Theorem 5eluz3 13014

Description: 5 is an integer greater than or equal to 3. (Contributed by AV, 7-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
5eluz3	⊢ 5 ∈ (ℤ≥‘3)

Proof of Theorem 5eluz3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3z 12733	. 2 ⊢ 3 ∈ ℤ
2		5nn 12433	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ
3	2	nnzi 12724	. 2 ⊢ 5 ∈ ℤ
4		3re 12427	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℝ
5		5re 12434	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℝ
6		3lt5 12527	. . 3 ⊢ 3 < 5
7	4, 5, 6	ltleii 11437	. 2 ⊢ 3 ≤ 5
8		eluz2 12975	. 2 ⊢ (5 ∈ (ℤ≥‘3) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ 5 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 5))
9	1, 3, 7, 8	mpbir3an 1360	1 ⊢ 5 ∈ (ℤ≥‘3)

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  ‘cfv 6539   ≤ cle 11348  3c3 12402  5c5 12404  ℤcz 12697  ℤ_≥cuz 12969

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-4 12411  df-5 12412  df-z 12698  df-uz 12970

This theorem is used by:  uzuzle35  13018  gpg5nbgrvtx13starlem1  49263  gpg5nbgrvtx13starlem2  49264  gpg5nbgrvtx13starlem3  49265  gpg5nbgr3star  49273  gpg5gricstgr3  49282  pgjsgr  49284  gpg5grlim  49285  gpg5grlic  49286  pgnioedg1  49300  pgnioedg2  49301  pgnioedg3  49302  pgnioedg4  49303  pgnioedg5  49304  pgnbgreunbgrlem1  49305  pgnbgreunbgrlem2lem1  49306  pgnbgreunbgrlem2lem2  49307  pgnbgreunbgrlem2lem3  49308  pgnbgreunbgrlem3  49310  pgnbgreunbgrlem4  49311  pgnbgreunbgrlem5lem1  49312  pgnbgreunbgrlem5lem2  49313  pgnbgreunbgrlem5lem3  49314  pgnbgreunbgrlem6  49316  pgnbgreunbgr  49317  gpg5ngric  49320  gpg5edgnedg  49322  grlimedgnedg  49323