Theorem numclwlk1 30977

Description: Statement 9 in [Huneke] p. 2: "If n > 1, then the number of closed n-walks v(0) ... v(n-2) v(n-1) v(n) from v = v(0) = v(n) with v(n-2) = v is kf(n-2)". Since 𝐺 is k-regular, the vertex v(n-2) = v has k neighbors v(n-1), so there are k walks from v(n-2) = v to v(n) = v (via each of v's neighbors) completing each of the f(n-2) walks from v=v(0) to v(n-2)=v. This theorem holds even for k=0. (Contributed by AV, 23-May-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
numclwlk1.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
numclwlk1.c	⊢ 𝐶 = {𝑤 ∈ (ClWalks‘𝐺) ∣ ((♯‘(1st ‘𝑤)) = 𝑁 ∧ ((2nd ‘𝑤)‘0) = 𝑋 ∧ ((2nd ‘𝑤)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)}
numclwlk1.f	⊢ 𝐹 = {𝑤 ∈ (ClWalks‘𝐺) ∣ ((♯‘(1st ‘𝑤)) = (𝑁 − 2) ∧ ((2nd ‘𝑤)‘0) = 𝑋)}

Assertion

Ref	Expression
numclwlk1	⊢ (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))) → (♯‘𝐶) = (𝐾 · (♯‘𝐹)))

Distinct variable groups:   𝑤,𝐺   𝑤,𝐾   𝑤,𝑁   𝑤,𝑉   𝑤,𝑋   𝑤,𝐶   𝑤,𝐹

Proof of Theorem numclwlk1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzp1 13005	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 = 2 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2 + 1))))
2		numclwlk1.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3		numclwlk1.c	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = {𝑤 ∈ (ClWalks‘𝐺) ∣ ((♯‘(1st ‘𝑤)) = 𝑁 ∧ ((2nd ‘𝑤)‘0) = 𝑋 ∧ ((2nd ‘𝑤)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)}
4		numclwlk1.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = {𝑤 ∈ (ClWalks‘𝐺) ∣ ((♯‘(1st ‘𝑤)) = (𝑁 − 2) ∧ ((2nd ‘𝑤)‘0) = 𝑋)}
5	2, 3, 4	numclwlk1lem1 30975	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = 2)) → (♯‘𝐶) = (𝐾 · (♯‘𝐹)))
6	5	expcom 419	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = 2) → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → (♯‘𝐶) = (𝐾 · (♯‘𝐹))))
7	6	expcom 419	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 2 → (𝑋 ∈ 𝑉 → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → (♯‘𝐶) = (𝐾 · (♯‘𝐹)))))
8	2, 3, 4	numclwlk1lem2 30976	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) → (♯‘𝐶) = (𝐾 · (♯‘𝐹)))
9	8	expcom 419	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → (♯‘𝐶) = (𝐾 · (♯‘𝐹))))
10	9	expcom 419	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑋 ∈ 𝑉 → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → (♯‘𝐶) = (𝐾 · (♯‘𝐹)))))
11		2p1e3 12487	. . . . . . 7 ⊢ (2 + 1) = 3
12	11	fveq2i 6888	. . . . . 6 ⊢ (ℤ≥‘(2 + 1)) = (ℤ≥‘3)
13	10, 12	eleq2s 2878	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2 + 1)) → (𝑋 ∈ 𝑉 → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → (♯‘𝐶) = (𝐾 · (♯‘𝐹)))))
14	7, 13	jaoi 871	. . . 4 ⊢ ((𝑁 = 2 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2 + 1))) → (𝑋 ∈ 𝑉 → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → (♯‘𝐶) = (𝐾 · (♯‘𝐹)))))
15	1, 14	syl 18	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑋 ∈ 𝑉 → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → (♯‘𝐶) = (𝐾 · (♯‘𝐹)))))
16	15	impcom 413	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → (♯‘𝐶) = (𝐾 · (♯‘𝐹))))
17	16	impcom 413	1 ⊢ (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))) → (♯‘𝐶) = (𝐾 · (♯‘𝐹)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  {crab 3412   class class class wbr 5102  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  1^st c1st 7999  2^nd c2nd 8000  Fincfn 8976  0cc0 11203  1c1 11204   + caddc 11206   · cmul 11208   − cmin 11544  2c2 12400  3c3 12401  ℤ_≥cuz 12968  ♯chash 14477  Vtxcvtx 29579   RegUSGraph crusgr 30142  ClWalkscclwlks 30362

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-ifp 1079  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-2o 8480  df-oadd 8483  df-er 8720  df-map 8852  df-pm 8853  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-dju 9985  df-card 10023  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-n0 12610  df-xnn0 12683  df-z 12697  df-uz 12969  df-rp 13124  df-xadd 13245  df-fz 13643  df-fzo 13792  df-seq 14148  df-exp 14208  df-hash 14478  df-word 14662  df-lsw 14711  df-concat 14719  df-s1 14746  df-substr 14793  df-pfx 14825  df-s2 15003  df-vtx 29581  df-iedg 29582  df-edg 29631  df-uhgr 29641  df-ushgr 29642  df-upgr 29665  df-umgr 29666  df-uspgr 29736  df-usgr 29737  df-fusgr 29903  df-nbgr 29919  df-vtxdg 30052  df-rgr 30143  df-rusgr 30144  df-wlks 30185  df-clwlks 30363  df-wwlks 30424  df-wwlksn 30425  df-clwwlk 30578  df-clwwlkn 30621  df-clwwlknon 30684

This theorem is used by: (None)