Theorem swrds2m 14163

Description: Extract two adjacent symbols from a word in reverse direction. (Contributed by AV, 11-May-2022.)

Assertion

Ref	Expression
swrds2m	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩) = ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 2))(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩)

Proof of Theorem swrds2m

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzelz 12722	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)) → 𝑁 ∈ ℤ)
2	1	zcnd 11899	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)) → 𝑁 ∈ ℂ)
3		2cnd 11516	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)) → 2 ∈ ℂ)
4	2, 3	npcand 10800	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)) → ((𝑁 − 2) + 2) = 𝑁)
5	4	eqcomd 2777	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)) → 𝑁 = ((𝑁 − 2) + 2))
6	5	opeq2d 4680	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)) → ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩ = ⟨(𝑁 − 2), ((𝑁 − 2) + 2)⟩)
7	6	oveq2d 6990	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)) → (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩) = (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), ((𝑁 − 2) + 2)⟩))
8	7	adantl 474	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩) = (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), ((𝑁 − 2) + 2)⟩))
9		simpl 475	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
10		elfzuz 12718	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
11		uznn0sub 12089	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ0)
12	10, 11	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ0)
13	12	adantl 474	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊))) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ0)
14		2m1e1 11571	. . . . . . 7 ⊢ (2 − 1) = 1
15	14	oveq2i 6985	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 − (2 − 1)) = (𝑁 − 1)
16		1cnd 10432	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)) → 1 ∈ ℂ)
17	2, 3, 16	subsubd 10824	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)) → (𝑁 − (2 − 1)) = ((𝑁 − 2) + 1))
18	15, 17	syl5reqr 2822	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)) → ((𝑁 − 2) + 1) = (𝑁 − 1))
19		2eluzge1 12106	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘1)
20		fzss1 12760	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∈ (ℤ≥‘1) → (2...(♯‘𝑊)) ⊆ (1...(♯‘𝑊)))
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (2...(♯‘𝑊)) ⊆ (1...(♯‘𝑊))
22	21	sseli 3847	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)) → 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊)))
23		fz1fzo0m1 12898	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊)) → (𝑁 − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
24	22, 23	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)) → (𝑁 − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
25	18, 24	eqeltrd 2859	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)) → ((𝑁 − 2) + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
26	25	adantl 474	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊))) → ((𝑁 − 2) + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
27		swrds2 14162	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 − 2) ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 − 2) + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), ((𝑁 − 2) + 2)⟩) = ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 2))(𝑊‘((𝑁 − 2) + 1))”⟩)
28	9, 13, 26, 27	syl3anc 1352	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), ((𝑁 − 2) + 2)⟩) = ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 2))(𝑊‘((𝑁 − 2) + 1))”⟩)
29		eqidd 2772	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊))) → (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘(𝑁 − 2)))
30	18	fveq2d 6500	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)) → (𝑊‘((𝑁 − 2) + 1)) = (𝑊‘(𝑁 − 1)))
31	30	adantl 474	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊))) → (𝑊‘((𝑁 − 2) + 1)) = (𝑊‘(𝑁 − 1)))
32	29, 31	s2eqd 14085	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊))) → ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 2))(𝑊‘((𝑁 − 2) + 1))”⟩ = ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 2))(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩)
33	8, 28, 32	3eqtrd 2811	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩) = ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 2))(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 387   = wceq 1508   ∈ wcel 2051   ⊆ wss 3822  ⟨cop 4441  ‘cfv 6185  (class class class)co 6974  0cc0 10333  1c1 10334   + caddc 10336   − cmin 10668  2c2 11493  ℕ₀cn0 11705  ℤ_≥cuz 12056  ...cfz 12706  ..^cfzo 12847  ♯chash 13503  Word cword 13670   substr csubstr 13801  ⟨“cs2 14063

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2743  ax-rep 5045  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-cnex 10389  ax-resscn 10390  ax-1cn 10391  ax-icn 10392  ax-addcl 10393  ax-addrcl 10394  ax-mulcl 10395  ax-mulrcl 10396  ax-mulcom 10397  ax-addass 10398  ax-mulass 10399  ax-distr 10400  ax-i2m1 10401  ax-1ne0 10402  ax-1rid 10403  ax-rnegex 10404  ax-rrecex 10405  ax-cnre 10406  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408  ax-pre-ltadd 10409  ax-pre-mulgt0 10410

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2752  df-cleq 2764  df-clel 2839  df-nfc 2911  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3086  df-rex 3087  df-reu 3088  df-rab 3090  df-v 3410  df-sbc 3675  df-csb 3780  df-dif 3825  df-un 3827  df-in 3829  df-ss 3836  df-pss 3838  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4709  df-int 4746  df-iun 4790  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-tr 5027  df-id 5308  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-we 5364  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-pred 5983  df-ord 6029  df-on 6030  df-lim 6031  df-suc 6032  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-om 7395  df-1st 7499  df-2nd 7500  df-wrecs 7748  df-recs 7810  df-rdg 7848  df-1o 7903  df-oadd 7907  df-er 8087  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-fin 8308  df-card 9160  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-xr 10476  df-ltxr 10477  df-le 10478  df-sub 10670  df-neg 10671  df-nn 11438  df-2 11501  df-n0 11706  df-z 11792  df-uz 12057  df-fz 12707  df-fzo 12848  df-hash 13504  df-word 13671  df-concat 13732  df-s1 13757  df-substr 13802  df-s2 14070

This theorem is referenced by:  2clwwlk2clwwlklem  27898