Theorem subgsub 19046

Description: The subtraction of elements in a subgroup is the same as subtraction in the group. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
subgsubcl.p	⊢ − = (-g‘𝐺)
subgsub.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)
subgsub.n	⊢ 𝑁 = (-g‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
subgsub	⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋𝑁𝑌))

Proof of Theorem subgsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subgsub.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)
2		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
3	1, 2	ressplusg 17190	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (+g‘𝐺) = (+g‘𝐻))
4	3	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → (+g‘𝐺) = (+g‘𝐻))
5		eqidd 2732	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → 𝑋 = 𝑋)
6		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
7		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (invg‘𝐻) = (invg‘𝐻)
8	1, 6, 7	subginv 19041	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → ((invg‘𝐺)‘𝑌) = ((invg‘𝐻)‘𝑌))
9	8	3adant2 1131	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → ((invg‘𝐺)‘𝑌) = ((invg‘𝐻)‘𝑌))
10	4, 5, 9	oveq123d 7362	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑌)) = (𝑋(+g‘𝐻)((invg‘𝐻)‘𝑌)))
11		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
12	11	subgss 19035	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
13	12	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
14		simp2 1137	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ 𝑆)
15	13, 14	sseldd 3930	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
16		simp3 1138	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → 𝑌 ∈ 𝑆)
17	13, 16	sseldd 3930	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐺))
18		subgsubcl.p	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝐺)
19	11, 2, 6, 18	grpsubval 18893	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑌)))
20	15, 17, 19	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑌)))
21	1	subgbas 19038	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
22	21	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
23	14, 22	eleqtrd 2833	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐻))
24	16, 22	eleqtrd 2833	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐻))
25		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
26		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐻) = (+g‘𝐻)
27		subgsub.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (-g‘𝐻)
28	25, 26, 7, 27	grpsubval 18893	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐻)) → (𝑋𝑁𝑌) = (𝑋(+g‘𝐻)((invg‘𝐻)‘𝑌)))
29	23, 24, 28	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → (𝑋𝑁𝑌) = (𝑋(+g‘𝐻)((invg‘𝐻)‘𝑌)))
30	10, 20, 29	3eqtr4d 2776	1 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋𝑁𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3897  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341  Basecbs 17115   ↾_s cress 17136  +_gcplusg 17156  inv_gcminusg 18842  -_gcsg 18843  SubGrpcsubg 19028

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-nn 12121  df-2 12183  df-sets 17070  df-slot 17088  df-ndx 17100  df-base 17116  df-ress 17137  df-plusg 17169  df-0g 17340  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-grp 18844  df-minusg 18845  df-sbg 18846  df-subg 19031

This theorem is referenced by:  rngqiprngimfo  21233  rngqiprngfulem4  21246  zringsub  21387  zringsubgval  21402  zndvds  21481  resubgval  21541  frlmsubgval  21697  scmatsgrp1  22432  subgngp  24545  clmsub  25002  evls1subd  33527  irngss  33692  2sqr3minply  33785  qqhucn  33997