Theorem 5eluz3 12903

Description: 5 is an integer greater than or equal to 3. (Contributed by AV, 7-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
5eluz3	⊢ 5 ∈ (ℤ≥‘3)

Proof of Theorem 5eluz3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3z 12623	. 2 ⊢ 3 ∈ ℤ
2		5nn 12323	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ
3	2	nnzi 12614	. 2 ⊢ 5 ∈ ℤ
4		3re 12317	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℝ
5		5re 12324	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℝ
6		3lt5 12417	. . 3 ⊢ 3 < 5
7	4, 5, 6	ltleii 11329	. 2 ⊢ 3 ≤ 5
8		eluz2 12864	. 2 ⊢ (5 ∈ (ℤ≥‘3) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ 5 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 5))
9	1, 3, 7, 8	mpbir3an 1358	1 ⊢ 5 ∈ (ℤ≥‘3)

Syntax hints:   ∈ wcel 2149   class class class wbr 5110  ‘cfv 6533   ≤ cle 11240  3c3 12292  5c5 12294  ℤcz 12587  ℤ_≥cuz 12858

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-z 12588  df-uz 12859

This theorem is referenced by:  uzuzle35  12907  gpg5nbgrvtx13starlem1  48718  gpg5nbgrvtx13starlem2  48719  gpg5nbgrvtx13starlem3  48720  gpg5nbgr3star  48728  gpg5gricstgr3  48737  pgjsgr  48739  gpg5grlim  48740  gpg5grlic  48741  pgnioedg1  48755  pgnioedg2  48756  pgnioedg3  48757  pgnioedg4  48758  pgnioedg5  48759  pgnbgreunbgrlem1  48760  pgnbgreunbgrlem2lem1  48761  pgnbgreunbgrlem2lem2  48762  pgnbgreunbgrlem2lem3  48763  pgnbgreunbgrlem3  48765  pgnbgreunbgrlem4  48766  pgnbgreunbgrlem5lem1  48767  pgnbgreunbgrlem5lem2  48768  pgnbgreunbgrlem5lem3  48769  pgnbgreunbgrlem6  48771  pgnbgreunbgr  48772  gpg5ngric  48775  gpg5edgnedg  48777  grlimedgnedg  48778