Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fprodsplit1f Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprodsplit1f 15346
 Description: Separate out a term in a finite product. A version of fprodsplit1 42188 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodsplit1f.kph 𝑘𝜑
fprodsplit1f.fk (𝜑𝑘𝐷)
fprodsplit1f.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fprodsplit1f.b ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
fprodsplit1f.c (𝜑𝐶𝐴)
fprodsplit1f.d ((𝜑𝑘 = 𝐶) → 𝐵 = 𝐷)
Assertion
Ref Expression
fprodsplit1f (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐵 = (𝐷 · ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶})𝐵))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐶,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐷(𝑘)

Proof of Theorem fprodsplit1f
StepHypRef Expression
1 fprodsplit1f.kph . . 3 𝑘𝜑
2 disjdif 4404 . . . 4 ({𝐶} ∩ (𝐴 ∖ {𝐶})) = ∅
32a1i 11 . . 3 (𝜑 → ({𝐶} ∩ (𝐴 ∖ {𝐶})) = ∅)
4 fprodsplit1f.c . . . . . 6 (𝜑𝐶𝐴)
54snssd 4726 . . . . 5 (𝜑 → {𝐶} ⊆ 𝐴)
6 undif 4413 . . . . 5 ({𝐶} ⊆ 𝐴 ↔ ({𝐶} ∪ (𝐴 ∖ {𝐶})) = 𝐴)
75, 6sylib 221 . . . 4 (𝜑 → ({𝐶} ∪ (𝐴 ∖ {𝐶})) = 𝐴)
87eqcomd 2830 . . 3 (𝜑𝐴 = ({𝐶} ∪ (𝐴 ∖ {𝐶})))
9 fprodsplit1f.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
10 fprodsplit1f.b . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
111, 3, 8, 9, 10fprodsplitf 15344 . 2 (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐵 = (∏𝑘 ∈ {𝐶}𝐵 · ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶})𝐵))
124ancli 552 . . . . . 6 (𝜑 → (𝜑𝐶𝐴))
13 nfv 1916 . . . . . . . . 9 𝑘 𝐶𝐴
141, 13nfan 1901 . . . . . . . 8 𝑘(𝜑𝐶𝐴)
15 nfcsb1v 3890 . . . . . . . . 9 𝑘𝐶 / 𝑘𝐵
1615nfel1 2998 . . . . . . . 8 𝑘𝐶 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ
1714, 16nfim 1898 . . . . . . 7 𝑘((𝜑𝐶𝐴) → 𝐶 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
18 eleq1 2903 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝐶 → (𝑘𝐴𝐶𝐴))
1918anbi2d 631 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝐶 → ((𝜑𝑘𝐴) ↔ (𝜑𝐶𝐴)))
20 csbeq1a 3880 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝐶𝐵 = 𝐶 / 𝑘𝐵)
2120eleq1d 2900 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝐶 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ 𝐶 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ))
2219, 21imbi12d 348 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝐶 → (((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑𝐶𝐴) → 𝐶 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)))
2317, 22, 10vtoclg1f 3552 . . . . . 6 (𝐶𝐴 → ((𝜑𝐶𝐴) → 𝐶 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ))
244, 12, 23sylc 65 . . . . 5 (𝜑𝐶 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
25 prodsns 15328 . . . . 5 ((𝐶𝐴𝐶 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ {𝐶}𝐵 = 𝐶 / 𝑘𝐵)
264, 24, 25syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ {𝐶}𝐵 = 𝐶 / 𝑘𝐵)
27 fprodsplit1f.fk . . . . 5 (𝜑𝑘𝐷)
28 fprodsplit1f.d . . . . 5 ((𝜑𝑘 = 𝐶) → 𝐵 = 𝐷)
291, 27, 4, 28csbiedf 3896 . . . 4 (𝜑𝐶 / 𝑘𝐵 = 𝐷)
3026, 29eqtrd 2859 . . 3 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ {𝐶}𝐵 = 𝐷)
3130oveq1d 7166 . 2 (𝜑 → (∏𝑘 ∈ {𝐶}𝐵 · ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶})𝐵) = (𝐷 · ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶})𝐵))
3211, 31eqtrd 2859 1 (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐵 = (𝐷 · ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶})𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2115  Ⅎwnfc 2962  ⦋csb 3866   ∖ cdif 3916   ∪ cun 3917   ∩ cin 3918   ⊆ wss 3919  ∅c0 4276  {csn 4550  (class class class)co 7151  Fincfn 8507  ℂcc 10535   · cmul 10542  ∏cprod 15261 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7457  ax-inf2 9103  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-pre-sup 10615 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-se 5503  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6137  df-ord 6183  df-on 6184  df-lim 6185  df-suc 6186  df-iota 6304  df-fun 6347  df-fn 6348  df-f 6349  df-f1 6350  df-fo 6351  df-f1o 6352  df-fv 6353  df-isom 6354  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7577  df-1st 7686  df-2nd 7687  df-wrecs 7945  df-recs 8006  df-rdg 8044  df-1o 8100  df-oadd 8104  df-er 8287  df-en 8508  df-dom 8509  df-sdom 8510  df-fin 8511  df-sup 8905  df-oi 8973  df-card 9367  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11637  df-2 11699  df-3 11700  df-n0 11897  df-z 11981  df-uz 12243  df-rp 12389  df-fz 12897  df-fzo 13040  df-seq 13376  df-exp 13437  df-hash 13698  df-cj 14460  df-re 14461  df-im 14462  df-sqrt 14596  df-abs 14597  df-clim 14847  df-prod 15262 This theorem is referenced by:  fprodeq0g  15350  fprodsplit1  42188  fprod0  42191  dvmptfprodlem  42539
 Copyright terms: Public domain W3C validator