Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dirkercncflem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dirkercncflem3 45120
Description: The Dirichlet Kernel is continuous at π‘Œ points that are multiples of (2 Β· Ο€). (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dirkercncflem3.d 𝐷 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 Β· Ο€)) = 0, (((2 Β· 𝑛) + 1) / (2 Β· Ο€)), ((sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑦)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑦 / 2)))))))
dirkercncflem3.a 𝐴 = (π‘Œ βˆ’ Ο€)
dirkercncflem3.b 𝐡 = (π‘Œ + Ο€)
dirkercncflem3.f 𝐹 = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ ((sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑦)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑦 / 2)))))
dirkercncflem3.g 𝐺 = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑦 / 2))))
dirkercncflem3.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
dirkercncflem3.yr (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
dirkercncflem3.yod (πœ‘ β†’ (π‘Œ mod (2 Β· Ο€)) = 0)
Assertion
Ref Expression
dirkercncflem3 (πœ‘ β†’ ((π·β€˜π‘)β€˜π‘Œ) ∈ ((π·β€˜π‘) limβ„‚ π‘Œ))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝐡   𝑦,𝐷   𝑦,𝑁   𝑦,π‘Œ   𝑦,𝑛   πœ‘,𝑦
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑛)   𝐴(𝑛)   𝐡(𝑛)   𝐷(𝑛)   𝐹(𝑦,𝑛)   𝐺(𝑦,𝑛)   𝑁(𝑛)   π‘Œ(𝑛)

Proof of Theorem dirkercncflem3
Dummy variables 𝑀 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dirkercncflem3.d . . 3 𝐷 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 Β· Ο€)) = 0, (((2 Β· 𝑛) + 1) / (2 Β· Ο€)), ((sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑦)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑦 / 2)))))))
2 oveq2 7420 . . . . 5 (𝑀 = 𝑦 β†’ ((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑀) = ((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑦))
32fveq2d 6895 . . . 4 (𝑀 = 𝑦 β†’ (sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑀)) = (sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑦)))
43cbvmptv 5261 . . 3 (𝑀 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ}) ↦ (sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑀))) = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ}) ↦ (sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑦)))
5 fvoveq1 7435 . . . . 5 (𝑀 = 𝑦 β†’ (sinβ€˜(𝑀 / 2)) = (sinβ€˜(𝑦 / 2)))
65oveq2d 7428 . . . 4 (𝑀 = 𝑦 β†’ ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑀 / 2))) = ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑦 / 2))))
76cbvmptv 5261 . . 3 (𝑀 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ}) ↦ ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑀 / 2)))) = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ}) ↦ ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑦 / 2))))
8 dirkercncflem3.a . . . . . . . 8 𝐴 = (π‘Œ βˆ’ Ο€)
9 dirkercncflem3.b . . . . . . . 8 𝐡 = (π‘Œ + Ο€)
10 dirkercncflem3.yr . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
11 dirkercncflem3.yod . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘Œ mod (2 Β· Ο€)) = 0)
128, 9, 10, 11dirkercncflem1 45118 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘Œ ∈ (𝐴(,)𝐡) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})((sinβ€˜(𝑦 / 2)) β‰  0 ∧ (cosβ€˜(𝑦 / 2)) β‰  0)))
1312simprd 495 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})((sinβ€˜(𝑦 / 2)) β‰  0 ∧ (cosβ€˜(𝑦 / 2)) β‰  0))
14 r19.26 3110 . . . . . 6 (βˆ€π‘¦ ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})((sinβ€˜(𝑦 / 2)) β‰  0 ∧ (cosβ€˜(𝑦 / 2)) β‰  0) ↔ (βˆ€π‘¦ ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})(sinβ€˜(𝑦 / 2)) β‰  0 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})(cosβ€˜(𝑦 / 2)) β‰  0))
1513, 14sylib 217 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})(sinβ€˜(𝑦 / 2)) β‰  0 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})(cosβ€˜(𝑦 / 2)) β‰  0))
1615simpld 494 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})(sinβ€˜(𝑦 / 2)) β‰  0)
1716r19.21bi 3247 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) β†’ (sinβ€˜(𝑦 / 2)) β‰  0)
182fveq2d 6895 . . . . 5 (𝑀 = 𝑦 β†’ (cosβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑀)) = (cosβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑦)))
1918oveq2d 7428 . . . 4 (𝑀 = 𝑦 β†’ ((𝑁 + (1 / 2)) Β· (cosβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑀))) = ((𝑁 + (1 / 2)) Β· (cosβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑦))))
2019cbvmptv 5261 . . 3 (𝑀 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) Β· (cosβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑀)))) = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) Β· (cosβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑦))))
21 fvoveq1 7435 . . . . 5 (𝑀 = 𝑦 β†’ (cosβ€˜(𝑀 / 2)) = (cosβ€˜(𝑦 / 2)))
2221oveq2d 7428 . . . 4 (𝑀 = 𝑦 β†’ (Ο€ Β· (cosβ€˜(𝑀 / 2))) = (Ο€ Β· (cosβ€˜(𝑦 / 2))))
2322cbvmptv 5261 . . 3 (𝑀 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ}) ↦ (Ο€ Β· (cosβ€˜(𝑀 / 2)))) = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ}) ↦ (Ο€ Β· (cosβ€˜(𝑦 / 2))))
24 eqid 2731 . . 3 (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (((𝑁 + (1 / 2)) Β· (cosβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑧))) / (Ο€ Β· (cosβ€˜(𝑧 / 2))))) = (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (((𝑁 + (1 / 2)) Β· (cosβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑧))) / (Ο€ Β· (cosβ€˜(𝑧 / 2)))))
25 dirkercncflem3.n . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
2612simpld 494 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝐴(,)𝐡))
2715simprd 495 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})(cosβ€˜(𝑦 / 2)) β‰  0)
2827r19.21bi 3247 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) β†’ (cosβ€˜(𝑦 / 2)) β‰  0)
291, 4, 7, 17, 20, 23, 24, 25, 26, 11, 28dirkercncflem2 45119 . 2 (πœ‘ β†’ ((π·β€˜π‘)β€˜π‘Œ) ∈ (((π·β€˜π‘) β†Ύ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) limβ„‚ π‘Œ))
301dirkerf 45112 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ (π·β€˜π‘):β„βŸΆβ„)
3125, 30syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π·β€˜π‘):β„βŸΆβ„)
32 ax-resscn 11171 . . . . 5 ℝ βŠ† β„‚
3332a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ ℝ βŠ† β„‚)
3431, 33fssd 6735 . . 3 (πœ‘ β†’ (π·β€˜π‘):β„βŸΆβ„‚)
35 ioossre 13390 . . . . 5 (𝐴(,)𝐡) βŠ† ℝ
3635a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† ℝ)
3736ssdifssd 4142 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ}) βŠ† ℝ)
38 eqid 2731 . . 3 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
39 eqid 2731 . . 3 ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (ℝ βˆͺ {π‘Œ})) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (ℝ βˆͺ {π‘Œ}))
40 iooretop 24503 . . . . . . 7 (𝐴(,)𝐡) ∈ (topGenβ€˜ran (,))
41 retop 24499 . . . . . . . 8 (topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top
42 uniretop 24500 . . . . . . . . 9 ℝ = βˆͺ (topGenβ€˜ran (,))
4342isopn3 22791 . . . . . . . 8 (((topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐴(,)𝐡) βŠ† ℝ) β†’ ((𝐴(,)𝐡) ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ↔ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴(,)𝐡)) = (𝐴(,)𝐡)))
4441, 36, 43sylancr 586 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝐴(,)𝐡) ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ↔ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴(,)𝐡)) = (𝐴(,)𝐡)))
4540, 44mpbii 232 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴(,)𝐡)) = (𝐴(,)𝐡))
4626, 45eleqtrrd 2835 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴(,)𝐡)))
4738tgioo2 24540 . . . . . . . 8 (topGenβ€˜ran (,)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
4847a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (topGenβ€˜ran (,)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ))
4948fveq2d 6895 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (intβ€˜(topGenβ€˜ran (,))) = (intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)))
5049fveq1d 6893 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴(,)𝐡)) = ((intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ))β€˜(𝐴(,)𝐡)))
5146, 50eleqtrd 2834 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ((intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ))β€˜(𝐴(,)𝐡)))
5210snssd 4812 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ {π‘Œ} βŠ† ℝ)
53 ssequn2 4183 . . . . . . . 8 ({π‘Œ} βŠ† ℝ ↔ (ℝ βˆͺ {π‘Œ}) = ℝ)
5452, 53sylib 217 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (ℝ βˆͺ {π‘Œ}) = ℝ)
5554oveq2d 7428 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (ℝ βˆͺ {π‘Œ})) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ))
5655fveq2d 6895 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (ℝ βˆͺ {π‘Œ}))) = (intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)))
57 uncom 4153 . . . . . 6 (((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ}) βˆͺ {π‘Œ}) = ({π‘Œ} βˆͺ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ}))
5826snssd 4812 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ {π‘Œ} βŠ† (𝐴(,)𝐡))
59 undif 4481 . . . . . . 7 ({π‘Œ} βŠ† (𝐴(,)𝐡) ↔ ({π‘Œ} βˆͺ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) = (𝐴(,)𝐡))
6058, 59sylib 217 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ({π‘Œ} βˆͺ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) = (𝐴(,)𝐡))
6157, 60eqtrid 2783 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ}) βˆͺ {π‘Œ}) = (𝐴(,)𝐡))
6256, 61fveq12d 6898 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (ℝ βˆͺ {π‘Œ})))β€˜(((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ}) βˆͺ {π‘Œ})) = ((intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ))β€˜(𝐴(,)𝐡)))
6351, 62eleqtrrd 2835 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ((intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (ℝ βˆͺ {π‘Œ})))β€˜(((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ}) βˆͺ {π‘Œ})))
6434, 37, 33, 38, 39, 63limcres 25636 . 2 (πœ‘ β†’ (((π·β€˜π‘) β†Ύ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) limβ„‚ π‘Œ) = ((π·β€˜π‘) limβ„‚ π‘Œ))
6529, 64eleqtrd 2834 1 (πœ‘ β†’ ((π·β€˜π‘)β€˜π‘Œ) ∈ ((π·β€˜π‘) limβ„‚ π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  βˆ€wral 3060   βˆ– cdif 3945   βˆͺ cun 3946   βŠ† wss 3948  ifcif 4528  {csn 4628   ↦ cmpt 5231  ran crn 5677   β†Ύ cres 5678  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  β„‚cc 11112  β„cr 11113  0cc0 11114  1c1 11115   + caddc 11117   Β· cmul 11119   βˆ’ cmin 11449   / cdiv 11876  β„•cn 12217  2c2 12272  (,)cioo 13329   mod cmo 13839  sincsin 16012  cosccos 16013  Ο€cpi 16015   β†Ύt crest 17371  TopOpenctopn 17372  topGenctg 17388  β„‚fldccnfld 21145  Topctop 22616  intcnt 22742   limβ„‚ climc 25612
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9640  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192  ax-addf 11193  ax-mulf 11194
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8151  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-2o 8471  df-er 8707  df-map 8826  df-pm 8827  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9366  df-fi 9410  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9509  df-card 9938  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-ioo 13333  df-ioc 13334  df-ico 13335  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-mod 13840  df-seq 13972  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15019  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-limsup 15420  df-clim 15437  df-rlim 15438  df-sum 15638  df-ef 16016  df-sin 16018  df-cos 16019  df-pi 16021  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-pt 17395  df-prds 17398  df-xrs 17453  df-qtop 17458  df-imas 17459  df-xps 17461  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-submnd 18707  df-mulg 18988  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-fbas 21142  df-fg 21143  df-cnfld 21146  df-top 22617  df-topon 22634  df-topsp 22656  df-bases 22670  df-cld 22744  df-ntr 22745  df-cls 22746  df-nei 22823  df-lp 22861  df-perf 22862  df-cn 22952  df-cnp 22953  df-t1 23039  df-haus 23040  df-cmp 23112  df-tx 23287  df-hmeo 23480  df-fil 23571  df-fm 23663  df-flim 23664  df-flf 23665  df-xms 24047  df-ms 24048  df-tms 24049  df-cncf 24619  df-limc 25616  df-dv 25617
This theorem is referenced by:  dirkercncf  45122
  Copyright terms: Public domain W3C validator