MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  swrds2m Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem swrds2m 14951
Description: Extract two adjacent symbols from a word in reverse direction. (Contributed by AV, 11-May-2022.)
Assertion
Ref Expression
swrds2m ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩) = ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 2))(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩)

Proof of Theorem swrds2m
StepHypRef Expression
1 elfzelz 13526 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)) → 𝑁 ∈ ℤ)
21zcnd 12675 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)) → 𝑁 ∈ ℂ)
3 2cnd 12293 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)) → 2 ∈ ℂ)
42, 3npcand 11543 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)) → ((𝑁 − 2) + 2) = 𝑁)
54eqcomd 2767 . . . . 5 (𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)) → 𝑁 = ((𝑁 − 2) + 2))
65opeq2d 4837 . . . 4 (𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)) → ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩ = ⟨(𝑁 − 2), ((𝑁 − 2) + 2)⟩)
76oveq2d 7408 . . 3 (𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)) → (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩) = (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), ((𝑁 − 2) + 2)⟩))
87adantl 485 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩) = (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), ((𝑁 − 2) + 2)⟩))
9 simpl 486 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
10 elfzuz 13522 . . . . 5 (𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)) → 𝑁 ∈ (ℤ‘2))
11 uznn0sub 12871 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ0)
1210, 11syl 17 . . . 4 (𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ0)
1312adantl 485 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊))) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ0)
14 1cnd 11172 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)) → 1 ∈ ℂ)
152, 3, 14subsubd 11567 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)) → (𝑁 − (2 − 1)) = ((𝑁 − 2) + 1))
16 2m1e1 12339 . . . . . . 7 (2 − 1) = 1
1716oveq2i 7403 . . . . . 6 (𝑁 − (2 − 1)) = (𝑁 − 1)
1815, 17eqtr3di 2811 . . . . 5 (𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)) → ((𝑁 − 2) + 1) = (𝑁 − 1))
19 2eluzge1 12880 . . . . . . . 8 2 ∈ (ℤ‘1)
20 fzss1 13565 . . . . . . . 8 (2 ∈ (ℤ‘1) → (2...(♯‘𝑊)) ⊆ (1...(♯‘𝑊)))
2119, 20ax-mp 5 . . . . . . 7 (2...(♯‘𝑊)) ⊆ (1...(♯‘𝑊))
2221sseli 3932 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)) → 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊)))
23 fz1fzo0m1 13713 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊)) → (𝑁 − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
2422, 23syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)) → (𝑁 − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
2518, 24eqeltrd 2861 . . . 4 (𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)) → ((𝑁 − 2) + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
2625adantl 485 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊))) → ((𝑁 − 2) + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
27 swrds2 14950 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 − 2) ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 − 2) + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), ((𝑁 − 2) + 2)⟩) = ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 2))(𝑊‘((𝑁 − 2) + 1))”⟩)
289, 13, 26, 27syl3anc 1389 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), ((𝑁 − 2) + 2)⟩) = ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 2))(𝑊‘((𝑁 − 2) + 1))”⟩)
29 eqidd 2762 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊))) → (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘(𝑁 − 2)))
3018fveq2d 6867 . . . 4 (𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)) → (𝑊‘((𝑁 − 2) + 1)) = (𝑊‘(𝑁 − 1)))
3130adantl 485 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊))) → (𝑊‘((𝑁 − 2) + 1)) = (𝑊‘(𝑁 − 1)))
3229, 31s2eqd 14873 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊))) → ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 2))(𝑊‘((𝑁 − 2) + 1))”⟩ = ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 2))(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩)
338, 28, 323eqtrd 2800 1 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩) = ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 2))(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1559  wcel 2141  wss 3904  cop 4587  cfv 6517  (class class class)co 7392  0cc0 11070  1c1 11071   + caddc 11073  cmin 11411  2c2 12269  0cn0 12478  cuz 12836  ...cfz 13509  ..^cfzo 13656  chash 14340  Word cword 14523   substr csubstr 14651  ⟨“cs2 14851
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-card 9894  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12208  df-2 12277  df-n0 12479  df-z 12566  df-uz 12837  df-fz 13510  df-fzo 13657  df-hash 14341  df-word 14524  df-concat 14581  df-s1 14607  df-substr 14652  df-s2 14858
This theorem is referenced by:  2clwwlk2clwwlklem  30494
  Copyright terms: Public domain W3C validator