Theorem pgrpsubgsymg 19485

Description: Every permutation group is a subgroup of the corresponding symmetric group. (Contributed by AV, 14-Mar-2019.) (Revised by AV, 30-Mar-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
pgrpsubgsymgbi.g	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
pgrpsubgsymgbi.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
pgrpsubgsymg.c	⊢ 𝐹 = (Base‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
pgrpsubgsymg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝑃) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))) → 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝐺)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑔   𝐵,𝑓,𝑔   𝑓,𝐹,𝑔

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑓, 𝑔)   𝐺(𝑓, 𝑔)   𝑉(𝑓, 𝑔)

Proof of Theorem pgrpsubgsymg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pgrpsubgsymgbi.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
2	1	symggrp 19476	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ Grp)
3		simp1 1153	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝑃) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))) → 𝑃 ∈ Grp)
4	2, 3	anim12i 624	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑃 ∈ Grp ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝑃) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)))) → (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ Grp))
5		simp2 1154	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝑃) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))) → 𝐹 ⊆ 𝐵)
6		simp3 1155	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝑃) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))) → (+g‘𝑃) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)))
7		pgrpsubgsymgbi.b	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
8	1, 7	symgbasmap 19453	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 ∈ 𝐵 → 𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴))
9	8	ssriv 3940	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 ⊆ (𝐴 ↑m 𝐴)
10		sstr 3944	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ↑m 𝐴)) → 𝐹 ⊆ (𝐴 ↑m 𝐴))
11	9, 10	mpan2 703	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ⊆ 𝐵 → 𝐹 ⊆ (𝐴 ↑m 𝐴))
12		resmpo 7532	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ⊆ (𝐴 ↑m 𝐴) ∧ 𝐹 ⊆ (𝐴 ↑m 𝐴)) → ((𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴), 𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) ↾ (𝐹 × 𝐹)) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)))
13	12	anidms 576	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ⊆ (𝐴 ↑m 𝐴) → ((𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴), 𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) ↾ (𝐹 × 𝐹)) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)))
14	11, 13	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ⊆ 𝐵 → ((𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴), 𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) ↾ (𝐹 × 𝐹)) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)))
15		eqid 2762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ↑m 𝐴) = (𝐴 ↑m 𝐴)
16		eqid 2762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
17	1, 15, 16	symgplusg 19459	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘𝐺) = (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴), 𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))
18	17	eqcomi 2771	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴), 𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) = (+g‘𝐺)
19	18	reseq1i 5973	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴), 𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) ↾ (𝐹 × 𝐹)) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝐹 × 𝐹))
20	14, 19	eqtr3di 2812	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ⊆ 𝐵 → (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝐹 × 𝐹)))
21	20	3ad2ant2 1151	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝑃) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))) → (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝐹 × 𝐹)))
22	6, 21	eqtrd 2797	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝑃) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))) → (+g‘𝑃) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝐹 × 𝐹)))
23	5, 22	jca 520	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝑃) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))) → (𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝑃) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝐹 × 𝐹))))
24	23	adantl 486	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑃 ∈ Grp ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝑃) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)))) → (𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝑃) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝐹 × 𝐹))))
25		pgrpsubgsymg.c	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Base‘𝑃)
26	7, 25	grpissubg 19219	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ Grp) → ((𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝑃) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝐹 × 𝐹))) → 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝐺)))
27	4, 24, 26	sylc 66	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑃 ∈ Grp ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝑃) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)))) → 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝐺))
28	27	ex 417	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝑃) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))) → 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝐺)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1102   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   ⊆ wss 3904   × cxp 5658   ↾ cres 5662   ∘ ccom 5664  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412   ∈ cmpo 7414   ↑_m cmap 8822  Basecbs 17275  +_gcplusg 17316  Grpcgrp 19006  SubGrpcsubg 19192  SymGrpcsymg 19445

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-er 8692  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-4 12311  df-5 12312  df-6 12313  df-7 12314  df-8 12315  df-9 12316  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12869  df-fz 13542  df-struct 17213  df-sets 17230  df-slot 17248  df-ndx 17260  df-base 17276  df-ress 17297  df-plusg 17329  df-tset 17335  df-0g 17500  df-mgm 18704  df-sgrp 18783  df-mnd 18799  df-efmnd 18934  df-grp 19009  df-minusg 19010  df-subg 19195  df-symg 19446

This theorem is used by: (None)