Theorem tglinethrueu 28729

Description: There is a unique line going through any two distinct points. Theorem 6.19 of [Schwabhauser] p. 46. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tglineelsb2.p	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
tglineelsb2.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglineelsb2.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglineelsb2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tglineelsb2.1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐵)
tglineelsb2.2	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐵)
tglineelsb2.4	⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ 𝑄)

Assertion

Ref	Expression
tglinethrueu	⊢ (𝜑 → ∃!𝑥 ∈ ran 𝐿(𝑃 ∈ 𝑥 ∧ 𝑄 ∈ 𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺   𝑥,𝐼   𝑥,𝐿   𝑥,𝑃   𝑥,𝑄   𝜑,𝑥

Proof of Theorem tglinethrueu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tglineelsb2.p	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		tglineelsb2.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3		tglineelsb2.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
4		tglineelsb2.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5		tglineelsb2.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐵)
6		tglineelsb2.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐵)
7		tglineelsb2.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ 𝑄)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	tghilberti1 28727	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ran 𝐿(𝑃 ∈ 𝑥 ∧ 𝑄 ∈ 𝑥))
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	tghilberti2 28728	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃*𝑥 ∈ ran 𝐿(𝑃 ∈ 𝑥 ∧ 𝑄 ∈ 𝑥))
10		reu5 3348	. 2 ⊢ (∃!𝑥 ∈ ran 𝐿(𝑃 ∈ 𝑥 ∧ 𝑄 ∈ 𝑥) ↔ (∃𝑥 ∈ ran 𝐿(𝑃 ∈ 𝑥 ∧ 𝑄 ∈ 𝑥) ∧ ∃*𝑥 ∈ ran 𝐿(𝑃 ∈ 𝑥 ∧ 𝑄 ∈ 𝑥)))
11	8, 9, 10	sylanbrc 590	1 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑥 ∈ ran 𝐿(𝑃 ∈ 𝑥 ∧ 𝑄 ∈ 𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   ≠ wne 2936  ∃wrex 3065  ∃!wreu 3344  ∃*wrmo 3345  ran crn 5622  ‘cfv 6489  Basecbs 17174  TarskiGcstrkg 28517  Itvcitv 28523  LineGclng 28524

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4842  df-int 4881  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-oadd 8403  df-er 8637  df-pm 8770  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-dju 9820  df-card 9858  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-n0 12433  df-xnn0 12506  df-z 12520  df-uz 12784  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-hash 14288  df-word 14471  df-concat 14528  df-s1 14554  df-s2 14805  df-s3 14806  df-trkgc 28538  df-trkgb 28539  df-trkgcb 28540  df-trkg 28543  df-cgrg 28601

This theorem is referenced by: (None)