gpgusgralem - Mathbox for Alexander van der Vekens

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Theorem gpgusgralem 48879

Description: Lemma for gpgusgra 48880. (Contributed by AV, 27-Aug-2025.) (Proof shortened by AV, 6-Sep-2025.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
gpgusgralem.j	⊢ 𝐽 = (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))
gpgusgralem.i	⊢ 𝐼 = (0..^𝑁)

**Assertion**
Ref	Expression
gpgusgralem	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → {𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼) ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐼 (𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})} ⊆ {𝑝 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼) ∣ (♯‘𝑝) = 2})

Distinct variable groups: 𝑒,𝐼,𝑝 𝑥,𝐼 𝑒,𝐽,𝑥 𝑒,𝐾,𝑥 𝑒,𝑁,𝑥 Allowed substitution hints: 𝐽(𝑝) 𝐾(𝑝) 𝑁(𝑝)

**Proof of Theorem gpgusgralem**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzuzle23 12924	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2))
2	1	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2))
3	2	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼)) → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2))
4		gpgusgralem.i	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐼 = (0..^𝑁)
5	4	eleq2i 2857	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↔ 𝑥 ∈ (0..^𝑁))
6	5	biimpi 219	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 → 𝑥 ∈ (0..^𝑁))
7		p1modne 48148	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑥 + 1) mod 𝑁) ≠ 𝑥)
8	3, 6, 7	syl2an 608	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑥 + 1) mod 𝑁) ≠ 𝑥)
9	8	necomd 3015	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑥 ≠ ((𝑥 + 1) mod 𝑁))
10	9	olcd 888	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (0 ≠ 0 ∨ 𝑥 ≠ ((𝑥 + 1) mod 𝑁)))
11		0z 12617	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℤ
12		vex 3461	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑥 ∈ V
13		opthneg 5465	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ V) → (⟨0, 𝑥⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩ ↔ (0 ≠ 0 ∨ 𝑥 ≠ ((𝑥 + 1) mod 𝑁))))
14	11, 12, 13	mp2an 705	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨0, 𝑥⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩ ↔ (0 ≠ 0 ∨ 𝑥 ≠ ((𝑥 + 1) mod 𝑁)))
15	10, 14	sylibr 237	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ⟨0, 𝑥⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩)
16		opex 5447	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨0, 𝑥⟩ ∈ V
17		opex 5447	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩ ∈ V
18		hashprg 14449	. . . . . . . 8 ⊢ ((⟨0, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩ ∈ V) → (⟨0, 𝑥⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩ ↔ (♯‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩}) = 2))
19	16, 17, 18	mp2an 705	. . . . . . 7 ⊢ (⟨0, 𝑥⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩ ↔ (♯‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩}) = 2)
20	15, 19	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (♯‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩}) = 2)
21		fveqeq2 6894	. . . . . 6 ⊢ (𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} → ((♯‘𝑒) = 2 ↔ (♯‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩}) = 2))
22	20, 21	syl5ibrcom 250	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} → (♯‘𝑒) = 2))
23		0ne1 12327	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ≠ 1
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩}) → 0 ≠ 1)
25	24	orcd 887	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩}) → (0 ≠ 1 ∨ 𝑥 ≠ 𝑥))
26		opthneg 5465	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ V) → (⟨0, 𝑥⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ↔ (0 ≠ 1 ∨ 𝑥 ≠ 𝑥)))
27	11, 12, 26	mp2an 705	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨0, 𝑥⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ↔ (0 ≠ 1 ∨ 𝑥 ≠ 𝑥))
28	25, 27	sylibr 237	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩}) → ⟨0, 𝑥⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩)
29		opex 5447	. . . . . . . . 9 ⊢ ⟨1, 𝑥⟩ ∈ V
30		hashprg 14449	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⟨0, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 𝑥⟩ ∈ V) → (⟨0, 𝑥⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ↔ (♯‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩}) = 2))
31	16, 29, 30	mp2an 705	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨0, 𝑥⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ↔ (♯‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩}) = 2)
32	28, 31	sylib 221	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩}) → (♯‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩}) = 2)
33		fveqeq2 6894	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} → ((♯‘𝑒) = 2 ↔ (♯‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩}) = 2))
34	33	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩}) → ((♯‘𝑒) = 2 ↔ (♯‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩}) = 2))
35	32, 34	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩}) → (♯‘𝑒) = 2)
36	35	ex 418	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} → (♯‘𝑒) = 2))
37		eluz3nn 12929	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → 𝑁 ∈ ℕ)
38	37	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑁 ∈ ℕ)
39		elfzo0 13746	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑁))
40	5, 39	bitri 278	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↔ (𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑁))
41		3simpb 1167	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑁) → (𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑥 < 𝑁))
42	40, 41	sylbi 220	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 → (𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑥 < 𝑁))
43	42	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑥 < 𝑁))
44		gpgusgralem.j	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝐽 = (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))
45	44	eleq2i 2857	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐽 ↔ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))))
46		elfzo1 13758	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) ↔ (𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (⌈‘(𝑁 / 2))))
47	45, 46	bitri 278	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐽 ↔ (𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (⌈‘(𝑁 / 2))))
48		simpl1 1210	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (⌈‘(𝑁 / 2))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → 𝐾 ∈ ℕ)
49		nnre 12255	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℝ)
50		nnre 12255	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ → (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℝ)
51		eluzelre 12889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → 𝑁 ∈ ℝ)
52	49, 50, 51	3anim123i 1169	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (𝐾 ∈ ℝ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
53	51	rehalfcld 12506	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
54	53	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
55		eluzelz 12888	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → 𝑁 ∈ ℤ)
56	55	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → 𝑁 ∈ ℤ)
57		eluz2 12884	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝑁))
58		simp2 1155	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
59		0re 11225	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ 0 ∈ ℝ
60	59	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝑁) → 0 ∈ ℝ)
61		3re 12336	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ 3 ∈ ℝ
62	61	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝑁) → 3 ∈ ℝ)
63		zre 12610	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
64	63	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
65		3pos 12364	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ 0 < 3
66	59, 61, 65	ltleii 11348	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ 0 ≤ 3
67	66	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝑁) → 0 ≤ 3)
68		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝑁) → 3 ≤ 𝑁)
69	60, 62, 64, 67, 68	letrd 11382	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝑁) → 0 ≤ 𝑁)
70	69	3adant1 1148	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝑁) → 0 ≤ 𝑁)
71	58, 70	jca 521	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))
72		elnn0z 12619	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))
73	71, 72	sylibr 237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ₀)
74	57, 73	sylbi 220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → 𝑁 ∈ ℕ₀)
75		2nn 12329	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ 2 ∈ ℕ
76	75	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → 2 ∈ ℕ)
77		nn0ledivnn 13147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 2 ∈ ℕ) → (𝑁 / 2) ≤ 𝑁)
78	74, 76, 77	syl2an2 699	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (𝑁 / 2) ≤ 𝑁)
79	54, 56, 78	3jca 1146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ((𝑁 / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 / 2) ≤ 𝑁))
80	79	3adant2 1149	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ((𝑁 / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 / 2) ≤ 𝑁))
81		ceille 13901	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑁 / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 / 2) ≤ 𝑁) → (⌈‘(𝑁 / 2)) ≤ 𝑁)
82	80, 81	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (⌈‘(𝑁 / 2)) ≤ 𝑁)
83	52, 82	lelttrdi 11387	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (𝐾 < (⌈‘(𝑁 / 2)) → 𝐾 < 𝑁))
84	83	3exp 1137	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → ((⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ → (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (𝐾 < (⌈‘(𝑁 / 2)) → 𝐾 < 𝑁))))
85	84	com34 92	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → ((⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ → (𝐾 < (⌈‘(𝑁 / 2)) → (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → 𝐾 < 𝑁))))
86	85	3imp1 1366	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (⌈‘(𝑁 / 2))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → 𝐾 < 𝑁)
87	48, 86	jca 521	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (⌈‘(𝑁 / 2))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁))
88	87	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (⌈‘(𝑁 / 2))) → (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁)))
89	47, 88	sylbi 220	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐽 → (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁)))
90	89	impcom 413	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁))
91	90	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼)) → (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁))
92	91	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁))
93		addmodne 48145	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑥 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁)) → ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥)
94	38, 43, 92, 93	syl3anc 1398	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥)
95	94	necomd 3015	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑥 ≠ ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁))
96	95	olcd 888	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (1 ≠ 1 ∨ 𝑥 ≠ ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)))
97		1z 12639	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℤ
98		opthneg 5465	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ V) → (⟨1, 𝑥⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ↔ (1 ≠ 1 ∨ 𝑥 ≠ ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁))))
99	97, 12, 98	mp2an 705	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨1, 𝑥⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ↔ (1 ≠ 1 ∨ 𝑥 ≠ ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)))
100	96, 99	sylibr 237	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ⟨1, 𝑥⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩)
101		opex 5447	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ V
102		hashprg 14449	. . . . . . . 8 ⊢ ((⟨1, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ V) → (⟨1, 𝑥⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ↔ (♯‘{⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) = 2))
103	29, 101, 102	mp2an 705	. . . . . . 7 ⊢ (⟨1, 𝑥⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ↔ (♯‘{⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) = 2)
104	100, 103	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (♯‘{⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) = 2)
105		fveqeq2 6894	. . . . . 6 ⊢ (𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} → ((♯‘𝑒) = 2 ↔ (♯‘{⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) = 2))
106	104, 105	syl5ibrcom 250	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} → (♯‘𝑒) = 2))
107	22, 36, 106	3jaod 1456	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) → (♯‘𝑒) = 2))
108	107	rexlimdva 3168	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼)) → (∃𝑥 ∈ 𝐼 (𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) → (♯‘𝑒) = 2))
109	108	ss2rabdv 4030	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → {𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼) ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐼 (𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})} ⊆ {𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼) ∣ (♯‘𝑒) = 2})
110		fveqeq2 6894	. . 3 ⊢ (𝑝 = 𝑒 → ((♯‘𝑝) = 2 ↔ (♯‘𝑒) = 2))
111	110	cbvrabv 3428	. 2 ⊢ {𝑝 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼) ∣ (♯‘𝑝) = 2} = {𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼) ∣ (♯‘𝑒) = 2}
112	109, 111	sseqtrrdi 3979	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → {𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼) ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐼 (𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})} ⊆ {𝑝 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼) ∣ (♯‘𝑝) = 2})

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 401 ∨ wo 861 ∨ w3o 1102 ∧ w3a 1103 = wceq 1570 ∈ wcel 2146 ≠ wne 2960 ∃wrex 3091 {crab 3418 Vcvv 3457 ⊆ wss 3906 𝒫 cpw 4564 {cpr 4593 ⟨cop 4597 class class class wbr 5111 × cxp 5661 ‘cfv 6540 (class class class)co 7419 ℝcr 11114 0cc0 11115 1c1 11116 + caddc 11118 < clt 11258 ≤ cle 11259 / cdiv 11886 ℕcn 12248 2c2 12310 3c3 12311 ℕ₀cn0 12519 ℤcz 12606 ℤ_≥cuz 12878 ..^cfzo 13699 ⌈cceil 13842 mod cmo 13920 ♯chash 14384

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1828 ax-4 1842 ax-5 1943 ax-6 2000 ax-7 2041 ax-8 2148 ax-9 2156 ax-10 2179 ax-11 2195 ax-12 2216 ax-ext 2737 ax-sep 5259 ax-nul 5271 ax-pow 5338 ax-pr 5406 ax-un 7742 ax-cnex 11171 ax-resscn 11172 ax-1cn 11173 ax-icn 11174 ax-addcl 11175 ax-addrcl 11176 ax-mulcl 11177 ax-mulrcl 11178 ax-mulcom 11179 ax-addass 11180 ax-mulass 11181 ax-distr 11182 ax-i2m1 11183 ax-1ne0 11184 ax-1rid 11185 ax-rnegex 11186 ax-rrecex 11187 ax-cnre 11188 ax-pre-lttri 11189 ax-pre-lttrn 11190 ax-pre-ltadd 11191 ax-pre-mulgt0 11192 ax-pre-sup 11193

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1813 df-nf 1817 df-sb 2100 df-mo 2569 df-eu 2599 df-clab 2744 df-cleq 2757 df-clel 2840 df-nfc 2914 df-ne 2961 df-nel 3067 df-ral 3082 df-rex 3092 df-rmo 3371 df-reu 3372 df-rab 3419 df-v 3459 df-sbc 3747 df-csb 3855 df-dif 3909 df-un 3911 df-in 3913 df-ss 3923 df-pss 3926 df-nul 4287 df-if 4490 df-pw 4566 df-sn 4592 df-pr 4594 df-op 4598 df-uni 4875 df-int 4915 df-iun 4960 df-br 5112 df-opab 5176 df-mpt 5195 df-tr 5221 df-id 5558 df-eprel 5563 df-po 5571 df-so 5572 df-fr 5616 df-we 5618 df-xp 5669 df-rel 5670 df-cnv 5671 df-co 5672 df-dm 5673 df-rn 5674 df-res 5675 df-ima 5676 df-pred 6306 df-ord 6367 df-on 6368 df-lim 6369 df-suc 6370 df-iota 6496 df-fun 6542 df-fn 6543 df-f 6544 df-f1 6545 df-fo 6546 df-f1o 6547 df-fv 6548 df-riota 7376 df-ov 7422 df-oprab 7423 df-mpo 7424 df-om 7869 df-1st 7992 df-2nd 7993 df-frecs 8284 df-wrecs 8315 df-recs 8364 df-rdg 8403 df-1o 8459 df-oadd 8463 df-er 8700 df-en 8950 df-dom 8951 df-sdom 8952 df-fin 8953 df-sup 9409 df-inf 9410 df-dju 9903 df-card 9941 df-pnf 11260 df-mnf 11261 df-xr 11262 df-ltxr 11263 df-le 11264 df-sub 11458 df-neg 11459 df-div 11887 df-nn 12249 df-2 12318 df-3 12319 df-n0 12520 df-z 12607 df-uz 12879 df-rp 13033 df-fz 13552 df-fzo 13700 df-fl 13843 df-ceil 13844 df-mod 13921 df-hash 14385 df-dvds 16333

This theorem is used by: gpgusgra 48880

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