Theorem numclwlk1 30225

Description: Statement 9 in [Huneke] p. 2: "If n > 1, then the number of closed n-walks v(0) ... v(n-2) v(n-1) v(n) from v = v(0) = v(n) with v(n-2) = v is kf(n-2)". Since 𝐺 is k-regular, the vertex v(n-2) = v has k neighbors v(n-1), so there are k walks from v(n-2) = v to v(n) = v (via each of v's neighbors) completing each of the f(n-2) walks from v=v(0) to v(n-2)=v. This theorem holds even for k=0. (Contributed by AV, 23-May-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
numclwlk1.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
numclwlk1.c	⊢ 𝐶 = {𝑤 ∈ (ClWalks‘𝐺) ∣ ((♯‘(1st ‘𝑤)) = 𝑁 ∧ ((2nd ‘𝑤)‘0) = 𝑋 ∧ ((2nd ‘𝑤)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)}
numclwlk1.f	⊢ 𝐹 = {𝑤 ∈ (ClWalks‘𝐺) ∣ ((♯‘(1st ‘𝑤)) = (𝑁 − 2) ∧ ((2nd ‘𝑤)‘0) = 𝑋)}

Assertion

Ref	Expression
numclwlk1	⊢ (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))) → (♯‘𝐶) = (𝐾 · (♯‘𝐹)))

Distinct variable groups:   𝑤,𝐺   𝑤,𝐾   𝑤,𝑁   𝑤,𝑉   𝑤,𝑋   𝑤,𝐶   𝑤,𝐹

Proof of Theorem numclwlk1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzp1 12893	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 = 2 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2 + 1))))
2		numclwlk1.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3		numclwlk1.c	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = {𝑤 ∈ (ClWalks‘𝐺) ∣ ((♯‘(1st ‘𝑤)) = 𝑁 ∧ ((2nd ‘𝑤)‘0) = 𝑋 ∧ ((2nd ‘𝑤)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)}
4		numclwlk1.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = {𝑤 ∈ (ClWalks‘𝐺) ∣ ((♯‘(1st ‘𝑤)) = (𝑁 − 2) ∧ ((2nd ‘𝑤)‘0) = 𝑋)}
5	2, 3, 4	numclwlk1lem1 30223	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = 2)) → (♯‘𝐶) = (𝐾 · (♯‘𝐹)))
6	5	expcom 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 = 2) → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → (♯‘𝐶) = (𝐾 · (♯‘𝐹))))
7	6	expcom 412	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 2 → (𝑋 ∈ 𝑉 → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → (♯‘𝐶) = (𝐾 · (♯‘𝐹)))))
8	2, 3, 4	numclwlk1lem2 30224	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) → (♯‘𝐶) = (𝐾 · (♯‘𝐹)))
9	8	expcom 412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → (♯‘𝐶) = (𝐾 · (♯‘𝐹))))
10	9	expcom 412	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑋 ∈ 𝑉 → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → (♯‘𝐶) = (𝐾 · (♯‘𝐹)))))
11		2p1e3 12384	. . . . . . 7 ⊢ (2 + 1) = 3
12	11	fveq2i 6895	. . . . . 6 ⊢ (ℤ≥‘(2 + 1)) = (ℤ≥‘3)
13	10, 12	eleq2s 2843	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2 + 1)) → (𝑋 ∈ 𝑉 → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → (♯‘𝐶) = (𝐾 · (♯‘𝐹)))))
14	7, 13	jaoi 855	. . . 4 ⊢ ((𝑁 = 2 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2 + 1))) → (𝑋 ∈ 𝑉 → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → (♯‘𝐶) = (𝐾 · (♯‘𝐹)))))
15	1, 14	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑋 ∈ 𝑉 → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → (♯‘𝐶) = (𝐾 · (♯‘𝐹)))))
16	15	impcom 406	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) → (♯‘𝐶) = (𝐾 · (♯‘𝐹))))
17	16	impcom 406	1 ⊢ (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))) → (♯‘𝐶) = (𝐾 · (♯‘𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∨ wo 845   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3419   class class class wbr 5143  ‘cfv 6543  (class class class)co 7416  1^st c1st 7989  2^nd c2nd 7990  Fincfn 8962  0cc0 11138  1c1 11139   + caddc 11141   · cmul 11143   − cmin 11474  2c2 12297  3c3 12298  ℤ_≥cuz 12852  ♯chash 14321  Vtxcvtx 28853   RegUSGraph crusgr 29414  ClWalkscclwlks 29628

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-ifp 1061  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-oadd 8489  df-er 8723  df-map 8845  df-pm 8846  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-dju 9924  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-n0 12503  df-xnn0 12575  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13007  df-xadd 13125  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-seq 13999  df-exp 14059  df-hash 14322  df-word 14497  df-lsw 14545  df-concat 14553  df-s1 14578  df-substr 14623  df-pfx 14653  df-s2 14831  df-vtx 28855  df-iedg 28856  df-edg 28905  df-uhgr 28915  df-ushgr 28916  df-upgr 28939  df-umgr 28940  df-uspgr 29007  df-usgr 29008  df-fusgr 29174  df-nbgr 29190  df-vtxdg 29324  df-rgr 29415  df-rusgr 29416  df-wlks 29457  df-clwlks 29629  df-wwlks 29685  df-wwlksn 29686  df-clwwlk 29836  df-clwwlkn 29879  df-clwwlknon 29942

This theorem is referenced by: (None)