Theorem xpcid 17906

Description: The identity morphism in the product of categories. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
xpccat.t	⊢ 𝑇 = (𝐶 ×c 𝐷)
xpccat.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
xpccat.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
xpccat.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐶)
xpccat.y	⊢ 𝑌 = (Base‘𝐷)
xpccat.i	⊢ 𝐼 = (Id‘𝐶)
xpccat.j	⊢ 𝐽 = (Id‘𝐷)
xpcid.1	⊢ 1 = (Id‘𝑇)
xpcid.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑋)
xpcid.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
xpcid	⊢ (𝜑 → ( 1 ‘⟨𝑅, 𝑆⟩) = ⟨(𝐼‘𝑅), (𝐽‘𝑆)⟩)

Proof of Theorem xpcid

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ov 7278	. 2 ⊢ (𝑅 1 𝑆) = ( 1 ‘⟨𝑅, 𝑆⟩)
2		xpcid.1	. . . 4 ⊢ 1 = (Id‘𝑇)
3		xpccat.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = (𝐶 ×c 𝐷)
4		xpccat.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
5		xpccat.d	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
6		xpccat.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐶)
7		xpccat.y	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 = (Base‘𝐷)
8		xpccat.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (Id‘𝐶)
9		xpccat.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (Id‘𝐷)
10	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	xpccatid 17905	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∈ Cat ∧ (Id‘𝑇) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ⟨(𝐼‘𝑥), (𝐽‘𝑦)⟩)))
11	10	simprd 496	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Id‘𝑇) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ⟨(𝐼‘𝑥), (𝐽‘𝑦)⟩))
12	2, 11	eqtrid 2790	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ⟨(𝐼‘𝑥), (𝐽‘𝑦)⟩))
13		simprl 768	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝑅 ∧ 𝑦 = 𝑆)) → 𝑥 = 𝑅)
14	13	fveq2d 6778	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝑅 ∧ 𝑦 = 𝑆)) → (𝐼‘𝑥) = (𝐼‘𝑅))
15		simprr 770	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝑅 ∧ 𝑦 = 𝑆)) → 𝑦 = 𝑆)
16	15	fveq2d 6778	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝑅 ∧ 𝑦 = 𝑆)) → (𝐽‘𝑦) = (𝐽‘𝑆))
17	14, 16	opeq12d 4812	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝑅 ∧ 𝑦 = 𝑆)) → ⟨(𝐼‘𝑥), (𝐽‘𝑦)⟩ = ⟨(𝐼‘𝑅), (𝐽‘𝑆)⟩)
18		xpcid.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑋)
19		xpcid.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑌)
20		opex 5379	. . . 4 ⊢ ⟨(𝐼‘𝑅), (𝐽‘𝑆)⟩ ∈ V
21	20	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨(𝐼‘𝑅), (𝐽‘𝑆)⟩ ∈ V)
22	12, 17, 18, 19, 21	ovmpod 7425	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 1 𝑆) = ⟨(𝐼‘𝑅), (𝐽‘𝑆)⟩)
23	1, 22	eqtr3id 2792	1 ⊢ (𝜑 → ( 1 ‘⟨𝑅, 𝑆⟩) = ⟨(𝐼‘𝑅), (𝐽‘𝑆)⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  Vcvv 3432  ⟨cop 4567  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   ∈ cmpo 7277  Basecbs 16912  Catccat 17373  Idccid 17374   ×_c cxpc 17885

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-fz 13240  df-struct 16848  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-hom 16986  df-cco 16987  df-cat 17377  df-cid 17378  df-xpc 17889

This theorem is referenced by:  1stfcl  17914  2ndfcl  17915  prfcl  17920  evlfcl  17940  curf1cl  17946  curfcl  17950  hofcl  17977