Theorem efmndplusg 18757

Description: The group operation of a monoid of endofunctions is the function composition. (Contributed by AV, 27-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
efmndtset.g	⊢ 𝐺 = (EndoFMnd‘𝐴)
efmndplusg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
efmndplusg.p	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
efmndplusg	⊢ + = (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑔   𝐵,𝑓,𝑔

Allowed substitution hints:   + (𝑓,𝑔)   𝐺(𝑓,𝑔)

Proof of Theorem efmndplusg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		efmndtset.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (EndoFMnd‘𝐴)
2		efmndplusg.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3	1, 2	efmndbas 18748	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (𝐴 ↑m 𝐴)
4		eqid 2732	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) = (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))
5		eqid 2732	. . . . 5 ⊢ (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴})) = (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴}))
6	1, 3, 4, 5	efmnd 18747	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴}))⟩})
7	6	fveq2d 6892	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (+g‘𝐺) = (+g‘{⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴}))⟩}))
8		efmndplusg.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
9	2	fvexi 6902	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
10	9, 9	mpoex 8062	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) ∈ V
11		eqid 2732	. . . . 5 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴}))⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴}))⟩}
12	11	topgrpplusg 17304	. . . 4 ⊢ ((𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) ∈ V → (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) = (+g‘{⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴}))⟩}))
13	10, 12	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) = (+g‘{⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴}))⟩})
14	7, 8, 13	3eqtr4g 2797	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → + = (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)))
15		fvprc 6880	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (EndoFMnd‘𝐴) = ∅)
16	1, 15	eqtrid 2784	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → 𝐺 = ∅)
17	16	fveq2d 6892	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (+g‘𝐺) = (+g‘∅))
18		plusgid 17220	. . . . 5 ⊢ +g = Slot (+g‘ndx)
19	18	str0 17118	. . . 4 ⊢ ∅ = (+g‘∅)
20	17, 8, 19	3eqtr4g 2797	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → + = ∅)
21	16	fveq2d 6892	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (Base‘𝐺) = (Base‘∅))
22		base0 17145	. . . . . 6 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
23	21, 2, 22	3eqtr4g 2797	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → 𝐵 = ∅)
24	23	olcd 872	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (𝐵 = ∅ ∨ 𝐵 = ∅))
25		0mpo0 7488	. . . 4 ⊢ ((𝐵 = ∅ ∨ 𝐵 = ∅) → (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) = ∅)
26	24, 25	syl 17	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) = ∅)
27	20, 26	eqtr4d 2775	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → + = (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)))
28	14, 27	pm2.61i 182	1 ⊢ + = (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∨ wo 845   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474  ∅c0 4321  𝒫 cpw 4601  {csn 4627  {ctp 4631  ⟨cop 4633   × cxp 5673   ∘ ccom 5679  ‘cfv 6540   ∈ cmpo 7407  ndxcnx 17122  Basecbs 17140  +_gcplusg 17193  TopSetcts 17199  ∏_tcpt 17380  EndoFMndcefmnd 18745

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-struct 17076  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-plusg 17206  df-tset 17212  df-efmnd 18746

This theorem is referenced by:  efmndov  18758  submefmnd  18772  symgplusg  19244  efmndtmd  23596