Theorem pgrpsubgsymg 19653

Description: Every permutation group is a subgroup of the corresponding symmetric group. (Contributed by AV, 14-Mar-2019.) (Revised by AV, 30-Mar-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
pgrpsubgsymgbi.g	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
pgrpsubgsymgbi.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
pgrpsubgsymg.c	⊢ 𝐹 = (Base‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
pgrpsubgsymg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝑃) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))) → 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝐺)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑔   𝐵,𝑓,𝑔   𝑓,𝐹,𝑔

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑓, 𝑔)   𝐺(𝑓, 𝑔)   𝑉(𝑓, 𝑔)

Proof of Theorem pgrpsubgsymg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pgrpsubgsymgbi.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
2	1	symggrp 19644	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ Grp)
3		simp1 1154	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝑃) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))) → 𝑃 ∈ Grp)
4	2, 3	anim12i 625	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑃 ∈ Grp ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝑃) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)))) → (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ Grp))
5		simp2 1155	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝑃) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))) → 𝐹 ⊆ 𝐵)
6		simp3 1156	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝑃) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))) → (+g‘𝑃) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)))
7		pgrpsubgsymgbi.b	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
8	1, 7	symgbasmap 19621	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 ∈ 𝐵 → 𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴))
9	8	ssriv 3917	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 ⊆ (𝐴 ↑m 𝐴)
10		sstr 3921	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ↑m 𝐴)) → 𝐹 ⊆ (𝐴 ↑m 𝐴))
11	9, 10	mpan2 704	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ⊆ 𝐵 → 𝐹 ⊆ (𝐴 ↑m 𝐴))
12		resmpo 7563	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ⊆ (𝐴 ↑m 𝐴) ∧ 𝐹 ⊆ (𝐴 ↑m 𝐴)) → ((𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴), 𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) ↾ (𝐹 × 𝐹)) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)))
13	12	anidms 577	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ⊆ (𝐴 ↑m 𝐴) → ((𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴), 𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) ↾ (𝐹 × 𝐹)) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)))
14	11, 13	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ⊆ 𝐵 → ((𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴), 𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) ↾ (𝐹 × 𝐹)) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)))
15		eqid 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ↑m 𝐴) = (𝐴 ↑m 𝐴)
16		eqid 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
17	1, 15, 16	symgplusg 19627	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘𝐺) = (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴), 𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))
18	17	eqcomi 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴), 𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) = (+g‘𝐺)
19	18	reseq1i 5977	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴), 𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) ↾ (𝐹 × 𝐹)) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝐹 × 𝐹))
20	14, 19	eqtr3di 2813	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ⊆ 𝐵 → (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝐹 × 𝐹)))
21	20	3ad2ant2 1152	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝑃) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))) → (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝐹 × 𝐹)))
22	6, 21	eqtrd 2798	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝑃) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))) → (+g‘𝑃) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝐹 × 𝐹)))
23	5, 22	jca 521	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝑃) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))) → (𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝑃) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝐹 × 𝐹))))
24	23	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑃 ∈ Grp ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝑃) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)))) → (𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝑃) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝐹 × 𝐹))))
25		pgrpsubgsymg.c	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Base‘𝑃)
26	7, 25	grpissubg 19386	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ Grp) → ((𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝑃) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝐹 × 𝐹))) → 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝐺)))
27	4, 24, 26	sylc 66	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑃 ∈ Grp ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝑃) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)))) → 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝐺))
28	27	ex 418	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝑃) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))) → 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝐺)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900   × cxp 5653   ↾ cres 5657   ∘ ccom 5659  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443   ∈ cmpo 7445   ↑_m cmap 8875  Basecbs 17416  +_gcplusg 17457  Grpcgrp 19173  SubGrpcsubg 19359  SymGrpcsymg 19613

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-er 8745  df-map 8877  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-4 12434  df-5 12435  df-6 12436  df-7 12437  df-8 12438  df-9 12439  df-n0 12634  df-z 12721  df-uz 12993  df-fz 13667  df-struct 17354  df-sets 17371  df-slot 17389  df-ndx 17401  df-base 17417  df-ress 17438  df-plusg 17470  df-tset 17476  df-0g 17641  df-mgm 18845  df-sgrp 18937  df-mnd 18953  df-efmnd 19094  df-grp 19176  df-minusg 19177  df-subg 19362  df-symg 19614

This theorem is used by: (None)