Theorem frlmsslss2 20892

Description: A subset of a free module obtained by restricting the support set is a submodule. 𝐽 is the set of permitted unit vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Feb-2015.) (Revised by AV, 23-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlmsslss.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmsslss.u	⊢ 𝑈 = (LSubSp‘𝑌)
frlmsslss.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
frlmsslss.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
frlmsslss2.c	⊢ 𝐶 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑥 supp 0 ) ⊆ 𝐽}

Assertion

Ref	Expression
frlmsslss2	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → 𝐶 ∈ 𝑈)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐼   𝑥,𝐽   𝑥,𝑅   𝑥,𝑈   𝑥, 0   𝑥,𝑉   𝑥,𝑌

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem frlmsslss2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frlmsslss2.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑥 supp 0 ) ⊆ 𝐽}
2		frlmsslss.y	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
3		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4		frlmsslss.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
5	2, 3, 4	frlmbasf 20877	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥:𝐼⟶(Base‘𝑅))
6	5	3ad2antl2 1184	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥:𝐼⟶(Base‘𝑅))
7	6	ffnd 6585	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 Fn 𝐼)
8		simpl3 1191	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐽 ⊆ 𝐼)
9		undif 4412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ⊆ 𝐼 ↔ (𝐽 ∪ (𝐼 ∖ 𝐽)) = 𝐼)
10	8, 9	sylib 217	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐽 ∪ (𝐼 ∖ 𝐽)) = 𝐼)
11	10	fneq2d 6511	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 Fn (𝐽 ∪ (𝐼 ∖ 𝐽)) ↔ 𝑥 Fn 𝐼))
12	7, 11	mpbird 256	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 Fn (𝐽 ∪ (𝐼 ∖ 𝐽)))
13		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
14		frlmsslss.z	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
15	14	fvexi 6770	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
16	15	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 0 ∈ V)
17		disjdif 4402	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∩ (𝐼 ∖ 𝐽)) = ∅
18	17	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐽 ∩ (𝐼 ∖ 𝐽)) = ∅)
19		fnsuppres 7978	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 Fn (𝐽 ∪ (𝐼 ∖ 𝐽)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ V) ∧ (𝐽 ∩ (𝐼 ∖ 𝐽)) = ∅) → ((𝑥 supp 0 ) ⊆ 𝐽 ↔ (𝑥 ↾ (𝐼 ∖ 𝐽)) = ((𝐼 ∖ 𝐽) × { 0 })))
20	12, 13, 16, 18, 19	syl121anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑥 supp 0 ) ⊆ 𝐽 ↔ (𝑥 ↾ (𝐼 ∖ 𝐽)) = ((𝐼 ∖ 𝐽) × { 0 })))
21	20	rabbidva 3402	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑥 supp 0 ) ⊆ 𝐽} = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑥 ↾ (𝐼 ∖ 𝐽)) = ((𝐼 ∖ 𝐽) × { 0 })})
22	1, 21	eqtrid 2790	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → 𝐶 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑥 ↾ (𝐼 ∖ 𝐽)) = ((𝐼 ∖ 𝐽) × { 0 })})
23		difssd 4063	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → (𝐼 ∖ 𝐽) ⊆ 𝐼)
24		frlmsslss.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (LSubSp‘𝑌)
25		eqid 2738	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑥 ↾ (𝐼 ∖ 𝐽)) = ((𝐼 ∖ 𝐽) × { 0 })} = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑥 ↾ (𝐼 ∖ 𝐽)) = ((𝐼 ∖ 𝐽) × { 0 })}
26	2, 24, 4, 14, 25	frlmsslss 20891	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐼 ∖ 𝐽) ⊆ 𝐼) → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑥 ↾ (𝐼 ∖ 𝐽)) = ((𝐼 ∖ 𝐽) × { 0 })} ∈ 𝑈)
27	23, 26	syld3an3 1407	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑥 ↾ (𝐼 ∖ 𝐽)) = ((𝐼 ∖ 𝐽) × { 0 })} ∈ 𝑈)
28	22, 27	eqeltrd 2839	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → 𝐶 ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  {crab 3067  Vcvv 3422   ∖ cdif 3880   ∪ cun 3881   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883  ∅c0 4253  {csn 4558   × cxp 5578   ↾ cres 5582   Fn wfn 6413  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   supp csupp 7948  Basecbs 16840  0_gc0g 17067  Ringcrg 19698  LSubSpclss 20108   freeLMod cfrlm 20863

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-sup 9131  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-fz 13169  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-hom 16912  df-cco 16913  df-0g 17069  df-prds 17075  df-pws 17077  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-mhm 18345  df-submnd 18346  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-subg 18667  df-ghm 18747  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-subrg 19937  df-lmod 20040  df-lss 20109  df-lmhm 20199  df-sra 20349  df-rgmod 20350  df-dsmm 20849  df-frlm 20864

This theorem is referenced by:  frlmssuvc1  20911  frlmsslsp  20913