Theorem 5eluz3 12848

Description: 5 is an integer greater than or equal to 3. (Contributed by AV, 7-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
5eluz3	⊢ 5 ∈ (ℤ≥‘3)

Proof of Theorem 5eluz3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3z 12572	. 2 ⊢ 3 ∈ ℤ
2		5nn 12273	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ
3	2	nnzi 12563	. 2 ⊢ 5 ∈ ℤ
4		3re 12267	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℝ
5		5re 12274	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℝ
6		3lt5 12365	. . 3 ⊢ 3 < 5
7	4, 5, 6	ltleii 11303	. 2 ⊢ 3 ≤ 5
8		eluz2 12805	. 2 ⊢ (5 ∈ (ℤ≥‘3) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ 5 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 5))
9	1, 3, 7, 8	mpbir3an 1342	1 ⊢ 5 ∈ (ℤ≥‘3)

Syntax hints:   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5109  ‘cfv 6513   ≤ cle 11215  3c3 12243  5c5 12245  ℤcz 12535  ℤ_≥cuz 12799

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-om 7845  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-er 8673  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12188  df-2 12250  df-3 12251  df-4 12252  df-5 12253  df-z 12536  df-uz 12800

This theorem is referenced by:  uzuzle35  12852  gpg5nbgrvtx13starlem1  48052  gpg5nbgrvtx13starlem2  48053  gpg5nbgrvtx13starlem3  48054  gpg5nbgr3star  48062  gpg5gricstgr3  48071  pgjsgr  48073  gpg5grlic  48074  pgnioedg1  48088  pgnioedg2  48089  pgnioedg3  48090  pgnioedg4  48091  pgnioedg5  48092  pgnbgreunbgrlem1  48093  pgnbgreunbgrlem2lem1  48094  pgnbgreunbgrlem2lem2  48095  pgnbgreunbgrlem2lem3  48096  pgnbgreunbgrlem3  48098  pgnbgreunbgrlem4  48099  pgnbgreunbgrlem5lem1  48100  pgnbgreunbgrlem5lem2  48101  pgnbgreunbgrlem5lem3  48102  pgnbgreunbgrlem6  48104  pgnbgreunbgr  48105  gpg5ngric  48108