MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subgsub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subgsub 17990
Description: The subtraction of elements in a subgroup is the same as subtraction in the group. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
subgsubcl.p = (-g𝐺)
subgsub.h 𝐻 = (𝐺s 𝑆)
subgsub.n 𝑁 = (-g𝐻)
Assertion
Ref Expression
subgsub ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑆𝑌𝑆) → (𝑋 𝑌) = (𝑋𝑁𝑌))

Proof of Theorem subgsub
StepHypRef Expression
1 subgsub.h . . . . 5 𝐻 = (𝐺s 𝑆)
2 eqid 2778 . . . . 5 (+g𝐺) = (+g𝐺)
31, 2ressplusg 16385 . . . 4 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (+g𝐺) = (+g𝐻))
433ad2ant1 1124 . . 3 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑆𝑌𝑆) → (+g𝐺) = (+g𝐻))
5 eqidd 2779 . . 3 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑆𝑌𝑆) → 𝑋 = 𝑋)
6 eqid 2778 . . . . 5 (invg𝐺) = (invg𝐺)
7 eqid 2778 . . . . 5 (invg𝐻) = (invg𝐻)
81, 6, 7subginv 17985 . . . 4 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑌𝑆) → ((invg𝐺)‘𝑌) = ((invg𝐻)‘𝑌))
983adant2 1122 . . 3 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑆𝑌𝑆) → ((invg𝐺)‘𝑌) = ((invg𝐻)‘𝑌))
104, 5, 9oveq123d 6943 . 2 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑆𝑌𝑆) → (𝑋(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑌)) = (𝑋(+g𝐻)((invg𝐻)‘𝑌)))
11 eqid 2778 . . . . . 6 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
1211subgss 17979 . . . . 5 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
13123ad2ant1 1124 . . . 4 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑆𝑌𝑆) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
14 simp2 1128 . . . 4 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑆𝑌𝑆) → 𝑋𝑆)
1513, 14sseldd 3822 . . 3 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑆𝑌𝑆) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
16 simp3 1129 . . . 4 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑆𝑌𝑆) → 𝑌𝑆)
1713, 16sseldd 3822 . . 3 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑆𝑌𝑆) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐺))
18 subgsubcl.p . . . 4 = (-g𝐺)
1911, 2, 6, 18grpsubval 17852 . . 3 ((𝑋 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑋 𝑌) = (𝑋(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑌)))
2015, 17, 19syl2anc 579 . 2 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑆𝑌𝑆) → (𝑋 𝑌) = (𝑋(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑌)))
211subgbas 17982 . . . . 5 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
22213ad2ant1 1124 . . . 4 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑆𝑌𝑆) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
2314, 22eleqtrd 2861 . . 3 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑆𝑌𝑆) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐻))
2416, 22eleqtrd 2861 . . 3 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑆𝑌𝑆) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐻))
25 eqid 2778 . . . 4 (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
26 eqid 2778 . . . 4 (+g𝐻) = (+g𝐻)
27 subgsub.n . . . 4 𝑁 = (-g𝐻)
2825, 26, 7, 27grpsubval 17852 . . 3 ((𝑋 ∈ (Base‘𝐻) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐻)) → (𝑋𝑁𝑌) = (𝑋(+g𝐻)((invg𝐻)‘𝑌)))
2923, 24, 28syl2anc 579 . 2 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑆𝑌𝑆) → (𝑋𝑁𝑌) = (𝑋(+g𝐻)((invg𝐻)‘𝑌)))
3010, 20, 293eqtr4d 2824 1 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋𝑆𝑌𝑆) → (𝑋 𝑌) = (𝑋𝑁𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1071   = wceq 1601  wcel 2107  wss 3792  cfv 6135  (class class class)co 6922  Basecbs 16255  s cress 16256  +gcplusg 16338  invgcminusg 17810  -gcsg 17811  SubGrpcsubg 17972
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-0g 16488  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-grp 17812  df-minusg 17813  df-sbg 17814  df-subg 17975
This theorem is referenced by:  zndvds  20293  resubgval  20352  frlmsubgval  20508  scmatsgrp1  20733  subgngp  22847  clmsub  23287  qqhucn  30634  zringsubgval  43198
  Copyright terms: Public domain W3C validator