MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pgrpsubgsymg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pgrpsubgsymg 19363
Description: Every permutation group is a subgroup of the corresponding symmetric group. (Contributed by AV, 14-Mar-2019.) (Revised by AV, 30-Mar-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
pgrpsubgsymgbi.g 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
pgrpsubgsymgbi.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
pgrpsubgsymg.c 𝐹 = (Base‘𝑃)
Assertion
Ref Expression
pgrpsubgsymg (𝐴𝑉 → ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝐹𝐵 ∧ (+g𝑃) = (𝑓𝐹, 𝑔𝐹 ↦ (𝑓𝑔))) → 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝐺)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑔   𝐵,𝑓,𝑔   𝑓,𝐹,𝑔
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑓,𝑔)   𝐺(𝑓,𝑔)   𝑉(𝑓,𝑔)

Proof of Theorem pgrpsubgsymg
StepHypRef Expression
1 pgrpsubgsymgbi.g . . . . 5 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
21symggrp 19354 . . . 4 (𝐴𝑉𝐺 ∈ Grp)
3 simp1 1133 . . . 4 ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝐹𝐵 ∧ (+g𝑃) = (𝑓𝐹, 𝑔𝐹 ↦ (𝑓𝑔))) → 𝑃 ∈ Grp)
42, 3anim12i 611 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑃 ∈ Grp ∧ 𝐹𝐵 ∧ (+g𝑃) = (𝑓𝐹, 𝑔𝐹 ↦ (𝑓𝑔)))) → (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ Grp))
5 simp2 1134 . . . . 5 ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝐹𝐵 ∧ (+g𝑃) = (𝑓𝐹, 𝑔𝐹 ↦ (𝑓𝑔))) → 𝐹𝐵)
6 simp3 1135 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝐹𝐵 ∧ (+g𝑃) = (𝑓𝐹, 𝑔𝐹 ↦ (𝑓𝑔))) → (+g𝑃) = (𝑓𝐹, 𝑔𝐹 ↦ (𝑓𝑔)))
7 pgrpsubgsymgbi.b . . . . . . . . . . . 12 𝐵 = (Base‘𝐺)
81, 7symgbasmap 19330 . . . . . . . . . . 11 (𝑓𝐵𝑓 ∈ (𝐴m 𝐴))
98ssriv 3977 . . . . . . . . . 10 𝐵 ⊆ (𝐴m 𝐴)
10 sstr 3982 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝐵𝐵 ⊆ (𝐴m 𝐴)) → 𝐹 ⊆ (𝐴m 𝐴))
119, 10mpan2 689 . . . . . . . . 9 (𝐹𝐵𝐹 ⊆ (𝐴m 𝐴))
12 resmpo 7534 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ⊆ (𝐴m 𝐴) ∧ 𝐹 ⊆ (𝐴m 𝐴)) → ((𝑓 ∈ (𝐴m 𝐴), 𝑔 ∈ (𝐴m 𝐴) ↦ (𝑓𝑔)) ↾ (𝐹 × 𝐹)) = (𝑓𝐹, 𝑔𝐹 ↦ (𝑓𝑔)))
1312anidms 565 . . . . . . . . 9 (𝐹 ⊆ (𝐴m 𝐴) → ((𝑓 ∈ (𝐴m 𝐴), 𝑔 ∈ (𝐴m 𝐴) ↦ (𝑓𝑔)) ↾ (𝐹 × 𝐹)) = (𝑓𝐹, 𝑔𝐹 ↦ (𝑓𝑔)))
1411, 13syl 17 . . . . . . . 8 (𝐹𝐵 → ((𝑓 ∈ (𝐴m 𝐴), 𝑔 ∈ (𝐴m 𝐴) ↦ (𝑓𝑔)) ↾ (𝐹 × 𝐹)) = (𝑓𝐹, 𝑔𝐹 ↦ (𝑓𝑔)))
15 eqid 2725 . . . . . . . . . . 11 (𝐴m 𝐴) = (𝐴m 𝐴)
16 eqid 2725 . . . . . . . . . . 11 (+g𝐺) = (+g𝐺)
171, 15, 16symgplusg 19336 . . . . . . . . . 10 (+g𝐺) = (𝑓 ∈ (𝐴m 𝐴), 𝑔 ∈ (𝐴m 𝐴) ↦ (𝑓𝑔))
1817eqcomi 2734 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ (𝐴m 𝐴), 𝑔 ∈ (𝐴m 𝐴) ↦ (𝑓𝑔)) = (+g𝐺)
1918reseq1i 5976 . . . . . . . 8 ((𝑓 ∈ (𝐴m 𝐴), 𝑔 ∈ (𝐴m 𝐴) ↦ (𝑓𝑔)) ↾ (𝐹 × 𝐹)) = ((+g𝐺) ↾ (𝐹 × 𝐹))
2014, 19eqtr3di 2780 . . . . . . 7 (𝐹𝐵 → (𝑓𝐹, 𝑔𝐹 ↦ (𝑓𝑔)) = ((+g𝐺) ↾ (𝐹 × 𝐹)))
21203ad2ant2 1131 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝐹𝐵 ∧ (+g𝑃) = (𝑓𝐹, 𝑔𝐹 ↦ (𝑓𝑔))) → (𝑓𝐹, 𝑔𝐹 ↦ (𝑓𝑔)) = ((+g𝐺) ↾ (𝐹 × 𝐹)))
226, 21eqtrd 2765 . . . . 5 ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝐹𝐵 ∧ (+g𝑃) = (𝑓𝐹, 𝑔𝐹 ↦ (𝑓𝑔))) → (+g𝑃) = ((+g𝐺) ↾ (𝐹 × 𝐹)))
235, 22jca 510 . . . 4 ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝐹𝐵 ∧ (+g𝑃) = (𝑓𝐹, 𝑔𝐹 ↦ (𝑓𝑔))) → (𝐹𝐵 ∧ (+g𝑃) = ((+g𝐺) ↾ (𝐹 × 𝐹))))
2423adantl 480 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑃 ∈ Grp ∧ 𝐹𝐵 ∧ (+g𝑃) = (𝑓𝐹, 𝑔𝐹 ↦ (𝑓𝑔)))) → (𝐹𝐵 ∧ (+g𝑃) = ((+g𝐺) ↾ (𝐹 × 𝐹))))
25 pgrpsubgsymg.c . . . 4 𝐹 = (Base‘𝑃)
267, 25grpissubg 19100 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ Grp) → ((𝐹𝐵 ∧ (+g𝑃) = ((+g𝐺) ↾ (𝐹 × 𝐹))) → 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝐺)))
274, 24, 26sylc 65 . 2 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑃 ∈ Grp ∧ 𝐹𝐵 ∧ (+g𝑃) = (𝑓𝐹, 𝑔𝐹 ↦ (𝑓𝑔)))) → 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2827ex 411 1 (𝐴𝑉 → ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝐹𝐵 ∧ (+g𝑃) = (𝑓𝐹, 𝑔𝐹 ↦ (𝑓𝑔))) → 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wss 3941   × cxp 5671  cres 5675  ccom 5677  cfv 6543  (class class class)co 7413  cmpo 7415  m cmap 8838  Basecbs 17174  +gcplusg 17227  Grpcgrp 18889  SubGrpcsubg 19074  SymGrpcsymg 19320
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-9 12307  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-fz 13512  df-struct 17110  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-ress 17204  df-plusg 17240  df-tset 17246  df-0g 17417  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-efmnd 18820  df-grp 18892  df-minusg 18893  df-subg 19077  df-symg 19321
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator