Theorem xpcid 18179

Description: The identity morphism in the product of categories. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
xpccat.t	⊢ 𝑇 = (𝐶 ×c 𝐷)
xpccat.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
xpccat.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
xpccat.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐶)
xpccat.y	⊢ 𝑌 = (Base‘𝐷)
xpccat.i	⊢ 𝐼 = (Id‘𝐶)
xpccat.j	⊢ 𝐽 = (Id‘𝐷)
xpcid.1	⊢ 1 = (Id‘𝑇)
xpcid.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑋)
xpcid.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
xpcid	⊢ (𝜑 → ( 1 ‘⟨𝑅, 𝑆⟩) = ⟨(𝐼‘𝑅), (𝐽‘𝑆)⟩)

Proof of Theorem xpcid

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ov 7423	. 2 ⊢ (𝑅 1 𝑆) = ( 1 ‘⟨𝑅, 𝑆⟩)
2		xpcid.1	. . . 4 ⊢ 1 = (Id‘𝑇)
3		xpccat.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = (𝐶 ×c 𝐷)
4		xpccat.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
5		xpccat.d	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
6		xpccat.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐶)
7		xpccat.y	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 = (Base‘𝐷)
8		xpccat.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (Id‘𝐶)
9		xpccat.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (Id‘𝐷)
10	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	xpccatid 18178	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∈ Cat ∧ (Id‘𝑇) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ⟨(𝐼‘𝑥), (𝐽‘𝑦)⟩)))
11	10	simprd 495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Id‘𝑇) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ⟨(𝐼‘𝑥), (𝐽‘𝑦)⟩))
12	2, 11	eqtrid 2780	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ⟨(𝐼‘𝑥), (𝐽‘𝑦)⟩))
13		simprl 770	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝑅 ∧ 𝑦 = 𝑆)) → 𝑥 = 𝑅)
14	13	fveq2d 6901	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝑅 ∧ 𝑦 = 𝑆)) → (𝐼‘𝑥) = (𝐼‘𝑅))
15		simprr 772	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝑅 ∧ 𝑦 = 𝑆)) → 𝑦 = 𝑆)
16	15	fveq2d 6901	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝑅 ∧ 𝑦 = 𝑆)) → (𝐽‘𝑦) = (𝐽‘𝑆))
17	14, 16	opeq12d 4882	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝑅 ∧ 𝑦 = 𝑆)) → ⟨(𝐼‘𝑥), (𝐽‘𝑦)⟩ = ⟨(𝐼‘𝑅), (𝐽‘𝑆)⟩)
18		xpcid.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑋)
19		xpcid.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑌)
20		opex 5466	. . . 4 ⊢ ⟨(𝐼‘𝑅), (𝐽‘𝑆)⟩ ∈ V
21	20	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨(𝐼‘𝑅), (𝐽‘𝑆)⟩ ∈ V)
22	12, 17, 18, 19, 21	ovmpod 7573	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 1 𝑆) = ⟨(𝐼‘𝑅), (𝐽‘𝑆)⟩)
23	1, 22	eqtr3id 2782	1 ⊢ (𝜑 → ( 1 ‘⟨𝑅, 𝑆⟩) = ⟨(𝐼‘𝑅), (𝐽‘𝑆)⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  Vcvv 3471  ⟨cop 4635  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420   ∈ cmpo 7422  Basecbs 17179  Catccat 17643  Idccid 17644   ×_c cxpc 18158

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-er 8724  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-fin 8967  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-fz 13517  df-struct 17115  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-hom 17256  df-cco 17257  df-cat 17647  df-cid 17648  df-xpc 18162

This theorem is referenced by:  1stfcl  18187  2ndfcl  18188  prfcl  18193  evlfcl  18213  curf1cl  18219  curfcl  18223  hofcl  18250