Theorem uniiccmbl 25632

Description: An almost-disjoint union of closed intervals is measurable. (This proof does not use countable choice, unlike iunmbl 25595.) (Contributed by Mario Carneiro, 25-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
uniioombl.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
uniioombl.2	⊢ (𝜑 → Disj 𝑥 ∈ ℕ ((,)‘(𝐹‘𝑥)))
uniioombl.3	⊢ 𝑆 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹))

Assertion

Ref	Expression
uniiccmbl	⊢ (𝜑 → ∪ ran ([,] ∘ 𝐹) ∈ dom vol)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem uniiccmbl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniioombl.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
2	1	uniiccdif 25620	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∪ ran ((,) ∘ 𝐹) ⊆ ∪ ran ([,] ∘ 𝐹) ∧ (vol*‘(∪ ran ([,] ∘ 𝐹) ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹))) = 0))
3	2	simpld 498	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ ran ((,) ∘ 𝐹) ⊆ ∪ ran ([,] ∘ 𝐹))
4		undif 4435	. . 3 ⊢ (∪ ran ((,) ∘ 𝐹) ⊆ ∪ ran ([,] ∘ 𝐹) ↔ (∪ ran ((,) ∘ 𝐹) ∪ (∪ ran ([,] ∘ 𝐹) ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹))) = ∪ ran ([,] ∘ 𝐹))
5	3, 4	sylib 220	. 2 ⊢ (𝜑 → (∪ ran ((,) ∘ 𝐹) ∪ (∪ ran ([,] ∘ 𝐹) ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹))) = ∪ ran ([,] ∘ 𝐹))
6		uniioombl.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Disj 𝑥 ∈ ℕ ((,)‘(𝐹‘𝑥)))
7		uniioombl.3	. . . 4 ⊢ 𝑆 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹))
8	1, 6, 7	uniioombl 25631	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ ran ((,) ∘ 𝐹) ∈ dom vol)
9		ovolficcss 25511	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → ∪ ran ([,] ∘ 𝐹) ⊆ ℝ)
10	1, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∪ ran ([,] ∘ 𝐹) ⊆ ℝ)
11	10	ssdifssd 4100	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∪ ran ([,] ∘ 𝐹) ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹)) ⊆ ℝ)
12	2	simprd 499	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (vol*‘(∪ ran ([,] ∘ 𝐹) ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹))) = 0)
13		nulmbl 25577	. . . 4 ⊢ (((∪ ran ([,] ∘ 𝐹) ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹)) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(∪ ran ([,] ∘ 𝐹) ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹))) = 0) → (∪ ran ([,] ∘ 𝐹) ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹)) ∈ dom vol)
14	11, 12, 13	syl2anc 593	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∪ ran ([,] ∘ 𝐹) ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹)) ∈ dom vol)
15		unmbl 25579	. . 3 ⊢ ((∪ ran ((,) ∘ 𝐹) ∈ dom vol ∧ (∪ ran ([,] ∘ 𝐹) ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹)) ∈ dom vol) → (∪ ran ((,) ∘ 𝐹) ∪ (∪ ran ([,] ∘ 𝐹) ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹))) ∈ dom vol)
16	8, 14, 15	syl2anc 593	. 2 ⊢ (𝜑 → (∪ ran ((,) ∘ 𝐹) ∪ (∪ ran ([,] ∘ 𝐹) ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹))) ∈ dom vol)
17	5, 16	eqeltrrd 2862	1 ⊢ (𝜑 → ∪ ran ([,] ∘ 𝐹) ∈ dom vol)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ∖ cdif 3901   ∪ cun 3902   ∩ cin 3903   ⊆ wss 3904  ∪ cuni 4864  Disj wdisj 5066   × cxp 5643  dom cdm 5645  ran crn 5646   ∘ ccom 5649  ⟶wf 6513  ‘cfv 6517  ℝcr 11069  0cc0 11070  1c1 11071   + caddc 11073   ≤ cle 11214   − cmin 11411  ℕcn 12207  (,)cioo 13346  [,]cicc 13349  seqcseq 14011  abscabs 15244  vol*covol 25504  volcvol 25505

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-inf2 9593  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147  ax-pre-sup 11148

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-disj 5067  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-se 5599  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-isom 6526  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-of 7656  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-2o 8433  df-er 8673  df-map 8805  df-pm 8806  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9455  df-dju 9856  df-card 9894  df-acn 9897  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-n0 12479  df-z 12566  df-uz 12837  df-q 12947  df-rp 12991  df-xneg 13111  df-xadd 13112  df-xmul 13113  df-ioo 13350  df-ico 13352  df-icc 13353  df-fz 13510  df-fzo 13657  df-fl 13799  df-seq 14012  df-exp 14072  df-hash 14341  df-cj 15109  df-re 15110  df-im 15111  df-sqrt 15245  df-abs 15246  df-clim 15498  df-rlim 15499  df-sum 15697  df-rest 17434  df-topgen 17455  df-psmet 21396  df-xmet 21397  df-met 21398  df-bl 21399  df-mopn 21400  df-top 22934  df-topon 22951  df-bases 22986  df-cmp 23427  df-ovol 25506  df-vol 25507

This theorem is referenced by:  dyadmbl  25642