Theorem swrds2m 14582

Description: Extract two adjacent symbols from a word in reverse direction. (Contributed by AV, 11-May-2022.)

Assertion

Ref	Expression
swrds2m	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩) = ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 2))(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩)

Proof of Theorem swrds2m

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzelz 13185	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)) → 𝑁 ∈ ℤ)
2	1	zcnd 12356	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)) → 𝑁 ∈ ℂ)
3		2cnd 11981	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)) → 2 ∈ ℂ)
4	2, 3	npcand 11266	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)) → ((𝑁 − 2) + 2) = 𝑁)
5	4	eqcomd 2744	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)) → 𝑁 = ((𝑁 − 2) + 2))
6	5	opeq2d 4808	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)) → ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩ = ⟨(𝑁 − 2), ((𝑁 − 2) + 2)⟩)
7	6	oveq2d 7271	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)) → (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩) = (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), ((𝑁 − 2) + 2)⟩))
8	7	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩) = (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), ((𝑁 − 2) + 2)⟩))
9		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
10		elfzuz 13181	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
11		uznn0sub 12546	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ0)
12	10, 11	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ0)
13	12	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊))) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ0)
14		1cnd 10901	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)) → 1 ∈ ℂ)
15	2, 3, 14	subsubd 11290	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)) → (𝑁 − (2 − 1)) = ((𝑁 − 2) + 1))
16		2m1e1 12029	. . . . . . 7 ⊢ (2 − 1) = 1
17	16	oveq2i 7266	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 − (2 − 1)) = (𝑁 − 1)
18	15, 17	eqtr3di 2794	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)) → ((𝑁 − 2) + 1) = (𝑁 − 1))
19		2eluzge1 12563	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘1)
20		fzss1 13224	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∈ (ℤ≥‘1) → (2...(♯‘𝑊)) ⊆ (1...(♯‘𝑊)))
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (2...(♯‘𝑊)) ⊆ (1...(♯‘𝑊))
22	21	sseli 3913	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)) → 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊)))
23		fz1fzo0m1 13363	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊)) → (𝑁 − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
24	22, 23	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)) → (𝑁 − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
25	18, 24	eqeltrd 2839	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)) → ((𝑁 − 2) + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
26	25	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊))) → ((𝑁 − 2) + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
27		swrds2 14581	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 − 2) ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 − 2) + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), ((𝑁 − 2) + 2)⟩) = ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 2))(𝑊‘((𝑁 − 2) + 1))”⟩)
28	9, 13, 26, 27	syl3anc 1369	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), ((𝑁 − 2) + 2)⟩) = ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 2))(𝑊‘((𝑁 − 2) + 1))”⟩)
29		eqidd 2739	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊))) → (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘(𝑁 − 2)))
30	18	fveq2d 6760	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)) → (𝑊‘((𝑁 − 2) + 1)) = (𝑊‘(𝑁 − 1)))
31	30	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊))) → (𝑊‘((𝑁 − 2) + 1)) = (𝑊‘(𝑁 − 1)))
32	29, 31	s2eqd 14504	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊))) → ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 2))(𝑊‘((𝑁 − 2) + 1))”⟩ = ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 2))(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩)
33	8, 28, 32	3eqtrd 2782	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩) = ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 2))(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3883  ⟨cop 4564  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805   − cmin 11135  2c2 11958  ℕ₀cn0 12163  ℤ_≥cuz 12511  ...cfz 13168  ..^cfzo 13311  ♯chash 13972  Word cword 14145   substr csubstr 14281  ⟨“cs2 14482

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-hash 13973  df-word 14146  df-concat 14202  df-s1 14229  df-substr 14282  df-s2 14489

This theorem is referenced by:  2clwwlk2clwwlklem  28611