Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dirkercncflem3 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dirkercncflem3 44821
Description: The Dirichlet Kernel is continuous at π‘Œ points that are multiples of (2 Β· Ο€). (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dirkercncflem3.d 𝐷 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 Β· Ο€)) = 0, (((2 Β· 𝑛) + 1) / (2 Β· Ο€)), ((sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑦)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑦 / 2)))))))
dirkercncflem3.a 𝐴 = (π‘Œ βˆ’ Ο€)
dirkercncflem3.b 𝐡 = (π‘Œ + Ο€)
dirkercncflem3.f 𝐹 = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ ((sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑦)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑦 / 2)))))
dirkercncflem3.g 𝐺 = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑦 / 2))))
dirkercncflem3.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
dirkercncflem3.yr (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
dirkercncflem3.yod (πœ‘ β†’ (π‘Œ mod (2 Β· Ο€)) = 0)
Assertion
Ref Expression
dirkercncflem3 (πœ‘ β†’ ((π·β€˜π‘)β€˜π‘Œ) ∈ ((π·β€˜π‘) limβ„‚ π‘Œ))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝐡   𝑦,𝐷   𝑦,𝑁   𝑦,π‘Œ   𝑦,𝑛   πœ‘,𝑦
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑛)   𝐴(𝑛)   𝐡(𝑛)   𝐷(𝑛)   𝐹(𝑦,𝑛)   𝐺(𝑦,𝑛)   𝑁(𝑛)   π‘Œ(𝑛)
Proof of Theorem dirkercncflem3
Dummy variables 𝑀 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dirkercncflem3.d . . 3 𝐷 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 Β· Ο€)) = 0, (((2 Β· 𝑛) + 1) / (2 Β· Ο€)), ((sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑦)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑦 / 2)))))))
2 oveq2 7417 . . . . 5 (𝑀 = 𝑦 β†’ ((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑀) = ((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑦))
32fveq2d 6896 . . . 4 (𝑀 = 𝑦 β†’ (sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑀)) = (sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑦)))
43cbvmptv 5262 . . 3 (𝑀 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ}) ↦ (sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑀))) = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ}) ↦ (sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑦)))
5 fvoveq1 7432 . . . . 5 (𝑀 = 𝑦 β†’ (sinβ€˜(𝑀 / 2)) = (sinβ€˜(𝑦 / 2)))
65oveq2d 7425 . . . 4 (𝑀 = 𝑦 β†’ ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑀 / 2))) = ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑦 / 2))))
76cbvmptv 5262 . . 3 (𝑀 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ}) ↦ ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑀 / 2)))) = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ}) ↦ ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑦 / 2))))
8 dirkercncflem3.a . . . . . . . 8 𝐴 = (π‘Œ βˆ’ Ο€)
9 dirkercncflem3.b . . . . . . . 8 𝐡 = (π‘Œ + Ο€)
10 dirkercncflem3.yr . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
11 dirkercncflem3.yod . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘Œ mod (2 Β· Ο€)) = 0)
128, 9, 10, 11dirkercncflem1 44819 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘Œ ∈ (𝐴(,)𝐡) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})((sinβ€˜(𝑦 / 2)) β‰  0 ∧ (cosβ€˜(𝑦 / 2)) β‰  0)))
1312simprd 497 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})((sinβ€˜(𝑦 / 2)) β‰  0 ∧ (cosβ€˜(𝑦 / 2)) β‰  0))
14 r19.26 3112 . . . . . 6 (βˆ€π‘¦ ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})((sinβ€˜(𝑦 / 2)) β‰  0 ∧ (cosβ€˜(𝑦 / 2)) β‰  0) ↔ (βˆ€π‘¦ ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})(sinβ€˜(𝑦 / 2)) β‰  0 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})(cosβ€˜(𝑦 / 2)) β‰  0))
1513, 14sylib 217 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})(sinβ€˜(𝑦 / 2)) β‰  0 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})(cosβ€˜(𝑦 / 2)) β‰  0))
1615simpld 496 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})(sinβ€˜(𝑦 / 2)) β‰  0)
1716r19.21bi 3249 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) β†’ (sinβ€˜(𝑦 / 2)) β‰  0)
182fveq2d 6896 . . . . 5 (𝑀 = 𝑦 β†’ (cosβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑀)) = (cosβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑦)))
1918oveq2d 7425 . . . 4 (𝑀 = 𝑦 β†’ ((𝑁 + (1 / 2)) Β· (cosβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑀))) = ((𝑁 + (1 / 2)) Β· (cosβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑦))))
2019cbvmptv 5262 . . 3 (𝑀 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) Β· (cosβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑀)))) = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) Β· (cosβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑦))))
21 fvoveq1 7432 . . . . 5 (𝑀 = 𝑦 β†’ (cosβ€˜(𝑀 / 2)) = (cosβ€˜(𝑦 / 2)))
2221oveq2d 7425 . . . 4 (𝑀 = 𝑦 β†’ (Ο€ Β· (cosβ€˜(𝑀 / 2))) = (Ο€ Β· (cosβ€˜(𝑦 / 2))))
2322cbvmptv 5262 . . 3 (𝑀 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ}) ↦ (Ο€ Β· (cosβ€˜(𝑀 / 2)))) = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ}) ↦ (Ο€ Β· (cosβ€˜(𝑦 / 2))))
24 eqid 2733 . . 3 (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (((𝑁 + (1 / 2)) Β· (cosβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑧))) / (Ο€ Β· (cosβ€˜(𝑧 / 2))))) = (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (((𝑁 + (1 / 2)) Β· (cosβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑧))) / (Ο€ Β· (cosβ€˜(𝑧 / 2)))))
25 dirkercncflem3.n . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
2612simpld 496 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝐴(,)𝐡))
2715simprd 497 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})(cosβ€˜(𝑦 / 2)) β‰  0)
2827r19.21bi 3249 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) β†’ (cosβ€˜(𝑦 / 2)) β‰  0)
291, 4, 7, 17, 20, 23, 24, 25, 26, 11, 28dirkercncflem2 44820 . 2 (πœ‘ β†’ ((π·β€˜π‘)β€˜π‘Œ) ∈ (((π·β€˜π‘) β†Ύ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) limβ„‚ π‘Œ))
301dirkerf 44813 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ (π·β€˜π‘):β„βŸΆβ„)
3125, 30syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π·β€˜π‘):β„βŸΆβ„)
32 ax-resscn 11167 . . . . 5 ℝ βŠ† β„‚
3332a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ ℝ βŠ† β„‚)
3431, 33fssd 6736 . . 3 (πœ‘ β†’ (π·β€˜π‘):β„βŸΆβ„‚)
35 ioossre 13385 . . . . 5 (𝐴(,)𝐡) βŠ† ℝ
3635a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† ℝ)
3736ssdifssd 4143 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ}) βŠ† ℝ)
38 eqid 2733 . . 3 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
39 eqid 2733 . . 3 ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (ℝ βˆͺ {π‘Œ})) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (ℝ βˆͺ {π‘Œ}))
40 iooretop 24282 . . . . . . 7 (𝐴(,)𝐡) ∈ (topGenβ€˜ran (,))
41 retop 24278 . . . . . . . 8 (topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top
42 uniretop 24279 . . . . . . . . 9 ℝ = βˆͺ (topGenβ€˜ran (,))
4342isopn3 22570 . . . . . . . 8 (((topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐴(,)𝐡) βŠ† ℝ) β†’ ((𝐴(,)𝐡) ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ↔ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴(,)𝐡)) = (𝐴(,)𝐡)))
4441, 36, 43sylancr 588 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝐴(,)𝐡) ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ↔ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴(,)𝐡)) = (𝐴(,)𝐡)))
4540, 44mpbii 232 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴(,)𝐡)) = (𝐴(,)𝐡))
4626, 45eleqtrrd 2837 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴(,)𝐡)))
4738tgioo2 24319 . . . . . . . 8 (topGenβ€˜ran (,)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
4847a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (topGenβ€˜ran (,)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ))
4948fveq2d 6896 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (intβ€˜(topGenβ€˜ran (,))) = (intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)))
5049fveq1d 6894 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴(,)𝐡)) = ((intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ))β€˜(𝐴(,)𝐡)))
5146, 50eleqtrd 2836 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ((intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ))β€˜(𝐴(,)𝐡)))
5210snssd 4813 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ {π‘Œ} βŠ† ℝ)
53 ssequn2 4184 . . . . . . . 8 ({π‘Œ} βŠ† ℝ ↔ (ℝ βˆͺ {π‘Œ}) = ℝ)
5452, 53sylib 217 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (ℝ βˆͺ {π‘Œ}) = ℝ)
5554oveq2d 7425 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (ℝ βˆͺ {π‘Œ})) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ))
5655fveq2d 6896 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (ℝ βˆͺ {π‘Œ}))) = (intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)))
57 uncom 4154 . . . . . 6 (((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ}) βˆͺ {π‘Œ}) = ({π‘Œ} βˆͺ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ}))
5826snssd 4813 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ {π‘Œ} βŠ† (𝐴(,)𝐡))
59 undif 4482 . . . . . . 7 ({π‘Œ} βŠ† (𝐴(,)𝐡) ↔ ({π‘Œ} βˆͺ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) = (𝐴(,)𝐡))
6058, 59sylib 217 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ({π‘Œ} βˆͺ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) = (𝐴(,)𝐡))
6157, 60eqtrid 2785 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ}) βˆͺ {π‘Œ}) = (𝐴(,)𝐡))
6256, 61fveq12d 6899 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (ℝ βˆͺ {π‘Œ})))β€˜(((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ}) βˆͺ {π‘Œ})) = ((intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ))β€˜(𝐴(,)𝐡)))
6351, 62eleqtrrd 2837 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ((intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (ℝ βˆͺ {π‘Œ})))β€˜(((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ}) βˆͺ {π‘Œ})))
6434, 37, 33, 38, 39, 63limcres 25403 . 2 (πœ‘ β†’ (((π·β€˜π‘) β†Ύ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) limβ„‚ π‘Œ) = ((π·β€˜π‘) limβ„‚ π‘Œ))
6529, 64eleqtrd 2836 1 (πœ‘ β†’ ((π·β€˜π‘)β€˜π‘Œ) ∈ ((π·β€˜π‘) limβ„‚ π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062   βˆ– cdif 3946   βˆͺ cun 3947   βŠ† wss 3949  ifcif 4529  {csn 4629   ↦ cmpt 5232  ran crn 5678   β†Ύ cres 5679  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   Β· cmul 11115   βˆ’ cmin 11444   / cdiv 11871  β„•cn 12212  2c2 12267  (,)cioo 13324   mod cmo 13834  sincsin 16007  cosccos 16008  Ο€cpi 16010   β†Ύt crest 17366  TopOpenctopn 17367  topGenctg 17383  β„‚fldccnfld 20944  Topctop 22395  intcnt 22521   limβ„‚ climc 25379
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-shft 15014  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-ef 16011  df-sin 16013  df-cos 16014  df-pi 16016  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-t1 22818  df-haus 22819  df-cmp 22891  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-limc 25383  df-dv 25384
This theorem is referenced by:  dirkercncf  44823
  Copyright terms: Public domain W3C validator