Theorem xpcid 18140

Description: The identity morphism in the product of categories. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
xpccat.t	⊢ 𝑇 = (𝐶 ×c 𝐷)
xpccat.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
xpccat.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
xpccat.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐶)
xpccat.y	⊢ 𝑌 = (Base‘𝐷)
xpccat.i	⊢ 𝐼 = (Id‘𝐶)
xpccat.j	⊢ 𝐽 = (Id‘𝐷)
xpcid.1	⊢ 1 = (Id‘𝑇)
xpcid.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑋)
xpcid.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
xpcid	⊢ (𝜑 → ( 1 ‘⟨𝑅, 𝑆⟩) = ⟨(𝐼‘𝑅), (𝐽‘𝑆)⟩)

Proof of Theorem xpcid

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ov 7411	. 2 ⊢ (𝑅 1 𝑆) = ( 1 ‘⟨𝑅, 𝑆⟩)
2		xpcid.1	. . . 4 ⊢ 1 = (Id‘𝑇)
3		xpccat.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = (𝐶 ×c 𝐷)
4		xpccat.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
5		xpccat.d	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
6		xpccat.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐶)
7		xpccat.y	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 = (Base‘𝐷)
8		xpccat.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (Id‘𝐶)
9		xpccat.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (Id‘𝐷)
10	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	xpccatid 18139	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∈ Cat ∧ (Id‘𝑇) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ⟨(𝐼‘𝑥), (𝐽‘𝑦)⟩)))
11	10	simprd 496	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Id‘𝑇) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ⟨(𝐼‘𝑥), (𝐽‘𝑦)⟩))
12	2, 11	eqtrid 2784	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ⟨(𝐼‘𝑥), (𝐽‘𝑦)⟩))
13		simprl 769	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝑅 ∧ 𝑦 = 𝑆)) → 𝑥 = 𝑅)
14	13	fveq2d 6895	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝑅 ∧ 𝑦 = 𝑆)) → (𝐼‘𝑥) = (𝐼‘𝑅))
15		simprr 771	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝑅 ∧ 𝑦 = 𝑆)) → 𝑦 = 𝑆)
16	15	fveq2d 6895	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝑅 ∧ 𝑦 = 𝑆)) → (𝐽‘𝑦) = (𝐽‘𝑆))
17	14, 16	opeq12d 4881	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝑅 ∧ 𝑦 = 𝑆)) → ⟨(𝐼‘𝑥), (𝐽‘𝑦)⟩ = ⟨(𝐼‘𝑅), (𝐽‘𝑆)⟩)
18		xpcid.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑋)
19		xpcid.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑌)
20		opex 5464	. . . 4 ⊢ ⟨(𝐼‘𝑅), (𝐽‘𝑆)⟩ ∈ V
21	20	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨(𝐼‘𝑅), (𝐽‘𝑆)⟩ ∈ V)
22	12, 17, 18, 19, 21	ovmpod 7559	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 1 𝑆) = ⟨(𝐼‘𝑅), (𝐽‘𝑆)⟩)
23	1, 22	eqtr3id 2786	1 ⊢ (𝜑 → ( 1 ‘⟨𝑅, 𝑆⟩) = ⟨(𝐼‘𝑅), (𝐽‘𝑆)⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474  ⟨cop 4634  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408   ∈ cmpo 7410  Basecbs 17143  Catccat 17607  Idccid 17608   ×_c cxpc 18119

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-fz 13484  df-struct 17079  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-hom 17220  df-cco 17221  df-cat 17611  df-cid 17612  df-xpc 18123

This theorem is referenced by:  1stfcl  18148  2ndfcl  18149  prfcl  18154  evlfcl  18174  curf1cl  18180  curfcl  18184  hofcl  18211