Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subgsub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subgsub 18291
 Description: The subtraction of elements in a subgroup is the same as subtraction in the group. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
subgsubcl.p = (-g𝐺)
subgsub.h 𝐻 = (𝐺s 𝑆)
subgsub.n 𝑁 = (-g𝐻)
Assertion
Ref Expression
subgsub ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑆𝑌𝑆) → (𝑋 𝑌) = (𝑋𝑁𝑌))

Proof of Theorem subgsub
StepHypRef Expression
1 subgsub.h . . . . 5 𝐻 = (𝐺s 𝑆)
2 eqid 2824 . . . . 5 (+g𝐺) = (+g𝐺)
31, 2ressplusg 16612 . . . 4 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (+g𝐺) = (+g𝐻))
433ad2ant1 1130 . . 3 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑆𝑌𝑆) → (+g𝐺) = (+g𝐻))
5 eqidd 2825 . . 3 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑆𝑌𝑆) → 𝑋 = 𝑋)
6 eqid 2824 . . . . 5 (invg𝐺) = (invg𝐺)
7 eqid 2824 . . . . 5 (invg𝐻) = (invg𝐻)
81, 6, 7subginv 18286 . . . 4 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑌𝑆) → ((invg𝐺)‘𝑌) = ((invg𝐻)‘𝑌))
983adant2 1128 . . 3 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑆𝑌𝑆) → ((invg𝐺)‘𝑌) = ((invg𝐻)‘𝑌))
104, 5, 9oveq123d 7170 . 2 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑆𝑌𝑆) → (𝑋(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑌)) = (𝑋(+g𝐻)((invg𝐻)‘𝑌)))
11 eqid 2824 . . . . . 6 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
1211subgss 18280 . . . . 5 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
13123ad2ant1 1130 . . . 4 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑆𝑌𝑆) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
14 simp2 1134 . . . 4 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑆𝑌𝑆) → 𝑋𝑆)
1513, 14sseldd 3954 . . 3 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑆𝑌𝑆) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
16 simp3 1135 . . . 4 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑆𝑌𝑆) → 𝑌𝑆)
1713, 16sseldd 3954 . . 3 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑆𝑌𝑆) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐺))
18 subgsubcl.p . . . 4 = (-g𝐺)
1911, 2, 6, 18grpsubval 18149 . . 3 ((𝑋 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑋 𝑌) = (𝑋(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑌)))
2015, 17, 19syl2anc 587 . 2 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑆𝑌𝑆) → (𝑋 𝑌) = (𝑋(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑌)))
211subgbas 18283 . . . . 5 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
22213ad2ant1 1130 . . . 4 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑆𝑌𝑆) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
2314, 22eleqtrd 2918 . . 3 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑆𝑌𝑆) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐻))
2416, 22eleqtrd 2918 . . 3 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑆𝑌𝑆) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐻))
25 eqid 2824 . . . 4 (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
26 eqid 2824 . . . 4 (+g𝐻) = (+g𝐻)
27 subgsub.n . . . 4 𝑁 = (-g𝐻)
2825, 26, 7, 27grpsubval 18149 . . 3 ((𝑋 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐻)) → (𝑋𝑁𝑌) = (𝑋(+g𝐻)((invg𝐻)‘𝑌)))
2923, 24, 28syl2anc 587 . 2 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑆𝑌𝑆) → (𝑋𝑁𝑌) = (𝑋(+g𝐻)((invg𝐻)‘𝑌)))
3010, 20, 293eqtr4d 2869 1 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑆𝑌𝑆) → (𝑋 𝑌) = (𝑋𝑁𝑌))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ⊆ wss 3919  ‘cfv 6343  (class class class)co 7149  Basecbs 16483   ↾s cress 16484  +gcplusg 16565  invgcminusg 18104  -gcsg 18105  SubGrpcsubg 18273 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-2 11697  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-0g 16715  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-sbg 18108  df-subg 18276 This theorem is referenced by:  zndvds  20696  resubgval  20753  frlmsubgval  20909  scmatsgrp1  21131  subgngp  23244  clmsub  23688  qqhucn  31290  zringsubgval  44729
 Copyright terms: Public domain W3C validator