MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgsas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgsas 28658
Description: First congruence theorem: SAS (Side-Angle-Side): If two pairs of sides of two triangles are equal in length, and the included angles are equal in measurement, then the triangles are congruent. Theorem 11.49 of [Schwabhauser] p. 107. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
tgsas.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
tgsas.m βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
tgsas.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
tgsas.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
tgsas.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
tgsas.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
tgsas.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
tgsas.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
tgsas.e (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝑃)
tgsas.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
tgsas.1 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) = (𝐷 βˆ’ 𝐸))
tgsas.2 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrAβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπΉβ€βŸ©)
tgsas.3 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐢) = (𝐸 βˆ’ 𝐹))
Assertion
Ref Expression
tgsas (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπΉβ€βŸ©)

Proof of Theorem tgsas
StepHypRef Expression
1 tgsas.p . 2 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
2 tgsas.m . 2 βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
3 eqid 2728 . 2 (cgrGβ€˜πΊ) = (cgrGβ€˜πΊ)
4 tgsas.g . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
5 tgsas.a . 2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
6 tgsas.b . 2 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
7 tgsas.c . 2 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
8 tgsas.d . 2 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑃)
9 tgsas.e . 2 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝑃)
10 tgsas.f . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑃)
11 tgsas.1 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ’ 𝐡) = (𝐷 βˆ’ 𝐸))
12 tgsas.3 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐢) = (𝐸 βˆ’ 𝐹))
13 tgsas.i . . 3 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
14 tgsas.2 . . 3 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrAβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπΉβ€βŸ©)
151, 2, 13, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 14, 12tgsas1 28657 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐢 βˆ’ 𝐴) = (𝐹 βˆ’ 𝐷))
161, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 15trgcgr 28319 1 (πœ‘ β†’ βŸ¨β€œπ΄π΅πΆβ€βŸ©(cgrGβ€˜πΊ)βŸ¨β€œπ·πΈπΉβ€βŸ©)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  βŸ¨β€œcs3 14825  Basecbs 17179  distcds 17241  TarskiGcstrkg 28230  Itvcitv 28236  cgrGccgrg 28313  cgrAccgra 28610
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-oadd 8490  df-er 8724  df-map 8846  df-pm 8847  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-fin 8967  df-dju 9924  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-n0 12503  df-xnn0 12575  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-hash 14322  df-word 14497  df-concat 14553  df-s1 14578  df-s2 14831  df-s3 14832  df-trkgc 28251  df-trkgb 28252  df-trkgcb 28253  df-trkg 28256  df-cgrg 28314  df-leg 28386  df-hlg 28404  df-cgra 28611
This theorem is referenced by:  tgsas2  28659  tgsas3  28660  tgasa  28662
  Copyright terms: Public domain W3C validator