Theorem dirkercncflem3 46228

Description: The Dirichlet Kernel is continuous at 𝑌 points that are multiples of (2 · π). (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
dirkercncflem3.d	⊢ 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))))
dirkercncflem3.a	⊢ 𝐴 = (𝑌 − π)
dirkercncflem3.b	⊢ 𝐵 = (𝑌 + π)
dirkercncflem3.f	⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))
dirkercncflem3.g	⊢ 𝐺 = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))
dirkercncflem3.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
dirkercncflem3.yr	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
dirkercncflem3.yod	⊢ (𝜑 → (𝑌 mod (2 · π)) = 0)

Assertion

Ref	Expression
dirkercncflem3	⊢ (𝜑 → ((𝐷‘𝑁)‘𝑌) ∈ ((𝐷‘𝑁) limℂ 𝑌))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝐵   𝑦,𝐷   𝑦,𝑁   𝑦,𝑌   𝑦,𝑛   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑛)   𝐷(𝑛)   𝐹(𝑦,𝑛)   𝐺(𝑦,𝑛)   𝑁(𝑛)   𝑌(𝑛)

Proof of Theorem dirkercncflem3

Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dirkercncflem3.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))))
2		oveq2 7360	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))
3	2	fveq2d 6832	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)) = (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))
4	3	cbvmptv 5197	. . 3 ⊢ (𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))) = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))
5		fvoveq1 7375	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (sin‘(𝑤 / 2)) = (sin‘(𝑦 / 2)))
6	5	oveq2d 7368	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2))) = ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))
7	6	cbvmptv 5197	. . 3 ⊢ (𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑤 / 2)))) = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))
8		dirkercncflem3.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (𝑌 − π)
9		dirkercncflem3.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (𝑌 + π)
10		dirkercncflem3.yr	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
11		dirkercncflem3.yod	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑌 mod (2 · π)) = 0)
12	8, 9, 10, 11	dirkercncflem1 46226	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ∀𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})((sin‘(𝑦 / 2)) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝑦 / 2)) ≠ 0)))
13	12	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})((sin‘(𝑦 / 2)) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝑦 / 2)) ≠ 0))
14		r19.26 3093	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})((sin‘(𝑦 / 2)) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝑦 / 2)) ≠ 0) ↔ (∀𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})(sin‘(𝑦 / 2)) ≠ 0 ∧ ∀𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})(cos‘(𝑦 / 2)) ≠ 0))
15	13, 14	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})(sin‘(𝑦 / 2)) ≠ 0 ∧ ∀𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})(cos‘(𝑦 / 2)) ≠ 0))
16	15	simpld 494	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})(sin‘(𝑦 / 2)) ≠ 0)
17	16	r19.21bi 3225	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (sin‘(𝑦 / 2)) ≠ 0)
18	2	fveq2d 6832	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)) = (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)))
19	18	oveq2d 7368	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤))) = ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))))
20	19	cbvmptv 5197	. . 3 ⊢ (𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑤)))) = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))))
21		fvoveq1 7375	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (cos‘(𝑤 / 2)) = (cos‘(𝑦 / 2)))
22	21	oveq2d 7368	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (π · (cos‘(𝑤 / 2))) = (π · (cos‘(𝑦 / 2))))
23	22	cbvmptv 5197	. . 3 ⊢ (𝑤 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (π · (cos‘(𝑤 / 2)))) = (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ↦ (π · (cos‘(𝑦 / 2))))
24		eqid 2733	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑧))) / (π · (cos‘(𝑧 / 2))))) = (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝑁 + (1 / 2)) · (cos‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑧))) / (π · (cos‘(𝑧 / 2)))))
25		dirkercncflem3.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
26	12	simpld 494	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐴(,)𝐵))
27	15	simprd 495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})(cos‘(𝑦 / 2)) ≠ 0)
28	27	r19.21bi 3225	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (cos‘(𝑦 / 2)) ≠ 0)
29	1, 4, 7, 17, 20, 23, 24, 25, 26, 11, 28	dirkercncflem2 46227	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘𝑁)‘𝑌) ∈ (((𝐷‘𝑁) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) limℂ 𝑌))
30	1	dirkerf 46220	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐷‘𝑁):ℝ⟶ℝ)
31	25, 30	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑁):ℝ⟶ℝ)
32		ax-resscn 11070	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
33	32	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
34	31, 33	fssd 6673	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑁):ℝ⟶ℂ)
35		ioossre 13309	. . . . 5 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
36	35	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
37	36	ssdifssd 4096	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ⊆ ℝ)
38		eqid 2733	. . 3 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
39		eqid 2733	. . 3 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (ℝ ∪ {𝑌})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (ℝ ∪ {𝑌}))
40		iooretop 24681	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))
41		retop 24677	. . . . . . . 8 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
42		uniretop 24678	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
43	42	isopn3 22982	. . . . . . . 8 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ) → ((𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)𝐵)) = (𝐴(,)𝐵)))
44	41, 36, 43	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)𝐵)) = (𝐴(,)𝐵)))
45	40, 44	mpbii 233	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))
46	26, 45	eleqtrrd 2836	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)𝐵)))
47		tgioo4 24721	. . . . . . . 8 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
48	47	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
49	48	fveq2d 6832	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (int‘(topGen‘ran (,))) = (int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)))
50	49	fveq1d 6830	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)𝐵)) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))‘(𝐴(,)𝐵)))
51	46, 50	eleqtrd 2835	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))‘(𝐴(,)𝐵)))
52	10	snssd 4760	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝑌} ⊆ ℝ)
53		ssequn2 4138	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑌} ⊆ ℝ ↔ (ℝ ∪ {𝑌}) = ℝ)
54	52, 53	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℝ ∪ {𝑌}) = ℝ)
55	54	oveq2d 7368	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (ℝ ∪ {𝑌})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
56	55	fveq2d 6832	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (ℝ ∪ {𝑌}))) = (int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)))
57		uncom 4107	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌}) = ({𝑌} ∪ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}))
58	26	snssd 4760	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝑌} ⊆ (𝐴(,)𝐵))
59		undif 4431	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑌} ⊆ (𝐴(,)𝐵) ↔ ({𝑌} ∪ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) = (𝐴(,)𝐵))
60	58, 59	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ({𝑌} ∪ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) = (𝐴(,)𝐵))
61	57, 60	eqtrid 2780	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌}) = (𝐴(,)𝐵))
62	56, 61	fveq12d 6835	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (ℝ ∪ {𝑌})))‘(((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌})) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))‘(𝐴(,)𝐵)))
63	51, 62	eleqtrrd 2836	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (ℝ ∪ {𝑌})))‘(((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) ∪ {𝑌})))
64	34, 37, 33, 38, 39, 63	limcres 25815	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐷‘𝑁) ↾ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) limℂ 𝑌) = ((𝐷‘𝑁) limℂ 𝑌))
65	29, 64	eleqtrd 2835	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘𝑁)‘𝑌) ∈ ((𝐷‘𝑁) limℂ 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  ∀wral 3048   ∖ cdif 3895   ∪ cun 3896   ⊆ wss 3898  ifcif 4474  {csn 4575   ↦ cmpt 5174  ran crn 5620   ↾ cres 5621  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352  ℂcc 11011  ℝcr 11012  0cc0 11013  1c1 11014   + caddc 11016   · cmul 11018   − cmin 11351   / cdiv 11781  ℕcn 12132  2c2 12187  (,)cioo 13247   mod cmo 13775  sincsin 15972  cosccos 15973  πcpi 15975   ↾_t crest 17326  TopOpenctopn 17327  topGenctg 17343  ℂ_fldccnfld 21293  Topctop 22809  intcnt 22933   lim_ℂ climc 25791

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-inf2 9538  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090  ax-pre-sup 11091  ax-addf 11092

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-tp 4580  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-of 7616  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-supp 8097  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-2o 8392  df-er 8628  df-map 8758  df-pm 8759  df-ixp 8828  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-fsupp 9253  df-fi 9302  df-sup 9333  df-inf 9334  df-oi 9403  df-card 9839  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-div 11782  df-nn 12133  df-2 12195  df-3 12196  df-4 12197  df-5 12198  df-6 12199  df-7 12200  df-8 12201  df-9 12202  df-n0 12389  df-z 12476  df-dec 12595  df-uz 12739  df-q 12849  df-rp 12893  df-xneg 13013  df-xadd 13014  df-xmul 13015  df-ioo 13251  df-ioc 13252  df-ico 13253  df-icc 13254  df-fz 13410  df-fzo 13557  df-fl 13698  df-mod 13776  df-seq 13911  df-exp 13971  df-fac 14183  df-bc 14212  df-hash 14240  df-shft 14976  df-cj 15008  df-re 15009  df-im 15010  df-sqrt 15144  df-abs 15145  df-limsup 15380  df-clim 15397  df-rlim 15398  df-sum 15596  df-ef 15976  df-sin 15978  df-cos 15979  df-pi 15981  df-struct 17060  df-sets 17077  df-slot 17095  df-ndx 17107  df-base 17123  df-ress 17144  df-plusg 17176  df-mulr 17177  df-starv 17178  df-sca 17179  df-vsca 17180  df-ip 17181  df-tset 17182  df-ple 17183  df-ds 17185  df-unif 17186  df-hom 17187  df-cco 17188  df-rest 17328  df-topn 17329  df-0g 17347  df-gsum 17348  df-topgen 17349  df-pt 17350  df-prds 17353  df-xrs 17408  df-qtop 17413  df-imas 17414  df-xps 17416  df-mre 17490  df-mrc 17491  df-acs 17493  df-mgm 18550  df-sgrp 18629  df-mnd 18645  df-submnd 18694  df-mulg 18983  df-cntz 19231  df-cmn 19696  df-psmet 21285  df-xmet 21286  df-met 21287  df-bl 21288  df-mopn 21289  df-fbas 21290  df-fg 21291  df-cnfld 21294  df-top 22810  df-topon 22827  df-topsp 22849  df-bases 22862  df-cld 22935  df-ntr 22936  df-cls 22937  df-nei 23014  df-lp 23052  df-perf 23053  df-cn 23143  df-cnp 23144  df-t1 23230  df-haus 23231  df-cmp 23303  df-tx 23478  df-hmeo 23671  df-fil 23762  df-fm 23854  df-flim 23855  df-flf 23856  df-xms 24236  df-ms 24237  df-tms 24238  df-cncf 24799  df-limc 25795  df-dv 25796

This theorem is referenced by:  dirkercncf  46230