Theorem pgrpsubgsymg 19537

Description: Every permutation group is a subgroup of the corresponding symmetric group. (Contributed by AV, 14-Mar-2019.) (Revised by AV, 30-Mar-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
pgrpsubgsymgbi.g	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
pgrpsubgsymgbi.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
pgrpsubgsymg.c	⊢ 𝐹 = (Base‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
pgrpsubgsymg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝑃) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))) → 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝐺)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑔   𝐵,𝑓,𝑔   𝑓,𝐹,𝑔

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑓, 𝑔)   𝐺(𝑓, 𝑔)   𝑉(𝑓, 𝑔)

Proof of Theorem pgrpsubgsymg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pgrpsubgsymgbi.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
2	1	symggrp 19528	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ Grp)
3		simp1 1154	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝑃) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))) → 𝑃 ∈ Grp)
4	2, 3	anim12i 625	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑃 ∈ Grp ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝑃) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)))) → (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ Grp))
5		simp2 1155	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝑃) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))) → 𝐹 ⊆ 𝐵)
6		simp3 1156	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝑃) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))) → (+g‘𝑃) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)))
7		pgrpsubgsymgbi.b	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
8	1, 7	symgbasmap 19505	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 ∈ 𝐵 → 𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴))
9	8	ssriv 3938	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 ⊆ (𝐴 ↑m 𝐴)
10		sstr 3942	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ↑m 𝐴)) → 𝐹 ⊆ (𝐴 ↑m 𝐴))
11	9, 10	mpan2 704	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ⊆ 𝐵 → 𝐹 ⊆ (𝐴 ↑m 𝐴))
12		resmpo 7536	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ⊆ (𝐴 ↑m 𝐴) ∧ 𝐹 ⊆ (𝐴 ↑m 𝐴)) → ((𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴), 𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) ↾ (𝐹 × 𝐹)) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)))
13	12	anidms 577	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ⊆ (𝐴 ↑m 𝐴) → ((𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴), 𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) ↾ (𝐹 × 𝐹)) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)))
14	11, 13	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ⊆ 𝐵 → ((𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴), 𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) ↾ (𝐹 × 𝐹)) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)))
15		eqid 2762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ↑m 𝐴) = (𝐴 ↑m 𝐴)
16		eqid 2762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
17	1, 15, 16	symgplusg 19511	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘𝐺) = (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴), 𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))
18	17	eqcomi 2771	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴), 𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) = (+g‘𝐺)
19	18	reseq1i 5972	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴), 𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) ↾ (𝐹 × 𝐹)) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝐹 × 𝐹))
20	14, 19	eqtr3di 2812	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ⊆ 𝐵 → (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝐹 × 𝐹)))
21	20	3ad2ant2 1152	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝑃) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))) → (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝐹 × 𝐹)))
22	6, 21	eqtrd 2797	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝑃) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))) → (+g‘𝑃) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝐹 × 𝐹)))
23	5, 22	jca 521	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝑃) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))) → (𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝑃) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝐹 × 𝐹))))
24	23	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑃 ∈ Grp ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝑃) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)))) → (𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝑃) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝐹 × 𝐹))))
25		pgrpsubgsymg.c	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Base‘𝑃)
26	7, 25	grpissubg 19271	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ Grp) → ((𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝑃) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝐹 × 𝐹))) → 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝐺)))
27	4, 24, 26	sylc 66	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑃 ∈ Grp ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝑃) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)))) → 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝐺))
28	27	ex 418	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝑃) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))) → 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝐺)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3902   × cxp 5657   ↾ cres 5661   ∘ ccom 5663  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416   ∈ cmpo 7418   ↑_m cmap 8829  Basecbs 17305  +_gcplusg 17346  Grpcgrp 19058  SubGrpcsubg 19244  SymGrpcsymg 19497

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-er 8699  df-map 8831  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-fz 13564  df-struct 17243  df-sets 17260  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-ress 17327  df-plusg 17359  df-tset 17365  df-0g 17530  df-mgm 18734  df-sgrp 18823  df-mnd 18839  df-efmnd 18979  df-grp 19061  df-minusg 19062  df-subg 19247  df-symg 19498

This theorem is used by: (None)