Theorem aks5 42818

Description: The AKS Primality test, given an integer 𝑁 greater than or equal to 3, find a coprime 𝑅 such that 𝑅 is big enough. Then, if a bunch of polynomial equalities in the residue ring hold then 𝑁 is a prime power. Currently depends on the axiom ax-exfinfld 42816, since we currently do not have the existence of finite fields in the database. (Contributed by metakunt, 16-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
aks5.1	⊢ 𝐴 = (⌊‘((√‘(ϕ‘𝑅)) · (2 logb 𝑁)))
aks5.2	⊢ 𝑋 = (var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
aks5.3	⊢ 𝑆 = (Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
aks5.4	⊢ 𝐿 = ((RSpan‘𝑆)‘{((𝑅(.g‘(mulGrp‘𝑆))𝑋)(-g‘𝑆)(1r‘𝑆))})
aks5.5	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
aks5.6	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
aks5.7	⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
aks5.8	⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑2) < ((odℤ‘𝑅)‘𝑁))
aks5.9	⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (1...𝐴)[(𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))(𝑋(+g‘𝑆)((ℤRHom‘𝑆)‘𝑎)))](𝑆 ~QG 𝐿) = [((𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))𝑋)(+g‘𝑆)((ℤRHom‘𝑆)‘𝑎))](𝑆 ~QG 𝐿))
aks5.10	⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (1...𝐴)(𝑎 gcd 𝑁) = 1)

Assertion

Ref	Expression
aks5	⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑝↑𝑛))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎   𝑁,𝑎   𝑛,𝑁,𝑝   𝑅,𝑎   𝑅,𝑛,𝑝   𝜑,𝑎   𝜑,𝑛,𝑝

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛,𝑝)   𝑆(𝑛,𝑝,𝑎)   𝐿(𝑛,𝑝,𝑎)   𝑋(𝑛,𝑝,𝑎)

Proof of Theorem aks5

Dummy variables 𝑘 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 780	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((odℤ‘𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → (♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((odℤ‘𝑅)‘𝑞)))
2		simplr 778	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) → 𝑞 ∈ ℙ)
3	2	ad2antrr 736	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((odℤ‘𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → 𝑞 ∈ ℙ)
4		prmnn 16708	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ ℕ)
5	3, 4	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((odℤ‘𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → 𝑞 ∈ ℕ)
6		aks5.6	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
7	6	ad2antrr 736	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) → 𝑅 ∈ ℕ)
8	2, 4	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) → 𝑞 ∈ ℕ)
9	8	nnzd 12594	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) → 𝑞 ∈ ℤ)
10	7	nnzd 12594	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) → 𝑅 ∈ ℤ)
11	9, 10	gcdcomd 16548	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) → (𝑞 gcd 𝑅) = (𝑅 gcd 𝑞))
12		aks5.5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
13	12	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
14		eluzelz 12849	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℤ)
15	13, 14	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
16	10, 9, 15	3jca 1141	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) → (𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
17	10, 15	gcdcomd 16548	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) → (𝑅 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝑅))
18		aks5.7	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
19	18	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
20	17, 19	eqtrd 2797	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) → (𝑅 gcd 𝑁) = 1)
21		simpr 488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) → 𝑞 ∥ 𝑁)
22	20, 21	jca 519	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) → ((𝑅 gcd 𝑁) = 1 ∧ 𝑞 ∥ 𝑁))
23		rpdvds 16694	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑅 gcd 𝑁) = 1 ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → (𝑅 gcd 𝑞) = 1)
24	16, 22, 23	syl2anc 593	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) → (𝑅 gcd 𝑞) = 1)
25	11, 24	eqtrd 2797	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) → (𝑞 gcd 𝑅) = 1)
26		odzcl 16829	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ (𝑞 gcd 𝑅) = 1) → ((odℤ‘𝑅)‘𝑞) ∈ ℕ)
27	7, 9, 25, 26	syl3anc 1390	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) → ((odℤ‘𝑅)‘𝑞) ∈ ℕ)
28	27	ad2antrr 736	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((odℤ‘𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → ((odℤ‘𝑅)‘𝑞) ∈ ℕ)
29	28	nnnn0d 12542	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((odℤ‘𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → ((odℤ‘𝑅)‘𝑞) ∈ ℕ0)
30	5, 29	nnexpcld 14258	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((odℤ‘𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → (𝑞↑((odℤ‘𝑅)‘𝑞)) ∈ ℕ)
31	1, 30	eqeltrd 2862	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((odℤ‘𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → (♯‘(Base‘𝑘)) ∈ ℕ)
32		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (chr‘𝑘) = (chr‘𝑘)
33		simplr 778	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((odℤ‘𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → 𝑘 ∈ Field)
34		simprr 782	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((odℤ‘𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → (chr‘𝑘) = 𝑞)
35	34, 3	eqeltrd 2862	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((odℤ‘𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → (chr‘𝑘) ∈ ℙ)
36	6	ad4antr 742	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((odℤ‘𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → 𝑅 ∈ ℕ)
37	12	ad4antr 742	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((odℤ‘𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
38		simpllr 785	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((odℤ‘𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → 𝑞 ∥ 𝑁)
39	34, 38	eqbrtrd 5122	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((odℤ‘𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → (chr‘𝑘) ∥ 𝑁)
40	18	ad4antr 742	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((odℤ‘𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
41		aks5.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (⌊‘((√‘(ϕ‘𝑅)) · (2 logb 𝑁)))
42		aks5.8	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑2) < ((odℤ‘𝑅)‘𝑁))
43	42	ad4antr 742	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((odℤ‘𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → ((2 logb 𝑁)↑2) < ((odℤ‘𝑅)‘𝑁))
44	5	nnzd 12594	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((odℤ‘𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → 𝑞 ∈ ℤ)
45	25	ad2antrr 736	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((odℤ‘𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → (𝑞 gcd 𝑅) = 1)
46		odzid 16830	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ (𝑞 gcd 𝑅) = 1) → 𝑅 ∥ ((𝑞↑((odℤ‘𝑅)‘𝑞)) − 1))
47	36, 44, 45, 46	syl3anc 1390	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((odℤ‘𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → 𝑅 ∥ ((𝑞↑((odℤ‘𝑅)‘𝑞)) − 1))
48	1	eqcomd 2768	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((odℤ‘𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → (𝑞↑((odℤ‘𝑅)‘𝑞)) = (♯‘(Base‘𝑘)))
49	48	oveq1d 7411	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((odℤ‘𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → ((𝑞↑((odℤ‘𝑅)‘𝑞)) − 1) = ((♯‘(Base‘𝑘)) − 1))
50	47, 49	breqtrd 5126	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((odℤ‘𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → 𝑅 ∥ ((♯‘(Base‘𝑘)) − 1))
51		aks5.9	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (1...𝐴)[(𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))(𝑋(+g‘𝑆)((ℤRHom‘𝑆)‘𝑎)))](𝑆 ~QG 𝐿) = [((𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))𝑋)(+g‘𝑆)((ℤRHom‘𝑆)‘𝑎))](𝑆 ~QG 𝐿))
52	51	ad4antr 742	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((odℤ‘𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → ∀𝑎 ∈ (1...𝐴)[(𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))(𝑋(+g‘𝑆)((ℤRHom‘𝑆)‘𝑎)))](𝑆 ~QG 𝐿) = [((𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))𝑋)(+g‘𝑆)((ℤRHom‘𝑆)‘𝑎))](𝑆 ~QG 𝐿))
53		aks5.10	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (1...𝐴)(𝑎 gcd 𝑁) = 1)
54	53	ad4antr 742	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((odℤ‘𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → ∀𝑎 ∈ (1...𝐴)(𝑎 gcd 𝑁) = 1)
55		aks5.3	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
56		aks5.4	. . . 4 ⊢ 𝐿 = ((RSpan‘𝑆)‘{((𝑅(.g‘(mulGrp‘𝑆))𝑋)(-g‘𝑆)(1r‘𝑆))})
57		aks5.2	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
58	31, 32, 33, 35, 36, 37, 39, 40, 41, 43, 50, 52, 54, 55, 56, 57	aks5lem8 42815	. . 3 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((odℤ‘𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑝↑𝑛))
59	2, 27	exfinfldd 42817	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) → ∃𝑘 ∈ Field ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((odℤ‘𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞))
60	58, 59	r19.29a 3170	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑝↑𝑛))
61		uzuzle23 12885	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
62	12, 61	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
63		exprmfct 16739	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑞 ∥ 𝑁)
64	62, 63	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑞 ∥ 𝑁)
65	60, 64	r19.29a 3170	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑝↑𝑛))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1098   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  {csn 4582   class class class wbr 5100  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  [cec 8676  1c1 11074   · cmul 11078   < clt 11216   − cmin 11414  ℕcn 12210  2c2 12272  3c3 12273  ℤcz 12568  ℤ_≥cuz 12839  ...cfz 13512  ⌊cfl 13800  ↑cexp 14074  ♯chash 14343  √csqrt 15260   ∥ cdvds 16286   gcd cgcd 16528  ℙcprime 16705  od_ℤcodz 16798  ϕcphi 16799  Basecbs 17245  +_gcplusg 17286  -_gcsg 18977  ._gcmg 19109   ~_QG cqg 19164  mulGrpcmgp 20186  1_rcur 20227  Fieldcfield 20776  RSpancrsp 21274  ℤRHomczrh 21548  chrcchr 21550  ℤ/nℤczn 21551  var₁cv1 22235  Poly₁cpl1 22236   log_b clogb 26826

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-inf2 9596  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150  ax-pre-sup 11151  ax-addf 11152  ax-mulf 11153  ax-exfinfld 42816

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-iin 4952  df-disj 5068  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-isom 6530  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-of 7660  df-ofr 7661  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8141  df-tpos 8206  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-oadd 8441  df-omul 8442  df-er 8678  df-ec 8680  df-qs 8684  df-map 8810  df-pm 8811  df-ixp 8880  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-fsupp 9308  df-fi 9357  df-sup 9388  df-inf 9389  df-oi 9458  df-dju 9859  df-card 9897  df-acn 9900  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-div 11845  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12482  df-xnn0 12555  df-z 12569  df-dec 12689  df-uz 12840  df-q 12950  df-rp 12994  df-xneg 13114  df-xadd 13115  df-xmul 13116  df-ioo 13353  df-ioc 13354  df-ico 13355  df-icc 13356  df-fz 13513  df-fzo 13660  df-fl 13802  df-mod 13880  df-seq 14015  df-exp 14075  df-fac 14287  df-bc 14316  df-hash 14344  df-shft 15080  df-cj 15126  df-re 15127  df-im 15128  df-sqrt 15262  df-abs 15263  df-limsup 15498  df-clim 15515  df-rlim 15516  df-sum 15714  df-prod 15934  df-fallfac 16037  df-ef 16097  df-sin 16099  df-cos 16100  df-pi 16102  df-dvds 16287  df-gcd 16529  df-prm 16706  df-odz 16800  df-phi 16801  df-pc 16873  df-struct 17183  df-sets 17200  df-slot 17218  df-ndx 17230  df-base 17246  df-ress 17267  df-plusg 17299  df-mulr 17300  df-starv 17301  df-sca 17302  df-vsca 17303  df-ip 17304  df-tset 17305  df-ple 17306  df-ds 17308  df-unif 17309  df-hom 17310  df-cco 17311  df-rest 17451  df-topn 17452  df-0g 17470  df-gsum 17471  df-topgen 17472  df-pt 17473  df-prds 17476  df-pws 17478  df-xrs 17532  df-qtop 17537  df-imas 17538  df-qus 17539  df-xps 17540  df-mre 17614  df-mrc 17615  df-acs 17617  df-mgm 18674  df-sgrp 18753  df-mnd 18769  df-mhm 18817  df-submnd 18818  df-grp 18978  df-minusg 18979  df-sbg 18980  df-mulg 19110  df-subg 19165  df-nsg 19166  df-eqg 19167  df-ghm 19254  df-gim 19299  df-cntz 19357  df-od 19568  df-cmn 19822  df-abl 19823  df-mgp 20187  df-rng 20199  df-ur 20228  df-srg 20233  df-ring 20281  df-cring 20282  df-oppr 20382  df-dvdsr 20402  df-unit 20403  df-invr 20433  df-dvr 20446  df-rhm 20517  df-rim 20518  df-nzr 20559  df-subrng 20592  df-subrg 20616  df-rlreg 20740  df-domn 20741  df-idom 20742  df-drng 20777  df-field 20778  df-lmod 20926  df-lss 20996  df-lsp 21036  df-sra 21237  df-rgmod 21238  df-lidl 21275  df-rsp 21276  df-2idl 21317  df-psmet 21413  df-xmet 21414  df-met 21415  df-bl 21416  df-mopn 21417  df-fbas 21418  df-fg 21419  df-cnfld 21422  df-zring 21496  df-zrh 21552  df-chr 21554  df-zn 21555  df-assa 21902  df-asp 21903  df-ascl 21904  df-psr 21958  df-mvr 21959  df-mpl 21960  df-opsr 21962  df-evls 22124  df-evl 22125  df-psr1 22239  df-vr1 22240  df-ply1 22241  df-coe1 22242  df-evls1 22375  df-evl1 22376  df-top 22951  df-topon 22968  df-topsp 22990  df-bases 23003  df-cld 23076  df-ntr 23077  df-cls 23078  df-nei 23155  df-lp 23193  df-perf 23194  df-cn 23284  df-cnp 23285  df-haus 23372  df-tx 23619  df-hmeo 23812  df-fil 23903  df-fm 23995  df-flim 23996  df-flf 23997  df-xms 24377  df-ms 24378  df-tms 24379  df-cncf 24937  df-limc 25925  df-dv 25926  df-mdeg 26112  df-deg1 26113  df-mon1 26188  df-uc1p 26189  df-q1p 26190  df-r1p 26191  df-log 26618  df-cxp 26619  df-logb 26827  df-primroots 42706

This theorem is referenced by: (None)