Theorem fsumsplit1 15687

Description: Separate out a term in a finite sum. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumsplit1.kph	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
fsumsplit1.kd	⊢ Ⅎ𝑘𝐷
fsumsplit1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsumsplit1.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
fsumsplit1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐴)
fsumsplit1.bd	⊢ (𝑘 = 𝐶 → 𝐵 = 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
fsumsplit1	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = (𝐷 + Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶})𝐵))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐶,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐷(𝑘)

Proof of Theorem fsumsplit1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uncom 4117	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶}) = ({𝐶} ∪ (𝐴 ∖ {𝐶}))
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶}) = ({𝐶} ∪ (𝐴 ∖ {𝐶})))
3		fsumsplit1.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐴)
4	3	snssd 4769	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝐶} ⊆ 𝐴)
5		undif 4441	. . . . 5 ⊢ ({𝐶} ⊆ 𝐴 ↔ ({𝐶} ∪ (𝐴 ∖ {𝐶})) = 𝐴)
6	4, 5	sylib 218	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({𝐶} ∪ (𝐴 ∖ {𝐶})) = 𝐴)
7		eqidd 2730	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐴)
8	2, 6, 7	3eqtrrd 2769	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((𝐴 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶}))
9	8	sumeq1d 15642	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = Σ𝑘 ∈ ((𝐴 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶})𝐵)
10		fsumsplit1.kph	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
11		fsumsplit1.kd	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝐷
12		fsumsplit1.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
13		diffi 9116	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∖ {𝐶}) ∈ Fin)
14	12, 13	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ {𝐶}) ∈ Fin)
15		neldifsnd 4753	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶}))
16		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶})) → 𝜑)
17		eldifi 4090	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶}) → 𝑘 ∈ 𝐴)
18	17	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶})) → 𝑘 ∈ 𝐴)
19		fsumsplit1.b	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
20	16, 18, 19	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶})) → 𝐵 ∈ ℂ)
21		fsumsplit1.bd	. . 3 ⊢ (𝑘 = 𝐶 → 𝐵 = 𝐷)
22	11	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑘𝐷)
23		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐶) → 𝑘 = 𝐶)
24	23, 21	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐶) → 𝐵 = 𝐷)
25	10, 22, 3, 24	csbiedf 3889	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⦋𝐶 / 𝑘⦌𝐵 = 𝐷)
26	25	eqcomd 2735	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = ⦋𝐶 / 𝑘⦌𝐵)
27	3	ancli 548	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴))
28		nfcv 2891	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝐶
29		nfv 1914	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘 𝐶 ∈ 𝐴
30	10, 29	nfan 1899	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴)
31	28	nfcsb1 3882	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝐶 / 𝑘⦌𝐵
32		nfcv 2891	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘ℂ
33	31, 32	nfel 2906	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝐶 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ
34	30, 33	nfim 1896	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ⦋𝐶 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
35		eleq1 2816	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝐶 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↔ 𝐶 ∈ 𝐴))
36	35	anbi2d 630	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝐶 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴)))
37		csbeq1a 3873	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝐶 → 𝐵 = ⦋𝐶 / 𝑘⦌𝐵)
38	37	eleq1d 2813	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝐶 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ ⦋𝐶 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ))
39	36, 38	imbi12d 344	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝐶 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ⦋𝐶 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)))
40	28, 34, 39, 19	vtoclgf 3532	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐴 → ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ⦋𝐶 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ))
41	3, 27, 40	sylc 65	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⦋𝐶 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
42	26, 41	eqeltrd 2828	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
43	10, 11, 14, 3, 15, 20, 21, 42	fsumsplitsn 15686	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝐴 ∖ {𝐶}) ∪ {𝐶})𝐵 = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶})𝐵 + 𝐷))
44	10, 14, 20	fsumclf 15680	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶})𝐵 ∈ ℂ)
45	44, 42	addcomd 11352	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶})𝐵 + 𝐷) = (𝐷 + Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶})𝐵))
46	9, 43, 45	3eqtrd 2768	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = (𝐷 + Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶})𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540  Ⅎwnf 1783   ∈ wcel 2109  Ⅎwnfc 2876  ⦋csb 3859   ∖ cdif 3908   ∪ cun 3909   ⊆ wss 3911  {csn 4585  (class class class)co 7369  Fincfn 8895  ℂcc 11042   + caddc 11047  Σcsu 15628

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-inf2 9570  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9369  df-oi 9439  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-rp 12928  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-seq 13943  df-exp 14003  df-hash 14272  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-clim 15430  df-sum 15629

This theorem is referenced by:  sticksstones22  42149  unitscyglem4  42179  dvnmul  45934  etransclem35  46260  etransclem44  46269