Theorem xpcid 18277

Description: The identity morphism in the product of categories. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
xpccat.t	⊢ 𝑇 = (𝐶 ×c 𝐷)
xpccat.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
xpccat.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
xpccat.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐶)
xpccat.y	⊢ 𝑌 = (Base‘𝐷)
xpccat.i	⊢ 𝐼 = (Id‘𝐶)
xpccat.j	⊢ 𝐽 = (Id‘𝐷)
xpcid.1	⊢ 1 = (Id‘𝑇)
xpcid.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑋)
xpcid.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
xpcid	⊢ (𝜑 → ( 1 ‘⟨𝑅, 𝑆⟩) = ⟨(𝐼‘𝑅), (𝐽‘𝑆)⟩)

Proof of Theorem xpcid

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ov 7416	. 2 ⊢ (𝑅 1 𝑆) = ( 1 ‘⟨𝑅, 𝑆⟩)
2		xpcid.1	. . . 4 ⊢ 1 = (Id‘𝑇)
3		xpccat.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = (𝐶 ×c 𝐷)
4		xpccat.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
5		xpccat.d	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
6		xpccat.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐶)
7		xpccat.y	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 = (Base‘𝐷)
8		xpccat.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (Id‘𝐶)
9		xpccat.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (Id‘𝐷)
10	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	xpccatid 18276	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∈ Cat ∧ (Id‘𝑇) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ⟨(𝐼‘𝑥), (𝐽‘𝑦)⟩)))
11	10	simprd 501	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Id‘𝑇) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ⟨(𝐼‘𝑥), (𝐽‘𝑦)⟩))
12	2, 11	eqtrid 2807	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ ⟨(𝐼‘𝑥), (𝐽‘𝑦)⟩))
13		simprl 783	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝑅 ∧ 𝑦 = 𝑆)) → 𝑥 = 𝑅)
14	13	fveq2d 6882	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝑅 ∧ 𝑦 = 𝑆)) → (𝐼‘𝑥) = (𝐼‘𝑅))
15		simprr 785	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝑅 ∧ 𝑦 = 𝑆)) → 𝑦 = 𝑆)
16	15	fveq2d 6882	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝑅 ∧ 𝑦 = 𝑆)) → (𝐽‘𝑦) = (𝐽‘𝑆))
17	14, 16	opeq12d 4841	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝑅 ∧ 𝑦 = 𝑆)) → ⟨(𝐼‘𝑥), (𝐽‘𝑦)⟩ = ⟨(𝐼‘𝑅), (𝐽‘𝑆)⟩)
18		xpcid.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑋)
19		xpcid.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑌)
20		opex 5439	. . . 4 ⊢ ⟨(𝐼‘𝑅), (𝐽‘𝑆)⟩ ∈ V
21	20	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨(𝐼‘𝑅), (𝐽‘𝑆)⟩ ∈ V)
22	12, 17, 18, 19, 21	ovmpod 7565	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 1 𝑆) = ⟨(𝐼‘𝑅), (𝐽‘𝑆)⟩)
23	1, 22	eqtr3id 2809	1 ⊢ (𝜑 → ( 1 ‘⟨𝑅, 𝑆⟩) = ⟨(𝐼‘𝑅), (𝐽‘𝑆)⟩)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450  ⟨cop 4590  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413   ∈ cmpo 7415  Basecbs 17301  Catccat 17752  Idccid 17753   ×_c cxpc 18256

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12737  df-uz 12888  df-fz 13562  df-struct 17239  df-slot 17274  df-ndx 17286  df-base 17302  df-hom 17366  df-cco 17367  df-cat 17756  df-cid 17757  df-xpc 18260

This theorem is used by:  1stfcl  18285  2ndfcl  18286  prfcl  18291  evlfcl  18310  curf1cl  18316  curfcl  18320  hofcl  18347  swapfid  50205  fucoid  50274