Theorem fsumsplit1 15721

Description: Separate out a term in a finite sum. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumsplit1.kph	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
fsumsplit1.kd	⊢ Ⅎ𝑘𝐷
fsumsplit1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsumsplit1.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
fsumsplit1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐴)
fsumsplit1.bd	⊢ (𝑘 = 𝐶 → 𝐵 = 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
fsumsplit1	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = (𝐷 + Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶})𝐵))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐶,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐷(𝑘)

Proof of Theorem fsumsplit1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uncom 4146	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶}) = ({𝐶} ∪ (𝐴 ∖ {𝐶}))
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶}) = ({𝐶} ∪ (𝐴 ∖ {𝐶})))
3		fsumsplit1.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐴)
4	3	snssd 4808	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝐶} ⊆ 𝐴)
5		undif 4477	. . . . 5 ⊢ ({𝐶} ⊆ 𝐴 ↔ ({𝐶} ∪ (𝐴 ∖ {𝐶})) = 𝐴)
6	4, 5	sylib 217	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({𝐶} ∪ (𝐴 ∖ {𝐶})) = 𝐴)
7		eqidd 2726	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐴)
8	2, 6, 7	3eqtrrd 2770	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((𝐴 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶}))
9	8	sumeq1d 15677	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑘 ∈ ((𝐴 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶})𝐵)
10		fsumsplit1.kph	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
11		fsumsplit1.kd	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝐷
12		fsumsplit1.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
13		diffi 9200	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∖ {𝐶}) ∈ Fin)
14	12, 13	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ {𝐶}) ∈ Fin)
15		neldifsnd 4792	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶}))
16		simpl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶})) → 𝜑)
17		eldifi 4119	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶}) → 𝑘 ∈ 𝐴)
18	17	adantl 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶})) → 𝑘 ∈ 𝐴)
19		fsumsplit1.b	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
20	16, 18, 19	syl2anc 582	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶})) → 𝐵 ∈ ℂ)
21		fsumsplit1.bd	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝐶 → 𝐵 = 𝐷)
22	11	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑘𝐷)
23		simpr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐶) → 𝑘 = 𝐶)
24	23, 21	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐶) → 𝐵 = 𝐷)
25	10, 22, 3, 24	csbiedf 3916	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⦋𝐶 / 𝑘⦌𝐵 = 𝐷)
26	25	eqcomd 2731	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = ⦋𝐶 / 𝑘⦌𝐵)
27	3	ancli 547	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴))
28		nfcv 2892	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝐶
29		nfv 1909	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘 𝐶 ∈ 𝐴
30	10, 29	nfan 1894	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴)
31	28	nfcsb1 3909	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝐶 / 𝑘⦌𝐵
32		nfcv 2892	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘ℂ
33	31, 32	nfel 2907	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝐶 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ
34	30, 33	nfim 1891	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ⦋𝐶 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
35		eleq1 2813	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝐶 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↔ 𝐶 ∈ 𝐴))
36	35	anbi2d 628	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝐶 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴)))
37		csbeq1a 3899	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝐶 → 𝐵 = ⦋𝐶 / 𝑘⦌𝐵)
38	37	eleq1d 2810	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝐶 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ ⦋𝐶 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ))
39	36, 38	imbi12d 343	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝐶 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ⦋𝐶 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)))
40	28, 34, 39, 19	vtoclgf 3548	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐴 → ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ⦋𝐶 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ))
41	3, 27, 40	sylc 65	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⦋𝐶 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
42	26, 41	eqeltrd 2825	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
43	10, 11, 14, 3, 15, 20, 21, 42	fsumsplitsn 15720	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝐴 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶})𝐵 = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶})𝐵 + 𝐷))
44	10, 14, 20	fsumclf 15714	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶})𝐵 ∈ ℂ)
45	44, 42	addcomd 11444	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶})𝐵 + 𝐷) = (𝐷 + Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶})𝐵))
46	9, 43, 45	3eqtrd 2769	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = (𝐷 + Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶})𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533  Ⅎwnf 1777   ∈ wcel 2098  Ⅎwnfc 2875  ⦋csb 3885   ∖ cdif 3937   ∪ cun 3938   ⊆ wss 3940  {csn 4624  (class class class)co 7415  Fincfn 8960  ℂcc 11134   + caddc 11139  Σcsu 15662

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-inf2 9662  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-sup 9463  df-oi 9531  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-rp 13005  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-seq 13997  df-exp 14057  df-hash 14320  df-cj 15076  df-re 15077  df-im 15078  df-sqrt 15212  df-abs 15213  df-clim 15462  df-sum 15663

This theorem is referenced by:  sticksstones22  41695  dvnmul  45393  etransclem35  45719  etransclem44  45728