MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  swrds2m Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem swrds2m 14294
Description: Extract two adjacent symbols from a word in reverse direction. (Contributed by AV, 11-May-2022.)
Assertion
Ref Expression
swrds2m ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩) = ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 2))(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩)

Proof of Theorem swrds2m
StepHypRef Expression
1 elfzelz 12902 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)) → 𝑁 ∈ ℤ)
21zcnd 12076 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)) → 𝑁 ∈ ℂ)
3 2cnd 11703 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)) → 2 ∈ ℂ)
42, 3npcand 10990 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)) → ((𝑁 − 2) + 2) = 𝑁)
54eqcomd 2804 . . . . 5 (𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)) → 𝑁 = ((𝑁 − 2) + 2))
65opeq2d 4772 . . . 4 (𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)) → ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩ = ⟨(𝑁 − 2), ((𝑁 − 2) + 2)⟩)
76oveq2d 7151 . . 3 (𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)) → (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩) = (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), ((𝑁 − 2) + 2)⟩))
87adantl 485 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩) = (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), ((𝑁 − 2) + 2)⟩))
9 simpl 486 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
10 elfzuz 12898 . . . . 5 (𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)) → 𝑁 ∈ (ℤ‘2))
11 uznn0sub 12265 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ0)
1210, 11syl 17 . . . 4 (𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ0)
1312adantl 485 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊))) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ0)
14 2m1e1 11751 . . . . . . 7 (2 − 1) = 1
1514oveq2i 7146 . . . . . 6 (𝑁 − (2 − 1)) = (𝑁 − 1)
16 1cnd 10625 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)) → 1 ∈ ℂ)
172, 3, 16subsubd 11014 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)) → (𝑁 − (2 − 1)) = ((𝑁 − 2) + 1))
1815, 17syl5reqr 2848 . . . . 5 (𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)) → ((𝑁 − 2) + 1) = (𝑁 − 1))
19 2eluzge1 12282 . . . . . . . 8 2 ∈ (ℤ‘1)
20 fzss1 12941 . . . . . . . 8 (2 ∈ (ℤ‘1) → (2...(♯‘𝑊)) ⊆ (1...(♯‘𝑊)))
2119, 20ax-mp 5 . . . . . . 7 (2...(♯‘𝑊)) ⊆ (1...(♯‘𝑊))
2221sseli 3911 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)) → 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊)))
23 fz1fzo0m1 13080 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊)) → (𝑁 − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
2422, 23syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)) → (𝑁 − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
2518, 24eqeltrd 2890 . . . 4 (𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)) → ((𝑁 − 2) + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
2625adantl 485 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊))) → ((𝑁 − 2) + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
27 swrds2 14293 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 − 2) ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 − 2) + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), ((𝑁 − 2) + 2)⟩) = ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 2))(𝑊‘((𝑁 − 2) + 1))”⟩)
289, 13, 26, 27syl3anc 1368 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), ((𝑁 − 2) + 2)⟩) = ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 2))(𝑊‘((𝑁 − 2) + 1))”⟩)
29 eqidd 2799 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊))) → (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘(𝑁 − 2)))
3018fveq2d 6649 . . . 4 (𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)) → (𝑊‘((𝑁 − 2) + 1)) = (𝑊‘(𝑁 − 1)))
3130adantl 485 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊))) → (𝑊‘((𝑁 − 2) + 1)) = (𝑊‘(𝑁 − 1)))
3229, 31s2eqd 14216 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊))) → ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 2))(𝑊‘((𝑁 − 2) + 1))”⟩ = ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 2))(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩)
338, 28, 323eqtrd 2837 1 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩) = ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 2))(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2111  wss 3881  cop 4531  cfv 6324  (class class class)co 7135  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529  cmin 10859  2c2 11680  0cn0 11885  cuz 12231  ...cfz 12885  ..^cfzo 13028  chash 13686  Word cword 13857   substr csubstr 13993  ⟨“cs2 14194
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-hash 13687  df-word 13858  df-concat 13914  df-s1 13941  df-substr 13994  df-s2 14201
This theorem is referenced by:  2clwwlk2clwwlklem  28131
  Copyright terms: Public domain W3C validator