MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efmndplusg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efmndplusg 18906
Description: The group operation of a monoid of endofunctions is the function composition. (Contributed by AV, 27-Jan-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
efmndtset.g 𝐺 = (EndoFMnd‘𝐴)
efmndplusg.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
efmndplusg.p + = (+g𝐺)
Assertion
Ref Expression
efmndplusg + = (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (𝑓𝑔))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑔   𝐵,𝑓,𝑔
Allowed substitution hints:   + (𝑓,𝑔)   𝐺(𝑓,𝑔)

Proof of Theorem efmndplusg
StepHypRef Expression
1 efmndtset.g . . . . 5 𝐺 = (EndoFMnd‘𝐴)
2 efmndplusg.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐺)
31, 2efmndbas 18897 . . . . 5 𝐵 = (𝐴m 𝐴)
4 eqid 2735 . . . . 5 (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (𝑓𝑔)) = (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (𝑓𝑔))
5 eqid 2735 . . . . 5 (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴})) = (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴}))
61, 3, 4, 5efmnd 18896 . . . 4 (𝐴 ∈ V → 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (𝑓𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴}))⟩})
76fveq2d 6911 . . 3 (𝐴 ∈ V → (+g𝐺) = (+g‘{⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (𝑓𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴}))⟩}))
8 efmndplusg.p . . 3 + = (+g𝐺)
92fvexi 6921 . . . . 5 𝐵 ∈ V
109, 9mpoex 8103 . . . 4 (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (𝑓𝑔)) ∈ V
11 eqid 2735 . . . . 5 {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (𝑓𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴}))⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (𝑓𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴}))⟩}
1211topgrpplusg 17409 . . . 4 ((𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (𝑓𝑔)) ∈ V → (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (𝑓𝑔)) = (+g‘{⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (𝑓𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴}))⟩}))
1310, 12ax-mp 5 . . 3 (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (𝑓𝑔)) = (+g‘{⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (𝑓𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴}))⟩})
147, 8, 133eqtr4g 2800 . 2 (𝐴 ∈ V → + = (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (𝑓𝑔)))
15 fvprc 6899 . . . . . 6 𝐴 ∈ V → (EndoFMnd‘𝐴) = ∅)
161, 15eqtrid 2787 . . . . 5 𝐴 ∈ V → 𝐺 = ∅)
1716fveq2d 6911 . . . 4 𝐴 ∈ V → (+g𝐺) = (+g‘∅))
18 plusgid 17325 . . . . 5 +g = Slot (+g‘ndx)
1918str0 17223 . . . 4 ∅ = (+g‘∅)
2017, 8, 193eqtr4g 2800 . . 3 𝐴 ∈ V → + = ∅)
2116fveq2d 6911 . . . . . 6 𝐴 ∈ V → (Base‘𝐺) = (Base‘∅))
22 base0 17250 . . . . . 6 ∅ = (Base‘∅)
2321, 2, 223eqtr4g 2800 . . . . 5 𝐴 ∈ V → 𝐵 = ∅)
2423olcd 874 . . . 4 𝐴 ∈ V → (𝐵 = ∅ ∨ 𝐵 = ∅))
25 0mpo0 7516 . . . 4 ((𝐵 = ∅ ∨ 𝐵 = ∅) → (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (𝑓𝑔)) = ∅)
2624, 25syl 17 . . 3 𝐴 ∈ V → (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (𝑓𝑔)) = ∅)
2720, 26eqtr4d 2778 . 2 𝐴 ∈ V → + = (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (𝑓𝑔)))
2814, 27pm2.61i 182 1 + = (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (𝑓𝑔))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wo 847   = wceq 1537  wcel 2106  Vcvv 3478  c0 4339  𝒫 cpw 4605  {csn 4631  {ctp 4635  cop 4637   × cxp 5687  ccom 5693  cfv 6563  cmpo 7433  ndxcnx 17227  Basecbs 17245  +gcplusg 17298  TopSetcts 17304  tcpt 17485  EndoFMndcefmnd 18894
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-tset 17317  df-efmnd 18895
This theorem is referenced by:  efmndov  18907  submefmnd  18921  symgplusg  19415  efmndtmd  24125
  Copyright terms: Public domain W3C validator