Theorem fsumsplit1 15457

Description: Separate out a term in a finite sum. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumsplit1.kph	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
fsumsplit1.kd	⊢ Ⅎ𝑘𝐷
fsumsplit1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsumsplit1.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
fsumsplit1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐴)
fsumsplit1.bd	⊢ (𝑘 = 𝐶 → 𝐵 = 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
fsumsplit1	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = (𝐷 + Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶})𝐵))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐶,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐷(𝑘)

Proof of Theorem fsumsplit1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uncom 4087	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶}) = ({𝐶} ∪ (𝐴 ∖ {𝐶}))
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶}) = ({𝐶} ∪ (𝐴 ∖ {𝐶})))
3		fsumsplit1.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐴)
4	3	snssd 4742	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝐶} ⊆ 𝐴)
5		undif 4415	. . . . 5 ⊢ ({𝐶} ⊆ 𝐴 ↔ ({𝐶} ∪ (𝐴 ∖ {𝐶})) = 𝐴)
6	4, 5	sylib 217	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({𝐶} ∪ (𝐴 ∖ {𝐶})) = 𝐴)
7		eqidd 2739	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐴)
8	2, 6, 7	3eqtrrd 2783	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((𝐴 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶}))
9	8	sumeq1d 15413	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑘 ∈ ((𝐴 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶})𝐵)
10		fsumsplit1.kph	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
11		fsumsplit1.kd	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝐷
12		fsumsplit1.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
13		diffi 8962	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∖ {𝐶}) ∈ Fin)
14	12, 13	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ {𝐶}) ∈ Fin)
15		neldifsnd 4726	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶}))
16		simpl 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶})) → 𝜑)
17		eldifi 4061	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶}) → 𝑘 ∈ 𝐴)
18	17	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶})) → 𝑘 ∈ 𝐴)
19		fsumsplit1.b	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
20	16, 18, 19	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶})) → 𝐵 ∈ ℂ)
21		fsumsplit1.bd	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝐶 → 𝐵 = 𝐷)
22	11	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑘𝐷)
23		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐶) → 𝑘 = 𝐶)
24	23, 21	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐶) → 𝐵 = 𝐷)
25	10, 22, 3, 24	csbiedf 3863	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⦋𝐶 / 𝑘⦌𝐵 = 𝐷)
26	25	eqcomd 2744	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = ⦋𝐶 / 𝑘⦌𝐵)
27	3	ancli 549	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴))
28		nfcv 2907	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝐶
29		nfv 1917	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘 𝐶 ∈ 𝐴
30	10, 29	nfan 1902	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴)
31	28	nfcsb1 3856	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝐶 / 𝑘⦌𝐵
32		nfcv 2907	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘ℂ
33	31, 32	nfel 2921	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝐶 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ
34	30, 33	nfim 1899	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ⦋𝐶 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
35		eleq1 2826	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝐶 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↔ 𝐶 ∈ 𝐴))
36	35	anbi2d 629	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝐶 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴)))
37		csbeq1a 3846	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝐶 → 𝐵 = ⦋𝐶 / 𝑘⦌𝐵)
38	37	eleq1d 2823	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝐶 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ ⦋𝐶 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ))
39	36, 38	imbi12d 345	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝐶 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ⦋𝐶 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)))
40	28, 34, 39, 19	vtoclgf 3503	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐴 → ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ⦋𝐶 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ))
41	3, 27, 40	sylc 65	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⦋𝐶 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
42	26, 41	eqeltrd 2839	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
43	10, 11, 14, 3, 15, 20, 21, 42	fsumsplitsn 15456	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝐴 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶})𝐵 = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶})𝐵 + 𝐷))
44	10, 14, 20	fsumclf 15450	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶})𝐵 ∈ ℂ)
45	44, 42	addcomd 11177	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶})𝐵 + 𝐷) = (𝐷 + Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶})𝐵))
46	9, 43, 45	3eqtrd 2782	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = (𝐷 + Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶})𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539  Ⅎwnf 1786   ∈ wcel 2106  Ⅎwnfc 2887  ⦋csb 3832   ∖ cdif 3884   ∪ cun 3885   ⊆ wss 3887  {csn 4561  (class class class)co 7275  Fincfn 8733  ℂcc 10869   + caddc 10874  Σcsu 15397

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-clim 15197  df-sum 15398

This theorem is referenced by:  sticksstones22  40124  dvnmul  43484  etransclem35  43810  etransclem44  43819