8815  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329  ax-pre-sup 10330  ax-addf 10331  ax-mulf 10332
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-fal 1672  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-se 5302  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-isom 6132  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-of 7157  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-supp 7560  df-tpos 7617  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-oadd 7830  df-er 8009  df-map 8124  df-ixp 8176  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-fsupp 8545  df-sup 8617  df-oi 8684  df-card 9078  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-div 11010  df-nn 11351  df-2 11414  df-3 11415  df-4 11416  df-5 11417  df-6 11418  df-7 11419  df-8 11420  df-9 11421  df-n0 11619  df-z 11705  df-dec 11822  df-uz 11969  df-rp 12113  df-ico 12469  df-fz 12620  df-fzo 12761  df-seq 13096  df-exp 13155  df-hash 13411  df-cj 14216  df-re 14217  df-im 14218  df-sqrt 14352  df-abs 14353  df-clim 14596  df-sum 14794  df-struct 16224  df-ndx 16225  df-slot 16226  df-base 16228  df-sets 16229  df-ress 16230  df-plusg 16318  df-mulr 16319  df-starv 16320  df-sca 16321  df-vsca 16322  df-ip 16323  df-tset 16324  df-ple 16325  df-ds 16327  df-unif 16328  df-hom 16329  df-cco 16330  df-0g 16455  df-gsum 16456  df-prds 16461  df-pws 16463  df-mgm 17595  df-sgrp 17637  df-mnd 17648  df-mhm 17688  df-grp 17779  df-minusg 17780  df-sbg 17781  df-subg 17942  df-ghm 18009  df-cntz 18100  df-cmn 18548  df-abl 18549  df-mgp 18844  df-ur 18856  df-ring 18903  df-cring 18904  df-oppr 18977  df-dvdsr 18995  df-unit 18996  df-invr 19026  df-dvr 19037  df-rnghom 19071  df-drng 19105  df-field 19106  df-subrg 19134  df-staf 19201  df-srng 19202  df-lmod 19221  df-lss 19289  df-sra 19533  df-rgmod 19534  df-cnfld 20107  df-refld 20312  df-dsmm 20439  df-frlm 20454  df-nm 22757  df-tng 22759  df-tcph 23338  df-rrx 23553
This theorem is referenced by:  qndenserrnbllem  41305
  Copyright terms: Public domain W3C validator