Theorem xpcid 18244

Description: The identity morphism in the product of categories. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
xpccat.t	⊢ 𝑇 = (𝐶 ×c 𝐷)
xpccat.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
xpccat.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
xpccat.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐶)
xpccat.y	⊢ 𝑌 = (Base‘𝐷)
xpccat.i	⊢ 𝐼 = (Id‘𝐶)
xpccat.j	⊢ 𝐽 = (Id‘𝐷)
xpcid.1	⊢ 1 = (Id‘𝑇)
xpcid.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑋)
xpcid.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
xpcid	⊢ (𝜑 → ( 1 ‘⟨𝑅, 𝑆⟩) = ⟨(𝐼‘𝑅), (𝐽‘𝑆)⟩)

Proof of Theorem xpcid

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ov 7414	. 2 ⊢ (𝑅 1 𝑆) = ( 1 ‘⟨𝑅, 𝑆⟩)
2		xpcid.1	. . . 4 ⊢ 1 = (Id‘𝑇)
3		xpccat.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = (𝐶 ×c 𝐷)
4		xpccat.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
5		xpccat.d	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
6		xpccat.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐶)
7		xpccat.y	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 = (Base‘𝐷)
8		xpccat.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (Id‘𝐶)
9		xpccat.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (Id‘𝐷)
10	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	xpccatid 18243	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∈ Cat ∧ (Id‘𝑇) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ⟨(𝐼‘𝑥), (𝐽‘𝑦)⟩)))
11	10	simprd 500	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Id‘𝑇) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ⟨(𝐼‘𝑥), (𝐽‘𝑦)⟩))
12	2, 11	eqtrid 2816	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ⟨(𝐼‘𝑥), (𝐽‘𝑦)⟩))
13		simprl 782	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝑅 ∧ 𝑦 = 𝑆)) → 𝑥 = 𝑅)
14	13	fveq2d 6886	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝑅 ∧ 𝑦 = 𝑆)) → (𝐼‘𝑥) = (𝐼‘𝑅))
15		simprr 784	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝑅 ∧ 𝑦 = 𝑆)) → 𝑦 = 𝑆)
16	15	fveq2d 6886	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝑅 ∧ 𝑦 = 𝑆)) → (𝐽‘𝑦) = (𝐽‘𝑆))
17	14, 16	opeq12d 4850	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝑅 ∧ 𝑦 = 𝑆)) → ⟨(𝐼‘𝑥), (𝐽‘𝑦)⟩ = ⟨(𝐼‘𝑅), (𝐽‘𝑆)⟩)
18		xpcid.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑋)
19		xpcid.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑌)
20		opex 5446	. . . 4 ⊢ ⟨(𝐼‘𝑅), (𝐽‘𝑆)⟩ ∈ V
21	20	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨(𝐼‘𝑅), (𝐽‘𝑆)⟩ ∈ V)
22	12, 17, 18, 19, 21	ovmpod 7563	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 1 𝑆) = ⟨(𝐼‘𝑅), (𝐽‘𝑆)⟩)
23	1, 22	eqtr3id 2818	1 ⊢ (𝜑 → ( 1 ‘⟨𝑅, 𝑆⟩) = ⟨(𝐼‘𝑅), (𝐽‘𝑆)⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  Vcvv 3463  ⟨cop 4600  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411   ∈ cmpo 7413  Basecbs 17268  Catccat 17719  Idccid 17720   ×_c cxpc 18223

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-9 12309  df-n0 12504  df-z 12591  df-dec 12711  df-uz 12862  df-fz 13535  df-struct 17206  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-hom 17333  df-cco 17334  df-cat 17723  df-cid 17724  df-xpc 18227

This theorem is referenced by:  1stfcl  18252  2ndfcl  18253  prfcl  18258  evlfcl  18277  curf1cl  18283  curfcl  18287  hofcl  18314  swapfid  49941  fucoid  50010