Theorem fsumsplit1 15911

Description: Separate out a term in a finite sum. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumsplit1.kph	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
fsumsplit1.kd	⊢ Ⅎ𝑘𝐷
fsumsplit1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsumsplit1.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
fsumsplit1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐴)
fsumsplit1.bd	⊢ (𝑘 = 𝐶 → 𝐵 = 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
fsumsplit1	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = (𝐷 + Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶})𝐵))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐶,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐷(𝑘)

Proof of Theorem fsumsplit1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uncom 4157	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶}) = ({𝐶} ∪ (𝐴 ∖ {𝐶}))
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶}) = ({𝐶} ∪ (𝐴 ∖ {𝐶})))
3		fsumsplit1.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐴)
4	3	snssd 4746	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝐶} ⊆ 𝐴)
5		undif 4437	. . . . 5 ⊢ ({𝐶} ⊆ 𝐴 ↔ ({𝐶} ∪ (𝐴 ∖ {𝐶})) = 𝐴)
6	4, 5	sylib 221	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({𝐶} ∪ (𝐴 ∖ {𝐶})) = 𝐴)
7		eqidd 2761	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐴)
8	2, 6, 7	3eqtrrd 2800	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((𝐴 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶}))
9	8	sumeq1d 15867	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑘 ∈ ((𝐴 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶})𝐵)
10		fsumsplit1.kph	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
11		fsumsplit1.kd	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝐷
12		fsumsplit1.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
13		diffi 9190	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∖ {𝐶}) ∈ Fin)
14	12, 13	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ {𝐶}) ∈ Fin)
15		neldifsnd 4755	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶}))
16		simpl 488	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶})) → 𝜑)
17		eldifi 4067	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶}) → 𝑘 ∈ 𝐴)
18	17	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶})) → 𝑘 ∈ 𝐴)
19		fsumsplit1.b	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
20	16, 18, 19	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶})) → 𝐵 ∈ ℂ)
21		fsumsplit1.bd	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝐶 → 𝐵 = 𝐷)
22	11	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑘𝐷)
23		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐶) → 𝑘 = 𝐶)
24	23, 21	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐶) → 𝐵 = 𝐷)
25	10, 22, 3, 24	csbiedf 3876	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⦋𝐶 / 𝑘⦌𝐵 = 𝐷)
26	25	eqcomd 2766	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = ⦋𝐶 / 𝑘⦌𝐵)
27	3	ancli 558	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴))
28		nfcv 2922	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝐶
29		nfv 1946	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘 𝐶 ∈ 𝐴
30	10, 29	nfan 1931	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴)
31	28	nfcsb1 3869	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝐶 / 𝑘⦌𝐵
32		nfcv 2922	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘ℂ
33	31, 32	nfel 2936	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝐶 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ
34	30, 33	nfim 1928	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ⦋𝐶 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
35		eleq1 2848	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝐶 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↔ 𝐶 ∈ 𝐴))
36	35	anbi2d 642	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝐶 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴)))
37		csbeq1a 3860	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝐶 → 𝐵 = ⦋𝐶 / 𝑘⦌𝐵)
38	37	eleq1d 2845	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝐶 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ ⦋𝐶 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ))
39	36, 38	imbi12d 347	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝐶 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ⦋𝐶 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)))
40	28, 34, 39, 19	vtoclgf 3529	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐴 → ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ⦋𝐶 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ))
41	3, 27, 40	sylc 66	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⦋𝐶 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
42	26, 41	eqeltrd 2860	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
43	10, 11, 14, 3, 15, 20, 21, 42	fsumsplitsn 15910	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝐴 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶})𝐵 = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶})𝐵 + 𝐷))
44	10, 14, 20	fsumclf 15904	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶})𝐵 ∈ ℂ)
45	44, 42	addcomd 11512	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶})𝐵 + 𝐷) = (𝐷 + Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶})𝐵))
46	9, 43, 45	3eqtrd 2799	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = (𝐷 + Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶})𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569  Ⅎwnf 1815   ∈ wcel 2144  Ⅎwnfc 2907  ⦋csb 3846   ⊆ wss 3895   ∖ cdif 4045   ∪ cun 4149  {csn 4583  (class class class)co 7420  Fincfn 8973  ℂcc 11198   + caddc 11203  Σcsu 15853

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9642  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-sup 9434  df-oi 9504  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-rp 13121  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-seq 14145  df-exp 14205  df-hash 14475  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-clim 15655  df-sum 15854

This theorem is used by:  sticksstones22  43219  unitscyglem4  43249  dvnmul  46953  etransclem35  47279  etransclem44  47288