MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  numclwlk1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem numclwlk1 27940
Description: Statement 9 in [Huneke] p. 2: "If n > 1, then the number of closed n-walks v(0) ... v(n-2) v(n-1) v(n) from v = v(0) = v(n) with v(n-2) = v is kf(n-2)". Since 𝐺 is k-regular, the vertex v(n-2) = v has k neighbors v(n-1), so there are k walks from v(n-2) = v to v(n) = v (via each of v's neighbors) completing each of the f(n-2) walks from v=v(0) to v(n-2)=v. This theorem holds even for k=0. (Contributed by AV, 23-May-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
numclwlk1.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
numclwlk1.c 𝐶 = {𝑤 ∈ (ClWalks‘𝐺) ∣ ((♯‘(1st𝑤)) = 𝑁 ∧ ((2nd𝑤)‘0) = 𝑋 ∧ ((2nd𝑤)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)}
numclwlk1.f 𝐹 = {𝑤 ∈ (ClWalks‘𝐺) ∣ ((♯‘(1st𝑤)) = (𝑁 − 2) ∧ ((2nd𝑤)‘0) = 𝑋)}
Assertion
Ref Expression
numclwlk1 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2))) → (♯‘𝐶) = (𝐾 · (♯‘𝐹)))
Distinct variable groups:   𝑤,𝐺   𝑤,𝐾   𝑤,𝑁   𝑤,𝑉   𝑤,𝑋   𝑤,𝐶   𝑤,𝐹

Proof of Theorem numclwlk1
StepHypRef Expression
1 uzp1 12092 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 = 2 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ‘(2 + 1))))
2 numclwlk1.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3 numclwlk1.c . . . . . . . 8 𝐶 = {𝑤 ∈ (ClWalks‘𝐺) ∣ ((♯‘(1st𝑤)) = 𝑁 ∧ ((2nd𝑤)‘0) = 𝑋 ∧ ((2nd𝑤)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)}
4 numclwlk1.f . . . . . . . 8 𝐹 = {𝑤 ∈ (ClWalks‘𝐺) ∣ ((♯‘(1st𝑤)) = (𝑁 − 2) ∧ ((2nd𝑤)‘0) = 𝑋)}
52, 3, 4numclwlk1lem1 27938 . . . . . . 7 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑁 = 2)) → (♯‘𝐶) = (𝐾 · (♯‘𝐹)))
65expcom 406 . . . . . 6 ((𝑋𝑉𝑁 = 2) → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾) → (♯‘𝐶) = (𝐾 · (♯‘𝐹))))
76expcom 406 . . . . 5 (𝑁 = 2 → (𝑋𝑉 → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾) → (♯‘𝐶) = (𝐾 · (♯‘𝐹)))))
82, 3, 4numclwlk1lem2 27939 . . . . . . . 8 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (♯‘𝐶) = (𝐾 · (♯‘𝐹)))
98expcom 406 . . . . . . 7 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾) → (♯‘𝐶) = (𝐾 · (♯‘𝐹))))
109expcom 406 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (𝑋𝑉 → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾) → (♯‘𝐶) = (𝐾 · (♯‘𝐹)))))
11 2p1e3 11588 . . . . . . 7 (2 + 1) = 3
1211fveq2i 6500 . . . . . 6 (ℤ‘(2 + 1)) = (ℤ‘3)
1310, 12eleq2s 2879 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘(2 + 1)) → (𝑋𝑉 → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾) → (♯‘𝐶) = (𝐾 · (♯‘𝐹)))))
147, 13jaoi 844 . . . 4 ((𝑁 = 2 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ‘(2 + 1))) → (𝑋𝑉 → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾) → (♯‘𝐶) = (𝐾 · (♯‘𝐹)))))
151, 14syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑋𝑉 → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾) → (♯‘𝐶) = (𝐾 · (♯‘𝐹)))))
1615impcom 399 . 2 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾) → (♯‘𝐶) = (𝐾 · (♯‘𝐹))))
1716impcom 399 1 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2))) → (♯‘𝐶) = (𝐾 · (♯‘𝐹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 387  wo 834  w3a 1069   = wceq 1508  wcel 2051  {crab 3087   class class class wbr 4926  cfv 6186  (class class class)co 6975  1st c1st 7498  2nd c2nd 7499  Fincfn 8305  0cc0 10334  1c1 10335   + caddc 10337   · cmul 10339  cmin 10669  2c2 11494  3c3 11495  cuz 12057  chash 13504  Vtxcvtx 26500  RegUSGraphcrusgr 27057  ClWalkscclwlks 27275
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2745  ax-rep 5046  ax-sep 5057  ax-nul 5064  ax-pow 5116  ax-pr 5183  ax-un 7278  ax-cnex 10390  ax-resscn 10391  ax-1cn 10392  ax-icn 10393  ax-addcl 10394  ax-addrcl 10395  ax-mulcl 10396  ax-mulrcl 10397  ax-mulcom 10398  ax-addass 10399  ax-mulass 10400  ax-distr 10401  ax-i2m1 10402  ax-1ne0 10403  ax-1rid 10404  ax-rnegex 10405  ax-rrecex 10406  ax-cnre 10407  ax-pre-lttri 10408  ax-pre-lttrn 10409  ax-pre-ltadd 10410  ax-pre-mulgt0 10411
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-ifp 1045  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-fal 1521  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2754  df-cleq 2766  df-clel 2841  df-nfc 2913  df-ne 2963  df-nel 3069  df-ral 3088  df-rex 3089  df-reu 3090  df-rmo 3091  df-rab 3092  df-v 3412  df-sbc 3677  df-csb 3782  df-dif 3827  df-un 3829  df-in 3831  df-ss 3838  df-pss 3840  df-nul 4174  df-if 4346  df-pw 4419  df-sn 4437  df-pr 4439  df-tp 4441  df-op 4443  df-uni 4710  df-int 4747  df-iun 4791  df-br 4927  df-opab 4989  df-mpt 5006  df-tr 5028  df-id 5309  df-eprel 5314  df-po 5323  df-so 5324  df-fr 5363  df-we 5365  df-xp 5410  df-rel 5411  df-cnv 5412  df-co 5413  df-dm 5414  df-rn 5415  df-res 5416  df-ima 5417  df-pred 5984  df-ord 6030  df-on 6031  df-lim 6032  df-suc 6033  df-iota 6150  df-fun 6188  df-fn 6189  df-f 6190  df-f1 6191  df-fo 6192  df-f1o 6193  df-fv 6194  df-riota 6936  df-ov 6978  df-oprab 6979  df-mpo 6980  df-om 7396  df-1st 7500  df-2nd 7501  df-wrecs 7749  df-recs 7811  df-rdg 7849  df-1o 7904  df-2o 7905  df-oadd 7908  df-er 8088  df-map 8207  df-pm 8208  df-en 8306  df-dom 8307  df-sdom 8308  df-fin 8309  df-dju 9123  df-card 9161  df-pnf 10475  df-mnf 10476  df-xr 10477  df-ltxr 10478  df-le 10479  df-sub 10671  df-neg 10672  df-nn 11439  df-2 11502  df-3 11503  df-n0 11707  df-xnn0 11779  df-z 11793  df-uz 12058  df-rp 12204  df-xadd 12324  df-fz 12708  df-fzo 12849  df-seq 13184  df-exp 13244  df-hash 13505  df-word 13672  df-lsw 13725  df-concat 13733  df-s1 13758  df-substr 13803  df-pfx 13852  df-s2 14071  df-vtx 26502  df-iedg 26503  df-edg 26552  df-uhgr 26562  df-ushgr 26563  df-upgr 26586  df-umgr 26587  df-uspgr 26654  df-usgr 26655  df-fusgr 26818  df-nbgr 26834  df-vtxdg 26967  df-rgr 27058  df-rusgr 27059  df-wlks 27100  df-clwlks 27276  df-wwlks 27332  df-wwlksn 27333  df-clwwlk 27504  df-clwwlkn 27556  df-clwwlknon 27632
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator