MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumsplit1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumsplit1 15778
Description: Separate out a term in a finite sum. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumsplit1.kph 𝑘𝜑
fsumsplit1.kd 𝑘𝐷
fsumsplit1.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fsumsplit1.b ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
fsumsplit1.c (𝜑𝐶𝐴)
fsumsplit1.bd (𝑘 = 𝐶𝐵 = 𝐷)
Assertion
Ref Expression
fsumsplit1 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 = (𝐷 + Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶})𝐵))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐶,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐷(𝑘)

Proof of Theorem fsumsplit1
StepHypRef Expression
1 uncom 4168 . . . . 5 ((𝐴 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶}) = ({𝐶} ∪ (𝐴 ∖ {𝐶}))
21a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶}) = ({𝐶} ∪ (𝐴 ∖ {𝐶})))
3 fsumsplit1.c . . . . . 6 (𝜑𝐶𝐴)
43snssd 4814 . . . . 5 (𝜑 → {𝐶} ⊆ 𝐴)
5 undif 4488 . . . . 5 ({𝐶} ⊆ 𝐴 ↔ ({𝐶} ∪ (𝐴 ∖ {𝐶})) = 𝐴)
64, 5sylib 218 . . . 4 (𝜑 → ({𝐶} ∪ (𝐴 ∖ {𝐶})) = 𝐴)
7 eqidd 2736 . . . 4 (𝜑𝐴 = 𝐴)
82, 6, 73eqtrrd 2780 . . 3 (𝜑𝐴 = ((𝐴 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶}))
98sumeq1d 15733 . 2 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 = Σ𝑘 ∈ ((𝐴 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶})𝐵)
10 fsumsplit1.kph . . 3 𝑘𝜑
11 fsumsplit1.kd . . 3 𝑘𝐷
12 fsumsplit1.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
13 diffi 9214 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∖ {𝐶}) ∈ Fin)
1412, 13syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ∖ {𝐶}) ∈ Fin)
15 neldifsnd 4798 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶}))
16 simpl 482 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶})) → 𝜑)
17 eldifi 4141 . . . . 5 (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶}) → 𝑘𝐴)
1817adantl 481 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶})) → 𝑘𝐴)
19 fsumsplit1.b . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
2016, 18, 19syl2anc 584 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶})) → 𝐵 ∈ ℂ)
21 fsumsplit1.bd . . 3 (𝑘 = 𝐶𝐵 = 𝐷)
2211a1i 11 . . . . . 6 (𝜑𝑘𝐷)
23 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 = 𝐶) → 𝑘 = 𝐶)
2423, 21syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 = 𝐶) → 𝐵 = 𝐷)
2510, 22, 3, 24csbiedf 3939 . . . . 5 (𝜑𝐶 / 𝑘𝐵 = 𝐷)
2625eqcomd 2741 . . . 4 (𝜑𝐷 = 𝐶 / 𝑘𝐵)
273ancli 548 . . . . 5 (𝜑 → (𝜑𝐶𝐴))
28 nfcv 2903 . . . . . 6 𝑘𝐶
29 nfv 1912 . . . . . . . 8 𝑘 𝐶𝐴
3010, 29nfan 1897 . . . . . . 7 𝑘(𝜑𝐶𝐴)
3128nfcsb1 3932 . . . . . . . 8 𝑘𝐶 / 𝑘𝐵
32 nfcv 2903 . . . . . . . 8 𝑘
3331, 32nfel 2918 . . . . . . 7 𝑘𝐶 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ
3430, 33nfim 1894 . . . . . 6 𝑘((𝜑𝐶𝐴) → 𝐶 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
35 eleq1 2827 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝐶 → (𝑘𝐴𝐶𝐴))
3635anbi2d 630 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝐶 → ((𝜑𝑘𝐴) ↔ (𝜑𝐶𝐴)))
37 csbeq1a 3922 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝐶𝐵 = 𝐶 / 𝑘𝐵)
3837eleq1d 2824 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝐶 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ 𝐶 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ))
3936, 38imbi12d 344 . . . . . 6 (𝑘 = 𝐶 → (((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑𝐶𝐴) → 𝐶 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)))
4028, 34, 39, 19vtoclgf 3569 . . . . 5 (𝐶𝐴 → ((𝜑𝐶𝐴) → 𝐶 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ))
413, 27, 40sylc 65 . . . 4 (𝜑𝐶 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
4226, 41eqeltrd 2839 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
4310, 11, 14, 3, 15, 20, 21, 42fsumsplitsn 15777 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝐴 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶})𝐵 = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶})𝐵 + 𝐷))
4410, 14, 20fsumclf 15771 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶})𝐵 ∈ ℂ)
4544, 42addcomd 11461 . 2 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶})𝐵 + 𝐷) = (𝐷 + Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶})𝐵))
469, 43, 453eqtrd 2779 1 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 = (𝐷 + Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶})𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wnf 1780  wcel 2106  wnfc 2888  csb 3908  cdif 3960  cun 3961  wss 3963  {csn 4631  (class class class)co 7431  Fincfn 8984  cc 11151   + caddc 11156  Σcsu 15719
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-sum 15720
This theorem is referenced by:  sticksstones22  42150  unitscyglem4  42180  dvnmul  45899  etransclem35  46225  etransclem44  46234
  Copyright terms: Public domain W3C validator