MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efmndplusg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efmndplusg 18691
Description: The group operation of a monoid of endofunctions is the function composition. (Contributed by AV, 27-Jan-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
efmndtset.g 𝐺 = (EndoFMndβ€˜π΄)
efmndplusg.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
efmndplusg.p + = (+gβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
efmndplusg + = (𝑓 ∈ 𝐡, 𝑔 ∈ 𝐡 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑔   𝐡,𝑓,𝑔
Allowed substitution hints:   + (𝑓,𝑔)   𝐺(𝑓,𝑔)

Proof of Theorem efmndplusg
StepHypRef Expression
1 efmndtset.g . . . . 5 𝐺 = (EndoFMndβ€˜π΄)
2 efmndplusg.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
31, 2efmndbas 18682 . . . . 5 𝐡 = (𝐴 ↑m 𝐴)
4 eqid 2737 . . . . 5 (𝑓 ∈ 𝐡, 𝑔 ∈ 𝐡 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) = (𝑓 ∈ 𝐡, 𝑔 ∈ 𝐡 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))
5 eqid 2737 . . . . 5 (∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝒫 𝐴})) = (∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝒫 𝐴}))
61, 3, 4, 5efmnd 18681 . . . 4 (𝐴 ∈ V β†’ 𝐺 = {⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐡⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (𝑓 ∈ 𝐡, 𝑔 ∈ 𝐡 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩, ⟨(TopSetβ€˜ndx), (∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝒫 𝐴}))⟩})
76fveq2d 6847 . . 3 (𝐴 ∈ V β†’ (+gβ€˜πΊ) = (+gβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐡⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (𝑓 ∈ 𝐡, 𝑔 ∈ 𝐡 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩, ⟨(TopSetβ€˜ndx), (∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝒫 𝐴}))⟩}))
8 efmndplusg.p . . 3 + = (+gβ€˜πΊ)
92fvexi 6857 . . . . 5 𝐡 ∈ V
109, 9mpoex 8013 . . . 4 (𝑓 ∈ 𝐡, 𝑔 ∈ 𝐡 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) ∈ V
11 eqid 2737 . . . . 5 {⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐡⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (𝑓 ∈ 𝐡, 𝑔 ∈ 𝐡 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩, ⟨(TopSetβ€˜ndx), (∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝒫 𝐴}))⟩} = {⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐡⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (𝑓 ∈ 𝐡, 𝑔 ∈ 𝐡 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩, ⟨(TopSetβ€˜ndx), (∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝒫 𝐴}))⟩}
1211topgrpplusg 17245 . . . 4 ((𝑓 ∈ 𝐡, 𝑔 ∈ 𝐡 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) ∈ V β†’ (𝑓 ∈ 𝐡, 𝑔 ∈ 𝐡 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) = (+gβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐡⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (𝑓 ∈ 𝐡, 𝑔 ∈ 𝐡 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩, ⟨(TopSetβ€˜ndx), (∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝒫 𝐴}))⟩}))
1310, 12ax-mp 5 . . 3 (𝑓 ∈ 𝐡, 𝑔 ∈ 𝐡 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) = (+gβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐡⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (𝑓 ∈ 𝐡, 𝑔 ∈ 𝐡 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩, ⟨(TopSetβ€˜ndx), (∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝒫 𝐴}))⟩})
147, 8, 133eqtr4g 2802 . 2 (𝐴 ∈ V β†’ + = (𝑓 ∈ 𝐡, 𝑔 ∈ 𝐡 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)))
15 fvprc 6835 . . . . . 6 (Β¬ 𝐴 ∈ V β†’ (EndoFMndβ€˜π΄) = βˆ…)
161, 15eqtrid 2789 . . . . 5 (Β¬ 𝐴 ∈ V β†’ 𝐺 = βˆ…)
1716fveq2d 6847 . . . 4 (Β¬ 𝐴 ∈ V β†’ (+gβ€˜πΊ) = (+gβ€˜βˆ…))
18 plusgid 17161 . . . . 5 +g = Slot (+gβ€˜ndx)
1918str0 17062 . . . 4 βˆ… = (+gβ€˜βˆ…)
2017, 8, 193eqtr4g 2802 . . 3 (Β¬ 𝐴 ∈ V β†’ + = βˆ…)
2116fveq2d 6847 . . . . . 6 (Β¬ 𝐴 ∈ V β†’ (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜βˆ…))
22 base0 17089 . . . . . 6 βˆ… = (Baseβ€˜βˆ…)
2321, 2, 223eqtr4g 2802 . . . . 5 (Β¬ 𝐴 ∈ V β†’ 𝐡 = βˆ…)
2423olcd 873 . . . 4 (Β¬ 𝐴 ∈ V β†’ (𝐡 = βˆ… ∨ 𝐡 = βˆ…))
25 0mpo0 7441 . . . 4 ((𝐡 = βˆ… ∨ 𝐡 = βˆ…) β†’ (𝑓 ∈ 𝐡, 𝑔 ∈ 𝐡 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) = βˆ…)
2624, 25syl 17 . . 3 (Β¬ 𝐴 ∈ V β†’ (𝑓 ∈ 𝐡, 𝑔 ∈ 𝐡 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) = βˆ…)
2720, 26eqtr4d 2780 . 2 (Β¬ 𝐴 ∈ V β†’ + = (𝑓 ∈ 𝐡, 𝑔 ∈ 𝐡 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)))
2814, 27pm2.61i 182 1 + = (𝑓 ∈ 𝐡, 𝑔 ∈ 𝐡 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3446  βˆ…c0 4283  π’« cpw 4561  {csn 4587  {ctp 4591  βŸ¨cop 4593   Γ— cxp 5632   ∘ ccom 5638  β€˜cfv 6497   ∈ cmpo 7360  ndxcnx 17066  Basecbs 17084  +gcplusg 17134  TopSetcts 17140  βˆtcpt 17321  EndoFMndcefmnd 18679
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8649  df-map 8768  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-4 12219  df-5 12220  df-6 12221  df-7 12222  df-8 12223  df-9 12224  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-fz 13426  df-struct 17020  df-slot 17055  df-ndx 17067  df-base 17085  df-plusg 17147  df-tset 17153  df-efmnd 18680
This theorem is referenced by:  efmndov  18692  submefmnd  18706  symgplusg  19165  efmndtmd  23455
  Copyright terms: Public domain W3C validator