Theorem pgrpsubgsymg 19390

Description: Every permutation group is a subgroup of the corresponding symmetric group. (Contributed by AV, 14-Mar-2019.) (Revised by AV, 30-Mar-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
pgrpsubgsymgbi.g	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
pgrpsubgsymgbi.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
pgrpsubgsymg.c	⊢ 𝐹 = (Base‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
pgrpsubgsymg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝑃) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))) → 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝐺)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑔   𝐵,𝑓,𝑔   𝑓,𝐹,𝑔

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑓,𝑔)   𝐺(𝑓,𝑔)   𝑉(𝑓,𝑔)

Proof of Theorem pgrpsubgsymg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pgrpsubgsymgbi.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
2	1	symggrp 19381	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ Grp)
3		simp1 1136	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝑃) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))) → 𝑃 ∈ Grp)
4	2, 3	anim12i 613	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑃 ∈ Grp ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝑃) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)))) → (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ Grp))
5		simp2 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝑃) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))) → 𝐹 ⊆ 𝐵)
6		simp3 1138	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝑃) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))) → (+g‘𝑃) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)))
7		pgrpsubgsymgbi.b	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
8	1, 7	symgbasmap 19358	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 ∈ 𝐵 → 𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴))
9	8	ssriv 3962	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 ⊆ (𝐴 ↑m 𝐴)
10		sstr 3967	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ↑m 𝐴)) → 𝐹 ⊆ (𝐴 ↑m 𝐴))
11	9, 10	mpan2 691	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ⊆ 𝐵 → 𝐹 ⊆ (𝐴 ↑m 𝐴))
12		resmpo 7527	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ⊆ (𝐴 ↑m 𝐴) ∧ 𝐹 ⊆ (𝐴 ↑m 𝐴)) → ((𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴), 𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) ↾ (𝐹 × 𝐹)) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)))
13	12	anidms 566	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ⊆ (𝐴 ↑m 𝐴) → ((𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴), 𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) ↾ (𝐹 × 𝐹)) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)))
14	11, 13	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ⊆ 𝐵 → ((𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴), 𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) ↾ (𝐹 × 𝐹)) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)))
15		eqid 2735	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ↑m 𝐴) = (𝐴 ↑m 𝐴)
16		eqid 2735	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
17	1, 15, 16	symgplusg 19364	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘𝐺) = (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴), 𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))
18	17	eqcomi 2744	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴), 𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) = (+g‘𝐺)
19	18	reseq1i 5962	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴), 𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) ↾ (𝐹 × 𝐹)) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝐹 × 𝐹))
20	14, 19	eqtr3di 2785	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ⊆ 𝐵 → (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝐹 × 𝐹)))
21	20	3ad2ant2 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝑃) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))) → (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝐹 × 𝐹)))
22	6, 21	eqtrd 2770	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝑃) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))) → (+g‘𝑃) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝐹 × 𝐹)))
23	5, 22	jca 511	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝑃) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))) → (𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝑃) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝐹 × 𝐹))))
24	23	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑃 ∈ Grp ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝑃) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)))) → (𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝑃) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝐹 × 𝐹))))
25		pgrpsubgsymg.c	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Base‘𝑃)
26	7, 25	grpissubg 19129	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ Grp) → ((𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝑃) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝐹 × 𝐹))) → 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝐺)))
27	4, 24, 26	sylc 65	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑃 ∈ Grp ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝑃) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)))) → 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝐺))
28	27	ex 412	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝑃) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))) → 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3926   × cxp 5652   ↾ cres 5656   ∘ ccom 5658  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405   ∈ cmpo 7407   ↑_m cmap 8840  Basecbs 17228  +_gcplusg 17271  Grpcgrp 18916  SubGrpcsubg 19103  SymGrpcsymg 19350

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8719  df-map 8842  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13525  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17284  df-tset 17290  df-0g 17455  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-efmnd 18847  df-grp 18919  df-minusg 18920  df-subg 19106  df-symg 19351

This theorem is referenced by: (None)