MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlmsslss2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frlmsslss2 20389
Description: A subset of a free module obtained by restricting the support set is a submodule. 𝐽 is the set of permitted unit vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Feb-2015.) (Revised by AV, 23-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmsslss.y 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmsslss.u 𝑈 = (LSubSp‘𝑌)
frlmsslss.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
frlmsslss.z 0 = (0g𝑅)
frlmsslss2.c 𝐶 = {𝑥𝐵 ∣ (𝑥 supp 0 ) ⊆ 𝐽}
Assertion
Ref Expression
frlmsslss2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) → 𝐶𝑈)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐼   𝑥,𝐽   𝑥,𝑅   𝑥,𝑈   𝑥, 0   𝑥,𝑉   𝑥,𝑌
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem frlmsslss2
StepHypRef Expression
1 frlmsslss2.c . . 3 𝐶 = {𝑥𝐵 ∣ (𝑥 supp 0 ) ⊆ 𝐽}
2 frlmsslss.y . . . . . . . . 9 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
3 eqid 2764 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4 frlmsslss.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘𝑌)
52, 3, 4frlmbasf 20379 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝑥𝐵) → 𝑥:𝐼⟶(Base‘𝑅))
653ad2antl2 1237 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑥:𝐼⟶(Base‘𝑅))
76ffnd 6223 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑥 Fn 𝐼)
8 simpl3 1246 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑥𝐵) → 𝐽𝐼)
9 undif 4208 . . . . . . . 8 (𝐽𝐼 ↔ (𝐽 ∪ (𝐼𝐽)) = 𝐼)
108, 9sylib 209 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑥𝐵) → (𝐽 ∪ (𝐼𝐽)) = 𝐼)
1110fneq2d 6159 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑥 Fn (𝐽 ∪ (𝐼𝐽)) ↔ 𝑥 Fn 𝐼))
127, 11mpbird 248 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑥 Fn (𝐽 ∪ (𝐼𝐽)))
13 simpr 477 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑥𝐵)
14 frlmsslss.z . . . . . . 7 0 = (0g𝑅)
1514fvexi 6388 . . . . . 6 0 ∈ V
1615a1i 11 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑥𝐵) → 0 ∈ V)
17 disjdif 4199 . . . . . 6 (𝐽 ∩ (𝐼𝐽)) = ∅
1817a1i 11 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑥𝐵) → (𝐽 ∩ (𝐼𝐽)) = ∅)
19 fnsuppres 7524 . . . . 5 ((𝑥 Fn (𝐽 ∪ (𝐼𝐽)) ∧ (𝑥𝐵0 ∈ V) ∧ (𝐽 ∩ (𝐼𝐽)) = ∅) → ((𝑥 supp 0 ) ⊆ 𝐽 ↔ (𝑥 ↾ (𝐼𝐽)) = ((𝐼𝐽) × { 0 })))
2012, 13, 16, 18, 19syl121anc 1494 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑥𝐵) → ((𝑥 supp 0 ) ⊆ 𝐽 ↔ (𝑥 ↾ (𝐼𝐽)) = ((𝐼𝐽) × { 0 })))
2120rabbidva 3336 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) → {𝑥𝐵 ∣ (𝑥 supp 0 ) ⊆ 𝐽} = {𝑥𝐵 ∣ (𝑥 ↾ (𝐼𝐽)) = ((𝐼𝐽) × { 0 })})
221, 21syl5eq 2810 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) → 𝐶 = {𝑥𝐵 ∣ (𝑥 ↾ (𝐼𝐽)) = ((𝐼𝐽) × { 0 })})
23 difssd 3899 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) → (𝐼𝐽) ⊆ 𝐼)
24 frlmsslss.u . . . 4 𝑈 = (LSubSp‘𝑌)
25 eqid 2764 . . . 4 {𝑥𝐵 ∣ (𝑥 ↾ (𝐼𝐽)) = ((𝐼𝐽) × { 0 })} = {𝑥𝐵 ∣ (𝑥 ↾ (𝐼𝐽)) = ((𝐼𝐽) × { 0 })}
262, 24, 4, 14, 25frlmsslss 20388 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉 ∧ (𝐼𝐽) ⊆ 𝐼) → {𝑥𝐵 ∣ (𝑥 ↾ (𝐼𝐽)) = ((𝐼𝐽) × { 0 })} ∈ 𝑈)
2723, 26syld3an3 1528 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) → {𝑥𝐵 ∣ (𝑥 ↾ (𝐼𝐽)) = ((𝐼𝐽) × { 0 })} ∈ 𝑈)
2822, 27eqeltrd 2843 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) → 𝐶𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  {crab 3058  Vcvv 3349  cdif 3728  cun 3729  cin 3730  wss 3731  c0 4078  {csn 4333   × cxp 5274  cres 5278   Fn wfn 6062  wf 6063  cfv 6067  (class class class)co 6841   supp csupp 7496  Basecbs 16131  0gc0g 16367  Ringcrg 18813  LSubSpclss 19200   freeLMod cfrlm 20365
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2349  ax-ext 2742  ax-rep 4929  ax-sep 4940  ax-nul 4948  ax-pow 5000  ax-pr 5061  ax-un 7146  ax-cnex 10244  ax-resscn 10245  ax-1cn 10246  ax-icn 10247  ax-addcl 10248  ax-addrcl 10249  ax-mulcl 10250  ax-mulrcl 10251  ax-mulcom 10252  ax-addass 10253  ax-mulass 10254  ax-distr 10255  ax-i2m1 10256  ax-1ne0 10257  ax-1rid 10258  ax-rnegex 10259  ax-rrecex 10260  ax-cnre 10261  ax-pre-lttri 10262  ax-pre-lttrn 10263  ax-pre-ltadd 10264  ax-pre-mulgt0 10265
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2062  df-mo 2564  df-eu 2581  df-clab 2751  df-cleq 2757  df-clel 2760  df-nfc 2895  df-ne 2937  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3351  df-sbc 3596  df-csb 3691  df-dif 3734  df-un 3736  df-in 3738  df-ss 3745  df-pss 3747  df-nul 4079  df-if 4243  df-pw 4316  df-sn 4334  df-pr 4336  df-tp 4338  df-op 4340  df-uni 4594  df-int 4633  df-iun 4677  df-br 4809  df-opab 4871  df-mpt 4888  df-tr 4911  df-id 5184  df-eprel 5189  df-po 5197  df-so 5198  df-fr 5235  df-we 5237  df-xp 5282  df-rel 5283  df-cnv 5284  df-co 5285  df-dm 5286  df-rn 5287  df-res 5288  df-ima 5289  df-pred 5864  df-ord 5910  df-on 5911  df-lim 5912  df-suc 5913  df-iota 6030  df-fun 6069  df-fn 6070  df-f 6071  df-f1 6072  df-fo 6073  df-f1o 6074  df-fv 6075  df-riota 6802  df-ov 6844  df-oprab 6845  df-mpt2 6846  df-of 7094  df-om 7263  df-1st 7365  df-2nd 7366  df-supp 7497  df-wrecs 7609  df-recs 7671  df-rdg 7709  df-1o 7763  df-oadd 7767  df-er 7946  df-map 8061  df-ixp 8113  df-en 8160  df-dom 8161  df-sdom 8162  df-fin 8163  df-fsupp 8482  df-sup 8554  df-pnf 10329  df-mnf 10330  df-xr 10331  df-ltxr 10332  df-le 10333  df-sub 10521  df-neg 10522  df-nn 11274  df-2 11334  df-3 11335  df-4 11336  df-5 11337  df-6 11338  df-7 11339  df-8 11340  df-9 11341  df-n0 11538  df-z 11624  df-dec 11740  df-uz 11886  df-fz 12533  df-struct 16133  df-ndx 16134  df-slot 16135  df-base 16137  df-sets 16138  df-ress 16139  df-plusg 16228  df-mulr 16229  df-sca 16231  df-vsca 16232  df-ip 16233  df-tset 16234  df-ple 16235  df-ds 16237  df-hom 16239  df-cco 16240  df-0g 16369  df-prds 16375  df-pws 16377  df-mgm 17509  df-sgrp 17551  df-mnd 17562  df-mhm 17602  df-submnd 17603  df-grp 17693  df-minusg 17694  df-sbg 17695  df-subg 17856  df-ghm 17923  df-mgp 18756  df-ur 18768  df-ring 18815  df-subrg 19046  df-lmod 19133  df-lss 19201  df-lmhm 19293  df-sra 19445  df-rgmod 19446  df-dsmm 20351  df-frlm 20366
This theorem is referenced by:  frlmssuvc1  20408  frlmsslsp  20410
  Copyright terms: Public domain W3C validator