Theorem aks5 43254

Description: The AKS Primality test, given an integer 𝑁 greater than or equal to 3, find a coprime 𝑅 such that 𝑅 is big enough. Then, if a bunch of polynomial equalities in the residue ring hold then 𝑁 is a prime power. Currently depends on the axiom ax-exfinfld 43252, since we currently do not have the existence of finite fields in the database. (Contributed by metakunt, 16-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
aks5.1	⊢ 𝐴 = (⌊‘((√‘(ϕ‘𝑅)) · (2 logb 𝑁)))
aks5.2	⊢ 𝑋 = (var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
aks5.3	⊢ 𝑆 = (Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
aks5.4	⊢ 𝐿 = ((RSpan‘𝑆)‘{((𝑅(.g‘(mulGrp‘𝑆))𝑋)(-g‘𝑆)(1r‘𝑆))})
aks5.5	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
aks5.6	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
aks5.7	⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
aks5.8	⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑2) < ((odℤ‘𝑅)‘𝑁))
aks5.9	⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (1...𝐴)[(𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))(𝑋(+g‘𝑆)((ℤRHom‘𝑆)‘𝑎)))](𝑆 ~QG 𝐿) = [((𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))𝑋)(+g‘𝑆)((ℤRHom‘𝑆)‘𝑎))](𝑆 ~QG 𝐿))
aks5.10	⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (1...𝐴)(𝑎 gcd 𝑁) = 1)

Assertion

Ref	Expression
aks5	⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑝↑𝑛))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎   𝑁,𝑎   𝑛,𝑁,𝑝   𝑅,𝑎   𝑅,𝑛,𝑝   𝜑,𝑎   𝜑,𝑛,𝑝

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛, 𝑝)   𝑆(𝑛, 𝑝, 𝑎)   𝐿(𝑛, 𝑝, 𝑎)   𝑋(𝑛, 𝑝, 𝑎)

Proof of Theorem aks5

Dummy variables 𝑘 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 783	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((odℤ‘𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → (♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((odℤ‘𝑅)‘𝑞)))
2		simplr 781	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) → 𝑞 ∈ ℙ)
3	2	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((odℤ‘𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → 𝑞 ∈ ℙ)
4		prmnn 16849	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ ℕ)
5	3, 4	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((odℤ‘𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → 𝑞 ∈ ℕ)
6		aks5.6	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
7	6	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) → 𝑅 ∈ ℕ)
8	2, 4	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) → 𝑞 ∈ ℕ)
9	8	nnzd 12719	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) → 𝑞 ∈ ℤ)
10	7	nnzd 12719	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) → 𝑅 ∈ ℤ)
11	9, 10	gcdcomd 16686	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) → (𝑞 gcd 𝑅) = (𝑅 gcd 𝑞))
12		aks5.5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
13	12	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
14		eluzelz 12975	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℤ)
15	13, 14	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
16	10, 9, 15	3jca 1146	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) → (𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
17	10, 15	gcdcomd 16686	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) → (𝑅 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝑅))
18		aks5.7	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
19	18	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
20	17, 19	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) → (𝑅 gcd 𝑁) = 1)
21		simpr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) → 𝑞 ∥ 𝑁)
22	20, 21	jca 521	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) → ((𝑅 gcd 𝑁) = 1 ∧ 𝑞 ∥ 𝑁))
23		rpdvds 16835	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑅 gcd 𝑁) = 1 ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → (𝑅 gcd 𝑞) = 1)
24	16, 22, 23	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) → (𝑅 gcd 𝑞) = 1)
25	11, 24	eqtrd 2796	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) → (𝑞 gcd 𝑅) = 1)
26		odzcl 16971	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ (𝑞 gcd 𝑅) = 1) → ((odℤ‘𝑅)‘𝑞) ∈ ℕ)
27	7, 9, 25, 26	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) → ((odℤ‘𝑅)‘𝑞) ∈ ℕ)
28	27	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((odℤ‘𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → ((odℤ‘𝑅)‘𝑞) ∈ ℕ)
29	28	nnnn0d 12667	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((odℤ‘𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → ((odℤ‘𝑅)‘𝑞) ∈ ℕ0)
30	5, 29	nnexpcld 14389	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((odℤ‘𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → (𝑞↑((odℤ‘𝑅)‘𝑞)) ∈ ℕ)
31	1, 30	eqeltrd 2861	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((odℤ‘𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → (♯‘(Base‘𝑘)) ∈ ℕ)
32		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (chr‘𝑘) = (chr‘𝑘)
33		simplr 781	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((odℤ‘𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → 𝑘 ∈ Field)
34		simprr 785	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((odℤ‘𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → (chr‘𝑘) = 𝑞)
35	34, 3	eqeltrd 2861	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((odℤ‘𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → (chr‘𝑘) ∈ ℙ)
36	6	ad4antr 745	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((odℤ‘𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → 𝑅 ∈ ℕ)
37	12	ad4antr 745	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((odℤ‘𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
38		simpllr 788	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((odℤ‘𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → 𝑞 ∥ 𝑁)
39	34, 38	eqbrtrd 5127	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((odℤ‘𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → (chr‘𝑘) ∥ 𝑁)
40	18	ad4antr 745	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((odℤ‘𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
41		aks5.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (⌊‘((√‘(ϕ‘𝑅)) · (2 logb 𝑁)))
42		aks5.8	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑2) < ((odℤ‘𝑅)‘𝑁))
43	42	ad4antr 745	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((odℤ‘𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → ((2 logb 𝑁)↑2) < ((odℤ‘𝑅)‘𝑁))
44	5	nnzd 12719	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((odℤ‘𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → 𝑞 ∈ ℤ)
45	25	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((odℤ‘𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → (𝑞 gcd 𝑅) = 1)
46		odzid 16972	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ (𝑞 gcd 𝑅) = 1) → 𝑅 ∥ ((𝑞↑((odℤ‘𝑅)‘𝑞)) − 1))
47	36, 44, 45, 46	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((odℤ‘𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → 𝑅 ∥ ((𝑞↑((odℤ‘𝑅)‘𝑞)) − 1))
48	1	eqcomd 2767	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((odℤ‘𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → (𝑞↑((odℤ‘𝑅)‘𝑞)) = (♯‘(Base‘𝑘)))
49	48	oveq1d 7435	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((odℤ‘𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → ((𝑞↑((odℤ‘𝑅)‘𝑞)) − 1) = ((♯‘(Base‘𝑘)) − 1))
50	47, 49	breqtrd 5131	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((odℤ‘𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → 𝑅 ∥ ((♯‘(Base‘𝑘)) − 1))
51		aks5.9	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (1...𝐴)[(𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))(𝑋(+g‘𝑆)((ℤRHom‘𝑆)‘𝑎)))](𝑆 ~QG 𝐿) = [((𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))𝑋)(+g‘𝑆)((ℤRHom‘𝑆)‘𝑎))](𝑆 ~QG 𝐿))
52	51	ad4antr 745	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((odℤ‘𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → ∀𝑎 ∈ (1...𝐴)[(𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))(𝑋(+g‘𝑆)((ℤRHom‘𝑆)‘𝑎)))](𝑆 ~QG 𝐿) = [((𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))𝑋)(+g‘𝑆)((ℤRHom‘𝑆)‘𝑎))](𝑆 ~QG 𝐿))
53		aks5.10	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (1...𝐴)(𝑎 gcd 𝑁) = 1)
54	53	ad4antr 745	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((odℤ‘𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → ∀𝑎 ∈ (1...𝐴)(𝑎 gcd 𝑁) = 1)
55		aks5.3	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
56		aks5.4	. . . 4 ⊢ 𝐿 = ((RSpan‘𝑆)‘{((𝑅(.g‘(mulGrp‘𝑆))𝑋)(-g‘𝑆)(1r‘𝑆))})
57		aks5.2	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
58	31, 32, 33, 35, 36, 37, 39, 40, 41, 43, 50, 52, 54, 55, 56, 57	aks5lem8 43251	. . 3 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((odℤ‘𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑝↑𝑛))
59	2, 27	exfinfldd 43253	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) → ∃𝑘 ∈ Field ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((odℤ‘𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞))
60	58, 59	r19.29a 3171	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑝↑𝑛))
61		uzuzle23 13011	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
62	12, 61	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
63		exprmfct 16880	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑞 ∥ 𝑁)
64	62, 63	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑞 ∥ 𝑁)
65	60, 64	r19.29a 3171	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑝↑𝑛))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  ∃wrex 3087  {csn 4584   class class class wbr 5103  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  [cec 8715  1c1 11201   · cmul 11205   < clt 11343   − cmin 11541  ℕcn 12335  2c2 12397  3c3 12398  ℤcz 12693  ℤ_≥cuz 12965  ...cfz 13639  ⌊cfl 13930  ↑cexp 14204  ♯chash 14474  √csqrt 15400   ∥ cdvds 16422   gcd cgcd 16664  ℙcprime 16846  od_ℤcodz 16940  ϕcphi 16941  Basecbs 17387  +_gcplusg 17428  -_gcsg 19146  ._gcmg 19277   ~_QG cqg 19332  mulGrpcmgp 20360  1_rcur 20407  Fieldcfield 20981  RSpancrsp 21485  ℤRHomczrh 21805  chrcchr 21807  ℤ/nℤczn 21808  var₁cv1 22494  Poly₁cpl1 22495   log_b clogb 27092

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-inf2 9642  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278  ax-addf 11279  ax-mulf 11280  ax-exfinfld 43252

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-disj 5071  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-ofr 7694  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-tpos 8243  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-oadd 8480  df-omul 8481  df-er 8717  df-ec 8719  df-qs 8723  df-map 8849  df-pm 8850  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9504  df-dju 9982  df-card 10020  df-acn 10023  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-xnn0 12680  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-q 13076  df-rp 13121  df-xneg 13241  df-xadd 13242  df-xmul 13243  df-ioo 13480  df-ioc 13481  df-ico 13482  df-icc 13483  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-fl 13932  df-mod 14010  df-seq 14145  df-exp 14205  df-fac 14418  df-bc 14447  df-hash 14475  df-shft 15220  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-limsup 15638  df-clim 15655  df-rlim 15656  df-sum 15854  df-prod 16073  df-fallfac 16174  df-ef 16233  df-sin 16235  df-cos 16236  df-pi 16238  df-dvds 16423  df-gcd 16665  df-prm 16847  df-odz 16942  df-phi 16943  df-pc 17015  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-starv 17443  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-unif 17451  df-hom 17452  df-cco 17453  df-rest 17593  df-topn 17594  df-0g 17612  df-gsum 17613  df-topgen 17614  df-pt 17615  df-prds 17618  df-pws 17620  df-xrs 17674  df-qtop 17679  df-imas 17680  df-qus 17681  df-xps 17682  df-mre 17756  df-mrc 17757  df-acs 17759  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-mhm 18978  df-submnd 18979  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-sbg 19149  df-mulg 19278  df-subg 19333  df-nsg 19334  df-eqg 19335  df-ghm 19428  df-gim 19473  df-cntz 19531  df-od 19742  df-cmn 19996  df-abl 19997  df-mgp 20361  df-rng 20375  df-ur 20408  df-srg 20413  df-ring 20461  df-cring 20462  df-oppr 20567  df-dvdsr 20587  df-unit 20588  df-invr 20618  df-dvr 20631  df-rhm 20702  df-rim 20703  df-nzr 20763  df-subrng 20798  df-subrg 20822  df-rlreg 20946  df-domn 20947  df-idom 20948  df-drng 20982  df-field 20983  df-lmod 21137  df-lss 21207  df-lsp 21247  df-sra 21448  df-rgmod 21449  df-lidl 21486  df-rsp 21487  df-2idl 21543  df-psmet 21670  df-xmet 21671  df-met 21672  df-bl 21673  df-mopn 21674  df-fbas 21675  df-fg 21676  df-cnfld 21679  df-zring 21753  df-zrh 21809  df-chr 21811  df-zn 21812  df-assa 22161  df-asp 22162  df-ascl 22163  df-psr 22217  df-mvr 22218  df-mpl 22219  df-opsr 22221  df-evls 22383  df-evl 22384  df-psr1 22498  df-vr1 22499  df-ply1 22500  df-coe1 22501  df-evls1 22633  df-evl1 22634  df-top 23212  df-topon 23229  df-topsp 23251  df-bases 23264  df-cld 23337  df-ntr 23338  df-cls 23339  df-nei 23416  df-lp 23454  df-perf 23455  df-cn 23545  df-cnp 23546  df-haus 23633  df-tx 23881  df-hmeo 24074  df-fil 24165  df-fm 24257  df-flim 24258  df-flf 24259  df-xms 24639  df-ms 24640  df-tms 24641  df-cncf 25199  df-limc 26186  df-dv 26187  df-mdeg 26373  df-deg1 26374  df-mon1 26449  df-uc1p 26450  df-q1p 26451  df-r1p 26452  df-log 26884  df-cxp 26885  df-logb 27093  df-primroots 43142

This theorem is used by: (None)