Theorem tposcurf2 50407

Description: Value of the transposed curry functor at a morphism. (Contributed by Zhi Wang, 10-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
tposcurf2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 = (⟨𝐶, 𝐷⟩ curryF (𝐹 ∘func (𝐶 swapF 𝐷))))
tposcurf2.a	⊢ 𝐴 = (Base‘𝐶)
tposcurf2.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
tposcurf2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
tposcurf2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐷 ×c 𝐶) Func 𝐸))
tposcurf2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)
tposcurf2.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
tposcurf2.i	⊢ 𝐼 = (Id‘𝐷)
tposcurf2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
tposcurf2.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐴)
tposcurf2.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑋𝐻𝑌))
tposcurf2.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 = ((𝑋(2nd ‘𝐺)𝑌)‘𝐾))

Assertion

Ref	Expression
tposcurf2	⊢ (𝜑 → 𝐿 = (𝑧 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐼‘𝑧)(⟨𝑧, 𝑋⟩(2nd ‘𝐹)⟨𝑧, 𝑌⟩)𝐾)))

Distinct variable groups:   𝑧,𝐵   𝑧,𝐶   𝑧,𝐷   𝑧,𝐸   𝑧,𝐹   𝑧,𝐻   𝑧,𝐼   𝑧,𝐾   𝑧,𝑋   𝑧,𝑌   𝜑,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑧)   𝐺(𝑧)   𝐿(𝑧)

Proof of Theorem tposcurf2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tposcurf2.l	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐿 = ((𝑋(2nd ‘𝐺)𝑌)‘𝐾))
2		tposcurf2.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (⟨𝐶, 𝐷⟩ curryF (𝐹 ∘func (𝐶 swapF 𝐷))))
3	2	fveq2d 6889	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2nd ‘𝐺) = (2nd ‘(⟨𝐶, 𝐷⟩ curryF (𝐹 ∘func (𝐶 swapF 𝐷)))))
4	3	oveqd 7437	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋(2nd ‘𝐺)𝑌) = (𝑋(2nd ‘(⟨𝐶, 𝐷⟩ curryF (𝐹 ∘func (𝐶 swapF 𝐷))))𝑌))
5	4	fveq1d 6887	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋(2nd ‘𝐺)𝑌)‘𝐾) = ((𝑋(2nd ‘(⟨𝐶, 𝐷⟩ curryF (𝐹 ∘func (𝐶 swapF 𝐷))))𝑌)‘𝐾))
6	1, 5	eqtrd 2796	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐿 = ((𝑋(2nd ‘(⟨𝐶, 𝐷⟩ curryF (𝐹 ∘func (𝐶 swapF 𝐷))))𝑌)‘𝐾))
7		eqid 2761	. . 3 ⊢ (⟨𝐶, 𝐷⟩ curryF (𝐹 ∘func (𝐶 swapF 𝐷))) = (⟨𝐶, 𝐷⟩ curryF (𝐹 ∘func (𝐶 swapF 𝐷)))
8		tposcurf2.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝐶)
9		tposcurf2.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
10		tposcurf2.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
11		tposcurf2.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐷 ×c 𝐶) Func 𝐸))
12		eqidd 2762	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘func (𝐶 swapF 𝐷)) = (𝐹 ∘func (𝐶 swapF 𝐷)))
13	9, 10, 11, 12	cofuswapfcl 50400	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘func (𝐶 swapF 𝐷)) ∈ ((𝐶 ×c 𝐷) Func 𝐸))
14		tposcurf2.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)
15		tposcurf2.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
16		tposcurf2.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Id‘𝐷)
17		tposcurf2.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
18		tposcurf2.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐴)
19		tposcurf2.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑋𝐻𝑌))
20		eqid 2761	. . 3 ⊢ ((𝑋(2nd ‘(⟨𝐶, 𝐷⟩ curryF (𝐹 ∘func (𝐶 swapF 𝐷))))𝑌)‘𝐾) = ((𝑋(2nd ‘(⟨𝐶, 𝐷⟩ curryF (𝐹 ∘func (𝐶 swapF 𝐷))))𝑌)‘𝐾)
21	7, 8, 9, 10, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20	curf2 18403	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋(2nd ‘(⟨𝐶, 𝐷⟩ curryF (𝐹 ∘func (𝐶 swapF 𝐷))))𝑌)‘𝐾) = (𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (𝐾(⟨𝑋, 𝑧⟩(2nd ‘(𝐹 ∘func (𝐶 swapF 𝐷)))⟨𝑌, 𝑧⟩)(𝐼‘𝑧))))
22	9	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ Cat)
23	10	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝐷 ∈ Cat)
24	11	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ ((𝐷 ×c 𝐶) Func 𝐸))
25		eqidd 2762	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝐹 ∘func (𝐶 swapF 𝐷)) = (𝐹 ∘func (𝐶 swapF 𝐷)))
26	17	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐴)
27		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ 𝐵)
28	18	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐴)
29		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (Hom ‘𝐷) = (Hom ‘𝐷)
30	19	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ (𝑋𝐻𝑌))
31	14, 29, 16, 23, 27	catidcl 17856	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝐼‘𝑧) ∈ (𝑧(Hom ‘𝐷)𝑧))
32	22, 23, 24, 25, 8, 14, 26, 27, 28, 27, 15, 29, 30, 31	cofuswapf2 50402	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝐾(⟨𝑋, 𝑧⟩(2nd ‘(𝐹 ∘func (𝐶 swapF 𝐷)))⟨𝑌, 𝑧⟩)(𝐼‘𝑧)) = ((𝐼‘𝑧)(⟨𝑧, 𝑋⟩(2nd ‘𝐹)⟨𝑧, 𝑌⟩)𝐾))
33	32	mpteq2dva 5198	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (𝐾(⟨𝑋, 𝑧⟩(2nd ‘(𝐹 ∘func (𝐶 swapF 𝐷)))⟨𝑌, 𝑧⟩)(𝐼‘𝑧))) = (𝑧 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐼‘𝑧)(⟨𝑧, 𝑋⟩(2nd ‘𝐹)⟨𝑧, 𝑌⟩)𝐾)))
34	6, 21, 33	3eqtrd 2800	1 ⊢ (𝜑 → 𝐿 = (𝑧 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐼‘𝑧)(⟨𝑧, 𝑋⟩(2nd ‘𝐹)⟨𝑧, 𝑌⟩)𝐾)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ⟨cop 4590   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  2^nd c2nd 8000  Basecbs 17387  Hom chom 17439  Catccat 17838  Idccid 17839   Func cfunc 18029   ∘_func ccofu 18031   ×_c cxpc 18342   curry_F ccurf 18384   swap_F cswapf 50366

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-map 8849  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-fz 13640  df-struct 17325  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-hom 17452  df-cco 17453  df-cat 17842  df-cid 17843  df-func 18033  df-cofu 18035  df-xpc 18346  df-curf 18388  df-swapf 50367

This theorem is used by:  tposcurf2val  50408