Theorem uniiccmbl 25941

Description: An almost-disjoint union of closed intervals is measurable. (This proof does not use countable choice, unlike iunmbl 25904.) (Contributed by Mario Carneiro, 25-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
uniioombl.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
uniioombl.2	⊢ (𝜑 → Disj 𝑥 ∈ ℕ ((,)‘(𝐹‘𝑥)))
uniioombl.3	⊢ 𝑆 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹))

Assertion

Ref	Expression
uniiccmbl	⊢ (𝜑 → ∪ ran ([,] ∘ 𝐹) ∈ dom vol)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem uniiccmbl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniioombl.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
2	1	uniiccdif 25929	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∪ ran ((,) ∘ 𝐹) ⊆ ∪ ran ([,] ∘ 𝐹) ∧ (vol*‘(∪ ran ([,] ∘ 𝐹) ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹))) = 0))
3	2	simpld 500	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ ran ((,) ∘ 𝐹) ⊆ ∪ ran ([,] ∘ 𝐹))
4		undif 4441	. . 3 ⊢ (∪ ran ((,) ∘ 𝐹) ⊆ ∪ ran ([,] ∘ 𝐹) ↔ (∪ ran ((,) ∘ 𝐹) ∪ (∪ ran ([,] ∘ 𝐹) ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹))) = ∪ ran ([,] ∘ 𝐹))
5	3, 4	sylib 221	. 2 ⊢ (𝜑 → (∪ ran ((,) ∘ 𝐹) ∪ (∪ ran ([,] ∘ 𝐹) ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹))) = ∪ ran ([,] ∘ 𝐹))
6		uniioombl.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Disj 𝑥 ∈ ℕ ((,)‘(𝐹‘𝑥)))
7		uniioombl.3	. . . 4 ⊢ 𝑆 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹))
8	1, 6, 7	uniioombl 25940	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ ran ((,) ∘ 𝐹) ∈ dom vol)
9		ovolficcss 25820	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → ∪ ran ([,] ∘ 𝐹) ⊆ ℝ)
10	1, 9	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∪ ran ([,] ∘ 𝐹) ⊆ ℝ)
11	10	ssdifssd 4086	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∪ ran ([,] ∘ 𝐹) ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹)) ⊆ ℝ)
12	2	simprd 501	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (vol*‘(∪ ran ([,] ∘ 𝐹) ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹))) = 0)
13		nulmbl 25886	. . . 4 ⊢ (((∪ ran ([,] ∘ 𝐹) ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹)) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(∪ ran ([,] ∘ 𝐹) ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹))) = 0) → (∪ ran ([,] ∘ 𝐹) ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹)) ∈ dom vol)
14	11, 12, 13	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∪ ran ([,] ∘ 𝐹) ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹)) ∈ dom vol)
15		unmbl 25888	. . 3 ⊢ ((∪ ran ((,) ∘ 𝐹) ∈ dom vol ∧ (∪ ran ([,] ∘ 𝐹) ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹)) ∈ dom vol) → (∪ ran ((,) ∘ 𝐹) ∪ (∪ ran ([,] ∘ 𝐹) ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹))) ∈ dom vol)
16	8, 14, 15	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (∪ ran ((,) ∘ 𝐹) ∪ (∪ ran ([,] ∘ 𝐹) ∖ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹))) ∈ dom vol)
17	5, 16	eqeltrrd 2865	1 ⊢ (𝜑 → ∪ ran ([,] ∘ 𝐹) ∈ dom vol)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900   ∖ cdif 4048   ∩ cin 4092   ∪ cun 4152  ∪ cuni 4870  Disj wdisj 5073   × cxp 5653  dom cdm 5655  ran crn 5656   ∘ ccom 5659  ⟶wf 6554  ‘cfv 6558  ℝcr 11226  0cc0 11227  1c1 11228   + caddc 11230   ≤ cle 11371   − cmin 11568  ℕcn 12362  (,)cioo 13503  [,]cicc 13506  seqcseq 14171  abscabs 15430  vol*covol 25813  volcvol 25814

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-inf2 9669  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304  ax-pre-sup 11305

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-disj 5074  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-isom 6567  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-of 7717  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8745  df-map 8877  df-pm 8878  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-fi 9430  df-sup 9461  df-inf 9462  df-oi 9531  df-dju 10009  df-card 10047  df-acn 10050  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-4 12434  df-n0 12634  df-z 12721  df-uz 12993  df-q 13103  df-rp 13148  df-xneg 13268  df-xadd 13269  df-xmul 13270  df-ioo 13507  df-ico 13509  df-icc 13510  df-fz 13667  df-fzo 13816  df-fl 13959  df-seq 14172  df-exp 14232  df-hash 14502  df-cj 15295  df-re 15296  df-im 15297  df-sqrt 15431  df-abs 15432  df-clim 15684  df-rlim 15685  df-sum 15883  df-rest 17622  df-topgen 17643  df-psmet 21700  df-xmet 21701  df-met 21702  df-bl 21703  df-mopn 21704  df-top 23242  df-topon 23259  df-bases 23294  df-cmp 23735  df-ovol 25815  df-vol 25816

This theorem is used by:  dyadmbl  25951