Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  aks5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aks5 42183
Description: The AKS Primality test, given an integer 𝑁 greater than or equal to 3, find a coprime 𝑅 such that 𝑅 is big enough. Then, if a bunch of polynomial equalities in the residue ring hold then 𝑁 is a prime power. Currently depends on the axiom ax-exfinfld 42181, since we currently do not have the existence of finite fields in the database. (Contributed by metakunt, 16-Aug-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
aks5.1 𝐴 = (⌊‘((√‘(ϕ‘𝑅)) · (2 logb 𝑁)))
aks5.2 𝑋 = (var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
aks5.3 𝑆 = (Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
aks5.4 𝐿 = ((RSpan‘𝑆)‘{((𝑅(.g‘(mulGrp‘𝑆))𝑋)(-g𝑆)(1r𝑆))})
aks5.5 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘3))
aks5.6 (𝜑𝑅 ∈ ℕ)
aks5.7 (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
aks5.8 (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑2) < ((od𝑅)‘𝑁))
aks5.9 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (1...𝐴)[(𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))(𝑋(+g𝑆)((ℤRHom‘𝑆)‘𝑎)))](𝑆 ~QG 𝐿) = [((𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))𝑋)(+g𝑆)((ℤRHom‘𝑆)‘𝑎))](𝑆 ~QG 𝐿))
aks5.10 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (1...𝐴)(𝑎 gcd 𝑁) = 1)
Assertion
Ref Expression
aks5 (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑝𝑛))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑎   𝑁,𝑎   𝑛,𝑁,𝑝   𝑅,𝑎   𝑅,𝑛,𝑝   𝜑,𝑎   𝜑,𝑛,𝑝
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛,𝑝)   𝑆(𝑛,𝑝,𝑎)   𝐿(𝑛,𝑝,𝑎)   𝑋(𝑛,𝑝,𝑎)

Proof of Theorem aks5
Dummy variables 𝑘 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprl 771 . . . . 5 (((((𝜑𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((od𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → (♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((od𝑅)‘𝑞)))
2 simplr 769 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞𝑁) → 𝑞 ∈ ℙ)
32ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((od𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → 𝑞 ∈ ℙ)
4 prmnn 16707 . . . . . . 7 (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ ℕ)
53, 4syl 17 . . . . . 6 (((((𝜑𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((od𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → 𝑞 ∈ ℕ)
6 aks5.6 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅 ∈ ℕ)
76ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞𝑁) → 𝑅 ∈ ℕ)
82, 4syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞𝑁) → 𝑞 ∈ ℕ)
98nnzd 12636 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞𝑁) → 𝑞 ∈ ℤ)
107nnzd 12636 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞𝑁) → 𝑅 ∈ ℤ)
119, 10gcdcomd 16547 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞𝑁) → (𝑞 gcd 𝑅) = (𝑅 gcd 𝑞))
12 aks5.5 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘3))
1312ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ‘3))
14 eluzelz 12884 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝑁 ∈ ℤ)
1513, 14syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
1610, 9, 153jca 1129 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞𝑁) → (𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
1710, 15gcdcomd 16547 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞𝑁) → (𝑅 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝑅))
18 aks5.7 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
1918ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞𝑁) → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
2017, 19eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞𝑁) → (𝑅 gcd 𝑁) = 1)
21 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞𝑁) → 𝑞𝑁)
2220, 21jca 511 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞𝑁) → ((𝑅 gcd 𝑁) = 1 ∧ 𝑞𝑁))
23 rpdvds 16693 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑅 gcd 𝑁) = 1 ∧ 𝑞𝑁)) → (𝑅 gcd 𝑞) = 1)
2416, 22, 23syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞𝑁) → (𝑅 gcd 𝑞) = 1)
2511, 24eqtrd 2776 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞𝑁) → (𝑞 gcd 𝑅) = 1)
26 odzcl 16827 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ (𝑞 gcd 𝑅) = 1) → ((od𝑅)‘𝑞) ∈ ℕ)
277, 9, 25, 26syl3anc 1373 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞𝑁) → ((od𝑅)‘𝑞) ∈ ℕ)
2827ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((od𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → ((od𝑅)‘𝑞) ∈ ℕ)
2928nnnn0d 12583 . . . . . 6 (((((𝜑𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((od𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → ((od𝑅)‘𝑞) ∈ ℕ0)
305, 29nnexpcld 14280 . . . . 5 (((((𝜑𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((od𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → (𝑞↑((od𝑅)‘𝑞)) ∈ ℕ)
311, 30eqeltrd 2840 . . . 4 (((((𝜑𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((od𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → (♯‘(Base‘𝑘)) ∈ ℕ)
32 eqid 2736 . . . 4 (chr‘𝑘) = (chr‘𝑘)
33 simplr 769 . . . 4 (((((𝜑𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((od𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → 𝑘 ∈ Field)
34 simprr 773 . . . . 5 (((((𝜑𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((od𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → (chr‘𝑘) = 𝑞)
3534, 3eqeltrd 2840 . . . 4 (((((𝜑𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((od𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → (chr‘𝑘) ∈ ℙ)
366ad4antr 732 . . . 4 (((((𝜑𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((od𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → 𝑅 ∈ ℕ)
3712ad4antr 732 . . . 4 (((((𝜑𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((od𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → 𝑁 ∈ (ℤ‘3))
38 simpllr 776 . . . . 5 (((((𝜑𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((od𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → 𝑞𝑁)
3934, 38eqbrtrd 5163 . . . 4 (((((𝜑𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((od𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → (chr‘𝑘) ∥ 𝑁)
4018ad4antr 732 . . . 4 (((((𝜑𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((od𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
41 aks5.1 . . . 4 𝐴 = (⌊‘((√‘(ϕ‘𝑅)) · (2 logb 𝑁)))
42 aks5.8 . . . . 5 (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑2) < ((od𝑅)‘𝑁))
4342ad4antr 732 . . . 4 (((((𝜑𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((od𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → ((2 logb 𝑁)↑2) < ((od𝑅)‘𝑁))
445nnzd 12636 . . . . . 6 (((((𝜑𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((od𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → 𝑞 ∈ ℤ)
4525ad2antrr 726 . . . . . 6 (((((𝜑𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((od𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → (𝑞 gcd 𝑅) = 1)
46 odzid 16828 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ (𝑞 gcd 𝑅) = 1) → 𝑅 ∥ ((𝑞↑((od𝑅)‘𝑞)) − 1))
4736, 44, 45, 46syl3anc 1373 . . . . 5 (((((𝜑𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((od𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → 𝑅 ∥ ((𝑞↑((od𝑅)‘𝑞)) − 1))
481eqcomd 2742 . . . . . 6 (((((𝜑𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((od𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → (𝑞↑((od𝑅)‘𝑞)) = (♯‘(Base‘𝑘)))
4948oveq1d 7444 . . . . 5 (((((𝜑𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((od𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → ((𝑞↑((od𝑅)‘𝑞)) − 1) = ((♯‘(Base‘𝑘)) − 1))
5047, 49breqtrd 5167 . . . 4 (((((𝜑𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((od𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → 𝑅 ∥ ((♯‘(Base‘𝑘)) − 1))
51 aks5.9 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (1...𝐴)[(𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))(𝑋(+g𝑆)((ℤRHom‘𝑆)‘𝑎)))](𝑆 ~QG 𝐿) = [((𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))𝑋)(+g𝑆)((ℤRHom‘𝑆)‘𝑎))](𝑆 ~QG 𝐿))
5251ad4antr 732 . . . 4 (((((𝜑𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((od𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → ∀𝑎 ∈ (1...𝐴)[(𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))(𝑋(+g𝑆)((ℤRHom‘𝑆)‘𝑎)))](𝑆 ~QG 𝐿) = [((𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))𝑋)(+g𝑆)((ℤRHom‘𝑆)‘𝑎))](𝑆 ~QG 𝐿))
53 aks5.10 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (1...𝐴)(𝑎 gcd 𝑁) = 1)
5453ad4antr 732 . . . 4 (((((𝜑𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((od𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → ∀𝑎 ∈ (1...𝐴)(𝑎 gcd 𝑁) = 1)
55 aks5.3 . . . 4 𝑆 = (Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
56 aks5.4 . . . 4 𝐿 = ((RSpan‘𝑆)‘{((𝑅(.g‘(mulGrp‘𝑆))𝑋)(-g𝑆)(1r𝑆))})
57 aks5.2 . . . 4 𝑋 = (var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
5831, 32, 33, 35, 36, 37, 39, 40, 41, 43, 50, 52, 54, 55, 56, 57aks5lem8 42180 . . 3 (((((𝜑𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((od𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑝𝑛))
592, 27exfinfldd 42182 . . 3 (((𝜑𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞𝑁) → ∃𝑘 ∈ Field ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((od𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞))
6058, 59r19.29a 3161 . 2 (((𝜑𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞𝑁) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑝𝑛))
61 uzuzle23 12927 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝑁 ∈ (ℤ‘2))
6212, 61syl 17 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘2))
63 exprmfct 16737 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑞𝑁)
6462, 63syl 17 . 2 (𝜑 → ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑞𝑁)
6560, 64r19.29a 3161 1 (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑝𝑛))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3060  wrex 3069  {csn 4624   class class class wbr 5141  cfv 6559  (class class class)co 7429  [cec 8739  1c1 11152   · cmul 11156   < clt 11291  cmin 11488  cn 12262  2c2 12317  3c3 12318  cz 12609  cuz 12874  ...cfz 13543  cfl 13826  cexp 14098  chash 14365  csqrt 15268  cdvds 16286   gcd cgcd 16527  cprime 16704  odcodz 16796  ϕcphi 16797  Basecbs 17243  +gcplusg 17293  -gcsg 18949  .gcmg 19081   ~QG cqg 19136  mulGrpcmgp 20133  1rcur 20174  Fieldcfield 20722  RSpancrsp 21209  ℤRHomczrh 21502  chrcchr 21504  ℤ/nczn 21505  var1cv1 22167  Poly1cpl1 22168   logb clogb 26797
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5277  ax-sep 5294  ax-nul 5304  ax-pow 5363  ax-pr 5430  ax-un 7751  ax-inf2 9677  ax-cnex 11207  ax-resscn 11208  ax-1cn 11209  ax-icn 11210  ax-addcl 11211  ax-addrcl 11212  ax-mulcl 11213  ax-mulrcl 11214  ax-mulcom 11215  ax-addass 11216  ax-mulass 11217  ax-distr 11218  ax-i2m1 11219  ax-1ne0 11220  ax-1rid 11221  ax-rnegex 11222  ax-rrecex 11223  ax-cnre 11224  ax-pre-lttri 11225  ax-pre-lttrn 11226  ax-pre-ltadd 11227  ax-pre-mulgt0 11228  ax-pre-sup 11229  ax-addf 11230  ax-mulf 11231  ax-exfinfld 42181
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4906  df-int 4945  df-iun 4991  df-iin 4992  df-disj 5109  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5224  df-tr 5258  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5635  df-se 5636  df-we 5637  df-xp 5689  df-rel 5690  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-rn 5694  df-res 5695  df-ima 5696  df-pred 6319  df-ord 6385  df-on 6386  df-lim 6387  df-suc 6388  df-iota 6512  df-fun 6561  df-fn 6562  df-f 6563  df-f1 6564  df-fo 6565  df-f1o 6566  df-fv 6567  df-isom 6568  df-riota 7386  df-ov 7432  df-oprab 7433  df-mpo 7434  df-of 7694  df-ofr 7695  df-om 7884  df-1st 8010  df-2nd 8011  df-supp 8182  df-tpos 8247  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8502  df-2o 8503  df-oadd 8506  df-omul 8507  df-er 8741  df-ec 8743  df-qs 8747  df-map 8864  df-pm 8865  df-ixp 8934  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-fin 8985  df-fsupp 9398  df-fi 9447  df-sup 9478  df-inf 9479  df-oi 9546  df-dju 9937  df-card 9975  df-acn 9978  df-pnf 11293  df-mnf 11294  df-xr 11295  df-ltxr 11296  df-le 11297  df-sub 11490  df-neg 11491  df-div 11917  df-nn 12263  df-2 12325  df-3 12326  df-4 12327  df-5 12328  df-6 12329  df-7 12330  df-8 12331  df-9 12332  df-n0 12523  df-xnn0 12596  df-z 12610  df-dec 12730  df-uz 12875  df-q 12987  df-rp 13031  df-xneg 13150  df-xadd 13151  df-xmul 13152  df-ioo 13387  df-ioc 13388  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-mod 13906  df-seq 14039  df-exp 14099  df-fac 14309  df-bc 14338  df-hash 14366  df-shft 15102  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-limsup 15503  df-clim 15520  df-rlim 15521  df-sum 15719  df-prod 15936  df-fallfac 16039  df-ef 16099  df-sin 16101  df-cos 16102  df-pi 16104  df-dvds 16287  df-gcd 16528  df-prm 16705  df-odz 16798  df-phi 16799  df-pc 16871  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17244  df-ress 17271  df-plusg 17306  df-mulr 17307  df-starv 17308  df-sca 17309  df-vsca 17310  df-ip 17311  df-tset 17312  df-ple 17313  df-ds 17315  df-unif 17316  df-hom 17317  df-cco 17318  df-rest 17463  df-topn 17464  df-0g 17482  df-gsum 17483  df-topgen 17484  df-pt 17485  df-prds 17488  df-pws 17490  df-xrs 17543  df-qtop 17548  df-imas 17549  df-qus 17550  df-xps 17551  df-mre 17625  df-mrc 17626  df-acs 17628  df-mgm 18649  df-sgrp 18728  df-mnd 18744  df-mhm 18792  df-submnd 18793  df-grp 18950  df-minusg 18951  df-sbg 18952  df-mulg 19082  df-subg 19137  df-nsg 19138  df-eqg 19139  df-ghm 19227  df-gim 19273  df-cntz 19331  df-od 19542  df-cmn 19796  df-abl 19797  df-mgp 20134  df-rng 20146  df-ur 20175  df-srg 20180  df-ring 20228  df-cring 20229  df-oppr 20326  df-dvdsr 20349  df-unit 20350  df-invr 20380  df-dvr 20393  df-rhm 20464  df-rim 20465  df-nzr 20505  df-subrng 20538  df-subrg 20562  df-rlreg 20686  df-domn 20687  df-idom 20688  df-drng 20723  df-field 20724  df-lmod 20852  df-lss 20922  df-lsp 20962  df-sra 21164  df-rgmod 21165  df-lidl 21210  df-rsp 21211  df-2idl 21252  df-psmet 21348  df-xmet 21349  df-met 21350  df-bl 21351  df-mopn 21352  df-fbas 21353  df-fg 21354  df-cnfld 21357  df-zring 21450  df-zrh 21506  df-chr 21508  df-zn 21509  df-assa 21865  df-asp 21866  df-ascl 21867  df-psr 21921  df-mvr 21922  df-mpl 21923  df-opsr 21925  df-evls 22090  df-evl 22091  df-psr1 22171  df-vr1 22172  df-ply1 22173  df-coe1 22174  df-evls1 22309  df-evl1 22310  df-top 22890  df-topon 22907  df-topsp 22929  df-bases 22943  df-cld 23017  df-ntr 23018  df-cls 23019  df-nei 23096  df-lp 23134  df-perf 23135  df-cn 23225  df-cnp 23226  df-haus 23313  df-tx 23560  df-hmeo 23753  df-fil 23844  df-fm 23936  df-flim 23937  df-flf 23938  df-xms 24320  df-ms 24321  df-tms 24322  df-cncf 24894  df-limc 25891  df-dv 25892  df-mdeg 26084  df-deg1 26085  df-mon1 26160  df-uc1p 26161  df-q1p 26162  df-r1p 26163  df-log 26588  df-cxp 26589  df-logb 26798  df-primroots 42071
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator