Theorem frlmsslss2 21894

Description: A subset of a free module obtained by restricting the support set is a submodule. 𝐽 is the set of permitted unit vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Feb-2015.) (Revised by AV, 23-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlmsslss.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmsslss.u	⊢ 𝑈 = (LSubSp‘𝑌)
frlmsslss.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
frlmsslss.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
frlmsslss2.c	⊢ 𝐶 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑥 supp 0 ) ⊆ 𝐽}

Assertion

Ref	Expression
frlmsslss2	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → 𝐶 ∈ 𝑈)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐼   𝑥,𝐽   𝑥,𝑅   𝑥,𝑈   𝑥, 0   𝑥,𝑉   𝑥,𝑌

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem frlmsslss2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frlmsslss2.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑥 supp 0 ) ⊆ 𝐽}
2		frlmsslss.y	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
3		eqid 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4		frlmsslss.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
5	2, 3, 4	frlmbasf 21879	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥:𝐼⟶(Base‘𝑅))
6	5	3ad2antl2 1203	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥:𝐼⟶(Base‘𝑅))
7	6	ffnd 6707	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 Fn 𝐼)
8		simpl3 1210	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐽 ⊆ 𝐼)
9		undif 4446	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ⊆ 𝐼 ↔ (𝐽 ∪ (𝐼 ∖ 𝐽)) = 𝐼)
10	8, 9	sylib 221	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐽 ∪ (𝐼 ∖ 𝐽)) = 𝐼)
11	10	fneq2d 6630	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 Fn (𝐽 ∪ (𝐼 ∖ 𝐽)) ↔ 𝑥 Fn 𝐼))
12	7, 11	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 Fn (𝐽 ∪ (𝐼 ∖ 𝐽)))
13		simpr 489	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
14		frlmsslss.z	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
15	14	fvexi 6896	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
16	15	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 0 ∈ V)
17		disjdif 4436	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∩ (𝐼 ∖ 𝐽)) = ∅
18	17	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐽 ∩ (𝐼 ∖ 𝐽)) = ∅)
19		fnsuppres 8187	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 Fn (𝐽 ∪ (𝐼 ∖ 𝐽)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ V) ∧ (𝐽 ∩ (𝐼 ∖ 𝐽)) = ∅) → ((𝑥 supp 0 ) ⊆ 𝐽 ↔ (𝑥 ↾ (𝐼 ∖ 𝐽)) = ((𝐼 ∖ 𝐽) × { 0 })))
20	12, 13, 16, 18, 19	syl121anc 1400	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑥 supp 0 ) ⊆ 𝐽 ↔ (𝑥 ↾ (𝐼 ∖ 𝐽)) = ((𝐼 ∖ 𝐽) × { 0 })))
21	20	rabbidva 3428	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑥 supp 0 ) ⊆ 𝐽} = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑥 ↾ (𝐼 ∖ 𝐽)) = ((𝐼 ∖ 𝐽) × { 0 })})
22	1, 21	eqtrid 2816	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → 𝐶 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑥 ↾ (𝐼 ∖ 𝐽)) = ((𝐼 ∖ 𝐽) × { 0 })})
23		difssd 4097	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → (𝐼 ∖ 𝐽) ⊆ 𝐼)
24		frlmsslss.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (LSubSp‘𝑌)
25		eqid 2769	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑥 ↾ (𝐼 ∖ 𝐽)) = ((𝐼 ∖ 𝐽) × { 0 })} = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑥 ↾ (𝐼 ∖ 𝐽)) = ((𝐼 ∖ 𝐽) × { 0 })}
26	2, 24, 4, 14, 25	frlmsslss 21893	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐼 ∖ 𝐽) ⊆ 𝐼) → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑥 ↾ (𝐼 ∖ 𝐽)) = ((𝐼 ∖ 𝐽) × { 0 })} ∈ 𝑈)
27	23, 26	syld3an3 1434	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ (𝑥 ↾ (𝐼 ∖ 𝐽)) = ((𝐼 ∖ 𝐽) × { 0 })} ∈ 𝑈)
28	22, 27	eqeltrd 2869	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → 𝐶 ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  {crab 3422  Vcvv 3461   ∖ cdif 3908   ∪ cun 3909   ∩ cin 3910   ⊆ wss 3911  ∅c0 4292  {csn 4592   × cxp 5660   ↾ cres 5664   Fn wfn 6532  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411   supp csupp 8156  Basecbs 17269  0_gc0g 17492  Ringcrg 20315  LSubSpclss 21030   freeLMod cfrlm 21865

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3423  df-v 3463  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7675  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8157  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-er 8694  df-map 8826  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9322  df-sup 9402  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12505  df-z 12592  df-dec 12712  df-uz 12863  df-fz 13536  df-struct 17207  df-sets 17224  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-ress 17291  df-plusg 17323  df-mulr 17324  df-sca 17326  df-vsca 17327  df-ip 17328  df-tset 17329  df-ple 17330  df-ds 17332  df-hom 17334  df-cco 17335  df-0g 17494  df-prds 17500  df-pws 17502  df-mgm 18698  df-sgrp 18777  df-mnd 18793  df-mhm 18841  df-submnd 18842  df-grp 19003  df-minusg 19004  df-sbg 19005  df-subg 19189  df-ghm 19284  df-cmn 19852  df-abl 19853  df-mgp 20217  df-rng 20231  df-ur 20264  df-ring 20317  df-subrg 20655  df-lmod 20961  df-lss 21031  df-lmhm 21121  df-sra 21272  df-rgmod 21273  df-dsmm 21851  df-frlm 21866

This theorem is referenced by:  frlmssuvc1  21913  frlmsslsp  21915