Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dirkercncflem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dirkercncflem3 44336
Description: The Dirichlet Kernel is continuous at 𝑌 points that are multiples of (2 · π). (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dirkercncflem3.d 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))))
dirkercncflem3.a 𝐴 = (𝑌 − π)
dirkercncflem3.b 𝐵 = (𝑌 + π)
dirkercncflem3.f 𝐹 = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))
dirkercncflem3.g 𝐺 = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))
dirkercncflem3.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
dirkercncflem3.yr (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
dirkercncflem3.yod (𝜑 → (𝑌 mod (2 · π)) = 0)
Assertion
Ref Expression
dirkercncflem3 (𝜑 → ((𝐷𝑁)‘𝑌) ∈ ((𝐷𝑁) lim 𝑌))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝐵   𝑦,𝐷   𝑦,𝑁   𝑦,𝑌   𝑦,𝑛   𝜑,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑛)   𝐷(𝑛)   𝐹(𝑦,𝑛)   𝐺(𝑦,𝑛)   𝑁(𝑛)   𝑌(𝑛)

Proof of Theorem dirkercncflem3
Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dirkercncflem3.d . . 3 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))))
2 oveq2 7365 . . . . 5 (𝑤 = 𝑦 → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))
32fveq2d 6846 . . . 4 (𝑤 = 𝑦 → (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)) = (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))
43cbvmptv 5218 . . 3 (𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))) = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))
5 fvoveq1 7380 . . . . 5 (𝑤 = 𝑦 → (sin‘(𝑤 / 2)) = (sin‘(𝑦 / 2)))
65oveq2d 7373 . . . 4 (𝑤 = 𝑦 → ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2))) = ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))
76cbvmptv 5218 . . 3 (𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2)))) = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))
8 dirkercncflem3.a . . . . . . . 8 𝐴 = (𝑌 − π)
9 dirkercncflem3.b . . . . . . . 8 𝐵 = (𝑌 + π)
10 dirkercncflem3.yr . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
11 dirkercncflem3.yod . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑌 mod (2 · π)) = 0)
128, 9, 10, 11dirkercncflem1 44334 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ∀𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})((sin‘(𝑦 / 2)) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝑦 / 2)) ≠ 0)))
1312simprd 496 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})((sin‘(𝑦 / 2)) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝑦 / 2)) ≠ 0))
14 r19.26 3114 . . . . . 6 (∀𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})((sin‘(𝑦 / 2)) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝑦 / 2)) ≠ 0) ↔ (∀𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})(sin‘(𝑦 / 2)) ≠ 0 ∧ ∀𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})(cos‘(𝑦 / 2)) ≠ 0))
1513, 14sylib 217 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})(sin‘(𝑦 / 2)) ≠ 0 ∧ ∀𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})(cos‘(𝑦 / 2)) ≠ 0))
1615simpld 495 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})(sin‘(𝑦 / 2)) ≠ 0)
1716r19.21bi 3234 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (sin‘(𝑦 / 2)) ≠ 0)
182fveq2d 6846 . . . . 5 (𝑤 = 𝑦 → (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)) = (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))
1918oveq2d 7373 . . . 4 (𝑤 = 𝑦 → ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))) = ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))))
2019cbvmptv 5218 . . 3 (𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)))) = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))))
21 fvoveq1 7380 . . . . 5 (𝑤 = 𝑦 → (cos‘(𝑤 / 2)) = (cos‘(𝑦 / 2)))
2221oveq2d 7373 . . . 4 (𝑤 = 𝑦 → (π · (cos‘(𝑤 / 2))) = (π · (cos‘(𝑦 / 2))))
2322cbvmptv 5218 . . 3 (𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (π · (cos‘(𝑤 / 2)))) = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (π · (cos‘(𝑦 / 2))))
24 eqid 2736 . . 3 (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑧))) / (π · (cos‘(𝑧 / 2))))) = (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑧))) / (π · (cos‘(𝑧 / 2)))))
25 dirkercncflem3.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
2612simpld 495 . . 3 (𝜑𝑌 ∈ (𝐴(,)𝐵))
2715simprd 496 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})(cos‘(𝑦 / 2)) ≠ 0)
2827r19.21bi 3234 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (cos‘(𝑦 / 2)) ≠ 0)
291, 4, 7, 17, 20, 23, 24, 25, 26, 11, 28dirkercncflem2 44335 . 2 (𝜑 → ((𝐷𝑁)‘𝑌) ∈ (((𝐷𝑁) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) lim 𝑌))
301dirkerf 44328 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐷𝑁):ℝ⟶ℝ)
3125, 30syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐷𝑁):ℝ⟶ℝ)
32 ax-resscn 11108 . . . . 5 ℝ ⊆ ℂ
3332a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
3431, 33fssd 6686 . . 3 (𝜑 → (𝐷𝑁):ℝ⟶ℂ)
35 ioossre 13325 . . . . 5 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
3635a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
3736ssdifssd 4102 . . 3 (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ⊆ ℝ)
38 eqid 2736 . . 3 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
39 eqid 2736 . . 3 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (ℝ ∪ {𝑌})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (ℝ ∪ {𝑌}))
40 iooretop 24129 . . . . . . 7 (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))
41 retop 24125 . . . . . . . 8 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
42 uniretop 24126 . . . . . . . . 9 ℝ = (topGen‘ran (,))
4342isopn3 22417 . . . . . . . 8 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ) → ((𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)𝐵)) = (𝐴(,)𝐵)))
4441, 36, 43sylancr 587 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)𝐵)) = (𝐴(,)𝐵)))
4540, 44mpbii 232 . . . . . 6 (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))
4626, 45eleqtrrd 2841 . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)𝐵)))
4738tgioo2 24166 . . . . . . . 8 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
4847a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
4948fveq2d 6846 . . . . . 6 (𝜑 → (int‘(topGen‘ran (,))) = (int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)))
5049fveq1d 6844 . . . . 5 (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)𝐵)) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))‘(𝐴(,)𝐵)))
5146, 50eleqtrd 2840 . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))‘(𝐴(,)𝐵)))
5210snssd 4769 . . . . . . . 8 (𝜑 → {𝑌} ⊆ ℝ)
53 ssequn2 4143 . . . . . . . 8 ({𝑌} ⊆ ℝ ↔ (ℝ ∪ {𝑌}) = ℝ)
5452, 53sylib 217 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ ∪ {𝑌}) = ℝ)
5554oveq2d 7373 . . . . . 6 (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (ℝ ∪ {𝑌})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
5655fveq2d 6846 . . . . 5 (𝜑 → (int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (ℝ ∪ {𝑌}))) = (int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)))
57 uncom 4113 . . . . . 6 (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌}) = ({𝑌} ∪ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))
5826snssd 4769 . . . . . . 7 (𝜑 → {𝑌} ⊆ (𝐴(,)𝐵))
59 undif 4441 . . . . . . 7 ({𝑌} ⊆ (𝐴(,)𝐵) ↔ ({𝑌} ∪ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) = (𝐴(,)𝐵))
6058, 59sylib 217 . . . . . 6 (𝜑 → ({𝑌} ∪ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) = (𝐴(,)𝐵))
6157, 60eqtrid 2788 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌}) = (𝐴(,)𝐵))
6256, 61fveq12d 6849 . . . 4 (𝜑 → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (ℝ ∪ {𝑌})))‘(((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌})) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))‘(𝐴(,)𝐵)))
6351, 62eleqtrrd 2841 . . 3 (𝜑𝑌 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (ℝ ∪ {𝑌})))‘(((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌})))
6434, 37, 33, 38, 39, 63limcres 25250 . 2 (𝜑 → (((𝐷𝑁) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) lim 𝑌) = ((𝐷𝑁) lim 𝑌))
6529, 64eleqtrd 2840 1 (𝜑 → ((𝐷𝑁)‘𝑌) ∈ ((𝐷𝑁) lim 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  cdif 3907  cun 3908  wss 3910  ifcif 4486  {csn 4586  cmpt 5188  ran crn 5634  cres 5635  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056  cmin 11385   / cdiv 11812  cn 12153  2c2 12208  (,)cioo 13264   mod cmo 13774  sincsin 15946  cosccos 15947  πcpi 15949  t crest 17302  TopOpenctopn 17303  topGenctg 17319  fldccnfld 20796  Topctop 22242  intcnt 22368   lim climc 25226
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-bc 14203  df-hash 14231  df-shft 14952  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-ef 15950  df-sin 15952  df-cos 15953  df-pi 15955  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-t1 22665  df-haus 22666  df-cmp 22738  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-limc 25230  df-dv 25231
This theorem is referenced by:  dirkercncf  44338
  Copyright terms: Public domain W3C validator