Theorem fsumsplit1 15697

Description: Separate out a term in a finite sum. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumsplit1.kph	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
fsumsplit1.kd	⊢ Ⅎ𝑘𝐷
fsumsplit1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsumsplit1.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
fsumsplit1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐴)
fsumsplit1.bd	⊢ (𝑘 = 𝐶 → 𝐵 = 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
fsumsplit1	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = (𝐷 + Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶})𝐵))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐶,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐷(𝑘)

Proof of Theorem fsumsplit1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uncom 4148	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶}) = ({𝐶} ∪ (𝐴 ∖ {𝐶}))
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶}) = ({𝐶} ∪ (𝐴 ∖ {𝐶})))
3		fsumsplit1.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐴)
4	3	snssd 4807	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝐶} ⊆ 𝐴)
5		undif 4476	. . . . 5 ⊢ ({𝐶} ⊆ 𝐴 ↔ ({𝐶} ∪ (𝐴 ∖ {𝐶})) = 𝐴)
6	4, 5	sylib 217	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({𝐶} ∪ (𝐴 ∖ {𝐶})) = 𝐴)
7		eqidd 2727	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐴)
8	2, 6, 7	3eqtrrd 2771	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((𝐴 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶}))
9	8	sumeq1d 15653	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑘 ∈ ((𝐴 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶})𝐵)
10		fsumsplit1.kph	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
11		fsumsplit1.kd	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝐷
12		fsumsplit1.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
13		diffi 9181	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∖ {𝐶}) ∈ Fin)
14	12, 13	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ {𝐶}) ∈ Fin)
15		neldifsnd 4791	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶}))
16		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶})) → 𝜑)
17		eldifi 4121	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶}) → 𝑘 ∈ 𝐴)
18	17	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶})) → 𝑘 ∈ 𝐴)
19		fsumsplit1.b	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
20	16, 18, 19	syl2anc 583	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶})) → 𝐵 ∈ ℂ)
21		fsumsplit1.bd	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝐶 → 𝐵 = 𝐷)
22	11	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑘𝐷)
23		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐶) → 𝑘 = 𝐶)
24	23, 21	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐶) → 𝐵 = 𝐷)
25	10, 22, 3, 24	csbiedf 3919	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⦋𝐶 / 𝑘⦌𝐵 = 𝐷)
26	25	eqcomd 2732	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = ⦋𝐶 / 𝑘⦌𝐵)
27	3	ancli 548	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴))
28		nfcv 2897	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝐶
29		nfv 1909	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘 𝐶 ∈ 𝐴
30	10, 29	nfan 1894	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴)
31	28	nfcsb1 3912	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝐶 / 𝑘⦌𝐵
32		nfcv 2897	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘ℂ
33	31, 32	nfel 2911	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝐶 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ
34	30, 33	nfim 1891	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ⦋𝐶 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
35		eleq1 2815	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝐶 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↔ 𝐶 ∈ 𝐴))
36	35	anbi2d 628	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝐶 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴)))
37		csbeq1a 3902	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝐶 → 𝐵 = ⦋𝐶 / 𝑘⦌𝐵)
38	37	eleq1d 2812	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝐶 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ ⦋𝐶 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ))
39	36, 38	imbi12d 344	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝐶 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ⦋𝐶 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)))
40	28, 34, 39, 19	vtoclgf 3552	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐴 → ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ⦋𝐶 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ))
41	3, 27, 40	sylc 65	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⦋𝐶 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
42	26, 41	eqeltrd 2827	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
43	10, 11, 14, 3, 15, 20, 21, 42	fsumsplitsn 15696	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝐴 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶})𝐵 = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶})𝐵 + 𝐷))
44	10, 14, 20	fsumclf 15690	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶})𝐵 ∈ ℂ)
45	44, 42	addcomd 11420	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶})𝐵 + 𝐷) = (𝐷 + Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶})𝐵))
46	9, 43, 45	3eqtrd 2770	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = (𝐷 + Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶})𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533  Ⅎwnf 1777   ∈ wcel 2098  Ⅎwnfc 2877  ⦋csb 3888   ∖ cdif 3940   ∪ cun 3941   ⊆ wss 3943  {csn 4623  (class class class)co 7405  Fincfn 8941  ℂcc 11110   + caddc 11115  Σcsu 15638

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-sum 15639

This theorem is referenced by:  sticksstones22  41546  dvnmul  45236  etransclem35  45562  etransclem44  45571