MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fprodsplit1f Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprodsplit1f 16023
Description: Separate out a term in a finite product. A version of fprodsplit1 45549 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodsplit1f.kph 𝑘𝜑
fprodsplit1f.fk (𝜑𝑘𝐷)
fprodsplit1f.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fprodsplit1f.b ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
fprodsplit1f.c (𝜑𝐶𝐴)
fprodsplit1f.d ((𝜑𝑘 = 𝐶) → 𝐵 = 𝐷)
Assertion
Ref Expression
fprodsplit1f (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐵 = (𝐷 · ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶})𝐵))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐶,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐷(𝑘)

Proof of Theorem fprodsplit1f
StepHypRef Expression
1 fprodsplit1f.kph . . 3 𝑘𝜑
2 disjdif 4478 . . . 4 ({𝐶} ∩ (𝐴 ∖ {𝐶})) = ∅
32a1i 11 . . 3 (𝜑 → ({𝐶} ∩ (𝐴 ∖ {𝐶})) = ∅)
4 fprodsplit1f.c . . . . . 6 (𝜑𝐶𝐴)
54snssd 4814 . . . . 5 (𝜑 → {𝐶} ⊆ 𝐴)
6 undif 4488 . . . . 5 ({𝐶} ⊆ 𝐴 ↔ ({𝐶} ∪ (𝐴 ∖ {𝐶})) = 𝐴)
75, 6sylib 218 . . . 4 (𝜑 → ({𝐶} ∪ (𝐴 ∖ {𝐶})) = 𝐴)
87eqcomd 2741 . . 3 (𝜑𝐴 = ({𝐶} ∪ (𝐴 ∖ {𝐶})))
9 fprodsplit1f.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
10 fprodsplit1f.b . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
111, 3, 8, 9, 10fprodsplitf 16021 . 2 (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐵 = (∏𝑘 ∈ {𝐶}𝐵 · ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶})𝐵))
124ancli 548 . . . . . 6 (𝜑 → (𝜑𝐶𝐴))
13 nfv 1912 . . . . . . . . 9 𝑘 𝐶𝐴
141, 13nfan 1897 . . . . . . . 8 𝑘(𝜑𝐶𝐴)
15 nfcsb1v 3933 . . . . . . . . 9 𝑘𝐶 / 𝑘𝐵
1615nfel1 2920 . . . . . . . 8 𝑘𝐶 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ
1714, 16nfim 1894 . . . . . . 7 𝑘((𝜑𝐶𝐴) → 𝐶 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
18 eleq1 2827 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝐶 → (𝑘𝐴𝐶𝐴))
1918anbi2d 630 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝐶 → ((𝜑𝑘𝐴) ↔ (𝜑𝐶𝐴)))
20 csbeq1a 3922 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝐶𝐵 = 𝐶 / 𝑘𝐵)
2120eleq1d 2824 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝐶 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ 𝐶 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ))
2219, 21imbi12d 344 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝐶 → (((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑𝐶𝐴) → 𝐶 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)))
2317, 22, 10vtoclg1f 3570 . . . . . 6 (𝐶𝐴 → ((𝜑𝐶𝐴) → 𝐶 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ))
244, 12, 23sylc 65 . . . . 5 (𝜑𝐶 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
25 prodsns 16005 . . . . 5 ((𝐶𝐴𝐶 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ {𝐶}𝐵 = 𝐶 / 𝑘𝐵)
264, 24, 25syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ {𝐶}𝐵 = 𝐶 / 𝑘𝐵)
27 fprodsplit1f.fk . . . . 5 (𝜑𝑘𝐷)
28 fprodsplit1f.d . . . . 5 ((𝜑𝑘 = 𝐶) → 𝐵 = 𝐷)
291, 27, 4, 28csbiedf 3939 . . . 4 (𝜑𝐶 / 𝑘𝐵 = 𝐷)
3026, 29eqtrd 2775 . . 3 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ {𝐶}𝐵 = 𝐷)
3130oveq1d 7446 . 2 (𝜑 → (∏𝑘 ∈ {𝐶}𝐵 · ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶})𝐵) = (𝐷 · ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶})𝐵))
3211, 31eqtrd 2775 1 (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐵 = (𝐷 · ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶})𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wnf 1780  wcel 2106  wnfc 2888  csb 3908  cdif 3960  cun 3961  cin 3962  wss 3963  c0 4339  {csn 4631  (class class class)co 7431  Fincfn 8984  cc 11151   · cmul 11158  cprod 15936
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-prod 15937
This theorem is referenced by:  fprodeq0g  16027  fprodsplit1  45549  fprod0  45552  dvmptfprodlem  45900
  Copyright terms: Public domain W3C validator