Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dirkercncflem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dirkercncflem3 44432
Description: The Dirichlet Kernel is continuous at π‘Œ points that are multiples of (2 Β· Ο€). (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dirkercncflem3.d 𝐷 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 Β· Ο€)) = 0, (((2 Β· 𝑛) + 1) / (2 Β· Ο€)), ((sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑦)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑦 / 2)))))))
dirkercncflem3.a 𝐴 = (π‘Œ βˆ’ Ο€)
dirkercncflem3.b 𝐡 = (π‘Œ + Ο€)
dirkercncflem3.f 𝐹 = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ ((sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑦)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑦 / 2)))))
dirkercncflem3.g 𝐺 = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑦 / 2))))
dirkercncflem3.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
dirkercncflem3.yr (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
dirkercncflem3.yod (πœ‘ β†’ (π‘Œ mod (2 Β· Ο€)) = 0)
Assertion
Ref Expression
dirkercncflem3 (πœ‘ β†’ ((π·β€˜π‘)β€˜π‘Œ) ∈ ((π·β€˜π‘) limβ„‚ π‘Œ))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝐡   𝑦,𝐷   𝑦,𝑁   𝑦,π‘Œ   𝑦,𝑛   πœ‘,𝑦
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑛)   𝐴(𝑛)   𝐡(𝑛)   𝐷(𝑛)   𝐹(𝑦,𝑛)   𝐺(𝑦,𝑛)   𝑁(𝑛)   π‘Œ(𝑛)

Proof of Theorem dirkercncflem3
Dummy variables 𝑀 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dirkercncflem3.d . . 3 𝐷 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 Β· Ο€)) = 0, (((2 Β· 𝑛) + 1) / (2 Β· Ο€)), ((sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑦)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑦 / 2)))))))
2 oveq2 7366 . . . . 5 (𝑀 = 𝑦 β†’ ((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑀) = ((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑦))
32fveq2d 6847 . . . 4 (𝑀 = 𝑦 β†’ (sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑀)) = (sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑦)))
43cbvmptv 5219 . . 3 (𝑀 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ}) ↦ (sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑀))) = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ}) ↦ (sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑦)))
5 fvoveq1 7381 . . . . 5 (𝑀 = 𝑦 β†’ (sinβ€˜(𝑀 / 2)) = (sinβ€˜(𝑦 / 2)))
65oveq2d 7374 . . . 4 (𝑀 = 𝑦 β†’ ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑀 / 2))) = ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑦 / 2))))
76cbvmptv 5219 . . 3 (𝑀 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ}) ↦ ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑀 / 2)))) = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ}) ↦ ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑦 / 2))))
8 dirkercncflem3.a . . . . . . . 8 𝐴 = (π‘Œ βˆ’ Ο€)
9 dirkercncflem3.b . . . . . . . 8 𝐡 = (π‘Œ + Ο€)
10 dirkercncflem3.yr . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
11 dirkercncflem3.yod . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘Œ mod (2 Β· Ο€)) = 0)
128, 9, 10, 11dirkercncflem1 44430 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘Œ ∈ (𝐴(,)𝐡) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})((sinβ€˜(𝑦 / 2)) β‰  0 ∧ (cosβ€˜(𝑦 / 2)) β‰  0)))
1312simprd 497 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})((sinβ€˜(𝑦 / 2)) β‰  0 ∧ (cosβ€˜(𝑦 / 2)) β‰  0))
14 r19.26 3111 . . . . . 6 (βˆ€π‘¦ ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})((sinβ€˜(𝑦 / 2)) β‰  0 ∧ (cosβ€˜(𝑦 / 2)) β‰  0) ↔ (βˆ€π‘¦ ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})(sinβ€˜(𝑦 / 2)) β‰  0 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})(cosβ€˜(𝑦 / 2)) β‰  0))
1513, 14sylib 217 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})(sinβ€˜(𝑦 / 2)) β‰  0 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})(cosβ€˜(𝑦 / 2)) β‰  0))
1615simpld 496 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})(sinβ€˜(𝑦 / 2)) β‰  0)
1716r19.21bi 3233 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) β†’ (sinβ€˜(𝑦 / 2)) β‰  0)
182fveq2d 6847 . . . . 5 (𝑀 = 𝑦 β†’ (cosβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑀)) = (cosβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑦)))
1918oveq2d 7374 . . . 4 (𝑀 = 𝑦 β†’ ((𝑁 + (1 / 2)) Β· (cosβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑀))) = ((𝑁 + (1 / 2)) Β· (cosβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑦))))
2019cbvmptv 5219 . . 3 (𝑀 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) Β· (cosβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑀)))) = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) Β· (cosβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑦))))
21 fvoveq1 7381 . . . . 5 (𝑀 = 𝑦 β†’ (cosβ€˜(𝑀 / 2)) = (cosβ€˜(𝑦 / 2)))
2221oveq2d 7374 . . . 4 (𝑀 = 𝑦 β†’ (Ο€ Β· (cosβ€˜(𝑀 / 2))) = (Ο€ Β· (cosβ€˜(𝑦 / 2))))
2322cbvmptv 5219 . . 3 (𝑀 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ}) ↦ (Ο€ Β· (cosβ€˜(𝑀 / 2)))) = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ}) ↦ (Ο€ Β· (cosβ€˜(𝑦 / 2))))
24 eqid 2733 . . 3 (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (((𝑁 + (1 / 2)) Β· (cosβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑧))) / (Ο€ Β· (cosβ€˜(𝑧 / 2))))) = (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (((𝑁 + (1 / 2)) Β· (cosβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑧))) / (Ο€ Β· (cosβ€˜(𝑧 / 2)))))
25 dirkercncflem3.n . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
2612simpld 496 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝐴(,)𝐡))
2715simprd 497 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})(cosβ€˜(𝑦 / 2)) β‰  0)
2827r19.21bi 3233 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) β†’ (cosβ€˜(𝑦 / 2)) β‰  0)
291, 4, 7, 17, 20, 23, 24, 25, 26, 11, 28dirkercncflem2 44431 . 2 (πœ‘ β†’ ((π·β€˜π‘)β€˜π‘Œ) ∈ (((π·β€˜π‘) β†Ύ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) limβ„‚ π‘Œ))
301dirkerf 44424 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ (π·β€˜π‘):β„βŸΆβ„)
3125, 30syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π·β€˜π‘):β„βŸΆβ„)
32 ax-resscn 11113 . . . . 5 ℝ βŠ† β„‚
3332a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ ℝ βŠ† β„‚)
3431, 33fssd 6687 . . 3 (πœ‘ β†’ (π·β€˜π‘):β„βŸΆβ„‚)
35 ioossre 13331 . . . . 5 (𝐴(,)𝐡) βŠ† ℝ
3635a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† ℝ)
3736ssdifssd 4103 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ}) βŠ† ℝ)
38 eqid 2733 . . 3 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
39 eqid 2733 . . 3 ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (ℝ βˆͺ {π‘Œ})) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (ℝ βˆͺ {π‘Œ}))
40 iooretop 24145 . . . . . . 7 (𝐴(,)𝐡) ∈ (topGenβ€˜ran (,))
41 retop 24141 . . . . . . . 8 (topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top
42 uniretop 24142 . . . . . . . . 9 ℝ = βˆͺ (topGenβ€˜ran (,))
4342isopn3 22433 . . . . . . . 8 (((topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐴(,)𝐡) βŠ† ℝ) β†’ ((𝐴(,)𝐡) ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ↔ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴(,)𝐡)) = (𝐴(,)𝐡)))
4441, 36, 43sylancr 588 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝐴(,)𝐡) ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ↔ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴(,)𝐡)) = (𝐴(,)𝐡)))
4540, 44mpbii 232 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴(,)𝐡)) = (𝐴(,)𝐡))
4626, 45eleqtrrd 2837 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴(,)𝐡)))
4738tgioo2 24182 . . . . . . . 8 (topGenβ€˜ran (,)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
4847a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (topGenβ€˜ran (,)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ))
4948fveq2d 6847 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (intβ€˜(topGenβ€˜ran (,))) = (intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)))
5049fveq1d 6845 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴(,)𝐡)) = ((intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ))β€˜(𝐴(,)𝐡)))
5146, 50eleqtrd 2836 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ((intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ))β€˜(𝐴(,)𝐡)))
5210snssd 4770 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ {π‘Œ} βŠ† ℝ)
53 ssequn2 4144 . . . . . . . 8 ({π‘Œ} βŠ† ℝ ↔ (ℝ βˆͺ {π‘Œ}) = ℝ)
5452, 53sylib 217 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (ℝ βˆͺ {π‘Œ}) = ℝ)
5554oveq2d 7374 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (ℝ βˆͺ {π‘Œ})) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ))
5655fveq2d 6847 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (ℝ βˆͺ {π‘Œ}))) = (intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)))
57 uncom 4114 . . . . . 6 (((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ}) βˆͺ {π‘Œ}) = ({π‘Œ} βˆͺ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ}))
5826snssd 4770 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ {π‘Œ} βŠ† (𝐴(,)𝐡))
59 undif 4442 . . . . . . 7 ({π‘Œ} βŠ† (𝐴(,)𝐡) ↔ ({π‘Œ} βˆͺ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) = (𝐴(,)𝐡))
6058, 59sylib 217 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ({π‘Œ} βˆͺ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) = (𝐴(,)𝐡))
6157, 60eqtrid 2785 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ}) βˆͺ {π‘Œ}) = (𝐴(,)𝐡))
6256, 61fveq12d 6850 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (ℝ βˆͺ {π‘Œ})))β€˜(((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ}) βˆͺ {π‘Œ})) = ((intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ))β€˜(𝐴(,)𝐡)))
6351, 62eleqtrrd 2837 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ((intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (ℝ βˆͺ {π‘Œ})))β€˜(((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ}) βˆͺ {π‘Œ})))
6434, 37, 33, 38, 39, 63limcres 25266 . 2 (πœ‘ β†’ (((π·β€˜π‘) β†Ύ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) limβ„‚ π‘Œ) = ((π·β€˜π‘) limβ„‚ π‘Œ))
6529, 64eleqtrd 2836 1 (πœ‘ β†’ ((π·β€˜π‘)β€˜π‘Œ) ∈ ((π·β€˜π‘) limβ„‚ π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061   βˆ– cdif 3908   βˆͺ cun 3909   βŠ† wss 3911  ifcif 4487  {csn 4587   ↦ cmpt 5189  ran crn 5635   β†Ύ cres 5636  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  β„‚cc 11054  β„cr 11055  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059   Β· cmul 11061   βˆ’ cmin 11390   / cdiv 11817  β„•cn 12158  2c2 12213  (,)cioo 13270   mod cmo 13780  sincsin 15951  cosccos 15952  Ο€cpi 15954   β†Ύt crest 17307  TopOpenctopn 17308  topGenctg 17324  β„‚fldccnfld 20812  Topctop 22258  intcnt 22384   limβ„‚ climc 25242
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134  ax-addf 11135  ax-mulf 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-er 8651  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-fi 9352  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-q 12879  df-rp 12921  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13274  df-ioc 13275  df-ico 13276  df-icc 13277  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-fl 13703  df-mod 13781  df-seq 13913  df-exp 13974  df-fac 14180  df-bc 14209  df-hash 14237  df-shft 14958  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-limsup 15359  df-clim 15376  df-rlim 15377  df-sum 15577  df-ef 15955  df-sin 15957  df-cos 15958  df-pi 15960  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-starv 17153  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-unif 17161  df-hom 17162  df-cco 17163  df-rest 17309  df-topn 17310  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-topgen 17330  df-pt 17331  df-prds 17334  df-xrs 17389  df-qtop 17394  df-imas 17395  df-xps 17397  df-mre 17471  df-mrc 17472  df-acs 17474  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-submnd 18607  df-mulg 18878  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-t1 22681  df-haus 22682  df-cmp 22754  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-limc 25246  df-dv 25247
This theorem is referenced by:  dirkercncf  44434
  Copyright terms: Public domain W3C validator