Theorem swrds2m 14980

Description: Extract two adjacent symbols from a word in reverse direction. (Contributed by AV, 11-May-2022.)

Assertion

Ref	Expression
swrds2m	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩) = ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 2))(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩)

Proof of Theorem swrds2m

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzelz 13553	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)) → 𝑁 ∈ ℤ)
2	1	zcnd 12702	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)) → 𝑁 ∈ ℂ)
3		2cnd 12320	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)) → 2 ∈ ℂ)
4	2, 3	npcand 11574	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)) → ((𝑁 − 2) + 2) = 𝑁)
5	4	eqcomd 2769	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)) → 𝑁 = ((𝑁 − 2) + 2))
6	5	opeq2d 4846	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)) → ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩ = ⟨(𝑁 − 2), ((𝑁 − 2) + 2)⟩)
7	6	oveq2d 7428	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)) → (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩) = (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), ((𝑁 − 2) + 2)⟩))
8	7	adantl 486	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩) = (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), ((𝑁 − 2) + 2)⟩))
9		simpl 487	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
10		elfzuz 13549	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
11		uznn0sub 12898	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ0)
12	10, 11	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ0)
13	12	adantl 486	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊))) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ0)
14		1cnd 11203	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)) → 1 ∈ ℂ)
15	2, 3, 14	subsubd 11598	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)) → (𝑁 − (2 − 1)) = ((𝑁 − 2) + 1))
16		2m1e1 12366	. . . . . . 7 ⊢ (2 − 1) = 1
17	16	oveq2i 7423	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 − (2 − 1)) = (𝑁 − 1)
18	15, 17	eqtr3di 2813	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)) → ((𝑁 − 2) + 1) = (𝑁 − 1))
19		2eluzge1 12907	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘1)
20		fzss1 13593	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∈ (ℤ≥‘1) → (2...(♯‘𝑊)) ⊆ (1...(♯‘𝑊)))
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (2...(♯‘𝑊)) ⊆ (1...(♯‘𝑊))
22	21	sseli 3934	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)) → 𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊)))
23		fz1fzo0m1 13741	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (1...(♯‘𝑊)) → (𝑁 − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
24	22, 23	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)) → (𝑁 − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
25	18, 24	eqeltrd 2863	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)) → ((𝑁 − 2) + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
26	25	adantl 486	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊))) → ((𝑁 − 2) + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
27		swrds2 14979	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 − 2) ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 − 2) + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), ((𝑁 − 2) + 2)⟩) = ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 2))(𝑊‘((𝑁 − 2) + 1))”⟩)
28	9, 13, 26, 27	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), ((𝑁 − 2) + 2)⟩) = ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 2))(𝑊‘((𝑁 − 2) + 1))”⟩)
29		eqidd 2764	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊))) → (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘(𝑁 − 2)))
30	18	fveq2d 6887	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊)) → (𝑊‘((𝑁 − 2) + 1)) = (𝑊‘(𝑁 − 1)))
31	30	adantl 486	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊))) → (𝑊‘((𝑁 − 2) + 1)) = (𝑊‘(𝑁 − 1)))
32	29, 31	s2eqd 14902	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊))) → ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 2))(𝑊‘((𝑁 − 2) + 1))”⟩ = ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 2))(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩)
33	8, 28, 32	3eqtrd 2802	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (2...(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨(𝑁 − 2), 𝑁⟩) = ⟨“(𝑊‘(𝑁 − 2))(𝑊‘(𝑁 − 1))”⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ⊆ wss 3906  ⟨cop 4596  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  0cc0 11101  1c1 11102   + caddc 11104   − cmin 11442  2c2 12296  ℕ₀cn0 12505  ℤ_≥cuz 12863  ...cfz 13536  ..^cfzo 13684  ♯chash 14368  Word cword 14552   substr csubstr 14680  ⟨“cs2 14880

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-card 9926  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-2 12304  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-fz 13537  df-fzo 13685  df-hash 14369  df-word 14553  df-concat 14610  df-s1 14636  df-substr 14681  df-s2 14887

This theorem is referenced by:  2clwwlk2clwwlklem  30678