Theorem uniiccmbl 25916

Description: An almost-disjoint union of closed intervals is measurable. (This proof does not use countable choice, unlike iunmbl 25879.) (Contributed by Mario Carneiro, 25-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
uniioombl.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
uniioombl.2	⊢ (𝜑 → Disj 𝑥 ∈ ℕ ((,)‘(𝐹‘𝑥)))
uniioombl.3	⊢ 𝑆 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹))

Assertion

Ref	Expression
uniiccmbl	⊢ (𝜑 → ∪ ran ([,] ∘ 𝐹) ∈ dom vol)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem uniiccmbl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniioombl.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
2	1	uniiccdif 25904	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∪ ran ((,) ∘ 𝐹) ⊆ ∪ ran ([,] ∘ 𝐹) ∧ (vol*‘(∪ ran ([,] ∘ 𝐹) ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹))) = 0))
3	2	simpld 500	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ ran ((,) ∘ 𝐹) ⊆ ∪ ran ([,] ∘ 𝐹))
4		undif 4437	. . 3 ⊢ (∪ ran ((,) ∘ 𝐹) ⊆ ∪ ran ([,] ∘ 𝐹) ↔ (∪ ran ((,) ∘ 𝐹) ∪ (∪ ran ([,] ∘ 𝐹) ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹))) = ∪ ran ([,] ∘ 𝐹))
5	3, 4	sylib 221	. 2 ⊢ (𝜑 → (∪ ran ((,) ∘ 𝐹) ∪ (∪ ran ([,] ∘ 𝐹) ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹))) = ∪ ran ([,] ∘ 𝐹))
6		uniioombl.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Disj 𝑥 ∈ ℕ ((,)‘(𝐹‘𝑥)))
7		uniioombl.3	. . . 4 ⊢ 𝑆 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹))
8	1, 6, 7	uniioombl 25915	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ ran ((,) ∘ 𝐹) ∈ dom vol)
9		ovolficcss 25795	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → ∪ ran ([,] ∘ 𝐹) ⊆ ℝ)
10	1, 9	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∪ ran ([,] ∘ 𝐹) ⊆ ℝ)
11	10	ssdifssd 4083	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∪ ran ([,] ∘ 𝐹) ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹)) ⊆ ℝ)
12	2	simprd 501	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (vol*‘(∪ ran ([,] ∘ 𝐹) ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹))) = 0)
13		nulmbl 25861	. . . 4 ⊢ (((∪ ran ([,] ∘ 𝐹) ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹)) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(∪ ran ([,] ∘ 𝐹) ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹))) = 0) → (∪ ran ([,] ∘ 𝐹) ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹)) ∈ dom vol)
14	11, 12, 13	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∪ ran ([,] ∘ 𝐹) ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹)) ∈ dom vol)
15		unmbl 25863	. . 3 ⊢ ((∪ ran ((,) ∘ 𝐹) ∈ dom vol ∧ (∪ ran ([,] ∘ 𝐹) ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹)) ∈ dom vol) → (∪ ran ((,) ∘ 𝐹) ∪ (∪ ran ([,] ∘ 𝐹) ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹))) ∈ dom vol)
16	8, 14, 15	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (∪ ran ((,) ∘ 𝐹) ∪ (∪ ran ([,] ∘ 𝐹) ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹))) ∈ dom vol)
17	5, 16	eqeltrrd 2861	1 ⊢ (𝜑 → ∪ ran ([,] ∘ 𝐹) ∈ dom vol)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3895   ∖ cdif 4045   ∩ cin 4089   ∪ cun 4149  ∪ cuni 4866  Disj wdisj 5069   × cxp 5648  dom cdm 5650  ran crn 5651   ∘ ccom 5654  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  ℝcr 11202  0cc0 11203  1c1 11204   + caddc 11206   ≤ cle 11347   − cmin 11544  ℕcn 12338  (,)cioo 13479  [,]cicc 13482  seqcseq 14147  abscabs 15406  vol*covol 25788  volcvol 25789

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9645  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280  ax-pre-sup 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-disj 5070  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-2o 8480  df-er 8720  df-map 8852  df-pm 8853  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9507  df-dju 9985  df-card 10023  df-acn 10026  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-div 11977  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-4 12410  df-n0 12610  df-z 12697  df-uz 12969  df-q 13079  df-rp 13124  df-xneg 13244  df-xadd 13245  df-xmul 13246  df-ioo 13483  df-ico 13485  df-icc 13486  df-fz 13643  df-fzo 13792  df-fl 13935  df-seq 14148  df-exp 14208  df-hash 14478  df-cj 15271  df-re 15272  df-im 15273  df-sqrt 15407  df-abs 15408  df-clim 15660  df-rlim 15661  df-sum 15859  df-rest 17598  df-topgen 17619  df-psmet 21675  df-xmet 21676  df-met 21677  df-bl 21678  df-mopn 21679  df-top 23217  df-topon 23234  df-bases 23269  df-cmp 23710  df-ovol 25790  df-vol 25791

This theorem is used by:  dyadmbl  25926