Theorem tposcurf2 49017

Description: Value of the transposed curry functor at a morphism. (Contributed by Zhi Wang, 10-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
tposcurf2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 = (⟨𝐶, 𝐷⟩ curryF (𝐹 ∘func (𝐶swapF𝐷))))
tposcurf2.a	⊢ 𝐴 = (Base‘𝐶)
tposcurf2.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
tposcurf2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
tposcurf2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐷 ×c 𝐶) Func 𝐸))
tposcurf2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)
tposcurf2.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
tposcurf2.i	⊢ 𝐼 = (Id‘𝐷)
tposcurf2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
tposcurf2.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐴)
tposcurf2.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑋𝐻𝑌))
tposcurf2.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 = ((𝑋(2nd ‘𝐺)𝑌)‘𝐾))

Assertion

Ref	Expression
tposcurf2	⊢ (𝜑 → 𝐿 = (𝑧 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐼‘𝑧)(⟨𝑧, 𝑋⟩(2nd ‘𝐹)⟨𝑧, 𝑌⟩)𝐾)))

Distinct variable groups:   𝑧,𝐵   𝑧,𝐶   𝑧,𝐷   𝑧,𝐸   𝑧,𝐹   𝑧,𝐻   𝑧,𝐼   𝑧,𝐾   𝑧,𝑋   𝑧,𝑌   𝜑,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑧)   𝐺(𝑧)   𝐿(𝑧)

Proof of Theorem tposcurf2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tposcurf2.l	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐿 = ((𝑋(2nd ‘𝐺)𝑌)‘𝐾))
2		tposcurf2.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (⟨𝐶, 𝐷⟩ curryF (𝐹 ∘func (𝐶swapF𝐷))))
3	2	fveq2d 6876	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (2nd ‘𝐺) = (2nd ‘(⟨𝐶, 𝐷⟩ curryF (𝐹 ∘func (𝐶swapF𝐷)))))
4	3	oveqd 7416	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋(2nd ‘𝐺)𝑌) = (𝑋(2nd ‘(⟨𝐶, 𝐷⟩ curryF (𝐹 ∘func (𝐶swapF𝐷))))𝑌))
5	4	fveq1d 6874	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋(2nd ‘𝐺)𝑌)‘𝐾) = ((𝑋(2nd ‘(⟨𝐶, 𝐷⟩ curryF (𝐹 ∘func (𝐶swapF𝐷))))𝑌)‘𝐾))
6	1, 5	eqtrd 2769	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐿 = ((𝑋(2nd ‘(⟨𝐶, 𝐷⟩ curryF (𝐹 ∘func (𝐶swapF𝐷))))𝑌)‘𝐾))
7		eqid 2734	. . 3 ⊢ (⟨𝐶, 𝐷⟩ curryF (𝐹 ∘func (𝐶swapF𝐷))) = (⟨𝐶, 𝐷⟩ curryF (𝐹 ∘func (𝐶swapF𝐷)))
8		tposcurf2.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝐶)
9		tposcurf2.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
10		tposcurf2.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
11		tposcurf2.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐷 ×c 𝐶) Func 𝐸))
12		eqidd 2735	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘func (𝐶swapF𝐷)) = (𝐹 ∘func (𝐶swapF𝐷)))
13	9, 10, 11, 12	cofuswapfcl 49010	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘func (𝐶swapF𝐷)) ∈ ((𝐶 ×c 𝐷) Func 𝐸))
14		tposcurf2.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐷)
15		tposcurf2.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
16		tposcurf2.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Id‘𝐷)
17		tposcurf2.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
18		tposcurf2.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐴)
19		tposcurf2.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑋𝐻𝑌))
20		eqid 2734	. . 3 ⊢ ((𝑋(2nd ‘(⟨𝐶, 𝐷⟩ curryF (𝐹 ∘func (𝐶swapF𝐷))))𝑌)‘𝐾) = ((𝑋(2nd ‘(⟨𝐶, 𝐷⟩ curryF (𝐹 ∘func (𝐶swapF𝐷))))𝑌)‘𝐾)
21	7, 8, 9, 10, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20	curf2 18226	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋(2nd ‘(⟨𝐶, 𝐷⟩ curryF (𝐹 ∘func (𝐶swapF𝐷))))𝑌)‘𝐾) = (𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (𝐾(⟨𝑋, 𝑧⟩(2nd ‘(𝐹 ∘func (𝐶swapF𝐷)))⟨𝑌, 𝑧⟩)(𝐼‘𝑧))))
22	9	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ Cat)
23	10	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝐷 ∈ Cat)
24	11	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ ((𝐷 ×c 𝐶) Func 𝐸))
25		eqidd 2735	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝐹 ∘func (𝐶swapF𝐷)) = (𝐹 ∘func (𝐶swapF𝐷)))
26	17	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐴)
27		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ 𝐵)
28	18	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐴)
29		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (Hom ‘𝐷) = (Hom ‘𝐷)
30	19	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ (𝑋𝐻𝑌))
31	14, 29, 16, 23, 27	catidcl 17679	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝐼‘𝑧) ∈ (𝑧(Hom ‘𝐷)𝑧))
32	22, 23, 24, 25, 8, 14, 26, 27, 28, 27, 15, 29, 30, 31	cofuswapf2 49012	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝐾(⟨𝑋, 𝑧⟩(2nd ‘(𝐹 ∘func (𝐶swapF𝐷)))⟨𝑌, 𝑧⟩)(𝐼‘𝑧)) = ((𝐼‘𝑧)(⟨𝑧, 𝑋⟩(2nd ‘𝐹)⟨𝑧, 𝑌⟩)𝐾))
33	32	mpteq2dva 5211	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (𝐾(⟨𝑋, 𝑧⟩(2nd ‘(𝐹 ∘func (𝐶swapF𝐷)))⟨𝑌, 𝑧⟩)(𝐼‘𝑧))) = (𝑧 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐼‘𝑧)(⟨𝑧, 𝑋⟩(2nd ‘𝐹)⟨𝑧, 𝑌⟩)𝐾)))
34	6, 21, 33	3eqtrd 2773	1 ⊢ (𝜑 → 𝐿 = (𝑧 ∈ 𝐵 ↦ ((𝐼‘𝑧)(⟨𝑧, 𝑋⟩(2nd ‘𝐹)⟨𝑧, 𝑌⟩)𝐾)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ⟨cop 4605   ↦ cmpt 5198  ‘cfv 6527  (class class class)co 7399  2^nd c2nd 7981  Basecbs 17213  Hom chom 17267  Catccat 17661  Idccid 17662   Func cfunc 17852   ∘_func ccofu 17854   ×_c cxpc 18165   curry_F ccurf 18207  swap_Fcswapf 48982

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5246  ax-sep 5263  ax-nul 5273  ax-pow 5332  ax-pr 5399  ax-un 7723  ax-cnex 11177  ax-resscn 11178  ax-1cn 11179  ax-icn 11180  ax-addcl 11181  ax-addrcl 11182  ax-mulcl 11183  ax-mulrcl 11184  ax-mulcom 11185  ax-addass 11186  ax-mulass 11187  ax-distr 11188  ax-i2m1 11189  ax-1ne0 11190  ax-1rid 11191  ax-rnegex 11192  ax-rrecex 11193  ax-cnre 11194  ax-pre-lttri 11195  ax-pre-lttrn 11196  ax-pre-ltadd 11197  ax-pre-mulgt0 11198

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3414  df-v 3459  df-sbc 3764  df-csb 3873  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3941  df-pss 3944  df-nul 4307  df-if 4499  df-pw 4575  df-sn 4600  df-pr 4602  df-tp 4604  df-op 4606  df-uni 4881  df-iun 4966  df-br 5117  df-opab 5179  df-mpt 5199  df-tr 5227  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6287  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6480  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7356  df-ov 7402  df-oprab 7403  df-mpo 7404  df-om 7856  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8474  df-er 8713  df-map 8836  df-ixp 8906  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11460  df-neg 11461  df-nn 12233  df-2 12295  df-3 12296  df-4 12297  df-5 12298  df-6 12299  df-7 12300  df-8 12301  df-9 12302  df-n0 12494  df-z 12581  df-dec 12701  df-uz 12845  df-fz 13514  df-struct 17151  df-slot 17186  df-ndx 17198  df-base 17214  df-hom 17280  df-cco 17281  df-cat 17665  df-cid 17666  df-func 17856  df-cofu 17858  df-xpc 18169  df-curf 18211  df-swapf 48983

This theorem is referenced by:  tposcurf2val  49018