Theorem aks5 43029

Description: The AKS Primality test, given an integer 𝑁 greater than or equal to 3, find a coprime 𝑅 such that 𝑅 is big enough. Then, if a bunch of polynomial equalities in the residue ring hold then 𝑁 is a prime power. Currently depends on the axiom ax-exfinfld 43027, since we currently do not have the existence of finite fields in the database. (Contributed by metakunt, 16-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
aks5.1	⊢ 𝐴 = (⌊‘((√‘(ϕ‘𝑅)) · (2 logb 𝑁)))
aks5.2	⊢ 𝑋 = (var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
aks5.3	⊢ 𝑆 = (Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
aks5.4	⊢ 𝐿 = ((RSpan‘𝑆)‘{((𝑅(.g‘(mulGrp‘𝑆))𝑋)(-g‘𝑆)(1r‘𝑆))})
aks5.5	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
aks5.6	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
aks5.7	⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
aks5.8	⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑2) < ((odℤ‘𝑅)‘𝑁))
aks5.9	⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (1...𝐴)[(𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))(𝑋(+g‘𝑆)((ℤRHom‘𝑆)‘𝑎)))](𝑆 ~QG 𝐿) = [((𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))𝑋)(+g‘𝑆)((ℤRHom‘𝑆)‘𝑎))](𝑆 ~QG 𝐿))
aks5.10	⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (1...𝐴)(𝑎 gcd 𝑁) = 1)

Assertion

Ref	Expression
aks5	⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑝↑𝑛))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎   𝑁,𝑎   𝑛,𝑁,𝑝   𝑅,𝑎   𝑅,𝑛,𝑝   𝜑,𝑎   𝜑,𝑛,𝑝

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛, 𝑝)   𝑆(𝑛, 𝑝, 𝑎)   𝐿(𝑛, 𝑝, 𝑎)   𝑋(𝑛, 𝑝, 𝑎)

Proof of Theorem aks5

Dummy variables 𝑘 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 783	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((odℤ‘𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → (♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((odℤ‘𝑅)‘𝑞)))
2		simplr 781	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) → 𝑞 ∈ ℙ)
3	2	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((odℤ‘𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → 𝑞 ∈ ℙ)
4		prmnn 16754	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ ℕ)
5	3, 4	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((odℤ‘𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → 𝑞 ∈ ℕ)
6		aks5.6	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
7	6	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) → 𝑅 ∈ ℕ)
8	2, 4	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) → 𝑞 ∈ ℕ)
9	8	nnzd 12632	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) → 𝑞 ∈ ℤ)
10	7	nnzd 12632	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) → 𝑅 ∈ ℤ)
11	9, 10	gcdcomd 16594	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) → (𝑞 gcd 𝑅) = (𝑅 gcd 𝑞))
12		aks5.5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
13	12	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
14		eluzelz 12888	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℤ)
15	13, 14	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
16	10, 9, 15	3jca 1146	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) → (𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
17	10, 15	gcdcomd 16594	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) → (𝑅 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝑅))
18		aks5.7	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
19	18	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
20	17, 19	eqtrd 2800	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) → (𝑅 gcd 𝑁) = 1)
21		simpr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) → 𝑞 ∥ 𝑁)
22	20, 21	jca 521	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) → ((𝑅 gcd 𝑁) = 1 ∧ 𝑞 ∥ 𝑁))
23		rpdvds 16740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑅 gcd 𝑁) = 1 ∧ 𝑞 ∥ 𝑁)) → (𝑅 gcd 𝑞) = 1)
24	16, 22, 23	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) → (𝑅 gcd 𝑞) = 1)
25	11, 24	eqtrd 2800	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) → (𝑞 gcd 𝑅) = 1)
26		odzcl 16875	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ (𝑞 gcd 𝑅) = 1) → ((odℤ‘𝑅)‘𝑞) ∈ ℕ)
27	7, 9, 25, 26	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) → ((odℤ‘𝑅)‘𝑞) ∈ ℕ)
28	27	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((odℤ‘𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → ((odℤ‘𝑅)‘𝑞) ∈ ℕ)
29	28	nnnn0d 12580	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((odℤ‘𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → ((odℤ‘𝑅)‘𝑞) ∈ ℕ0)
30	5, 29	nnexpcld 14299	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((odℤ‘𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → (𝑞↑((odℤ‘𝑅)‘𝑞)) ∈ ℕ)
31	1, 30	eqeltrd 2865	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((odℤ‘𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → (♯‘(Base‘𝑘)) ∈ ℕ)
32		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (chr‘𝑘) = (chr‘𝑘)
33		simplr 781	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((odℤ‘𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → 𝑘 ∈ Field)
34		simprr 785	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((odℤ‘𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → (chr‘𝑘) = 𝑞)
35	34, 3	eqeltrd 2865	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((odℤ‘𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → (chr‘𝑘) ∈ ℙ)
36	6	ad4antr 745	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((odℤ‘𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → 𝑅 ∈ ℕ)
37	12	ad4antr 745	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((odℤ‘𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
38		simpllr 788	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((odℤ‘𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → 𝑞 ∥ 𝑁)
39	34, 38	eqbrtrd 5135	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((odℤ‘𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → (chr‘𝑘) ∥ 𝑁)
40	18	ad4antr 745	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((odℤ‘𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → (𝑁 gcd 𝑅) = 1)
41		aks5.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (⌊‘((√‘(ϕ‘𝑅)) · (2 logb 𝑁)))
42		aks5.8	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑2) < ((odℤ‘𝑅)‘𝑁))
43	42	ad4antr 745	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((odℤ‘𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → ((2 logb 𝑁)↑2) < ((odℤ‘𝑅)‘𝑁))
44	5	nnzd 12632	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((odℤ‘𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → 𝑞 ∈ ℤ)
45	25	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((odℤ‘𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → (𝑞 gcd 𝑅) = 1)
46		odzid 16876	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ (𝑞 gcd 𝑅) = 1) → 𝑅 ∥ ((𝑞↑((odℤ‘𝑅)‘𝑞)) − 1))
47	36, 44, 45, 46	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((odℤ‘𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → 𝑅 ∥ ((𝑞↑((odℤ‘𝑅)‘𝑞)) − 1))
48	1	eqcomd 2771	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((odℤ‘𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → (𝑞↑((odℤ‘𝑅)‘𝑞)) = (♯‘(Base‘𝑘)))
49	48	oveq1d 7434	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((odℤ‘𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → ((𝑞↑((odℤ‘𝑅)‘𝑞)) − 1) = ((♯‘(Base‘𝑘)) − 1))
50	47, 49	breqtrd 5139	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((odℤ‘𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → 𝑅 ∥ ((♯‘(Base‘𝑘)) − 1))
51		aks5.9	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (1...𝐴)[(𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))(𝑋(+g‘𝑆)((ℤRHom‘𝑆)‘𝑎)))](𝑆 ~QG 𝐿) = [((𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))𝑋)(+g‘𝑆)((ℤRHom‘𝑆)‘𝑎))](𝑆 ~QG 𝐿))
52	51	ad4antr 745	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((odℤ‘𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → ∀𝑎 ∈ (1...𝐴)[(𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))(𝑋(+g‘𝑆)((ℤRHom‘𝑆)‘𝑎)))](𝑆 ~QG 𝐿) = [((𝑁(.g‘(mulGrp‘𝑆))𝑋)(+g‘𝑆)((ℤRHom‘𝑆)‘𝑎))](𝑆 ~QG 𝐿))
53		aks5.10	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (1...𝐴)(𝑎 gcd 𝑁) = 1)
54	53	ad4antr 745	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((odℤ‘𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → ∀𝑎 ∈ (1...𝐴)(𝑎 gcd 𝑁) = 1)
55		aks5.3	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (Poly1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
56		aks5.4	. . . 4 ⊢ 𝐿 = ((RSpan‘𝑆)‘{((𝑅(.g‘(mulGrp‘𝑆))𝑋)(-g‘𝑆)(1r‘𝑆))})
57		aks5.2	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (var1‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
58	31, 32, 33, 35, 36, 37, 39, 40, 41, 43, 50, 52, 54, 55, 56, 57	aks5lem8 43026	. . 3 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) ∧ 𝑘 ∈ Field) ∧ ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((odℤ‘𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞)) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑝↑𝑛))
59	2, 27	exfinfldd 43028	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) → ∃𝑘 ∈ Field ((♯‘(Base‘𝑘)) = (𝑞↑((odℤ‘𝑅)‘𝑞)) ∧ (chr‘𝑘) = 𝑞))
60	58, 59	r19.29a 3175	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ 𝑁) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑝↑𝑛))
61		uzuzle23 12924	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
62	12, 61	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
63		exprmfct 16785	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑞 ∥ 𝑁)
64	62, 63	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑞 ∥ 𝑁)
65	60, 64	r19.29a 3175	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑁 = (𝑝↑𝑛))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081  ∃wrex 3091  {csn 4591   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  [cec 8698  1c1 11116   · cmul 11120   < clt 11258   − cmin 11456  ℕcn 12248  2c2 12310  3c3 12311  ℤcz 12606  ℤ_≥cuz 12878  ...cfz 13551  ⌊cfl 13841  ↑cexp 14115  ♯chash 14384  √csqrt 15308   ∥ cdvds 16332   gcd cgcd 16574  ℙcprime 16751  od_ℤcodz 16844  ϕcphi 16845  Basecbs 17291  +_gcplusg 17332  -_gcsg 19046  ._gcmg 19177   ~_QG cqg 19232  mulGrpcmgp 20260  1_rcur 20307  Fieldcfield 20878  RSpancrsp 21381  ℤRHomczrh 21699  chrcchr 21701  ℤ/nℤczn 21702  var₁cv1 22386  Poly₁cpl1 22387   log_b clogb 26980

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-inf2 9617  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192  ax-pre-sup 11193  ax-addf 11194  ax-mulf 11195  ax-exfinfld 43027

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-disj 5079  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7684  df-ofr 7685  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-supp 8163  df-tpos 8228  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-oadd 8463  df-omul 8464  df-er 8700  df-ec 8702  df-qs 8706  df-map 8832  df-pm 8833  df-ixp 8902  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-fsupp 9329  df-fi 9378  df-sup 9409  df-inf 9410  df-oi 9479  df-dju 9903  df-card 9941  df-acn 9944  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-div 11887  df-nn 12249  df-2 12318  df-3 12319  df-4 12320  df-5 12321  df-6 12322  df-7 12323  df-8 12324  df-9 12325  df-n0 12520  df-xnn0 12593  df-z 12607  df-dec 12728  df-uz 12879  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13153  df-xadd 13154  df-xmul 13155  df-ioo 13392  df-ioc 13393  df-ico 13394  df-icc 13395  df-fz 13552  df-fzo 13700  df-fl 13843  df-mod 13921  df-seq 14056  df-exp 14116  df-fac 14328  df-bc 14357  df-hash 14385  df-shft 15128  df-cj 15174  df-re 15175  df-im 15176  df-sqrt 15310  df-abs 15311  df-limsup 15546  df-clim 15563  df-rlim 15564  df-sum 15762  df-prod 15981  df-fallfac 16084  df-ef 16143  df-sin 16145  df-cos 16146  df-pi 16148  df-dvds 16333  df-gcd 16575  df-prm 16752  df-odz 16846  df-phi 16847  df-pc 16919  df-struct 17229  df-sets 17246  df-slot 17264  df-ndx 17276  df-base 17292  df-ress 17313  df-plusg 17345  df-mulr 17346  df-starv 17347  df-sca 17348  df-vsca 17349  df-ip 17350  df-tset 17351  df-ple 17352  df-ds 17354  df-unif 17355  df-hom 17356  df-cco 17357  df-rest 17497  df-topn 17498  df-0g 17516  df-gsum 17517  df-topgen 17518  df-pt 17519  df-prds 17522  df-pws 17524  df-xrs 17578  df-qtop 17583  df-imas 17584  df-qus 17585  df-xps 17586  df-mre 17660  df-mrc 17661  df-acs 17663  df-mgm 18720  df-sgrp 18809  df-mnd 18825  df-mhm 18878  df-submnd 18879  df-grp 19047  df-minusg 19048  df-sbg 19049  df-mulg 19178  df-subg 19233  df-nsg 19234  df-eqg 19235  df-ghm 19328  df-gim 19373  df-cntz 19431  df-od 19642  df-cmn 19896  df-abl 19897  df-mgp 20261  df-rng 20275  df-ur 20308  df-srg 20313  df-ring 20361  df-cring 20362  df-oppr 20465  df-dvdsr 20485  df-unit 20486  df-invr 20516  df-dvr 20529  df-rhm 20600  df-rim 20601  df-nzr 20660  df-subrng 20695  df-subrg 20719  df-rlreg 20843  df-domn 20844  df-idom 20845  df-drng 20879  df-field 20880  df-lmod 21033  df-lss 21103  df-lsp 21143  df-sra 21344  df-rgmod 21345  df-lidl 21382  df-rsp 21383  df-2idl 21439  df-psmet 21564  df-xmet 21565  df-met 21566  df-bl 21567  df-mopn 21568  df-fbas 21569  df-fg 21570  df-cnfld 21573  df-zring 21647  df-zrh 21703  df-chr 21705  df-zn 21706  df-assa 22053  df-asp 22054  df-ascl 22055  df-psr 22109  df-mvr 22110  df-mpl 22111  df-opsr 22113  df-evls 22275  df-evl 22276  df-psr1 22390  df-vr1 22391  df-ply1 22392  df-coe1 22393  df-evls1 22525  df-evl1 22526  df-top 23101  df-topon 23118  df-topsp 23140  df-bases 23153  df-cld 23226  df-ntr 23227  df-cls 23228  df-nei 23305  df-lp 23343  df-perf 23344  df-cn 23434  df-cnp 23435  df-haus 23522  df-tx 23770  df-hmeo 23963  df-fil 24054  df-fm 24146  df-flim 24147  df-flf 24148  df-xms 24528  df-ms 24529  df-tms 24530  df-cncf 25088  df-limc 26076  df-dv 26077  df-mdeg 26263  df-deg1 26264  df-mon1 26339  df-uc1p 26340  df-q1p 26341  df-r1p 26342  df-log 26772  df-cxp 26773  df-logb 26981  df-primroots 42917

This theorem is used by: (None)