Theorem tposcurf2 50135

Description: Value of the transposed curry functor at a morphism. (Contributed by Zhi Wang, 10-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
tposcurf2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 = (⟨𝐶, 𝐷⟩ curryF (𝐹 ∘func (𝐶 swapF 𝐷))))
tposcurf2.a	⊢ 𝐴 = (Base‘𝐶)
tposcurf2.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
tposcurf2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
tposcurf2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐷 ×c 𝐶) Func 𝐸))
tposcurf2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)
tposcurf2.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
tposcurf2.i	⊢ 𝐼 = (Id‘𝐷)
tposcurf2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
tposcurf2.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐴)
tposcurf2.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑋𝐻𝑌))
tposcurf2.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 = ((𝑋(2nd ‘𝐺)𝑌)‘𝐾))

Assertion

Ref	Expression
tposcurf2	⊢ (𝜑 → 𝐿 = (𝑧 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐼‘𝑧)(⟨𝑧, 𝑋⟩(2nd ‘𝐹)⟨𝑧, 𝑌⟩)𝐾)))

Distinct variable groups:   𝑧,𝐵   𝑧,𝐶   𝑧,𝐷   𝑧,𝐸   𝑧,𝐹   𝑧,𝐻   𝑧,𝐼   𝑧,𝐾   𝑧,𝑋   𝑧,𝑌   𝜑,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑧)   𝐺(𝑧)   𝐿(𝑧)

Proof of Theorem tposcurf2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tposcurf2.l	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐿 = ((𝑋(2nd ‘𝐺)𝑌)‘𝐾))
2		tposcurf2.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (⟨𝐶, 𝐷⟩ curryF (𝐹 ∘func (𝐶 swapF 𝐷))))
3	2	fveq2d 6889	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2nd ‘𝐺) = (2nd ‘(⟨𝐶, 𝐷⟩ curryF (𝐹 ∘func (𝐶 swapF 𝐷)))))
4	3	oveqd 7436	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋(2nd ‘𝐺)𝑌) = (𝑋(2nd ‘(⟨𝐶, 𝐷⟩ curryF (𝐹 ∘func (𝐶 swapF 𝐷))))𝑌))
5	4	fveq1d 6887	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋(2nd ‘𝐺)𝑌)‘𝐾) = ((𝑋(2nd ‘(⟨𝐶, 𝐷⟩ curryF (𝐹 ∘func (𝐶 swapF 𝐷))))𝑌)‘𝐾))
6	1, 5	eqtrd 2800	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐿 = ((𝑋(2nd ‘(⟨𝐶, 𝐷⟩ curryF (𝐹 ∘func (𝐶 swapF 𝐷))))𝑌)‘𝐾))
7		eqid 2765	. . 3 ⊢ (⟨𝐶, 𝐷⟩ curryF (𝐹 ∘func (𝐶 swapF 𝐷))) = (⟨𝐶, 𝐷⟩ curryF (𝐹 ∘func (𝐶 swapF 𝐷)))
8		tposcurf2.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝐶)
9		tposcurf2.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
10		tposcurf2.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
11		tposcurf2.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐷 ×c 𝐶) Func 𝐸))
12		eqidd 2766	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘func (𝐶 swapF 𝐷)) = (𝐹 ∘func (𝐶 swapF 𝐷)))
13	9, 10, 11, 12	cofuswapfcl 50128	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘func (𝐶 swapF 𝐷)) ∈ ((𝐶 ×c 𝐷) Func 𝐸))
14		tposcurf2.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)
15		tposcurf2.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
16		tposcurf2.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Id‘𝐷)
17		tposcurf2.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
18		tposcurf2.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐴)
19		tposcurf2.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑋𝐻𝑌))
20		eqid 2765	. . 3 ⊢ ((𝑋(2nd ‘(⟨𝐶, 𝐷⟩ curryF (𝐹 ∘func (𝐶 swapF 𝐷))))𝑌)‘𝐾) = ((𝑋(2nd ‘(⟨𝐶, 𝐷⟩ curryF (𝐹 ∘func (𝐶 swapF 𝐷))))𝑌)‘𝐾)
21	7, 8, 9, 10, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20	curf2 18307	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋(2nd ‘(⟨𝐶, 𝐷⟩ curryF (𝐹 ∘func (𝐶 swapF 𝐷))))𝑌)‘𝐾) = (𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (𝐾(⟨𝑋, 𝑧⟩(2nd ‘(𝐹 ∘func (𝐶 swapF 𝐷)))⟨𝑌, 𝑧⟩)(𝐼‘𝑧))))
22	9	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ Cat)
23	10	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝐷 ∈ Cat)
24	11	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ ((𝐷 ×c 𝐶) Func 𝐸))
25		eqidd 2766	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝐹 ∘func (𝐶 swapF 𝐷)) = (𝐹 ∘func (𝐶 swapF 𝐷)))
26	17	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐴)
27		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ 𝐵)
28	18	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐴)
29		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (Hom ‘𝐷) = (Hom ‘𝐷)
30	19	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ (𝑋𝐻𝑌))
31	14, 29, 16, 23, 27	catidcl 17760	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝐼‘𝑧) ∈ (𝑧(Hom ‘𝐷)𝑧))
32	22, 23, 24, 25, 8, 14, 26, 27, 28, 27, 15, 29, 30, 31	cofuswapf2 50130	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝐾(⟨𝑋, 𝑧⟩(2nd ‘(𝐹 ∘func (𝐶 swapF 𝐷)))⟨𝑌, 𝑧⟩)(𝐼‘𝑧)) = ((𝐼‘𝑧)(⟨𝑧, 𝑋⟩(2nd ‘𝐹)⟨𝑧, 𝑌⟩)𝐾))
33	32	mpteq2dva 5206	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (𝐾(⟨𝑋, 𝑧⟩(2nd ‘(𝐹 ∘func (𝐶 swapF 𝐷)))⟨𝑌, 𝑧⟩)(𝐼‘𝑧))) = (𝑧 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐼‘𝑧)(⟨𝑧, 𝑋⟩(2nd ‘𝐹)⟨𝑧, 𝑌⟩)𝐾)))
34	6, 21, 33	3eqtrd 2804	1 ⊢ (𝜑 → 𝐿 = (𝑧 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐼‘𝑧)(⟨𝑧, 𝑋⟩(2nd ‘𝐹)⟨𝑧, 𝑌⟩)𝐾)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ⟨cop 4597   ↦ cmpt 5194  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  2^nd c2nd 7991  Basecbs 17291  Hom chom 17343  Catccat 17742  Idccid 17743   Func cfunc 17933   ∘_func ccofu 17935   ×_c cxpc 18246   curry_F ccurf 18288   swap_F cswapf 50094

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-map 8832  df-ixp 8902  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-nn 12249  df-2 12318  df-3 12319  df-4 12320  df-5 12321  df-6 12322  df-7 12323  df-8 12324  df-9 12325  df-n0 12520  df-z 12607  df-dec 12728  df-uz 12879  df-fz 13552  df-struct 17229  df-slot 17264  df-ndx 17276  df-base 17292  df-hom 17356  df-cco 17357  df-cat 17746  df-cid 17747  df-func 17937  df-cofu 17939  df-xpc 18250  df-curf 18292  df-swapf 50095

This theorem is used by:  tposcurf2val  50136