Theorem tposcurf2val 50228

Description: Value of a component of the transposed curry functor natural transformation. (Contributed by Zhi Wang, 10-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
tposcurf2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 = (⟨𝐶, 𝐷⟩ curryF (𝐹 ∘func (𝐶 swapF 𝐷))))
tposcurf2.a	⊢ 𝐴 = (Base‘𝐶)
tposcurf2.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
tposcurf2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
tposcurf2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐷 ×c 𝐶) Func 𝐸))
tposcurf2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)
tposcurf2.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
tposcurf2.i	⊢ 𝐼 = (Id‘𝐷)
tposcurf2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
tposcurf2.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐴)
tposcurf2.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑋𝐻𝑌))
tposcurf2.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 = ((𝑋(2nd ‘𝐺)𝑌)‘𝐾))
tposcurf2.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
tposcurf2val	⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝑍) = ((𝐼‘𝑍)(⟨𝑍, 𝑋⟩(2nd ‘𝐹)⟨𝑍, 𝑌⟩)𝐾))

Proof of Theorem tposcurf2val

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tposcurf2.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (⟨𝐶, 𝐷⟩ curryF (𝐹 ∘func (𝐶 swapF 𝐷))))
2		tposcurf2.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝐶)
3		tposcurf2.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
4		tposcurf2.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
5		tposcurf2.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐷 ×c 𝐶) Func 𝐸))
6		tposcurf2.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)
7		tposcurf2.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
8		tposcurf2.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Id‘𝐷)
9		tposcurf2.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
10		tposcurf2.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐴)
11		tposcurf2.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑋𝐻𝑌))
12		tposcurf2.l	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐿 = ((𝑋(2nd ‘𝐺)𝑌)‘𝐾))
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	tposcurf2 50227	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐿 = (𝑧 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐼‘𝑧)(⟨𝑧, 𝑋⟩(2nd ‘𝐹)⟨𝑧, 𝑌⟩)𝐾)))
14		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = 𝑍) → 𝑧 = 𝑍)
15	14	opeq1d 4839	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = 𝑍) → ⟨𝑧, 𝑋⟩ = ⟨𝑍, 𝑋⟩)
16	14	opeq1d 4839	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = 𝑍) → ⟨𝑧, 𝑌⟩ = ⟨𝑍, 𝑌⟩)
17	15, 16	oveq12d 7432	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = 𝑍) → (⟨𝑧, 𝑋⟩(2nd ‘𝐹)⟨𝑧, 𝑌⟩) = (⟨𝑍, 𝑋⟩(2nd ‘𝐹)⟨𝑍, 𝑌⟩))
18	14	fveq2d 6883	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = 𝑍) → (𝐼‘𝑧) = (𝐼‘𝑍))
19		eqidd 2761	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = 𝑍) → 𝐾 = 𝐾)
20	17, 18, 19	oveq123d 7435	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 = 𝑍) → ((𝐼‘𝑧)(⟨𝑧, 𝑋⟩(2nd ‘𝐹)⟨𝑧, 𝑌⟩)𝐾) = ((𝐼‘𝑍)(⟨𝑍, 𝑋⟩(2nd ‘𝐹)⟨𝑍, 𝑌⟩)𝐾))
21		tposcurf2.z	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
22		ovexd 7449	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘𝑍)(⟨𝑍, 𝑋⟩(2nd ‘𝐹)⟨𝑍, 𝑌⟩)𝐾) ∈ V)
23	13, 20, 21, 22	fvmptd 6995	1 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝑍) = ((𝐼‘𝑍)(⟨𝑍, 𝑋⟩(2nd ‘𝐹)⟨𝑍, 𝑌⟩)𝐾))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450  ⟨cop 4590  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  2^nd c2nd 7986  Basecbs 17302  Hom chom 17354  Catccat 17753  Idccid 17754   Func cfunc 17944   ∘_func ccofu 17946   ×_c cxpc 18257   curry_F ccurf 18299   swap_F cswapf 50186

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-er 8697  df-map 8829  df-ixp 8906  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-4 12330  df-5 12331  df-6 12332  df-7 12333  df-8 12334  df-9 12335  df-n0 12530  df-z 12617  df-dec 12738  df-uz 12889  df-fz 13563  df-struct 17240  df-slot 17275  df-ndx 17287  df-base 17303  df-hom 17367  df-cco 17368  df-cat 17757  df-cid 17758  df-func 17948  df-cofu 17950  df-xpc 18261  df-curf 18303  df-swapf 50187

This theorem is used by: (None)