Theorem tposcurf12 48971

Description: The partially evaluated transposed curry functor at a morphism. (Contributed by Zhi Wang, 9-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
tposcurf1.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 = (⟨𝐶, 𝐷⟩ curryF (𝐹 ∘func (𝐶swapF𝐷))))
tposcurf1.a	⊢ 𝐴 = (Base‘𝐶)
tposcurf1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
tposcurf1.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
tposcurf1.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐷 ×c 𝐶) Func 𝐸))
tposcurf1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
tposcurf1.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 = ((1st ‘𝐺)‘𝑋))
tposcurf1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)
tposcurf11.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
tposcurf12.j	⊢ 𝐽 = (Hom ‘𝐷)
tposcurf12.1	⊢ 1 = (Id‘𝐶)
tposcurf12.y	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
tposcurf12.g	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝑌𝐽𝑍))

Assertion

Ref	Expression
tposcurf12	⊢ (𝜑 → ((𝑌(2nd ‘𝐾)𝑍)‘𝐻) = (𝐻(⟨𝑌, 𝑋⟩(2nd ‘𝐹)⟨𝑍, 𝑋⟩)( 1 ‘𝑋)))

Proof of Theorem tposcurf12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tposcurf1.k	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = ((1st ‘𝐺)‘𝑋))
2		tposcurf1.g	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (⟨𝐶, 𝐷⟩ curryF (𝐹 ∘func (𝐶swapF𝐷))))
3	2	fveq2d 6908	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1st ‘𝐺) = (1st ‘(⟨𝐶, 𝐷⟩ curryF (𝐹 ∘func (𝐶swapF𝐷)))))
4	3	fveq1d 6906	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1st ‘𝐺)‘𝑋) = ((1st ‘(⟨𝐶, 𝐷⟩ curryF (𝐹 ∘func (𝐶swapF𝐷))))‘𝑋))
5	1, 4	eqtrd 2776	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = ((1st ‘(⟨𝐶, 𝐷⟩ curryF (𝐹 ∘func (𝐶swapF𝐷))))‘𝑋))
6	5	fveq2d 6908	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (2nd ‘𝐾) = (2nd ‘((1st ‘(⟨𝐶, 𝐷⟩ curryF (𝐹 ∘func (𝐶swapF𝐷))))‘𝑋)))
7	6	oveqd 7446	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌(2nd ‘𝐾)𝑍) = (𝑌(2nd ‘((1st ‘(⟨𝐶, 𝐷⟩ curryF (𝐹 ∘func (𝐶swapF𝐷))))‘𝑋))𝑍))
8	7	fveq1d 6906	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑌(2nd ‘𝐾)𝑍)‘𝐻) = ((𝑌(2nd ‘((1st ‘(⟨𝐶, 𝐷⟩ curryF (𝐹 ∘func (𝐶swapF𝐷))))‘𝑋))𝑍)‘𝐻))
9		eqid 2736	. . 3 ⊢ (⟨𝐶, 𝐷⟩ curryF (𝐹 ∘func (𝐶swapF𝐷))) = (⟨𝐶, 𝐷⟩ curryF (𝐹 ∘func (𝐶swapF𝐷)))
10		tposcurf1.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝐶)
11		tposcurf1.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
12		tposcurf1.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
13		tposcurf1.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐷 ×c 𝐶) Func 𝐸))
14		eqidd 2737	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘func (𝐶swapF𝐷)) = (𝐹 ∘func (𝐶swapF𝐷)))
15	11, 12, 13, 14	cofuswapfcl 48966	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘func (𝐶swapF𝐷)) ∈ ((𝐶 ×c 𝐷) Func 𝐸))
16		tposcurf1.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)
17		tposcurf1.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
18		eqid 2736	. . 3 ⊢ ((1st ‘(⟨𝐶, 𝐷⟩ curryF (𝐹 ∘func (𝐶swapF𝐷))))‘𝑋) = ((1st ‘(⟨𝐶, 𝐷⟩ curryF (𝐹 ∘func (𝐶swapF𝐷))))‘𝑋)
19		tposcurf11.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
20		tposcurf12.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (Hom ‘𝐷)
21		tposcurf12.1	. . 3 ⊢ 1 = (Id‘𝐶)
22		tposcurf12.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
23		tposcurf12.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝑌𝐽𝑍))
24	9, 10, 11, 12, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23	curf12 18268	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑌(2nd ‘((1st ‘(⟨𝐶, 𝐷⟩ curryF (𝐹 ∘func (𝐶swapF𝐷))))‘𝑋))𝑍)‘𝐻) = (( 1 ‘𝑋)(⟨𝑋, 𝑌⟩(2nd ‘(𝐹 ∘func (𝐶swapF𝐷)))⟨𝑋, 𝑍⟩)𝐻))
25		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
26	10, 25, 21, 11, 17	catidcl 17721	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( 1 ‘𝑋) ∈ (𝑋(Hom ‘𝐶)𝑋))
27	11, 12, 13, 14, 10, 16, 17, 19, 17, 22, 25, 20, 26, 23	cofuswapf2 48968	. 2 ⊢ (𝜑 → (( 1 ‘𝑋)(⟨𝑋, 𝑌⟩(2nd ‘(𝐹 ∘func (𝐶swapF𝐷)))⟨𝑋, 𝑍⟩)𝐻) = (𝐻(⟨𝑌, 𝑋⟩(2nd ‘𝐹)⟨𝑍, 𝑋⟩)( 1 ‘𝑋)))
28	8, 24, 27	3eqtrd 2780	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑌(2nd ‘𝐾)𝑍)‘𝐻) = (𝐻(⟨𝑌, 𝑋⟩(2nd ‘𝐹)⟨𝑍, 𝑋⟩)( 1 ‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ⟨cop 4630  ‘cfv 6559  (class class class)co 7429  1^st c1st 8008  2^nd c2nd 8009  Basecbs 17243  Hom chom 17304  Catccat 17703  Idccid 17704   Func cfunc 17895   ∘_func ccofu 17897   ×_c cxpc 18209   curry_F ccurf 18251  swap_Fcswapf 48938

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5277  ax-sep 5294  ax-nul 5304  ax-pow 5363  ax-pr 5430  ax-un 7751  ax-cnex 11207  ax-resscn 11208  ax-1cn 11209  ax-icn 11210  ax-addcl 11211  ax-addrcl 11212  ax-mulcl 11213  ax-mulrcl 11214  ax-mulcom 11215  ax-addass 11216  ax-mulass 11217  ax-distr 11218  ax-i2m1 11219  ax-1ne0 11220  ax-1rid 11221  ax-rnegex 11222  ax-rrecex 11223  ax-cnre 11224  ax-pre-lttri 11225  ax-pre-lttrn 11226  ax-pre-ltadd 11227  ax-pre-mulgt0 11228

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4906  df-iun 4991  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5224  df-tr 5258  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5689  df-rel 5690  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-rn 5694  df-res 5695  df-ima 5696  df-pred 6319  df-ord 6385  df-on 6386  df-lim 6387  df-suc 6388  df-iota 6512  df-fun 6561  df-fn 6562  df-f 6563  df-f1 6564  df-fo 6565  df-f1o 6566  df-fv 6567  df-riota 7386  df-ov 7432  df-oprab 7433  df-mpo 7434  df-om 7884  df-1st 8010  df-2nd 8011  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8502  df-er 8741  df-map 8864  df-ixp 8934  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-fin 8985  df-pnf 11293  df-mnf 11294  df-xr 11295  df-ltxr 11296  df-le 11297  df-sub 11490  df-neg 11491  df-nn 12263  df-2 12325  df-3 12326  df-4 12327  df-5 12328  df-6 12329  df-7 12330  df-8 12331  df-9 12332  df-n0 12523  df-z 12610  df-dec 12730  df-uz 12875  df-fz 13544  df-struct 17180  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17244  df-hom 17317  df-cco 17318  df-cat 17707  df-cid 17708  df-func 17899  df-cofu 17901  df-xpc 18213  df-curf 18255  df-swapf 48939

This theorem is referenced by:  tposcurf1  48972