Theorem tposcurf2 49958

Description: Value of the transposed curry functor at a morphism. (Contributed by Zhi Wang, 10-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
tposcurf2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 = (⟨𝐶, 𝐷⟩ curryF (𝐹 ∘func (𝐶 swapF 𝐷))))
tposcurf2.a	⊢ 𝐴 = (Base‘𝐶)
tposcurf2.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
tposcurf2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
tposcurf2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐷 ×c 𝐶) Func 𝐸))
tposcurf2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)
tposcurf2.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
tposcurf2.i	⊢ 𝐼 = (Id‘𝐷)
tposcurf2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
tposcurf2.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐴)
tposcurf2.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑋𝐻𝑌))
tposcurf2.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 = ((𝑋(2nd ‘𝐺)𝑌)‘𝐾))

Assertion

Ref	Expression
tposcurf2	⊢ (𝜑 → 𝐿 = (𝑧 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐼‘𝑧)(⟨𝑧, 𝑋⟩(2nd ‘𝐹)⟨𝑧, 𝑌⟩)𝐾)))

Distinct variable groups:   𝑧,𝐵   𝑧,𝐶   𝑧,𝐷   𝑧,𝐸   𝑧,𝐹   𝑧,𝐻   𝑧,𝐼   𝑧,𝐾   𝑧,𝑋   𝑧,𝑌   𝜑,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑧)   𝐺(𝑧)   𝐿(𝑧)

Proof of Theorem tposcurf2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tposcurf2.l	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐿 = ((𝑋(2nd ‘𝐺)𝑌)‘𝐾))
2		tposcurf2.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (⟨𝐶, 𝐷⟩ curryF (𝐹 ∘func (𝐶 swapF 𝐷))))
3	2	fveq2d 6883	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2nd ‘𝐺) = (2nd ‘(⟨𝐶, 𝐷⟩ curryF (𝐹 ∘func (𝐶 swapF 𝐷)))))
4	3	oveqd 7425	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋(2nd ‘𝐺)𝑌) = (𝑋(2nd ‘(⟨𝐶, 𝐷⟩ curryF (𝐹 ∘func (𝐶 swapF 𝐷))))𝑌))
5	4	fveq1d 6881	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋(2nd ‘𝐺)𝑌)‘𝐾) = ((𝑋(2nd ‘(⟨𝐶, 𝐷⟩ curryF (𝐹 ∘func (𝐶 swapF 𝐷))))𝑌)‘𝐾))
6	1, 5	eqtrd 2804	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐿 = ((𝑋(2nd ‘(⟨𝐶, 𝐷⟩ curryF (𝐹 ∘func (𝐶 swapF 𝐷))))𝑌)‘𝐾))
7		eqid 2769	. . 3 ⊢ (⟨𝐶, 𝐷⟩ curryF (𝐹 ∘func (𝐶 swapF 𝐷))) = (⟨𝐶, 𝐷⟩ curryF (𝐹 ∘func (𝐶 swapF 𝐷)))
8		tposcurf2.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝐶)
9		tposcurf2.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
10		tposcurf2.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
11		tposcurf2.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐷 ×c 𝐶) Func 𝐸))
12		eqidd 2770	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘func (𝐶 swapF 𝐷)) = (𝐹 ∘func (𝐶 swapF 𝐷)))
13	9, 10, 11, 12	cofuswapfcl 49951	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘func (𝐶 swapF 𝐷)) ∈ ((𝐶 ×c 𝐷) Func 𝐸))
14		tposcurf2.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)
15		tposcurf2.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
16		tposcurf2.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Id‘𝐷)
17		tposcurf2.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
18		tposcurf2.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐴)
19		tposcurf2.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑋𝐻𝑌))
20		eqid 2769	. . 3 ⊢ ((𝑋(2nd ‘(⟨𝐶, 𝐷⟩ curryF (𝐹 ∘func (𝐶 swapF 𝐷))))𝑌)‘𝐾) = ((𝑋(2nd ‘(⟨𝐶, 𝐷⟩ curryF (𝐹 ∘func (𝐶 swapF 𝐷))))𝑌)‘𝐾)
21	7, 8, 9, 10, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20	curf2 18281	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋(2nd ‘(⟨𝐶, 𝐷⟩ curryF (𝐹 ∘func (𝐶 swapF 𝐷))))𝑌)‘𝐾) = (𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (𝐾(⟨𝑋, 𝑧⟩(2nd ‘(𝐹 ∘func (𝐶 swapF 𝐷)))⟨𝑌, 𝑧⟩)(𝐼‘𝑧))))
22	9	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ Cat)
23	10	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝐷 ∈ Cat)
24	11	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ ((𝐷 ×c 𝐶) Func 𝐸))
25		eqidd 2770	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝐹 ∘func (𝐶 swapF 𝐷)) = (𝐹 ∘func (𝐶 swapF 𝐷)))
26	17	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐴)
27		simpr 489	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ 𝐵)
28	18	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐴)
29		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (Hom ‘𝐷) = (Hom ‘𝐷)
30	19	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ (𝑋𝐻𝑌))
31	14, 29, 16, 23, 27	catidcl 17734	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝐼‘𝑧) ∈ (𝑧(Hom ‘𝐷)𝑧))
32	22, 23, 24, 25, 8, 14, 26, 27, 28, 27, 15, 29, 30, 31	cofuswapf2 49953	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝐾(⟨𝑋, 𝑧⟩(2nd ‘(𝐹 ∘func (𝐶 swapF 𝐷)))⟨𝑌, 𝑧⟩)(𝐼‘𝑧)) = ((𝐼‘𝑧)(⟨𝑧, 𝑋⟩(2nd ‘𝐹)⟨𝑧, 𝑌⟩)𝐾))
33	32	mpteq2dva 5205	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (𝐾(⟨𝑋, 𝑧⟩(2nd ‘(𝐹 ∘func (𝐶 swapF 𝐷)))⟨𝑌, 𝑧⟩)(𝐼‘𝑧))) = (𝑧 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐼‘𝑧)(⟨𝑧, 𝑋⟩(2nd ‘𝐹)⟨𝑧, 𝑌⟩)𝐾)))
34	6, 21, 33	3eqtrd 2808	1 ⊢ (𝜑 → 𝐿 = (𝑧 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐼‘𝑧)(⟨𝑧, 𝑋⟩(2nd ‘𝐹)⟨𝑧, 𝑌⟩)𝐾)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ⟨cop 4597   ↦ cmpt 5193  ‘cfv 6534  (class class class)co 7408  2^nd c2nd 7981  Basecbs 17265  Hom chom 17317  Catccat 17716  Idccid 17717   Func cfunc 17907   ∘_func ccofu 17909   ×_c cxpc 18220   curry_F ccurf 18262   swap_F cswapf 49917

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6300  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12501  df-z 12588  df-dec 12708  df-uz 12859  df-fz 13532  df-struct 17203  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-hom 17330  df-cco 17331  df-cat 17720  df-cid 17721  df-func 17911  df-cofu 17913  df-xpc 18224  df-curf 18266  df-swapf 49918

This theorem is referenced by:  tposcurf2val  49959