Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  aks5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aks5 42147
Description: The AKS Primality test, given an integer 𝑁 greater than or equal to 3, find a coprime 𝑅 such that 𝑅 is big enough. Then, if a bunch of polynomial equalities in the residue ring hold then 𝑁 is a prime power. Currently depends on the axiom ax-exfinfld 42145, since we currently do not have the existence of finite fields in the database. (Contributed by metakunt, 16-Aug-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
aks5.1 𝐴 = (⌊‘((√‘(ϕ‘𝑅)) · (2 logb 𝑁)))
aks5.2 𝑋 = (var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
aks5.3 𝑆 = (Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
aks5.4 𝐿 = ((RSpan‘𝑆)‘{((𝑅(.g‘(mulGrp‘𝑆))𝑋)(-g𝑆)(1r𝑆))})
aks5.5 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘3))
aks5.6 (𝜑𝑅 ∈ ℕ)
aks5.7 (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
aks5.8 (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑2) < ((od𝑅)‘𝑁))
aks5.9 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (1...𝐴)[(𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))(𝑋(+g𝑆)((ℤRHom‘𝑆)‘𝑎)))](𝑆 ~QG 𝐿) = [((𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))𝑋)(+g𝑆)((ℤRHom‘𝑆)‘𝑎))](𝑆 ~QG 𝐿))
aks5.10 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (1...𝐴)(𝑎 gcd 𝑁) = 1)
Assertion
Ref Expression
aks5 (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑝𝑛))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑎   𝑁,𝑎   𝑛,𝑁,𝑝   𝑅,𝑎   𝑅,𝑛,𝑝   𝜑,𝑎   𝜑,𝑛,𝑝
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛,𝑝)   𝑆(𝑛,𝑝,𝑎)   𝐿(𝑛,𝑝,𝑎)   𝑋(𝑛,𝑝,𝑎)

Proof of Theorem aks5
Dummy variables 𝑘 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprl 770 . . . . 5 (((((𝜑𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((od𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → (♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((od𝑅)‘𝑞)))
2 simplr 768 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞𝑁) → 𝑞 ∈ ℙ)
32ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((od𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → 𝑞 ∈ ℙ)
4 prmnn 16697 . . . . . . 7 (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ ℕ)
53, 4syl 17 . . . . . 6 (((((𝜑𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((od𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → 𝑞 ∈ ℕ)
6 aks5.6 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅 ∈ ℕ)
76ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞𝑁) → 𝑅 ∈ ℕ)
82, 4syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞𝑁) → 𝑞 ∈ ℕ)
98nnzd 12631 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞𝑁) → 𝑞 ∈ ℤ)
107nnzd 12631 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞𝑁) → 𝑅 ∈ ℤ)
119, 10gcdcomd 16537 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞𝑁) → (𝑞 gcd 𝑅) = (𝑅 gcd 𝑞))
12 aks5.5 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘3))
1312ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ‘3))
14 eluzelz 12879 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝑁 ∈ ℤ)
1513, 14syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
1610, 9, 153jca 1126 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞𝑁) → (𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
1710, 15gcdcomd 16537 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞𝑁) → (𝑅 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝑅))
18 aks5.7 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
1918ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞𝑁) → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
2017, 19eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞𝑁) → (𝑅 gcd 𝑁) = 1)
21 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞𝑁) → 𝑞𝑁)
2220, 21jca 511 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞𝑁) → ((𝑅 gcd 𝑁) = 1 ∧ 𝑞𝑁))
23 rpdvds 16683 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑅 gcd 𝑁) = 1 ∧ 𝑞𝑁)) → (𝑅 gcd 𝑞) = 1)
2416, 22, 23syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞𝑁) → (𝑅 gcd 𝑞) = 1)
2511, 24eqtrd 2773 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞𝑁) → (𝑞 gcd 𝑅) = 1)
26 odzcl 16816 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ (𝑞 gcd 𝑅) = 1) → ((od𝑅)‘𝑞) ∈ ℕ)
277, 9, 25, 26syl3anc 1369 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞𝑁) → ((od𝑅)‘𝑞) ∈ ℕ)
2827ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((od𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → ((od𝑅)‘𝑞) ∈ ℕ)
2928nnnn0d 12578 . . . . . 6 (((((𝜑𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((od𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → ((od𝑅)‘𝑞) ∈ ℕ0)
305, 29nnexpcld 14270 . . . . 5 (((((𝜑𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((od𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → (𝑞↑((od𝑅)‘𝑞)) ∈ ℕ)
311, 30eqeltrd 2837 . . . 4 (((((𝜑𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((od𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → (♯‘(Base‘𝑘)) ∈ ℕ)
32 eqid 2733 . . . 4 (chr‘𝑘) = (chr‘𝑘)
33 simplr 768 . . . 4 (((((𝜑𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((od𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → 𝑘 ∈ Field)
34 simprr 772 . . . . 5 (((((𝜑𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((od𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → (chr‘𝑘) = 𝑞)
3534, 3eqeltrd 2837 . . . 4 (((((𝜑𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((od𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → (chr‘𝑘) ∈ ℙ)
366ad4antr 731 . . . 4 (((((𝜑𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((od𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → 𝑅 ∈ ℕ)
3712ad4antr 731 . . . 4 (((((𝜑𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((od𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → 𝑁 ∈ (ℤ‘3))
38 simpllr 775 . . . . 5 (((((𝜑𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((od𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → 𝑞𝑁)
3934, 38eqbrtrd 5171 . . . 4 (((((𝜑𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((od𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → (chr‘𝑘) ∥ 𝑁)
4018ad4antr 731 . . . 4 (((((𝜑𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((od𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
41 aks5.1 . . . 4 𝐴 = (⌊‘((√‘(ϕ‘𝑅)) · (2 logb 𝑁)))
42 aks5.8 . . . . 5 (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑2) < ((od𝑅)‘𝑁))
4342ad4antr 731 . . . 4 (((((𝜑𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((od𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → ((2 logb 𝑁)↑2) < ((od𝑅)‘𝑁))
445nnzd 12631 . . . . . 6 (((((𝜑𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((od𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → 𝑞 ∈ ℤ)
4525ad2antrr 725 . . . . . 6 (((((𝜑𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((od𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → (𝑞 gcd 𝑅) = 1)
46 odzid 16817 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ (𝑞 gcd 𝑅) = 1) → 𝑅 ∥ ((𝑞↑((od𝑅)‘𝑞)) − 1))
4736, 44, 45, 46syl3anc 1369 . . . . 5 (((((𝜑𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((od𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → 𝑅 ∥ ((𝑞↑((od𝑅)‘𝑞)) − 1))
481eqcomd 2739 . . . . . 6 (((((𝜑𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((od𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → (𝑞↑((od𝑅)‘𝑞)) = (♯‘(Base‘𝑘)))
4948oveq1d 7440 . . . . 5 (((((𝜑𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((od𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → ((𝑞↑((od𝑅)‘𝑞)) − 1) = ((♯‘(Base‘𝑘)) − 1))
5047, 49breqtrd 5175 . . . 4 (((((𝜑𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((od𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → 𝑅 ∥ ((♯‘(Base‘𝑘)) − 1))
51 aks5.9 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (1...𝐴)[(𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))(𝑋(+g𝑆)((ℤRHom‘𝑆)‘𝑎)))](𝑆 ~QG 𝐿) = [((𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))𝑋)(+g𝑆)((ℤRHom‘𝑆)‘𝑎))](𝑆 ~QG 𝐿))
5251ad4antr 731 . . . 4 (((((𝜑𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((od𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → ∀𝑎 ∈ (1...𝐴)[(𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))(𝑋(+g𝑆)((ℤRHom‘𝑆)‘𝑎)))](𝑆 ~QG 𝐿) = [((𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))𝑋)(+g𝑆)((ℤRHom‘𝑆)‘𝑎))](𝑆 ~QG 𝐿))
53 aks5.10 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (1...𝐴)(𝑎 gcd 𝑁) = 1)
5453ad4antr 731 . . . 4 (((((𝜑𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((od𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → ∀𝑎 ∈ (1...𝐴)(𝑎 gcd 𝑁) = 1)
55 aks5.3 . . . 4 𝑆 = (Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
56 aks5.4 . . . 4 𝐿 = ((RSpan‘𝑆)‘{((𝑅(.g‘(mulGrp‘𝑆))𝑋)(-g𝑆)(1r𝑆))})
57 aks5.2 . . . 4 𝑋 = (var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
5831, 32, 33, 35, 36, 37, 39, 40, 41, 43, 50, 52, 54, 55, 56, 57aks5lem8 42144 . . 3 (((((𝜑𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((od𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑝𝑛))
592, 27exfinfldd 42146 . . 3 (((𝜑𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞𝑁) → ∃𝑘 ∈ Field ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((od𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞))
6058, 59r19.29a 3158 . 2 (((𝜑𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞𝑁) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑝𝑛))
61 uzuzle23 12922 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝑁 ∈ (ℤ‘2))
6212, 61syl 17 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘2))
63 exprmfct 16727 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑞𝑁)
6462, 63syl 17 . 2 (𝜑 → ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑞𝑁)
6560, 64r19.29a 3158 1 (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑝𝑛))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1085   = wceq 1535  wcel 2104  wral 3057  wrex 3066  {csn 4630   class class class wbr 5149  cfv 6558  (class class class)co 7425  [cec 8736  1c1 11147   · cmul 11151   < clt 11286  cmin 11483  cn 12257  2c2 12312  3c3 12313  cz 12604  cuz 12869  ...cfz 13537  cfl 13816  cexp 14088  chash 14355  csqrt 15258  cdvds 16276   gcd cgcd 16517  cprime 16694  odcodz 16786  ϕcphi 16787  Basecbs 17234  +gcplusg 17287  -gcsg 18951  .gcmg 19083   ~QG cqg 19138  mulGrpcmgp 20137  1rcur 20184  Fieldcfield 20728  RSpancrsp 21216  ℤRHomczrh 21509  chrcchr 21511  ℤ/nczn 21512  var1cv1 22174  Poly1cpl1 22175   logb clogb 26803
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2137  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5366  ax-pr 5430  ax-un 7747  ax-inf2 9672  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224  ax-addf 11225  ax-mulf 11226  ax-exfinfld 42145
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1538  df-fal 1548  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2536  df-eu 2565  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2812  df-nfc 2888  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4915  df-int 4954  df-iun 5000  df-iin 5001  df-disj 5117  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5635  df-se 5636  df-we 5637  df-xp 5689  df-rel 5690  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-rn 5694  df-res 5695  df-ima 5696  df-pred 6317  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6510  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-isom 6567  df-riota 7381  df-ov 7428  df-oprab 7429  df-mpo 7430  df-of 7691  df-ofr 7692  df-om 7881  df-1st 8007  df-2nd 8008  df-supp 8179  df-tpos 8244  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8499  df-2o 8500  df-oadd 8503  df-omul 8504  df-er 8738  df-ec 8740  df-qs 8744  df-map 8861  df-pm 8862  df-ixp 8931  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-fin 8982  df-fsupp 9394  df-fi 9442  df-sup 9473  df-inf 9474  df-oi 9541  df-dju 9932  df-card 9970  df-acn 9973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11485  df-neg 11486  df-div 11912  df-nn 12258  df-2 12320  df-3 12321  df-4 12322  df-5 12323  df-6 12324  df-7 12325  df-8 12326  df-9 12327  df-n0 12518  df-xnn0 12591  df-z 12605  df-dec 12725  df-uz 12870  df-q 12982  df-rp 13026  df-xneg 13145  df-xadd 13146  df-xmul 13147  df-ioo 13381  df-ioc 13382  df-ico 13383  df-icc 13384  df-fz 13538  df-fzo 13682  df-fl 13818  df-mod 13896  df-seq 14029  df-exp 14089  df-fac 14299  df-bc 14328  df-hash 14356  df-shft 15092  df-cj 15124  df-re 15125  df-im 15126  df-sqrt 15260  df-abs 15261  df-limsup 15493  df-clim 15510  df-rlim 15511  df-sum 15709  df-prod 15926  df-fallfac 16029  df-ef 16089  df-sin 16091  df-cos 16092  df-pi 16094  df-dvds 16277  df-gcd 16518  df-prm 16695  df-odz 16788  df-phi 16789  df-pc 16860  df-struct 17170  df-sets 17187  df-slot 17205  df-ndx 17217  df-base 17235  df-ress 17264  df-plusg 17300  df-mulr 17301  df-starv 17302  df-sca 17303  df-vsca 17304  df-ip 17305  df-tset 17306  df-ple 17307  df-ds 17309  df-unif 17310  df-hom 17311  df-cco 17312  df-rest 17458  df-topn 17459  df-0g 17477  df-gsum 17478  df-topgen 17479  df-pt 17480  df-prds 17483  df-pws 17485  df-xrs 17538  df-qtop 17543  df-imas 17544  df-qus 17545  df-xps 17546  df-mre 17620  df-mrc 17621  df-acs 17623  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-mhm 18794  df-submnd 18795  df-grp 18952  df-minusg 18953  df-sbg 18954  df-mulg 19084  df-subg 19139  df-nsg 19140  df-eqg 19141  df-ghm 19229  df-gim 19275  df-cntz 19333  df-od 19546  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20156  df-ur 20185  df-srg 20190  df-ring 20238  df-cring 20239  df-oppr 20336  df-dvdsr 20359  df-unit 20360  df-invr 20390  df-dvr 20403  df-rhm 20474  df-rim 20475  df-nzr 20515  df-subrng 20548  df-subrg 20573  df-rlreg 20692  df-domn 20693  df-idom 20694  df-drng 20729  df-field 20730  df-lmod 20858  df-lss 20929  df-lsp 20969  df-sra 21171  df-rgmod 21172  df-lidl 21217  df-rsp 21218  df-2idl 21259  df-psmet 21355  df-xmet 21356  df-met 21357  df-bl 21358  df-mopn 21359  df-fbas 21360  df-fg 21361  df-cnfld 21364  df-zring 21457  df-zrh 21513  df-chr 21515  df-zn 21516  df-assa 21872  df-asp 21873  df-ascl 21874  df-psr 21928  df-mvr 21929  df-mpl 21930  df-opsr 21932  df-evls 22097  df-evl 22098  df-psr1 22178  df-vr1 22179  df-ply1 22180  df-coe1 22181  df-evls1 22316  df-evl1 22317  df-top 22897  df-topon 22914  df-topsp 22936  df-bases 22950  df-cld 23024  df-ntr 23025  df-cls 23026  df-nei 23103  df-lp 23141  df-perf 23142  df-cn 23232  df-cnp 23233  df-haus 23320  df-tx 23567  df-hmeo 23760  df-fil 23851  df-fm 23943  df-flim 23944  df-flf 23945  df-xms 24327  df-ms 24328  df-tms 24329  df-cncf 24899  df-limc 25897  df-dv 25898  df-mdeg 26090  df-deg1 26091  df-mon1 26166  df-uc1p 26167  df-q1p 26168  df-r1p 26169  df-log 26594  df-cxp 26595  df-logb 26804  df-primroots 42035
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator