Theorem aks5 42177

Description: The AKS Primality test, given an integer 𝑁 greater than or equal to 3, find a coprime 𝑅 such that 𝑅 is big enough. Then, if a bunch of polynomial equalities in the residue ring hold then 𝑁 is a prime power. Currently depends on the axiom ax-exfinfld 42175, since we currently do not have the existence of finite fields in the database. (Contributed by metakunt, 16-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
aks5.1	⊢ 𝐴 = (⌊‘((√‘(ϕ‘𝑅)) · (2 logb 𝑁)))
aks5.2	⊢ 𝑋 = (var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
aks5.3	⊢ 𝑆 = (Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
aks5.4	⊢ 𝐿 = ((RSpan‘𝑆)‘{((𝑅(.g‘(mulGrp‘𝑆))𝑋)(-g‘𝑆)(1r‘𝑆))})
aks5.5	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
aks5.6	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
aks5.7	⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
aks5.8	⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑2) < ((odℤ‘𝑅)‘𝑁))
aks5.9	⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (1...𝐴)[(𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))(𝑋(+g‘𝑆)((ℤRHom‘𝑆)‘𝑎)))](𝑆 ~QG 𝐿) = [((𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))𝑋)(+g‘𝑆)((ℤRHom‘𝑆)‘𝑎))](𝑆 ~QG 𝐿))
aks5.10	⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (1...𝐴)(𝑎 gcd 𝑁) = 1)

Assertion

Ref	Expression
aks5	⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑝↑𝑛))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎   𝑁,𝑎   𝑛,𝑁,𝑝   𝑅,𝑎   𝑅,𝑛,𝑝   𝜑,𝑎   𝜑,𝑛,𝑝

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛,𝑝)   𝑆(𝑛,𝑝,𝑎)   𝐿(𝑛,𝑝,𝑎)   𝑋(𝑛,𝑝,𝑎)

Proof of Theorem aks5

Dummy variables 𝑘 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 770	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((odℤ‘𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → (♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((odℤ‘𝑅)‘𝑞)))
2		simplr 768	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) → 𝑞 ∈ ℙ)
3	2	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((odℤ‘𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → 𝑞 ∈ ℙ)
4		prmnn 16585	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ ℕ)
5	3, 4	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((odℤ‘𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → 𝑞 ∈ ℕ)
6		aks5.6	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
7	6	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) → 𝑅 ∈ ℕ)
8	2, 4	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) → 𝑞 ∈ ℕ)
9	8	nnzd 12498	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) → 𝑞 ∈ ℤ)
10	7	nnzd 12498	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) → 𝑅 ∈ ℤ)
11	9, 10	gcdcomd 16425	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) → (𝑞 gcd 𝑅) = (𝑅 gcd 𝑞))
12		aks5.5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
13	12	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
14		eluzelz 12745	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℤ)
15	13, 14	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
16	10, 9, 15	3jca 1128	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) → (𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
17	10, 15	gcdcomd 16425	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) → (𝑅 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝑅))
18		aks5.7	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
19	18	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
20	17, 19	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) → (𝑅 gcd 𝑁) = 1)
21		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) → 𝑞 ∥ 𝑁)
22	20, 21	jca 511	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) → ((𝑅 gcd 𝑁) = 1 ∧ 𝑞 ∥ 𝑁))
23		rpdvds 16571	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑅 gcd 𝑁) = 1 ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → (𝑅 gcd 𝑞) = 1)
24	16, 22, 23	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) → (𝑅 gcd 𝑞) = 1)
25	11, 24	eqtrd 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) → (𝑞 gcd 𝑅) = 1)
26		odzcl 16705	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ (𝑞 gcd 𝑅) = 1) → ((odℤ‘𝑅)‘𝑞) ∈ ℕ)
27	7, 9, 25, 26	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) → ((odℤ‘𝑅)‘𝑞) ∈ ℕ)
28	27	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((odℤ‘𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → ((odℤ‘𝑅)‘𝑞) ∈ ℕ)
29	28	nnnn0d 12445	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((odℤ‘𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → ((odℤ‘𝑅)‘𝑞) ∈ ℕ0)
30	5, 29	nnexpcld 14152	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((odℤ‘𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → (𝑞↑((odℤ‘𝑅)‘𝑞)) ∈ ℕ)
31	1, 30	eqeltrd 2828	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((odℤ‘𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → (♯‘(Base‘𝑘)) ∈ ℕ)
32		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (chr‘𝑘) = (chr‘𝑘)
33		simplr 768	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((odℤ‘𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → 𝑘 ∈ Field)
34		simprr 772	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((odℤ‘𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → (chr‘𝑘) = 𝑞)
35	34, 3	eqeltrd 2828	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((odℤ‘𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → (chr‘𝑘) ∈ ℙ)
36	6	ad4antr 732	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((odℤ‘𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → 𝑅 ∈ ℕ)
37	12	ad4antr 732	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((odℤ‘𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
38		simpllr 775	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((odℤ‘𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → 𝑞 ∥ 𝑁)
39	34, 38	eqbrtrd 5114	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((odℤ‘𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → (chr‘𝑘) ∥ 𝑁)
40	18	ad4antr 732	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((odℤ‘𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
41		aks5.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (⌊‘((√‘(ϕ‘𝑅)) · (2 logb 𝑁)))
42		aks5.8	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑2) < ((odℤ‘𝑅)‘𝑁))
43	42	ad4antr 732	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((odℤ‘𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → ((2 logb 𝑁)↑2) < ((odℤ‘𝑅)‘𝑁))
44	5	nnzd 12498	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((odℤ‘𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → 𝑞 ∈ ℤ)
45	25	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((odℤ‘𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → (𝑞 gcd 𝑅) = 1)
46		odzid 16706	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ (𝑞 gcd 𝑅) = 1) → 𝑅 ∥ ((𝑞↑((odℤ‘𝑅)‘𝑞)) − 1))
47	36, 44, 45, 46	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((odℤ‘𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → 𝑅 ∥ ((𝑞↑((odℤ‘𝑅)‘𝑞)) − 1))
48	1	eqcomd 2735	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((odℤ‘𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → (𝑞↑((odℤ‘𝑅)‘𝑞)) = (♯‘(Base‘𝑘)))
49	48	oveq1d 7364	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((odℤ‘𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → ((𝑞↑((odℤ‘𝑅)‘𝑞)) − 1) = ((♯‘(Base‘𝑘)) − 1))
50	47, 49	breqtrd 5118	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((odℤ‘𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → 𝑅 ∥ ((♯‘(Base‘𝑘)) − 1))
51		aks5.9	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (1...𝐴)[(𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))(𝑋(+g‘𝑆)((ℤRHom‘𝑆)‘𝑎)))](𝑆 ~QG 𝐿) = [((𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))𝑋)(+g‘𝑆)((ℤRHom‘𝑆)‘𝑎))](𝑆 ~QG 𝐿))
52	51	ad4antr 732	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((odℤ‘𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → ∀𝑎 ∈ (1...𝐴)[(𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))(𝑋(+g‘𝑆)((ℤRHom‘𝑆)‘𝑎)))](𝑆 ~QG 𝐿) = [((𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))𝑋)(+g‘𝑆)((ℤRHom‘𝑆)‘𝑎))](𝑆 ~QG 𝐿))
53		aks5.10	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (1...𝐴)(𝑎 gcd 𝑁) = 1)
54	53	ad4antr 732	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((odℤ‘𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → ∀𝑎 ∈ (1...𝐴)(𝑎 gcd 𝑁) = 1)
55		aks5.3	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
56		aks5.4	. . . 4 ⊢ 𝐿 = ((RSpan‘𝑆)‘{((𝑅(.g‘(mulGrp‘𝑆))𝑋)(-g‘𝑆)(1r‘𝑆))})
57		aks5.2	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
58	31, 32, 33, 35, 36, 37, 39, 40, 41, 43, 50, 52, 54, 55, 56, 57	aks5lem8 42174	. . 3 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((odℤ‘𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑝↑𝑛))
59	2, 27	exfinfldd 42176	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) → ∃𝑘 ∈ Field ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((odℤ‘𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞))
60	58, 59	r19.29a 3137	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑝↑𝑛))
61		uzuzle23 12785	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
62	12, 61	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
63		exprmfct 16615	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑞 ∥ 𝑁)
64	62, 63	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑞 ∥ 𝑁)
65	60, 64	r19.29a 3137	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑝↑𝑛))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  {csn 4577   class class class wbr 5092  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  [cec 8623  1c1 11010   · cmul 11014   < clt 11149   − cmin 11347  ℕcn 12128  2c2 12183  3c3 12184  ℤcz 12471  ℤ_≥cuz 12735  ...cfz 13410  ⌊cfl 13694  ↑cexp 13968  ♯chash 14237  √csqrt 15140   ∥ cdvds 16163   gcd cgcd 16405  ℙcprime 16582  od_ℤcodz 16674  ϕcphi 16675  Basecbs 17120  +_gcplusg 17161  -_gcsg 18814  ._gcmg 18946   ~_QG cqg 19001  mulGrpcmgp 20025  1_rcur 20066  Fieldcfield 20615  RSpancrsp 21114  ℤRHomczrh 21406  chrcchr 21408  ℤ/nℤczn 21409  var₁cv1 22058  Poly₁cpl1 22059   log_b clogb 26672

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-inf2 9537  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087  ax-addf 11088  ax-mulf 11089  ax-exfinfld 42175

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-iin 4944  df-disj 5060  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-isom 6491  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-of 7613  df-ofr 7614  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-supp 8094  df-tpos 8159  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-2o 8389  df-oadd 8392  df-omul 8393  df-er 8625  df-ec 8627  df-qs 8631  df-map 8755  df-pm 8756  df-ixp 8825  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-fsupp 9252  df-fi 9301  df-sup 9332  df-inf 9333  df-oi 9402  df-dju 9797  df-card 9835  df-acn 9838  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-xnn0 12458  df-z 12472  df-dec 12592  df-uz 12736  df-q 12850  df-rp 12894  df-xneg 13014  df-xadd 13015  df-xmul 13016  df-ioo 13252  df-ioc 13253  df-ico 13254  df-icc 13255  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-fl 13696  df-mod 13774  df-seq 13909  df-exp 13969  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-shft 14974  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-limsup 15378  df-clim 15395  df-rlim 15396  df-sum 15594  df-prod 15811  df-fallfac 15914  df-ef 15974  df-sin 15976  df-cos 15977  df-pi 15979  df-dvds 16164  df-gcd 16406  df-prm 16583  df-odz 16676  df-phi 16677  df-pc 16749  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-unif 17184  df-hom 17185  df-cco 17186  df-rest 17326  df-topn 17327  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-topgen 17347  df-pt 17348  df-prds 17351  df-pws 17353  df-xrs 17406  df-qtop 17411  df-imas 17412  df-qus 17413  df-xps 17414  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-acs 17491  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-mhm 18657  df-submnd 18658  df-grp 18815  df-minusg 18816  df-sbg 18817  df-mulg 18947  df-subg 19002  df-nsg 19003  df-eqg 19004  df-ghm 19092  df-gim 19138  df-cntz 19196  df-od 19407  df-cmn 19661  df-abl 19662  df-mgp 20026  df-rng 20038  df-ur 20067  df-srg 20072  df-ring 20120  df-cring 20121  df-oppr 20222  df-dvdsr 20242  df-unit 20243  df-invr 20273  df-dvr 20286  df-rhm 20357  df-rim 20358  df-nzr 20398  df-subrng 20431  df-subrg 20455  df-rlreg 20579  df-domn 20580  df-idom 20581  df-drng 20616  df-field 20617  df-lmod 20765  df-lss 20835  df-lsp 20875  df-sra 21077  df-rgmod 21078  df-lidl 21115  df-rsp 21116  df-2idl 21157  df-psmet 21253  df-xmet 21254  df-met 21255  df-bl 21256  df-mopn 21257  df-fbas 21258  df-fg 21259  df-cnfld 21262  df-zring 21354  df-zrh 21410  df-chr 21412  df-zn 21413  df-assa 21760  df-asp 21761  df-ascl 21762  df-psr 21816  df-mvr 21817  df-mpl 21818  df-opsr 21820  df-evls 21979  df-evl 21980  df-psr1 22062  df-vr1 22063  df-ply1 22064  df-coe1 22065  df-evls1 22200  df-evl1 22201  df-top 22779  df-topon 22796  df-topsp 22818  df-bases 22831  df-cld 22904  df-ntr 22905  df-cls 22906  df-nei 22983  df-lp 23021  df-perf 23022  df-cn 23112  df-cnp 23113  df-haus 23200  df-tx 23447  df-hmeo 23640  df-fil 23731  df-fm 23823  df-flim 23824  df-flf 23825  df-xms 24206  df-ms 24207  df-tms 24208  df-cncf 24769  df-limc 25765  df-dv 25766  df-mdeg 25958  df-deg1 25959  df-mon1 26034  df-uc1p 26035  df-q1p 26036  df-r1p 26037  df-log 26463  df-cxp 26464  df-logb 26673  df-primroots 42065

This theorem is referenced by: (None)