Theorem uniiccmbl 24659

Description: An almost-disjoint union of closed intervals is measurable. (This proof does not use countable choice, unlike iunmbl 24622.) (Contributed by Mario Carneiro, 25-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
uniioombl.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
uniioombl.2	⊢ (𝜑 → Disj 𝑥 ∈ ℕ ((,)‘(𝐹‘𝑥)))
uniioombl.3	⊢ 𝑆 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹))

Assertion

Ref	Expression
uniiccmbl	⊢ (𝜑 → ∪ ran ([,] ∘ 𝐹) ∈ dom vol)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem uniiccmbl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniioombl.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
2	1	uniiccdif 24647	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∪ ran ((,) ∘ 𝐹) ⊆ ∪ ran ([,] ∘ 𝐹) ∧ (vol*‘(∪ ran ([,] ∘ 𝐹) ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹))) = 0))
3	2	simpld 494	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ ran ((,) ∘ 𝐹) ⊆ ∪ ran ([,] ∘ 𝐹))
4		undif 4412	. . 3 ⊢ (∪ ran ((,) ∘ 𝐹) ⊆ ∪ ran ([,] ∘ 𝐹) ↔ (∪ ran ((,) ∘ 𝐹) ∪ (∪ ran ([,] ∘ 𝐹) ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹))) = ∪ ran ([,] ∘ 𝐹))
5	3, 4	sylib 217	. 2 ⊢ (𝜑 → (∪ ran ((,) ∘ 𝐹) ∪ (∪ ran ([,] ∘ 𝐹) ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹))) = ∪ ran ([,] ∘ 𝐹))
6		uniioombl.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Disj 𝑥 ∈ ℕ ((,)‘(𝐹‘𝑥)))
7		uniioombl.3	. . . 4 ⊢ 𝑆 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹))
8	1, 6, 7	uniioombl 24658	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ ran ((,) ∘ 𝐹) ∈ dom vol)
9		ovolficcss 24538	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → ∪ ran ([,] ∘ 𝐹) ⊆ ℝ)
10	1, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∪ ran ([,] ∘ 𝐹) ⊆ ℝ)
11	10	ssdifssd 4073	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∪ ran ([,] ∘ 𝐹) ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹)) ⊆ ℝ)
12	2	simprd 495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (vol*‘(∪ ran ([,] ∘ 𝐹) ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹))) = 0)
13		nulmbl 24604	. . . 4 ⊢ (((∪ ran ([,] ∘ 𝐹) ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹)) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(∪ ran ([,] ∘ 𝐹) ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹))) = 0) → (∪ ran ([,] ∘ 𝐹) ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹)) ∈ dom vol)
14	11, 12, 13	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∪ ran ([,] ∘ 𝐹) ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹)) ∈ dom vol)
15		unmbl 24606	. . 3 ⊢ ((∪ ran ((,) ∘ 𝐹) ∈ dom vol ∧ (∪ ran ([,] ∘ 𝐹) ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹)) ∈ dom vol) → (∪ ran ((,) ∘ 𝐹) ∪ (∪ ran ([,] ∘ 𝐹) ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹))) ∈ dom vol)
16	8, 14, 15	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → (∪ ran ((,) ∘ 𝐹) ∪ (∪ ran ([,] ∘ 𝐹) ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹))) ∈ dom vol)
17	5, 16	eqeltrrd 2840	1 ⊢ (𝜑 → ∪ ran ([,] ∘ 𝐹) ∈ dom vol)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ∖ cdif 3880   ∪ cun 3881   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883  ∪ cuni 4836  Disj wdisj 5035   × cxp 5578  dom cdm 5580  ran crn 5581   ∘ ccom 5584  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  ℝcr 10801  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805   ≤ cle 10941   − cmin 11135  ℕcn 11903  (,)cioo 13008  [,]cicc 13011  seqcseq 13649  abscabs 14873  vol*covol 24531  volcvol 24532

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-disj 5036  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fi 9100  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-dju 9590  df-card 9628  df-acn 9631  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-xneg 12777  df-xadd 12778  df-xmul 12779  df-ioo 13012  df-ico 13014  df-icc 13015  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-fl 13440  df-seq 13650  df-exp 13711  df-hash 13973  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-clim 15125  df-rlim 15126  df-sum 15326  df-rest 17050  df-topgen 17071  df-psmet 20502  df-xmet 20503  df-met 20504  df-bl 20505  df-mopn 20506  df-top 21951  df-topon 21968  df-bases 22004  df-cmp 22446  df-ovol 24533  df-vol 24534

This theorem is referenced by:  dyadmbl  24669