Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fsumsplit1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumsplit1 41853
Description: Separate out a term in a finite sum. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumsplit1.kph 𝑘𝜑
fsumsplit1.kd 𝑘𝐷
fsumsplit1.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fsumsplit1.b ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
fsumsplit1.c (𝜑𝐶𝐴)
fsumsplit1.bd (𝑘 = 𝐶𝐵 = 𝐷)
Assertion
Ref Expression
fsumsplit1 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 = (𝐷 + Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶})𝐵))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐶,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐷(𝑘)

Proof of Theorem fsumsplit1
StepHypRef Expression
1 uncom 4128 . . . . 5 ((𝐴 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶}) = ({𝐶} ∪ (𝐴 ∖ {𝐶}))
21a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶}) = ({𝐶} ∪ (𝐴 ∖ {𝐶})))
3 fsumsplit1.c . . . . . 6 (𝜑𝐶𝐴)
43snssd 4741 . . . . 5 (𝜑 → {𝐶} ⊆ 𝐴)
5 undif 4429 . . . . 5 ({𝐶} ⊆ 𝐴 ↔ ({𝐶} ∪ (𝐴 ∖ {𝐶})) = 𝐴)
64, 5sylib 220 . . . 4 (𝜑 → ({𝐶} ∪ (𝐴 ∖ {𝐶})) = 𝐴)
7 eqidd 2822 . . . 4 (𝜑𝐴 = 𝐴)
82, 6, 73eqtrrd 2861 . . 3 (𝜑𝐴 = ((𝐴 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶}))
98sumeq1d 15057 . 2 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 = Σ𝑘 ∈ ((𝐴 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶})𝐵)
10 fsumsplit1.kph . . 3 𝑘𝜑
11 fsumsplit1.kd . . 3 𝑘𝐷
12 fsumsplit1.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
13 diffi 8749 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∖ {𝐶}) ∈ Fin)
1412, 13syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ∖ {𝐶}) ∈ Fin)
15 neldifsnd 4725 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶}))
16 simpl 485 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶})) → 𝜑)
17 eldifi 4102 . . . . 5 (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶}) → 𝑘𝐴)
1817adantl 484 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶})) → 𝑘𝐴)
19 fsumsplit1.b . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
2016, 18, 19syl2anc 586 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶})) → 𝐵 ∈ ℂ)
21 fsumsplit1.bd . . 3 (𝑘 = 𝐶𝐵 = 𝐷)
2211a1i 11 . . . . . 6 (𝜑𝑘𝐷)
23 simpr 487 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 = 𝐶) → 𝑘 = 𝐶)
2423, 21syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 = 𝐶) → 𝐵 = 𝐷)
2510, 22, 3, 24csbiedf 3912 . . . . 5 (𝜑𝐶 / 𝑘𝐵 = 𝐷)
2625eqcomd 2827 . . . 4 (𝜑𝐷 = 𝐶 / 𝑘𝐵)
273ancli 551 . . . . 5 (𝜑 → (𝜑𝐶𝐴))
28 nfcv 2977 . . . . . 6 𝑘𝐶
29 nfv 1911 . . . . . . . 8 𝑘 𝐶𝐴
3010, 29nfan 1896 . . . . . . 7 𝑘(𝜑𝐶𝐴)
3128nfcsb1 3905 . . . . . . . 8 𝑘𝐶 / 𝑘𝐵
32 nfcv 2977 . . . . . . . 8 𝑘
3331, 32nfel 2992 . . . . . . 7 𝑘𝐶 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ
3430, 33nfim 1893 . . . . . 6 𝑘((𝜑𝐶𝐴) → 𝐶 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
35 eleq1 2900 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝐶 → (𝑘𝐴𝐶𝐴))
3635anbi2d 630 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝐶 → ((𝜑𝑘𝐴) ↔ (𝜑𝐶𝐴)))
37 csbeq1a 3896 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝐶𝐵 = 𝐶 / 𝑘𝐵)
3837eleq1d 2897 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝐶 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ 𝐶 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ))
3936, 38imbi12d 347 . . . . . 6 (𝑘 = 𝐶 → (((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑𝐶𝐴) → 𝐶 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)))
4028, 34, 39, 19vtoclgf 3565 . . . . 5 (𝐶𝐴 → ((𝜑𝐶𝐴) → 𝐶 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ))
413, 27, 40sylc 65 . . . 4 (𝜑𝐶 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
4226, 41eqeltrd 2913 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
4310, 11, 14, 3, 15, 20, 21, 42fsumsplitsn 15099 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝐴 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶})𝐵 = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶})𝐵 + 𝐷))
4410, 14, 20fsumclf 41850 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶})𝐵 ∈ ℂ)
4544, 42addcomd 10841 . 2 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶})𝐵 + 𝐷) = (𝐷 + Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶})𝐵))
469, 43, 453eqtrd 2860 1 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 = (𝐷 + Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶})𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398   = wceq 1533  wnf 1780  wcel 2110  wnfc 2961  csb 3882  cdif 3932  cun 3933  wss 3935  {csn 4566  (class class class)co 7155  Fincfn 8508  cc 10534   + caddc 10539  Σcsu 15041
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-inf2 9103  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613  ax-pre-sup 10614
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-int 4876  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-isom 6363  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-1o 8101  df-oadd 8105  df-er 8288  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-fin 8512  df-sup 8905  df-oi 8973  df-card 9367  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-nn 11638  df-2 11699  df-3 11700  df-n0 11897  df-z 11981  df-uz 12243  df-rp 12389  df-fz 12892  df-fzo 13033  df-seq 13369  df-exp 13429  df-hash 13690  df-cj 14457  df-re 14458  df-im 14459  df-sqrt 14593  df-abs 14594  df-clim 14844  df-sum 15042
This theorem is referenced by:  dvnmul  42228  etransclem35  42555  etransclem44  42564
  Copyright terms: Public domain W3C validator