Theorem swrds2m 15004

Description: Extract two adjacent symbols from a word in reverse direction. (Contributed by AV, 11-May-2022.)

Assertion

Ref	Expression
swrds2m	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩) = ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 2))(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩)

Proof of Theorem swrds2m

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzelz 13570	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)) → 𝑁 ∈ ℤ)
2	1	zcnd 12719	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)) → 𝑁 ∈ ℂ)
3		2cnd 12337	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)) → 2 ∈ ℂ)
4	2, 3	npcand 11591	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)) → ((𝑁 − 2) + 2) = 𝑁)
5	4	eqcomd 2772	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)) → 𝑁 = ((𝑁 − 2) + 2))
6	5	opeq2d 4850	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)) → ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩ = ⟨(𝑁 − 2), ((𝑁 − 2) + 2)⟩)
7	6	oveq2d 7439	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)) → (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩) = (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), ((𝑁 − 2) + 2)⟩))
8	7	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩) = (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), ((𝑁 − 2) + 2)⟩))
9		simpl 488	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
10		elfzuz 13566	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
11		uznn0sub 12915	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ0)
12	10, 11	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ0)
13	12	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊))) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ0)
14		1cnd 11220	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)) → 1 ∈ ℂ)
15	2, 3, 14	subsubd 11615	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)) → (𝑁 − (2 − 1)) = ((𝑁 − 2) + 1))
16		2m1e1 12383	. . . . . . 7 ⊢ (2 − 1) = 1
17	16	oveq2i 7434	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 − (2 − 1)) = (𝑁 − 1)
18	15, 17	eqtr3di 2816	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)) → ((𝑁 − 2) + 1) = (𝑁 − 1))
19		2eluzge1 12924	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘1)
20		fzss1 13610	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∈ (ℤ≥‘1) → (2...(♯‘𝑊)) ⊆ (1...(♯‘𝑊)))
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (2...(♯‘𝑊)) ⊆ (1...(♯‘𝑊))
22	21	sseli 3936	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)) → 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊)))
23		fz1fzo0m1 13758	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊)) → (𝑁 − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
24	22, 23	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)) → (𝑁 − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
25	18, 24	eqeltrd 2866	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)) → ((𝑁 − 2) + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
26	25	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊))) → ((𝑁 − 2) + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
27		swrds2 15003	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 − 2) ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 − 2) + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), ((𝑁 − 2) + 2)⟩) = ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 2))(𝑊‘((𝑁 − 2) + 1))”⟩)
28	9, 13, 26, 27	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), ((𝑁 − 2) + 2)⟩) = ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 2))(𝑊‘((𝑁 − 2) + 1))”⟩)
29		eqidd 2767	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊))) → (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘(𝑁 − 2)))
30	18	fveq2d 6892	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)) → (𝑊‘((𝑁 − 2) + 1)) = (𝑊‘(𝑁 − 1)))
31	30	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊))) → (𝑊‘((𝑁 − 2) + 1)) = (𝑊‘(𝑁 − 1)))
32	29, 31	s2eqd 14926	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊))) → ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 2))(𝑊‘((𝑁 − 2) + 1))”⟩ = ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 2))(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩)
33	8, 28, 32	3eqtrd 2805	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩) = ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 2))(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ⊆ wss 3908  ⟨cop 4600  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  0cc0 11118  1c1 11119   + caddc 11121   − cmin 11459  2c2 12313  ℕ₀cn0 12522  ℤ_≥cuz 12880  ...cfz 13553  ..^cfzo 13701  ♯chash 14386  Word cword 14570   substr csubstr 14700  ⟨“cs2 14904

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-2 12321  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-hash 14387  df-word 14571  df-concat 14628  df-s1 14655  df-substr 14701  df-s2 14911

This theorem is used by:  2clwwlk2clwwlklem  30734