Theorem tposcurf2 50558

Description: Value of the transposed curry functor at a morphism. (Contributed by Zhi Wang, 10-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
tposcurf2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 = (⟨𝐶, 𝐷⟩ curryF (𝐹 ∘func (𝐶 swapF 𝐷))))
tposcurf2.a	⊢ 𝐴 = (Base‘𝐶)
tposcurf2.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
tposcurf2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
tposcurf2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐷 ×c 𝐶) Func 𝐸))
tposcurf2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)
tposcurf2.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
tposcurf2.i	⊢ 𝐼 = (Id‘𝐷)
tposcurf2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
tposcurf2.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐴)
tposcurf2.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑋𝐻𝑌))
tposcurf2.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 = ((𝑋(2nd ‘𝐺)𝑌)‘𝐾))

Assertion

Ref	Expression
tposcurf2	⊢ (𝜑 → 𝐿 = (𝑧 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐼‘𝑧)(⟨𝑧, 𝑋⟩(2nd ‘𝐹)⟨𝑧, 𝑌⟩)𝐾)))

Distinct variable groups:   𝑧,𝐵   𝑧,𝐶   𝑧,𝐷   𝑧,𝐸   𝑧,𝐹   𝑧,𝐻   𝑧,𝐼   𝑧,𝐾   𝑧,𝑋   𝑧,𝑌   𝜑,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑧)   𝐺(𝑧)   𝐿(𝑧)

Proof of Theorem tposcurf2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tposcurf2.l	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐿 = ((𝑋(2nd ‘𝐺)𝑌)‘𝐾))
2		tposcurf2.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (⟨𝐶, 𝐷⟩ curryF (𝐹 ∘func (𝐶 swapF 𝐷))))
3	2	fveq2d 6894	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2nd ‘𝐺) = (2nd ‘(⟨𝐶, 𝐷⟩ curryF (𝐹 ∘func (𝐶 swapF 𝐷)))))
4	3	oveqd 7441	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋(2nd ‘𝐺)𝑌) = (𝑋(2nd ‘(⟨𝐶, 𝐷⟩ curryF (𝐹 ∘func (𝐶 swapF 𝐷))))𝑌))
5	4	fveq1d 6892	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋(2nd ‘𝐺)𝑌)‘𝐾) = ((𝑋(2nd ‘(⟨𝐶, 𝐷⟩ curryF (𝐹 ∘func (𝐶 swapF 𝐷))))𝑌)‘𝐾))
6	1, 5	eqtrd 2795	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐿 = ((𝑋(2nd ‘(⟨𝐶, 𝐷⟩ curryF (𝐹 ∘func (𝐶 swapF 𝐷))))𝑌)‘𝐾))
7		eqid 2760	. . 3 ⊢ (⟨𝐶, 𝐷⟩ curryF (𝐹 ∘func (𝐶 swapF 𝐷))) = (⟨𝐶, 𝐷⟩ curryF (𝐹 ∘func (𝐶 swapF 𝐷)))
8		tposcurf2.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝐶)
9		tposcurf2.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
10		tposcurf2.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
11		tposcurf2.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐷 ×c 𝐶) Func 𝐸))
12		eqidd 2761	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘func (𝐶 swapF 𝐷)) = (𝐹 ∘func (𝐶 swapF 𝐷)))
13	9, 10, 11, 12	cofuswapfcl 50551	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘func (𝐶 swapF 𝐷)) ∈ ((𝐶 ×c 𝐷) Func 𝐸))
14		tposcurf2.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)
15		tposcurf2.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
16		tposcurf2.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Id‘𝐷)
17		tposcurf2.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
18		tposcurf2.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐴)
19		tposcurf2.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑋𝐻𝑌))
20		eqid 2760	. . 3 ⊢ ((𝑋(2nd ‘(⟨𝐶, 𝐷⟩ curryF (𝐹 ∘func (𝐶 swapF 𝐷))))𝑌)‘𝐾) = ((𝑋(2nd ‘(⟨𝐶, 𝐷⟩ curryF (𝐹 ∘func (𝐶 swapF 𝐷))))𝑌)‘𝐾)
21	7, 8, 9, 10, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20	curf2 18412	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋(2nd ‘(⟨𝐶, 𝐷⟩ curryF (𝐹 ∘func (𝐶 swapF 𝐷))))𝑌)‘𝐾) = (𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (𝐾(⟨𝑋, 𝑧⟩(2nd ‘(𝐹 ∘func (𝐶 swapF 𝐷)))⟨𝑌, 𝑧⟩)(𝐼‘𝑧))))
22	9	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ Cat)
23	10	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝐷 ∈ Cat)
24	11	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ ((𝐷 ×c 𝐶) Func 𝐸))
25		eqidd 2761	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝐹 ∘func (𝐶 swapF 𝐷)) = (𝐹 ∘func (𝐶 swapF 𝐷)))
26	17	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐴)
27		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ 𝐵)
28	18	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐴)
29		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Hom ‘𝐷) = (Hom ‘𝐷)
30	19	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ (𝑋𝐻𝑌))
31	14, 29, 16, 23, 27	catidcl 17865	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝐼‘𝑧) ∈ (𝑧(Hom ‘𝐷)𝑧))
32	22, 23, 24, 25, 8, 14, 26, 27, 28, 27, 15, 29, 30, 31	cofuswapf2 50553	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝐾(⟨𝑋, 𝑧⟩(2nd ‘(𝐹 ∘func (𝐶 swapF 𝐷)))⟨𝑌, 𝑧⟩)(𝐼‘𝑧)) = ((𝐼‘𝑧)(⟨𝑧, 𝑋⟩(2nd ‘𝐹)⟨𝑧, 𝑌⟩)𝐾))
33	32	mpteq2dva 5197	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (𝐾(⟨𝑋, 𝑧⟩(2nd ‘(𝐹 ∘func (𝐶 swapF 𝐷)))⟨𝑌, 𝑧⟩)(𝐼‘𝑧))) = (𝑧 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐼‘𝑧)(⟨𝑧, 𝑋⟩(2nd ‘𝐹)⟨𝑧, 𝑌⟩)𝐾)))
34	6, 21, 33	3eqtrd 2799	1 ⊢ (𝜑 → 𝐿 = (𝑧 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐼‘𝑧)(⟨𝑧, 𝑋⟩(2nd ‘𝐹)⟨𝑧, 𝑌⟩)𝐾)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ⟨cop 4834   ↦ cmpt 5185  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  2^nd c2nd 8004  Basecbs 17396  Hom chom 17448  Catccat 17847  Idccid 17848   Func cfunc 18038   ∘_func ccofu 18040   ×_c cxpc 18351   curry_F ccurf 18393   swap_F cswapf 50517

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-1o 8484  df-er 8725  df-map 8857  df-ixp 8934  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-fin 8985  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-4 12414  df-5 12415  df-6 12416  df-7 12417  df-8 12418  df-9 12419  df-n0 12614  df-z 12701  df-dec 12822  df-uz 12973  df-fz 13647  df-struct 17334  df-slot 17369  df-ndx 17381  df-base 17397  df-hom 17461  df-cco 17462  df-cat 17851  df-cid 17852  df-func 18042  df-cofu 18044  df-xpc 18355  df-curf 18397  df-swapf 50518

This theorem is used by:  tposcurf2val  50559