Theorem tglinethrueu 26427

Description: There is a unique line going through any two distinct points. Theorem 6.19 of [Schwabhauser] p. 46. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tglineelsb2.p	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
tglineelsb2.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglineelsb2.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglineelsb2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tglineelsb2.1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐵)
tglineelsb2.2	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐵)
tglineelsb2.4	⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ 𝑄)

Assertion

Ref	Expression
tglinethrueu	⊢ (𝜑 → ∃!𝑥 ∈ ran 𝐿(𝑃 ∈ 𝑥 ∧ 𝑄 ∈ 𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺   𝑥,𝐼   𝑥,𝐿   𝑥,𝑃   𝑥,𝑄   𝜑,𝑥

Proof of Theorem tglinethrueu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tglineelsb2.p	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		tglineelsb2.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3		tglineelsb2.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
4		tglineelsb2.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5		tglineelsb2.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐵)
6		tglineelsb2.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐵)
7		tglineelsb2.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ 𝑄)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	tghilberti1 26425	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ran 𝐿(𝑃 ∈ 𝑥 ∧ 𝑄 ∈ 𝑥))
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	tghilberti2 26426	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃*𝑥 ∈ ran 𝐿(𝑃 ∈ 𝑥 ∧ 𝑄 ∈ 𝑥))
10		reu5 3432	. 2 ⊢ (∃!𝑥 ∈ ran 𝐿(𝑃 ∈ 𝑥 ∧ 𝑄 ∈ 𝑥) ↔ (∃𝑥 ∈ ran 𝐿(𝑃 ∈ 𝑥 ∧ 𝑄 ∈ 𝑥) ∧ ∃*𝑥 ∈ ran 𝐿(𝑃 ∈ 𝑥 ∧ 𝑄 ∈ 𝑥)))
11	8, 9, 10	sylanbrc 585	1 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑥 ∈ ran 𝐿(𝑃 ∈ 𝑥 ∧ 𝑄 ∈ 𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3018  ∃wrex 3141  ∃!wreu 3142  ∃*wrmo 3143  ran crn 5558  ‘cfv 6357  Basecbs 16485  TarskiGcstrkg 26218  Itvcitv 26224  LineGclng 26225

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-oadd 8108  df-er 8291  df-pm 8411  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-dju 9332  df-card 9370  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-n0 11901  df-xnn0 11971  df-z 11985  df-uz 12247  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-hash 13694  df-word 13865  df-concat 13925  df-s1 13952  df-s2 14212  df-s3 14213  df-trkgc 26236  df-trkgb 26237  df-trkgcb 26238  df-trkg 26241  df-cgrg 26299

This theorem is referenced by: (None)