Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uniiccmbl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uniiccmbl 24192
 Description: An almost-disjoint union of closed intervals is measurable. (This proof does not use countable choice, unlike iunmbl 24155.) (Contributed by Mario Carneiro, 25-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
uniioombl.1 (𝜑𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
uniioombl.2 (𝜑Disj 𝑥 ∈ ℕ ((,)‘(𝐹𝑥)))
uniioombl.3 𝑆 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹))
Assertion
Ref Expression
uniiccmbl (𝜑 ran ([,] ∘ 𝐹) ∈ dom vol)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem uniiccmbl
StepHypRef Expression
1 uniioombl.1 . . . . 5 (𝜑𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
21uniiccdif 24180 . . . 4 (𝜑 → ( ran ((,) ∘ 𝐹) ⊆ ran ([,] ∘ 𝐹) ∧ (vol*‘( ran ([,] ∘ 𝐹) ∖ ran ((,) ∘ 𝐹))) = 0))
32simpld 498 . . 3 (𝜑 ran ((,) ∘ 𝐹) ⊆ ran ([,] ∘ 𝐹))
4 undif 4402 . . 3 ( ran ((,) ∘ 𝐹) ⊆ ran ([,] ∘ 𝐹) ↔ ( ran ((,) ∘ 𝐹) ∪ ( ran ([,] ∘ 𝐹) ∖ ran ((,) ∘ 𝐹))) = ran ([,] ∘ 𝐹))
53, 4sylib 221 . 2 (𝜑 → ( ran ((,) ∘ 𝐹) ∪ ( ran ([,] ∘ 𝐹) ∖ ran ((,) ∘ 𝐹))) = ran ([,] ∘ 𝐹))
6 uniioombl.2 . . . 4 (𝜑Disj 𝑥 ∈ ℕ ((,)‘(𝐹𝑥)))
7 uniioombl.3 . . . 4 𝑆 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹))
81, 6, 7uniioombl 24191 . . 3 (𝜑 ran ((,) ∘ 𝐹) ∈ dom vol)
9 ovolficcss 24071 . . . . . 6 (𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → ran ([,] ∘ 𝐹) ⊆ ℝ)
101, 9syl 17 . . . . 5 (𝜑 ran ([,] ∘ 𝐹) ⊆ ℝ)
1110ssdifssd 4094 . . . 4 (𝜑 → ( ran ([,] ∘ 𝐹) ∖ ran ((,) ∘ 𝐹)) ⊆ ℝ)
122simprd 499 . . . 4 (𝜑 → (vol*‘( ran ([,] ∘ 𝐹) ∖ ran ((,) ∘ 𝐹))) = 0)
13 nulmbl 24137 . . . 4 ((( ran ([,] ∘ 𝐹) ∖ ran ((,) ∘ 𝐹)) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘( ran ([,] ∘ 𝐹) ∖ ran ((,) ∘ 𝐹))) = 0) → ( ran ([,] ∘ 𝐹) ∖ ran ((,) ∘ 𝐹)) ∈ dom vol)
1411, 12, 13syl2anc 587 . . 3 (𝜑 → ( ran ([,] ∘ 𝐹) ∖ ran ((,) ∘ 𝐹)) ∈ dom vol)
15 unmbl 24139 . . 3 (( ran ((,) ∘ 𝐹) ∈ dom vol ∧ ( ran ([,] ∘ 𝐹) ∖ ran ((,) ∘ 𝐹)) ∈ dom vol) → ( ran ((,) ∘ 𝐹) ∪ ( ran ([,] ∘ 𝐹) ∖ ran ((,) ∘ 𝐹))) ∈ dom vol)
168, 14, 15syl2anc 587 . 2 (𝜑 → ( ran ((,) ∘ 𝐹) ∪ ( ran ([,] ∘ 𝐹) ∖ ran ((,) ∘ 𝐹))) ∈ dom vol)
175, 16eqeltrrd 2915 1 (𝜑 ran ([,] ∘ 𝐹) ∈ dom vol)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2114   ∖ cdif 3905   ∪ cun 3906   ∩ cin 3907   ⊆ wss 3908  ∪ cuni 4813  Disj wdisj 5007   × cxp 5530  dom cdm 5532  ran crn 5533   ∘ ccom 5536  ⟶wf 6330  ‘cfv 6334  ℝcr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   ≤ cle 10665   − cmin 10859  ℕcn 11625  (,)cioo 12726  [,]cicc 12729  seqcseq 13364  abscabs 14584  vol*covol 24064  volcvol 24065 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-inf2 9092  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-disj 5008  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-se 5492  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-isom 6343  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-of 7394  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-dju 9318  df-card 9356  df-acn 9359  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-seq 13365  df-exp 13426  df-hash 13687  df-cj 14449  df-re 14450  df-im 14451  df-sqrt 14585  df-abs 14586  df-clim 14836  df-rlim 14837  df-sum 15034  df-rest 16687  df-topgen 16708  df-psmet 20081  df-xmet 20082  df-met 20083  df-bl 20084  df-mopn 20085  df-top 21497  df-topon 21514  df-bases 21549  df-cmp 21990  df-ovol 24066  df-vol 24067 This theorem is referenced by:  dyadmbl  24202
 Copyright terms: Public domain W3C validator