Theorem fprodsplit1f 15952

Description: Separate out a term in a finite product. A version of fprodsplit1 44894 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodsplit1f.kph	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
fprodsplit1f.fk	⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑘𝐷)
fprodsplit1f.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fprodsplit1f.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
fprodsplit1f.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐴)
fprodsplit1f.d	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐶) → 𝐵 = 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
fprodsplit1f	⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = (𝐷 · ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶})𝐵))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐶,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐷(𝑘)

Proof of Theorem fprodsplit1f

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fprodsplit1f.kph	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		disjdif 4467	. . . 4 ⊢ ({𝐶} ∩ (𝐴 ∖ {𝐶})) = ∅
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝐶} ∩ (𝐴 ∖ {𝐶})) = ∅)
4		fprodsplit1f.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐴)
5	4	snssd 4808	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝐶} ⊆ 𝐴)
6		undif 4477	. . . . 5 ⊢ ({𝐶} ⊆ 𝐴 ↔ ({𝐶} ∪ (𝐴 ∖ {𝐶})) = 𝐴)
7	5, 6	sylib 217	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({𝐶} ∪ (𝐴 ∖ {𝐶})) = 𝐴)
8	7	eqcomd 2733	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ({𝐶} ∪ (𝐴 ∖ {𝐶})))
9		fprodsplit1f.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
10		fprodsplit1f.b	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
11	1, 3, 8, 9, 10	fprodsplitf 15950	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = (∏𝑘 ∈ {𝐶}𝐵 · ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶})𝐵))
12	4	ancli 548	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴))
13		nfv 1910	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘 𝐶 ∈ 𝐴
14	1, 13	nfan 1895	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴)
15		nfcsb1v 3914	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝐶 / 𝑘⦌𝐵
16	15	nfel1 2914	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝐶 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ
17	14, 16	nfim 1892	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ⦋𝐶 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
18		eleq1 2816	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝐶 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↔ 𝐶 ∈ 𝐴))
19	18	anbi2d 628	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝐶 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴)))
20		csbeq1a 3903	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝐶 → 𝐵 = ⦋𝐶 / 𝑘⦌𝐵)
21	20	eleq1d 2813	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝐶 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ ⦋𝐶 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ))
22	19, 21	imbi12d 344	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝐶 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ⦋𝐶 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)))
23	17, 22, 10	vtoclg1f 3554	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐴 → ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ⦋𝐶 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ))
24	4, 12, 23	sylc 65	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⦋𝐶 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
25		prodsns 15934	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ ⦋𝐶 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ {𝐶}𝐵 = ⦋𝐶 / 𝑘⦌𝐵)
26	4, 24, 25	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ {𝐶}𝐵 = ⦋𝐶 / 𝑘⦌𝐵)
27		fprodsplit1f.fk	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑘𝐷)
28		fprodsplit1f.d	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐶) → 𝐵 = 𝐷)
29	1, 27, 4, 28	csbiedf 3920	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⦋𝐶 / 𝑘⦌𝐵 = 𝐷)
30	26, 29	eqtrd 2767	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ {𝐶}𝐵 = 𝐷)
31	30	oveq1d 7429	. 2 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ {𝐶}𝐵 · ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶})𝐵) = (𝐷 · ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶})𝐵))
32	11, 31	eqtrd 2767	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = (𝐷 · ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶})𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534  Ⅎwnf 1778   ∈ wcel 2099  Ⅎwnfc 2878  ⦋csb 3889   ∖ cdif 3941   ∪ cun 3942   ∩ cin 3943   ⊆ wss 3944  ∅c0 4318  {csn 4624  (class class class)co 7414  Fincfn 8953  ℂcc 11122   · cmul 11129  ∏cprod 15867

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-inf2 9650  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-sup 9451  df-oi 9519  df-card 9948  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11888  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-n0 12489  df-z 12575  df-uz 12839  df-rp 12993  df-fz 13503  df-fzo 13646  df-seq 13985  df-exp 14045  df-hash 14308  df-cj 15064  df-re 15065  df-im 15066  df-sqrt 15200  df-abs 15201  df-clim 15450  df-prod 15868

This theorem is referenced by:  fprodeq0g  15956  fprodsplit1  44894  fprod0  44897  dvmptfprodlem  45245