MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tghilberti2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tghilberti2 25754
Description: There is at most one line through any two distinct points. Hilbert's axiom I.2 for geometry. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tglineelsb2.p 𝐵 = (Base‘𝐺)
tglineelsb2.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglineelsb2.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglineelsb2.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
tglineelsb2.1 (𝜑𝑃𝐵)
tglineelsb2.2 (𝜑𝑄𝐵)
tglineelsb2.4 (𝜑𝑃𝑄)
Assertion
Ref Expression
tghilberti2 (𝜑 → ∃*𝑥 ∈ ran 𝐿(𝑃𝑥𝑄𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺   𝑥,𝐼   𝑥,𝐿   𝑥,𝑃   𝑥,𝑄   𝜑,𝑥

Proof of Theorem tghilberti2
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tglineelsb2.p . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 tglineelsb2.i . . . . . 6 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3 tglineelsb2.l . . . . . 6 𝐿 = (LineG‘𝐺)
4 tglineelsb2.g . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
543ad2ant1 1127 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ran 𝐿𝑦 ∈ ran 𝐿) ∧ ((𝑃𝑥𝑄𝑥) ∧ (𝑃𝑦𝑄𝑦))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6 tglineelsb2.1 . . . . . . 7 (𝜑𝑃𝐵)
763ad2ant1 1127 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ran 𝐿𝑦 ∈ ran 𝐿) ∧ ((𝑃𝑥𝑄𝑥) ∧ (𝑃𝑦𝑄𝑦))) → 𝑃𝐵)
8 tglineelsb2.2 . . . . . . 7 (𝜑𝑄𝐵)
983ad2ant1 1127 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ran 𝐿𝑦 ∈ ran 𝐿) ∧ ((𝑃𝑥𝑄𝑥) ∧ (𝑃𝑦𝑄𝑦))) → 𝑄𝐵)
10 tglineelsb2.4 . . . . . . 7 (𝜑𝑃𝑄)
11103ad2ant1 1127 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ran 𝐿𝑦 ∈ ran 𝐿) ∧ ((𝑃𝑥𝑄𝑥) ∧ (𝑃𝑦𝑄𝑦))) → 𝑃𝑄)
12 simp2l 1241 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ran 𝐿𝑦 ∈ ran 𝐿) ∧ ((𝑃𝑥𝑄𝑥) ∧ (𝑃𝑦𝑄𝑦))) → 𝑥 ∈ ran 𝐿)
13 simp3ll 1310 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ran 𝐿𝑦 ∈ ran 𝐿) ∧ ((𝑃𝑥𝑄𝑥) ∧ (𝑃𝑦𝑄𝑦))) → 𝑃𝑥)
14 simp3lr 1311 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ran 𝐿𝑦 ∈ ran 𝐿) ∧ ((𝑃𝑥𝑄𝑥) ∧ (𝑃𝑦𝑄𝑦))) → 𝑄𝑥)
151, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 11, 12, 13, 14tglinethru 25752 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ran 𝐿𝑦 ∈ ran 𝐿) ∧ ((𝑃𝑥𝑄𝑥) ∧ (𝑃𝑦𝑄𝑦))) → 𝑥 = (𝑃𝐿𝑄))
16 simp2r 1242 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ran 𝐿𝑦 ∈ ran 𝐿) ∧ ((𝑃𝑥𝑄𝑥) ∧ (𝑃𝑦𝑄𝑦))) → 𝑦 ∈ ran 𝐿)
17 simp3rl 1312 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ran 𝐿𝑦 ∈ ran 𝐿) ∧ ((𝑃𝑥𝑄𝑥) ∧ (𝑃𝑦𝑄𝑦))) → 𝑃𝑦)
18 simp3rr 1313 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ran 𝐿𝑦 ∈ ran 𝐿) ∧ ((𝑃𝑥𝑄𝑥) ∧ (𝑃𝑦𝑄𝑦))) → 𝑄𝑦)
191, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 11, 16, 17, 18tglinethru 25752 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ran 𝐿𝑦 ∈ ran 𝐿) ∧ ((𝑃𝑥𝑄𝑥) ∧ (𝑃𝑦𝑄𝑦))) → 𝑦 = (𝑃𝐿𝑄))
2015, 19eqtr4d 2808 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ran 𝐿𝑦 ∈ ran 𝐿) ∧ ((𝑃𝑥𝑄𝑥) ∧ (𝑃𝑦𝑄𝑦))) → 𝑥 = 𝑦)
21203expia 1114 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ran 𝐿𝑦 ∈ ran 𝐿)) → (((𝑃𝑥𝑄𝑥) ∧ (𝑃𝑦𝑄𝑦)) → 𝑥 = 𝑦))
2221ralrimivva 3120 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ran 𝐿𝑦 ∈ ran 𝐿(((𝑃𝑥𝑄𝑥) ∧ (𝑃𝑦𝑄𝑦)) → 𝑥 = 𝑦))
23 eleq2w 2834 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (𝑃𝑥𝑃𝑦))
24 eleq2w 2834 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (𝑄𝑥𝑄𝑦))
2523, 24anbi12d 616 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑃𝑥𝑄𝑥) ↔ (𝑃𝑦𝑄𝑦)))
2625rmo4 3551 . 2 (∃*𝑥 ∈ ran 𝐿(𝑃𝑥𝑄𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ran 𝐿𝑦 ∈ ran 𝐿(((𝑃𝑥𝑄𝑥) ∧ (𝑃𝑦𝑄𝑦)) → 𝑥 = 𝑦))
2722, 26sylibr 224 1 (𝜑 → ∃*𝑥 ∈ ran 𝐿(𝑃𝑥𝑄𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  wral 3061  ∃*wrmo 3064  ran crn 5251  cfv 6030  (class class class)co 6796  Basecbs 16064  TarskiGcstrkg 25550  Itvcitv 25556  LineGclng 25557
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7900  df-pm 8016  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-card 8969  df-cda 9196  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-n0 11500  df-xnn0 11571  df-z 11585  df-uz 11894  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-hash 13322  df-word 13495  df-concat 13497  df-s1 13498  df-s2 13802  df-s3 13803  df-trkgc 25568  df-trkgb 25569  df-trkgcb 25570  df-trkg 25573  df-cgrg 25627
This theorem is referenced by:  tglinethrueu  25755
  Copyright terms: Public domain W3C validator