MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpcid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xpcid 17143
Description: The identity morphism in the product of categories. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
xpccat.t 𝑇 = (𝐶 ×c 𝐷)
xpccat.c (𝜑𝐶 ∈ Cat)
xpccat.d (𝜑𝐷 ∈ Cat)
xpccat.x 𝑋 = (Base‘𝐶)
xpccat.y 𝑌 = (Base‘𝐷)
xpccat.i 𝐼 = (Id‘𝐶)
xpccat.j 𝐽 = (Id‘𝐷)
xpcid.1 1 = (Id‘𝑇)
xpcid.r (𝜑𝑅𝑋)
xpcid.s (𝜑𝑆𝑌)
Assertion
Ref Expression
xpcid (𝜑 → ( 1 ‘⟨𝑅, 𝑆⟩) = ⟨(𝐼𝑅), (𝐽𝑆)⟩)

Proof of Theorem xpcid
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ov 6882 . 2 (𝑅 1 𝑆) = ( 1 ‘⟨𝑅, 𝑆⟩)
2 xpcid.1 . . . 4 1 = (Id‘𝑇)
3 xpccat.t . . . . . 6 𝑇 = (𝐶 ×c 𝐷)
4 xpccat.c . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ Cat)
5 xpccat.d . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ Cat)
6 xpccat.x . . . . . 6 𝑋 = (Base‘𝐶)
7 xpccat.y . . . . . 6 𝑌 = (Base‘𝐷)
8 xpccat.i . . . . . 6 𝐼 = (Id‘𝐶)
9 xpccat.j . . . . . 6 𝐽 = (Id‘𝐷)
103, 4, 5, 6, 7, 8, 9xpccatid 17142 . . . . 5 (𝜑 → (𝑇 ∈ Cat ∧ (Id‘𝑇) = (𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ ⟨(𝐼𝑥), (𝐽𝑦)⟩)))
1110simprd 490 . . . 4 (𝜑 → (Id‘𝑇) = (𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ ⟨(𝐼𝑥), (𝐽𝑦)⟩))
122, 11syl5eq 2846 . . 3 (𝜑1 = (𝑥𝑋, 𝑦𝑌 ↦ ⟨(𝐼𝑥), (𝐽𝑦)⟩))
13 simprl 788 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝑅𝑦 = 𝑆)) → 𝑥 = 𝑅)
1413fveq2d 6416 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝑅𝑦 = 𝑆)) → (𝐼𝑥) = (𝐼𝑅))
15 simprr 790 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝑅𝑦 = 𝑆)) → 𝑦 = 𝑆)
1615fveq2d 6416 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝑅𝑦 = 𝑆)) → (𝐽𝑦) = (𝐽𝑆))
1714, 16opeq12d 4602 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 = 𝑅𝑦 = 𝑆)) → ⟨(𝐼𝑥), (𝐽𝑦)⟩ = ⟨(𝐼𝑅), (𝐽𝑆)⟩)
18 xpcid.r . . 3 (𝜑𝑅𝑋)
19 xpcid.s . . 3 (𝜑𝑆𝑌)
20 opex 5124 . . . 4 ⟨(𝐼𝑅), (𝐽𝑆)⟩ ∈ V
2120a1i 11 . . 3 (𝜑 → ⟨(𝐼𝑅), (𝐽𝑆)⟩ ∈ V)
2212, 17, 18, 19, 21ovmpt2d 7023 . 2 (𝜑 → (𝑅 1 𝑆) = ⟨(𝐼𝑅), (𝐽𝑆)⟩)
231, 22syl5eqr 2848 1 (𝜑 → ( 1 ‘⟨𝑅, 𝑆⟩) = ⟨(𝐼𝑅), (𝐽𝑆)⟩)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 385   = wceq 1653  wcel 2157  Vcvv 3386  cop 4375  cfv 6102  (class class class)co 6879  cmpt2 6881  Basecbs 16183  Catccat 16638  Idccid 16639   ×c cxpc 17122
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2378  ax-ext 2778  ax-rep 4965  ax-sep 4976  ax-nul 4984  ax-pow 5036  ax-pr 5098  ax-un 7184  ax-cnex 10281  ax-resscn 10282  ax-1cn 10283  ax-icn 10284  ax-addcl 10285  ax-addrcl 10286  ax-mulcl 10287  ax-mulrcl 10288  ax-mulcom 10289  ax-addass 10290  ax-mulass 10291  ax-distr 10292  ax-i2m1 10293  ax-1ne0 10294  ax-1rid 10295  ax-rnegex 10296  ax-rrecex 10297  ax-cnre 10298  ax-pre-lttri 10299  ax-pre-lttrn 10300  ax-pre-ltadd 10301  ax-pre-mulgt0 10302
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-fal 1667  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2592  df-eu 2610  df-clab 2787  df-cleq 2793  df-clel 2796  df-nfc 2931  df-ne 2973  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3388  df-sbc 3635  df-csb 3730  df-dif 3773  df-un 3775  df-in 3777  df-ss 3784  df-pss 3786  df-nul 4117  df-if 4279  df-pw 4352  df-sn 4370  df-pr 4372  df-tp 4374  df-op 4376  df-uni 4630  df-int 4669  df-iun 4713  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5221  df-eprel 5226  df-po 5234  df-so 5235  df-fr 5272  df-we 5274  df-xp 5319  df-rel 5320  df-cnv 5321  df-co 5322  df-dm 5323  df-rn 5324  df-res 5325  df-ima 5326  df-pred 5899  df-ord 5945  df-on 5946  df-lim 5947  df-suc 5948  df-iota 6065  df-fun 6104  df-fn 6105  df-f 6106  df-f1 6107  df-fo 6108  df-f1o 6109  df-fv 6110  df-riota 6840  df-ov 6882  df-oprab 6883  df-mpt2 6884  df-om 7301  df-1st 7402  df-2nd 7403  df-wrecs 7646  df-recs 7708  df-rdg 7746  df-1o 7800  df-oadd 7804  df-er 7983  df-en 8197  df-dom 8198  df-sdom 8199  df-fin 8200  df-pnf 10366  df-mnf 10367  df-xr 10368  df-ltxr 10369  df-le 10370  df-sub 10559  df-neg 10560  df-nn 11314  df-2 11375  df-3 11376  df-4 11377  df-5 11378  df-6 11379  df-7 11380  df-8 11381  df-9 11382  df-n0 11580  df-z 11666  df-dec 11783  df-uz 11930  df-fz 12580  df-struct 16185  df-ndx 16186  df-slot 16187  df-base 16189  df-hom 16290  df-cco 16291  df-cat 16642  df-cid 16643  df-xpc 17126
This theorem is referenced by:  1stfcl  17151  2ndfcl  17152  prfcl  17157  evlfcl  17176  curf1cl  17182  curfcl  17186  hofcl  17213
  Copyright terms: Public domain W3C validator