Theorem efmndplusg 18893

Description: The group operation of a monoid of endofunctions is the function composition. (Contributed by AV, 27-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
efmndtset.g	⊢ 𝐺 = (EndoFMnd‘𝐴)
efmndplusg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
efmndplusg.p	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
efmndplusg	⊢ + = (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑔   𝐵,𝑓,𝑔

Allowed substitution hints:   + (𝑓,𝑔)   𝐺(𝑓,𝑔)

Proof of Theorem efmndplusg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		efmndtset.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (EndoFMnd‘𝐴)
2		efmndplusg.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3	1, 2	efmndbas 18884	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (𝐴 ↑m 𝐴)
4		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) = (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))
5		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴})) = (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴}))
6	1, 3, 4, 5	efmnd 18883	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴}))⟩})
7	6	fveq2d 6910	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (+g‘𝐺) = (+g‘{⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴}))⟩}))
8		efmndplusg.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
9	2	fvexi 6920	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
10	9, 9	mpoex 8104	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) ∈ V
11		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴}))⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴}))⟩}
12	11	topgrpplusg 17407	. . . 4 ⊢ ((𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) ∈ V → (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) = (+g‘{⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴}))⟩}))
13	10, 12	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) = (+g‘{⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴}))⟩})
14	7, 8, 13	3eqtr4g 2802	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → + = (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)))
15		fvprc 6898	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (EndoFMnd‘𝐴) = ∅)
16	1, 15	eqtrid 2789	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → 𝐺 = ∅)
17	16	fveq2d 6910	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (+g‘𝐺) = (+g‘∅))
18		plusgid 17324	. . . . 5 ⊢ +g = Slot (+g‘ndx)
19	18	str0 17226	. . . 4 ⊢ ∅ = (+g‘∅)
20	17, 8, 19	3eqtr4g 2802	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → + = ∅)
21	16	fveq2d 6910	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (Base‘𝐺) = (Base‘∅))
22		base0 17252	. . . . . 6 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
23	21, 2, 22	3eqtr4g 2802	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → 𝐵 = ∅)
24	23	olcd 875	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (𝐵 = ∅ ∨ 𝐵 = ∅))
25		0mpo0 7516	. . . 4 ⊢ ((𝐵 = ∅ ∨ 𝐵 = ∅) → (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) = ∅)
26	24, 25	syl 17	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) = ∅)
27	20, 26	eqtr4d 2780	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → + = (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)))
28	14, 27	pm2.61i 182	1 ⊢ + = (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∨ wo 848   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3480  ∅c0 4333  𝒫 cpw 4600  {csn 4626  {ctp 4630  ⟨cop 4632   × cxp 5683   ∘ ccom 5689  ‘cfv 6561   ∈ cmpo 7433  ndxcnx 17230  Basecbs 17247  +_gcplusg 17297  TopSetcts 17303  ∏_tcpt 17483  EndoFMndcefmnd 18881

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-struct 17184  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-tset 17316  df-efmnd 18882

This theorem is referenced by:  efmndov  18894  submefmnd  18908  symgplusg  19400  efmndtmd  24109