MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  swrds2m Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem swrds2m 14889
Description: Extract two adjacent symbols from a word in reverse direction. (Contributed by AV, 11-May-2022.)
Assertion
Ref Expression
swrds2m ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩) = ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 2))(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩)

Proof of Theorem swrds2m
StepHypRef Expression
1 elfzelz 13498 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)) → 𝑁 ∈ ℤ)
21zcnd 12664 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)) → 𝑁 ∈ ℂ)
3 2cnd 12287 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)) → 2 ∈ ℂ)
42, 3npcand 11572 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)) → ((𝑁 − 2) + 2) = 𝑁)
54eqcomd 2739 . . . . 5 (𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)) → 𝑁 = ((𝑁 − 2) + 2))
65opeq2d 4880 . . . 4 (𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)) → ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩ = ⟨(𝑁 − 2), ((𝑁 − 2) + 2)⟩)
76oveq2d 7422 . . 3 (𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)) → (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩) = (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), ((𝑁 − 2) + 2)⟩))
87adantl 483 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩) = (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), ((𝑁 − 2) + 2)⟩))
9 simpl 484 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
10 elfzuz 13494 . . . . 5 (𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)) → 𝑁 ∈ (ℤ‘2))
11 uznn0sub 12858 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ0)
1210, 11syl 17 . . . 4 (𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ0)
1312adantl 483 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊))) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ0)
14 1cnd 11206 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)) → 1 ∈ ℂ)
152, 3, 14subsubd 11596 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)) → (𝑁 − (2 − 1)) = ((𝑁 − 2) + 1))
16 2m1e1 12335 . . . . . . 7 (2 − 1) = 1
1716oveq2i 7417 . . . . . 6 (𝑁 − (2 − 1)) = (𝑁 − 1)
1815, 17eqtr3di 2788 . . . . 5 (𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)) → ((𝑁 − 2) + 1) = (𝑁 − 1))
19 2eluzge1 12875 . . . . . . . 8 2 ∈ (ℤ‘1)
20 fzss1 13537 . . . . . . . 8 (2 ∈ (ℤ‘1) → (2...(♯‘𝑊)) ⊆ (1...(♯‘𝑊)))
2119, 20ax-mp 5 . . . . . . 7 (2...(♯‘𝑊)) ⊆ (1...(♯‘𝑊))
2221sseli 3978 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)) → 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊)))
23 fz1fzo0m1 13677 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊)) → (𝑁 − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
2422, 23syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)) → (𝑁 − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
2518, 24eqeltrd 2834 . . . 4 (𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)) → ((𝑁 − 2) + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
2625adantl 483 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊))) → ((𝑁 − 2) + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
27 swrds2 14888 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 − 2) ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 − 2) + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), ((𝑁 − 2) + 2)⟩) = ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 2))(𝑊‘((𝑁 − 2) + 1))”⟩)
289, 13, 26, 27syl3anc 1372 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), ((𝑁 − 2) + 2)⟩) = ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 2))(𝑊‘((𝑁 − 2) + 1))”⟩)
29 eqidd 2734 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊))) → (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘(𝑁 − 2)))
3018fveq2d 6893 . . . 4 (𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)) → (𝑊‘((𝑁 − 2) + 1)) = (𝑊‘(𝑁 − 1)))
3130adantl 483 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊))) → (𝑊‘((𝑁 − 2) + 1)) = (𝑊‘(𝑁 − 1)))
3229, 31s2eqd 14811 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊))) → ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 2))(𝑊‘((𝑁 − 2) + 1))”⟩ = ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 2))(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩)
338, 28, 323eqtrd 2777 1 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩) = ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 2))(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wss 3948  cop 4634  cfv 6541  (class class class)co 7406  0cc0 11107  1c1 11108   + caddc 11110  cmin 11441  2c2 12264  0cn0 12469  cuz 12819  ...cfz 13481  ..^cfzo 13624  chash 14287  Word cword 14461   substr csubstr 14587  ⟨“cs2 14789
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-card 9931  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-hash 14288  df-word 14462  df-concat 14518  df-s1 14543  df-substr 14588  df-s2 14796
This theorem is referenced by:  2clwwlk2clwwlklem  29589
  Copyright terms: Public domain W3C validator