Theorem pgrpsubgsymg 19584

Description: Every permutation group is a subgroup of the corresponding symmetric group. (Contributed by AV, 14-Mar-2019.) (Revised by AV, 30-Mar-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
pgrpsubgsymgbi.g	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
pgrpsubgsymgbi.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
pgrpsubgsymg.c	⊢ 𝐹 = (Base‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
pgrpsubgsymg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝑃) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))) → 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝐺)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑔   𝐵,𝑓,𝑔   𝑓,𝐹,𝑔

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑓, 𝑔)   𝐺(𝑓, 𝑔)   𝑉(𝑓, 𝑔)

Proof of Theorem pgrpsubgsymg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pgrpsubgsymgbi.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
2	1	symggrp 19575	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ Grp)
3		simp1 1154	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝑃) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))) → 𝑃 ∈ Grp)
4	2, 3	anim12i 625	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑃 ∈ Grp ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝑃) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)))) → (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ Grp))
5		simp2 1155	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝑃) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))) → 𝐹 ⊆ 𝐵)
6		simp3 1156	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝑃) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))) → (+g‘𝑃) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)))
7		pgrpsubgsymgbi.b	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
8	1, 7	symgbasmap 19552	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 ∈ 𝐵 → 𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴))
9	8	ssriv 3934	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 ⊆ (𝐴 ↑m 𝐴)
10		sstr 3938	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴 ↑m 𝐴)) → 𝐹 ⊆ (𝐴 ↑m 𝐴))
11	9, 10	mpan2 704	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ⊆ 𝐵 → 𝐹 ⊆ (𝐴 ↑m 𝐴))
12		resmpo 7528	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ⊆ (𝐴 ↑m 𝐴) ∧ 𝐹 ⊆ (𝐴 ↑m 𝐴)) → ((𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴), 𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) ↾ (𝐹 × 𝐹)) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)))
13	12	anidms 577	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ⊆ (𝐴 ↑m 𝐴) → ((𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴), 𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) ↾ (𝐹 × 𝐹)) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)))
14	11, 13	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ⊆ 𝐵 → ((𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴), 𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) ↾ (𝐹 × 𝐹)) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)))
15		eqid 2760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ↑m 𝐴) = (𝐴 ↑m 𝐴)
16		eqid 2760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
17	1, 15, 16	symgplusg 19558	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘𝐺) = (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴), 𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))
18	17	eqcomi 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴), 𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) = (+g‘𝐺)
19	18	reseq1i 5962	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴), 𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) ↾ (𝐹 × 𝐹)) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝐹 × 𝐹))
20	14, 19	eqtr3di 2810	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ⊆ 𝐵 → (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝐹 × 𝐹)))
21	20	3ad2ant2 1152	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝑃) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))) → (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝐹 × 𝐹)))
22	6, 21	eqtrd 2795	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝑃) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))) → (+g‘𝑃) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝐹 × 𝐹)))
23	5, 22	jca 521	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝑃) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))) → (𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝑃) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝐹 × 𝐹))))
24	23	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑃 ∈ Grp ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝑃) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)))) → (𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝑃) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝐹 × 𝐹))))
25		pgrpsubgsymg.c	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Base‘𝑃)
26	7, 25	grpissubg 19318	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑃 ∈ Grp) → ((𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝑃) = ((+g‘𝐺) ↾ (𝐹 × 𝐹))) → 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝐺)))
27	4, 24, 26	sylc 66	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑃 ∈ Grp ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝑃) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)))) → 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝐺))
28	27	ex 418	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ (+g‘𝑃) = (𝑓 ∈ 𝐹, 𝑔 ∈ 𝐹 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))) → 𝐹 ∈ (SubGrp‘𝐺)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3898   × cxp 5645   ↾ cres 5649   ∘ ccom 5651  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408   ∈ cmpo 7410   ↑_m cmap 8825  Basecbs 17348  +_gcplusg 17389  Grpcgrp 19105  SubGrpcsubg 19291  SymGrpcsymg 19544

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-er 8695  df-map 8827  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-nn 12305  df-2 12374  df-3 12375  df-4 12376  df-5 12377  df-6 12378  df-7 12379  df-8 12380  df-9 12381  df-n0 12576  df-z 12663  df-uz 12935  df-fz 13609  df-struct 17286  df-sets 17303  df-slot 17321  df-ndx 17333  df-base 17349  df-ress 17370  df-plusg 17402  df-tset 17408  df-0g 17573  df-mgm 18777  df-sgrp 18869  df-mnd 18885  df-efmnd 19026  df-grp 19108  df-minusg 19109  df-subg 19294  df-symg 19545

This theorem is used by: (None)