Theorem efmndplusg 18863

Description: The group operation of a monoid of endofunctions is the function composition. (Contributed by AV, 27-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
efmndtset.g	⊢ 𝐺 = (EndoFMnd‘𝐴)
efmndplusg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
efmndplusg.p	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
efmndplusg	⊢ + = (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑔   𝐵,𝑓,𝑔

Allowed substitution hints:   + (𝑓,𝑔)   𝐺(𝑓,𝑔)

Proof of Theorem efmndplusg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		efmndtset.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (EndoFMnd‘𝐴)
2		efmndplusg.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3	1, 2	efmndbas 18854	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (𝐴 ↑m 𝐴)
4		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) = (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))
5		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴})) = (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴}))
6	1, 3, 4, 5	efmnd 18853	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴}))⟩})
7	6	fveq2d 6885	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (+g‘𝐺) = (+g‘{⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴}))⟩}))
8		efmndplusg.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
9	2	fvexi 6895	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
10	9, 9	mpoex 8083	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) ∈ V
11		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴}))⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴}))⟩}
12	11	topgrpplusg 17382	. . . 4 ⊢ ((𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) ∈ V → (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) = (+g‘{⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴}))⟩}))
13	10, 12	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) = (+g‘{⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴}))⟩})
14	7, 8, 13	3eqtr4g 2796	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → + = (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)))
15		fvprc 6873	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (EndoFMnd‘𝐴) = ∅)
16	1, 15	eqtrid 2783	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → 𝐺 = ∅)
17	16	fveq2d 6885	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (+g‘𝐺) = (+g‘∅))
18		plusgid 17303	. . . . 5 ⊢ +g = Slot (+g‘ndx)
19	18	str0 17213	. . . 4 ⊢ ∅ = (+g‘∅)
20	17, 8, 19	3eqtr4g 2796	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → + = ∅)
21	16	fveq2d 6885	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (Base‘𝐺) = (Base‘∅))
22		base0 17238	. . . . . 6 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
23	21, 2, 22	3eqtr4g 2796	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → 𝐵 = ∅)
24	23	olcd 874	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (𝐵 = ∅ ∨ 𝐵 = ∅))
25		0mpo0 7495	. . . 4 ⊢ ((𝐵 = ∅ ∨ 𝐵 = ∅) → (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) = ∅)
26	24, 25	syl 17	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) = ∅)
27	20, 26	eqtr4d 2774	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → + = (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)))
28	14, 27	pm2.61i 182	1 ⊢ + = (𝑓 ∈ 𝐵, 𝑔 ∈ 𝐵 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3464  ∅c0 4313  𝒫 cpw 4580  {csn 4606  {ctp 4610  ⟨cop 4612   × cxp 5657   ∘ ccom 5663  ‘cfv 6536   ∈ cmpo 7412  ndxcnx 17217  Basecbs 17233  +_gcplusg 17276  TopSetcts 17282  ∏_tcpt 17457  EndoFMndcefmnd 18851

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8724  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-fz 13530  df-struct 17171  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-plusg 17289  df-tset 17295  df-efmnd 18852

This theorem is referenced by:  efmndov  18864  submefmnd  18878  symgplusg  19369  efmndtmd  24044