Theorem efmndplusg 19082

Description: The group operation of a monoid of endofunctions is the function composition. (Contributed by AV, 27-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
efmndtset.g	⊢ 𝐺 = (EndoFMnd‘𝐴)
efmndplusg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
efmndplusg.p	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
efmndplusg	⊢ + = (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑔   𝐵,𝑓,𝑔

Allowed substitution hints:   + (𝑓, 𝑔)   𝐺(𝑓, 𝑔)

Proof of Theorem efmndplusg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		efmndtset.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (EndoFMnd‘𝐴)
2		efmndplusg.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3	1, 2	efmndbas 19073	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (𝐴 ↑m 𝐴)
4		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) = (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))
5		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴})) = (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴}))
6	1, 3, 4, 5	efmnd 19072	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴}))⟩})
7	6	fveq2d 6890	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (+g‘𝐺) = (+g‘{⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴}))⟩}))
8		efmndplusg.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
9	2	fvexi 6900	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
10	9, 9	mpoex 8093	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) ∈ V
11		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴}))⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴}))⟩}
12	11	topgrpplusg 17540	. . . 4 ⊢ ((𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) ∈ V → (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) = (+g‘{⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴}))⟩}))
13	10, 12	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) = (+g‘{⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴}))⟩})
14	7, 8, 13	3eqtr4g 2820	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → + = (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)))
15		fvprc 6878	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (EndoFMnd‘𝐴) = ∅)
16	1, 15	eqtrid 2807	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → 𝐺 = ∅)
17	16	fveq2d 6890	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (+g‘𝐺) = (+g‘∅))
18		plusgid 17461	. . . . 5 ⊢ +g = Slot (+g‘ndx)
19	18	str0 17373	. . . 4 ⊢ ∅ = (+g‘∅)
20	17, 8, 19	3eqtr4g 2820	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → + = ∅)
21	16	fveq2d 6890	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (Base‘𝐺) = (Base‘∅))
22		base0 17398	. . . . . 6 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
23	21, 2, 22	3eqtr4g 2820	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → 𝐵 = ∅)
24	23	olcd 888	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (𝐵 = ∅ ∨ 𝐵 = ∅))
25		0mpo0 7504	. . . 4 ⊢ ((𝐵 = ∅ ∨ 𝐵 = ∅) → (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) = ∅)
26	24, 25	syl 18	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) = ∅)
27	20, 26	eqtr4d 2798	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → + = (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)))
28	14, 27	pm2.61i 184	1 ⊢ + = (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ∨ wo 861   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450  ∅c0 4278  𝒫 cpw 4556  {csn 4584  {ctp 4588  ⟨cop 4834   × cxp 5648   ∘ ccom 5654  ‘cfv 6539   ∈ cmpo 7423  ndxcnx 17377  Basecbs 17393  +_gcplusg 17434  TopSetcts 17440  ∏_tcpt 17615  EndoFMndcefmnd 19070

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-er 8721  df-map 8853  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-fin 8981  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-4 12411  df-5 12412  df-6 12413  df-7 12414  df-8 12415  df-9 12416  df-n0 12611  df-z 12698  df-uz 12970  df-fz 13644  df-struct 17331  df-slot 17366  df-ndx 17378  df-base 17394  df-plusg 17447  df-tset 17453  df-efmnd 19071

This theorem is used by:  efmndov  19083  submefmnd  19097  symgplusg  19603  efmndtmd  24426