gpgusgralem - Mathbox for Alexander van der Vekens

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Theorem gpgusgralem 47900

Description: Lemma for gpgusgra 47901. (Contributed by AV, 27-Aug-2025.) (Proof shortened by AV, 6-Sep-2025.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
gpgusgralem.j	⊢ 𝐽 = (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))
gpgusgralem.i	⊢ 𝐼 = (0..^𝑁)

**Assertion**
Ref	Expression
gpgusgralem	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → {𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼) ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐼 (𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})} ⊆ {𝑝 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼) ∣ (♯‘𝑝) = 2})

Distinct variable groups: 𝑒,𝐼,𝑝 𝑥,𝐼 𝑒,𝐽,𝑥 𝑒,𝐾,𝑥 𝑒,𝑁,𝑥 Allowed substitution hints: 𝐽(𝑝) 𝐾(𝑝) 𝑁(𝑝)

**Proof of Theorem gpgusgralem**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzuzle23 12963	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2))
2	1	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2))
3	2	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼)) → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2))
4		gpgusgralem.i	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐼 = (0..^𝑁)
5	4	eleq2i 2836	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↔ 𝑥 ∈ (0..^𝑁))
6	5	biimpi 216	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 → 𝑥 ∈ (0..^𝑁))
7		p1modne 47270	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑥 + 1) mod 𝑁) ≠ 𝑥)
8	3, 6, 7	syl2an 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑥 + 1) mod 𝑁) ≠ 𝑥)
9	8	necomd 3002	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑥 ≠ ((𝑥 + 1) mod 𝑁))
10	9	olcd 873	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (0 ≠ 0 ∨ 𝑥 ≠ ((𝑥 + 1) mod 𝑁)))
11		0z 12656	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℤ
12		vex 3492	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑥 ∈ V
13		opthneg 5502	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ V) → (⟨0, 𝑥⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩ ↔ (0 ≠ 0 ∨ 𝑥 ≠ ((𝑥 + 1) mod 𝑁))))
14	11, 12, 13	mp2an 691	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨0, 𝑥⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩ ↔ (0 ≠ 0 ∨ 𝑥 ≠ ((𝑥 + 1) mod 𝑁)))
15	10, 14	sylibr 234	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ⟨0, 𝑥⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩)
16		opex 5485	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨0, 𝑥⟩ ∈ V
17		opex 5485	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩ ∈ V
18		hashprg 14461	. . . . . . . 8 ⊢ ((⟨0, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩ ∈ V) → (⟨0, 𝑥⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩ ↔ (♯‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩}) = 2))
19	16, 17, 18	mp2an 691	. . . . . . 7 ⊢ (⟨0, 𝑥⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩ ↔ (♯‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩}) = 2)
20	15, 19	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (♯‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩}) = 2)
21		fveqeq2 6932	. . . . . 6 ⊢ (𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} → ((♯‘𝑒) = 2 ↔ (♯‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩}) = 2))
22	20, 21	syl5ibrcom 247	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} → (♯‘𝑒) = 2))
23		0ne1 12369	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ≠ 1
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩}) → 0 ≠ 1)
25	24	orcd 872	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩}) → (0 ≠ 1 ∨ 𝑥 ≠ 𝑥))
26		opthneg 5502	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ V) → (⟨0, 𝑥⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ↔ (0 ≠ 1 ∨ 𝑥 ≠ 𝑥)))
27	11, 12, 26	mp2an 691	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨0, 𝑥⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ↔ (0 ≠ 1 ∨ 𝑥 ≠ 𝑥))
28	25, 27	sylibr 234	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩}) → ⟨0, 𝑥⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩)
29		opex 5485	. . . . . . . . 9 ⊢ ⟨1, 𝑥⟩ ∈ V
30		hashprg 14461	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⟨0, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 𝑥⟩ ∈ V) → (⟨0, 𝑥⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ↔ (♯‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩}) = 2))
31	16, 29, 30	mp2an 691	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨0, 𝑥⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ↔ (♯‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩}) = 2)
32	28, 31	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩}) → (♯‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩}) = 2)
33		fveqeq2 6932	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} → ((♯‘𝑒) = 2 ↔ (♯‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩}) = 2))
34	33	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩}) → ((♯‘𝑒) = 2 ↔ (♯‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩}) = 2))
35	32, 34	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩}) → (♯‘𝑒) = 2)
36	35	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} → (♯‘𝑒) = 2))
37		eluzge3nn 12964	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → 𝑁 ∈ ℕ)
38	37	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑁 ∈ ℕ)
39		elfzo0 13768	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑁))
40	5, 39	bitri 275	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↔ (𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑁))
41		3simpb 1149	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑁) → (𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑥 < 𝑁))
42	40, 41	sylbi 217	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 → (𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑥 < 𝑁))
43	42	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑥 < 𝑁))
44		gpgusgralem.j	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝐽 = (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))
45	44	eleq2i 2836	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐽 ↔ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))))
46		elfzo1 13780	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) ↔ (𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (⌈‘(𝑁 / 2))))
47	45, 46	bitri 275	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐽 ↔ (𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (⌈‘(𝑁 / 2))))
48		simpl1 1191	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (⌈‘(𝑁 / 2))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → 𝐾 ∈ ℕ)
49		nnre 12305	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℝ)
50		nnre 12305	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ → (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℝ)
51		eluzelre 12921	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → 𝑁 ∈ ℝ)
52	49, 50, 51	3anim123i 1151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (𝐾 ∈ ℝ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
53	51	rehalfcld 12545	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
54	53	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
55		eluzelz 12920	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → 𝑁 ∈ ℤ)
56	55	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → 𝑁 ∈ ℤ)
57		eluz2 12916	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝑁))
58		simp2 1137	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
59		0re 11295	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ 0 ∈ ℝ
60	59	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝑁) → 0 ∈ ℝ)
61		3re 12378	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ 3 ∈ ℝ
62	61	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝑁) → 3 ∈ ℝ)
63		zre 12649	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
64	63	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
65		3pos 12403	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ 0 < 3
66	59, 61, 65	ltleii 11416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ 0 ≤ 3
67	66	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝑁) → 0 ≤ 3)
68		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝑁) → 3 ≤ 𝑁)
69	60, 62, 64, 67, 68	letrd 11450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝑁) → 0 ≤ 𝑁)
70	69	3adant1 1130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝑁) → 0 ≤ 𝑁)
71	58, 70	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))
72		elnn0z 12658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))
73	71, 72	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ₀)
74	57, 73	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → 𝑁 ∈ ℕ₀)
75		2nn 12371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ 2 ∈ ℕ
76	75	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → 2 ∈ ℕ)
77		nn0ledivnn 13180	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 2 ∈ ℕ) → (𝑁 / 2) ≤ 𝑁)
78	74, 76, 77	syl2an2 685	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (𝑁 / 2) ≤ 𝑁)
79	54, 56, 78	3jca 1128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ((𝑁 / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 / 2) ≤ 𝑁))
80	79	3adant2 1131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ((𝑁 / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 / 2) ≤ 𝑁))
81		ceille 13917	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑁 / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 / 2) ≤ 𝑁) → (⌈‘(𝑁 / 2)) ≤ 𝑁)
82	80, 81	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (⌈‘(𝑁 / 2)) ≤ 𝑁)
83	52, 82	lelttrdi 11455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (𝐾 < (⌈‘(𝑁 / 2)) → 𝐾 < 𝑁))
84	83	3exp 1119	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → ((⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ → (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (𝐾 < (⌈‘(𝑁 / 2)) → 𝐾 < 𝑁))))
85	84	com34 91	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → ((⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ → (𝐾 < (⌈‘(𝑁 / 2)) → (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → 𝐾 < 𝑁))))
86	85	3imp1 1347	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (⌈‘(𝑁 / 2))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → 𝐾 < 𝑁)
87	48, 86	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (⌈‘(𝑁 / 2))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁))
88	87	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (⌈‘(𝑁 / 2))) → (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁)))
89	47, 88	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐽 → (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁)))
90	89	impcom 407	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁))
91	90	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼)) → (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁))
92	91	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁))
93		addmodne 47267	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑥 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁)) → ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥)
94	38, 43, 92, 93	syl3anc 1371	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥)
95	94	necomd 3002	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑥 ≠ ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁))
96	95	olcd 873	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (1 ≠ 1 ∨ 𝑥 ≠ ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)))
97		1z 12679	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℤ
98		opthneg 5502	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ V) → (⟨1, 𝑥⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ↔ (1 ≠ 1 ∨ 𝑥 ≠ ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁))))
99	97, 12, 98	mp2an 691	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨1, 𝑥⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ↔ (1 ≠ 1 ∨ 𝑥 ≠ ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)))
100	96, 99	sylibr 234	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ⟨1, 𝑥⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩)
101		opex 5485	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ V
102		hashprg 14461	. . . . . . . 8 ⊢ ((⟨1, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ V) → (⟨1, 𝑥⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ↔ (♯‘{⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) = 2))
103	29, 101, 102	mp2an 691	. . . . . . 7 ⊢ (⟨1, 𝑥⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ↔ (♯‘{⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) = 2)
104	100, 103	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (♯‘{⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) = 2)
105		fveqeq2 6932	. . . . . 6 ⊢ (𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} → ((♯‘𝑒) = 2 ↔ (♯‘{⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) = 2))
106	104, 105	syl5ibrcom 247	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} → (♯‘𝑒) = 2))
107	22, 36, 106	3jaod 1429	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) → (♯‘𝑒) = 2))
108	107	rexlimdva 3161	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼)) → (∃𝑥 ∈ 𝐼 (𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) → (♯‘𝑒) = 2))
109	108	ss2rabdv 4099	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → {𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼) ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐼 (𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})} ⊆ {𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼) ∣ (♯‘𝑒) = 2})
110		fveqeq2 6932	. . 3 ⊢ (𝑝 = 𝑒 → ((♯‘𝑝) = 2 ↔ (♯‘𝑒) = 2))
111	110	cbvrabv 3454	. 2 ⊢ {𝑝 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼) ∣ (♯‘𝑝) = 2} = {𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼) ∣ (♯‘𝑒) = 2}
112	109, 111	sseqtrrdi 4060	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → {𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼) ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐼 (𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})} ⊆ {𝑝 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼) ∣ (♯‘𝑝) = 2})

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∨ wo 846 ∨ w3o 1086 ∧ w3a 1087 = wceq 1537 ∈ wcel 2108 ≠ wne 2946 ∃wrex 3076 {crab 3443 Vcvv 3488 ⊆ wss 3976 𝒫 cpw 4622 {cpr 4650 ⟨cop 4654 class class class wbr 5167 × cxp 5699 ‘cfv 6576 (class class class)co 7451 ℝcr 11186 0cc0 11187 1c1 11188 + caddc 11190 < clt 11327 ≤ cle 11328 / cdiv 11952 ℕcn 12298 2c2 12353 3c3 12354 ℕ₀cn0 12558 ℤcz 12645 ℤ_≥cuz 12910 ..^cfzo 13722 ⌈cceil 13858 mod cmo 13936 ♯chash 14396

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1793 ax-4 1807 ax-5 1909 ax-6 1967 ax-7 2007 ax-8 2110 ax-9 2118 ax-10 2141 ax-11 2158 ax-12 2178 ax-ext 2711 ax-sep 5318 ax-nul 5325 ax-pow 5384 ax-pr 5448 ax-un 7773 ax-cnex 11243 ax-resscn 11244 ax-1cn 11245 ax-icn 11246 ax-addcl 11247 ax-addrcl 11248 ax-mulcl 11249 ax-mulrcl 11250 ax-mulcom 11251 ax-addass 11252 ax-mulass 11253 ax-distr 11254 ax-i2m1 11255 ax-1ne0 11256 ax-1rid 11257 ax-rnegex 11258 ax-rrecex 11259 ax-cnre 11260 ax-pre-lttri 11261 ax-pre-lttrn 11262 ax-pre-ltadd 11263 ax-pre-mulgt0 11264 ax-pre-sup 11265

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 847 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1540 df-fal 1550 df-ex 1778 df-nf 1782 df-sb 2065 df-mo 2543 df-eu 2572 df-clab 2718 df-cleq 2732 df-clel 2819 df-nfc 2895 df-ne 2947 df-nel 3053 df-ral 3068 df-rex 3077 df-rmo 3388 df-reu 3389 df-rab 3444 df-v 3490 df-sbc 3805 df-csb 3922 df-dif 3979 df-un 3981 df-in 3983 df-ss 3993 df-pss 3996 df-nul 4353 df-if 4549 df-pw 4624 df-sn 4649 df-pr 4651 df-op 4655 df-uni 4933 df-int 4972 df-iun 5018 df-br 5168 df-opab 5230 df-mpt 5251 df-tr 5285 df-id 5594 df-eprel 5600 df-po 5608 df-so 5609 df-fr 5653 df-we 5655 df-xp 5707 df-rel 5708 df-cnv 5709 df-co 5710 df-dm 5711 df-rn 5712 df-res 5713 df-ima 5714 df-pred 6335 df-ord 6401 df-on 6402 df-lim 6403 df-suc 6404 df-iota 6528 df-fun 6578 df-fn 6579 df-f 6580 df-f1 6581 df-fo 6582 df-f1o 6583 df-fv 6584 df-riota 7407 df-ov 7454 df-oprab 7455 df-mpo 7456 df-om 7907 df-1st 8033 df-2nd 8034 df-frecs 8325 df-wrecs 8356 df-recs 8430 df-rdg 8469 df-1o 8525 df-oadd 8529 df-er 8766 df-en 9007 df-dom 9008 df-sdom 9009 df-fin 9010 df-sup 9514 df-inf 9515 df-dju 9973 df-card 10011 df-pnf 11329 df-mnf 11330 df-xr 11331 df-ltxr 11332 df-le 11333 df-sub 11526 df-neg 11527 df-div 11953 df-nn 12299 df-2 12361 df-3 12362 df-n0 12559 df-z 12646 df-uz 12911 df-rp 13067 df-fz 13579 df-fzo 13723 df-fl 13859 df-ceil 13860 df-mod 13937 df-hash 14397 df-dvds 16320

This theorem is referenced by: gpgusgra 47901

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