Theorem frlmsslss2 21925

Description: A subset of a free module obtained by restricting the support set is a submodule. 𝐽 is the set of permitted unit vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Feb-2015.) (Revised by AV, 23-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlmsslss.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmsslss.u	⊢ 𝑈 = (LSubSp‘𝑌)
frlmsslss.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
frlmsslss.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
frlmsslss2.c	⊢ 𝐶 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑥 supp 0 ) ⊆ 𝐽}

Assertion

Ref	Expression
frlmsslss2	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → 𝐶 ∈ 𝑈)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐼   𝑥,𝐽   𝑥,𝑅   𝑥,𝑈   𝑥, 0   𝑥,𝑉   𝑥,𝑌

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem frlmsslss2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frlmsslss2.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑥 supp 0 ) ⊆ 𝐽}
2		frlmsslss.y	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
3		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4		frlmsslss.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
5	2, 3, 4	frlmbasf 21910	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥:𝐼⟶(Base‘𝑅))
6	5	3ad2antl2 1205	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥:𝐼⟶(Base‘𝑅))
7	6	ffnd 6706	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 Fn 𝐼)
8		simpl3 1212	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐽 ⊆ 𝐼)
9		undif 4443	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ⊆ 𝐼 ↔ (𝐽 ∪ (𝐼 ∖ 𝐽)) = 𝐼)
10	8, 9	sylib 221	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐽 ∪ (𝐼 ∖ 𝐽)) = 𝐼)
11	10	fneq2d 6629	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 Fn (𝐽 ∪ (𝐼 ∖ 𝐽)) ↔ 𝑥 Fn 𝐼))
12	7, 11	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 Fn (𝐽 ∪ (𝐼 ∖ 𝐽)))
13		simpr 489	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
14		frlmsslss.z	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
15	14	fvexi 6895	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
16	15	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 0 ∈ V)
17		disjdif 4433	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∩ (𝐼 ∖ 𝐽)) = ∅
18	17	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐽 ∩ (𝐼 ∖ 𝐽)) = ∅)
19		fnsuppres 8183	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 Fn (𝐽 ∪ (𝐼 ∖ 𝐽)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ V) ∧ (𝐽 ∩ (𝐼 ∖ 𝐽)) = ∅) → ((𝑥 supp 0 ) ⊆ 𝐽 ↔ (𝑥 ↾ (𝐼 ∖ 𝐽)) = ((𝐼 ∖ 𝐽) × { 0 })))
20	12, 13, 16, 18, 19	syl121anc 1402	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑥 supp 0 ) ⊆ 𝐽 ↔ (𝑥 ↾ (𝐼 ∖ 𝐽)) = ((𝐼 ∖ 𝐽) × { 0 })))
21	20	rabbidva 3422	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑥 supp 0 ) ⊆ 𝐽} = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑥 ↾ (𝐼 ∖ 𝐽)) = ((𝐼 ∖ 𝐽) × { 0 })})
22	1, 21	eqtrid 2810	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → 𝐶 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑥 ↾ (𝐼 ∖ 𝐽)) = ((𝐼 ∖ 𝐽) × { 0 })})
23		difssd 4091	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → (𝐼 ∖ 𝐽) ⊆ 𝐼)
24		frlmsslss.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (LSubSp‘𝑌)
25		eqid 2763	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑥 ↾ (𝐼 ∖ 𝐽)) = ((𝐼 ∖ 𝐽) × { 0 })} = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑥 ↾ (𝐼 ∖ 𝐽)) = ((𝐼 ∖ 𝐽) × { 0 })}
26	2, 24, 4, 14, 25	frlmsslss 21924	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐼 ∖ 𝐽) ⊆ 𝐼) → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑥 ↾ (𝐼 ∖ 𝐽)) = ((𝐼 ∖ 𝐽) × { 0 })} ∈ 𝑈)
27	23, 26	syld3an3 1436	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑥 ↾ (𝐼 ∖ 𝐽)) = ((𝐼 ∖ 𝐽) × { 0 })} ∈ 𝑈)
28	22, 27	eqeltrd 2863	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → 𝐶 ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  {crab 3416  Vcvv 3455   ∖ cdif 3902   ∪ cun 3903   ∩ cin 3904   ⊆ wss 3905  ∅c0 4286  {csn 4589   × cxp 5659   ↾ cres 5663   Fn wfn 6531  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   supp csupp 8152  Basecbs 17264  0_gc0g 17487  Ringcrg 20310  LSubSpclss 21052   freeLMod cfrlm 21896

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-sup 9398  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-fz 13531  df-struct 17202  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-ress 17286  df-plusg 17318  df-mulr 17319  df-sca 17321  df-vsca 17322  df-ip 17323  df-tset 17324  df-ple 17325  df-ds 17327  df-hom 17329  df-cco 17330  df-0g 17489  df-prds 17495  df-pws 17497  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-mhm 18836  df-submnd 18837  df-grp 18998  df-minusg 18999  df-sbg 19000  df-subg 19184  df-ghm 19279  df-cmn 19847  df-abl 19848  df-mgp 20212  df-rng 20226  df-ur 20259  df-ring 20312  df-subrg 20669  df-lmod 20983  df-lss 21053  df-lmhm 21143  df-sra 21294  df-rgmod 21295  df-dsmm 21882  df-frlm 21897

This theorem is referenced by:  frlmssuvc1  21944  frlmsslsp  21946