gpgusgralem - Mathbox for Alexander van der Vekens

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Theorem gpgusgralem 48302

Description: Lemma for gpgusgra 48303. (Contributed by AV, 27-Aug-2025.) (Proof shortened by AV, 6-Sep-2025.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
gpgusgralem.j	⊢ 𝐽 = (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))
gpgusgralem.i	⊢ 𝐼 = (0..^𝑁)

**Assertion**
Ref	Expression
gpgusgralem	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → {𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼) ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐼 (𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})} ⊆ {𝑝 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼) ∣ (♯‘𝑝) = 2})

Distinct variable groups: 𝑒,𝐼,𝑝 𝑥,𝐼 𝑒,𝐽,𝑥 𝑒,𝐾,𝑥 𝑒,𝑁,𝑥 Allowed substitution hints: 𝐽(𝑝) 𝐾(𝑝) 𝑁(𝑝)

**Proof of Theorem gpgusgralem**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzuzle23 12797	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2))
2	1	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2))
3	2	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼)) → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2))
4		gpgusgralem.i	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐼 = (0..^𝑁)
5	4	eleq2i 2828	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↔ 𝑥 ∈ (0..^𝑁))
6	5	biimpi 216	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 → 𝑥 ∈ (0..^𝑁))
7		p1modne 47593	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑥 + 1) mod 𝑁) ≠ 𝑥)
8	3, 6, 7	syl2an 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑥 + 1) mod 𝑁) ≠ 𝑥)
9	8	necomd 2987	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑥 ≠ ((𝑥 + 1) mod 𝑁))
10	9	olcd 874	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (0 ≠ 0 ∨ 𝑥 ≠ ((𝑥 + 1) mod 𝑁)))
11		0z 12499	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℤ
12		vex 3444	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑥 ∈ V
13		opthneg 5429	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ V) → (⟨0, 𝑥⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩ ↔ (0 ≠ 0 ∨ 𝑥 ≠ ((𝑥 + 1) mod 𝑁))))
14	11, 12, 13	mp2an 692	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨0, 𝑥⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩ ↔ (0 ≠ 0 ∨ 𝑥 ≠ ((𝑥 + 1) mod 𝑁)))
15	10, 14	sylibr 234	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ⟨0, 𝑥⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩)
16		opex 5412	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨0, 𝑥⟩ ∈ V
17		opex 5412	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩ ∈ V
18		hashprg 14318	. . . . . . . 8 ⊢ ((⟨0, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩ ∈ V) → (⟨0, 𝑥⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩ ↔ (♯‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩}) = 2))
19	16, 17, 18	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ (⟨0, 𝑥⟩ ≠ ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩ ↔ (♯‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩}) = 2)
20	15, 19	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (♯‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩}) = 2)
21		fveqeq2 6843	. . . . . 6 ⊢ (𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} → ((♯‘𝑒) = 2 ↔ (♯‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩}) = 2))
22	20, 21	syl5ibrcom 247	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} → (♯‘𝑒) = 2))
23		0ne1 12216	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ≠ 1
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩}) → 0 ≠ 1)
25	24	orcd 873	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩}) → (0 ≠ 1 ∨ 𝑥 ≠ 𝑥))
26		opthneg 5429	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ V) → (⟨0, 𝑥⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ↔ (0 ≠ 1 ∨ 𝑥 ≠ 𝑥)))
27	11, 12, 26	mp2an 692	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨0, 𝑥⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ↔ (0 ≠ 1 ∨ 𝑥 ≠ 𝑥))
28	25, 27	sylibr 234	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩}) → ⟨0, 𝑥⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩)
29		opex 5412	. . . . . . . . 9 ⊢ ⟨1, 𝑥⟩ ∈ V
30		hashprg 14318	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⟨0, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 𝑥⟩ ∈ V) → (⟨0, 𝑥⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ↔ (♯‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩}) = 2))
31	16, 29, 30	mp2an 692	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨0, 𝑥⟩ ≠ ⟨1, 𝑥⟩ ↔ (♯‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩}) = 2)
32	28, 31	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩}) → (♯‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩}) = 2)
33		fveqeq2 6843	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} → ((♯‘𝑒) = 2 ↔ (♯‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩}) = 2))
34	33	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩}) → ((♯‘𝑒) = 2 ↔ (♯‘{⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩}) = 2))
35	32, 34	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) ∧ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩}) → (♯‘𝑒) = 2)
36	35	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} → (♯‘𝑒) = 2))
37		eluz3nn 12802	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → 𝑁 ∈ ℕ)
38	37	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑁 ∈ ℕ)
39		elfzo0 13616	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑁))
40	5, 39	bitri 275	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↔ (𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑁))
41		3simpb 1149	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑁) → (𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑥 < 𝑁))
42	40, 41	sylbi 217	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 → (𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑥 < 𝑁))
43	42	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑥 < 𝑁))
44		gpgusgralem.j	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝐽 = (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))
45	44	eleq2i 2828	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐽 ↔ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))))
46		elfzo1 13628	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) ↔ (𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (⌈‘(𝑁 / 2))))
47	45, 46	bitri 275	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐽 ↔ (𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (⌈‘(𝑁 / 2))))
48		simpl1 1192	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (⌈‘(𝑁 / 2))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → 𝐾 ∈ ℕ)
49		nnre 12152	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℝ)
50		nnre 12152	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ → (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℝ)
51		eluzelre 12762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → 𝑁 ∈ ℝ)
52	49, 50, 51	3anim123i 1151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (𝐾 ∈ ℝ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
53	51	rehalfcld 12388	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
54	53	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
55		eluzelz 12761	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → 𝑁 ∈ ℤ)
56	55	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → 𝑁 ∈ ℤ)
57		eluz2 12757	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝑁))
58		simp2 1137	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
59		0re 11134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ 0 ∈ ℝ
60	59	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝑁) → 0 ∈ ℝ)
61		3re 12225	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ 3 ∈ ℝ
62	61	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝑁) → 3 ∈ ℝ)
63		zre 12492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
64	63	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
65		3pos 12250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ 0 < 3
66	59, 61, 65	ltleii 11256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ 0 ≤ 3
67	66	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝑁) → 0 ≤ 3)
68		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝑁) → 3 ≤ 𝑁)
69	60, 62, 64, 67, 68	letrd 11290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝑁) → 0 ≤ 𝑁)
70	69	3adant1 1130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝑁) → 0 ≤ 𝑁)
71	58, 70	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))
72		elnn0z 12501	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))
73	71, 72	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ₀)
74	57, 73	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → 𝑁 ∈ ℕ₀)
75		2nn 12218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ 2 ∈ ℕ
76	75	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → 2 ∈ ℕ)
77		nn0ledivnn 13020	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ₀ ∧ 2 ∈ ℕ) → (𝑁 / 2) ≤ 𝑁)
78	74, 76, 77	syl2an2 686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (𝑁 / 2) ≤ 𝑁)
79	54, 56, 78	3jca 1128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ((𝑁 / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 / 2) ≤ 𝑁))
80	79	3adant2 1131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ((𝑁 / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 / 2) ≤ 𝑁))
81		ceille 13770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑁 / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 / 2) ≤ 𝑁) → (⌈‘(𝑁 / 2)) ≤ 𝑁)
82	80, 81	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (⌈‘(𝑁 / 2)) ≤ 𝑁)
83	52, 82	lelttrdi 11295	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (𝐾 < (⌈‘(𝑁 / 2)) → 𝐾 < 𝑁))
84	83	3exp 1119	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → ((⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ → (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (𝐾 < (⌈‘(𝑁 / 2)) → 𝐾 < 𝑁))))
85	84	com34 91	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → ((⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ → (𝐾 < (⌈‘(𝑁 / 2)) → (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → 𝐾 < 𝑁))))
86	85	3imp1 1348	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (⌈‘(𝑁 / 2))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → 𝐾 < 𝑁)
87	48, 86	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (⌈‘(𝑁 / 2))) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁))
88	87	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (⌈‘(𝑁 / 2)) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (⌈‘(𝑁 / 2))) → (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁)))
89	47, 88	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐽 → (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁)))
90	89	impcom 407	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁))
91	90	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼)) → (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁))
92	91	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁))
93		addmodne 47590	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑥 < 𝑁) ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁)) → ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥)
94	38, 43, 92, 93	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁) ≠ 𝑥)
95	94	necomd 2987	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑥 ≠ ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁))
96	95	olcd 874	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (1 ≠ 1 ∨ 𝑥 ≠ ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)))
97		1z 12521	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℤ
98		opthneg 5429	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ V) → (⟨1, 𝑥⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ↔ (1 ≠ 1 ∨ 𝑥 ≠ ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁))))
99	97, 12, 98	mp2an 692	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨1, 𝑥⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ↔ (1 ≠ 1 ∨ 𝑥 ≠ ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)))
100	96, 99	sylibr 234	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ⟨1, 𝑥⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩)
101		opex 5412	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ V
102		hashprg 14318	. . . . . . . 8 ⊢ ((⟨1, 𝑥⟩ ∈ V ∧ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ∈ V) → (⟨1, 𝑥⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ↔ (♯‘{⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) = 2))
103	29, 101, 102	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ (⟨1, 𝑥⟩ ≠ ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ ↔ (♯‘{⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) = 2)
104	100, 103	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (♯‘{⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) = 2)
105		fveqeq2 6843	. . . . . 6 ⊢ (𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} → ((♯‘𝑒) = 2 ↔ (♯‘{⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) = 2))
106	104, 105	syl5ibrcom 247	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} → (♯‘𝑒) = 2))
107	22, 36, 106	3jaod 1431	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) → (♯‘𝑒) = 2))
108	107	rexlimdva 3137	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼)) → (∃𝑥 ∈ 𝐼 (𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) → (♯‘𝑒) = 2))
109	108	ss2rabdv 4027	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → {𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼) ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐼 (𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})} ⊆ {𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼) ∣ (♯‘𝑒) = 2})
110		fveqeq2 6843	. . 3 ⊢ (𝑝 = 𝑒 → ((♯‘𝑝) = 2 ↔ (♯‘𝑒) = 2))
111	110	cbvrabv 3409	. 2 ⊢ {𝑝 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼) ∣ (♯‘𝑝) = 2} = {𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼) ∣ (♯‘𝑒) = 2}
112	109, 111	sseqtrrdi 3975	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → {𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼) ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐼 (𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})} ⊆ {𝑝 ∈ 𝒫 ({0, 1} × 𝐼) ∣ (♯‘𝑝) = 2})

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∨ wo 847 ∨ w3o 1085 ∧ w3a 1086 = wceq 1541 ∈ wcel 2113 ≠ wne 2932 ∃wrex 3060 {crab 3399 Vcvv 3440 ⊆ wss 3901 𝒫 cpw 4554 {cpr 4582 ⟨cop 4586 class class class wbr 5098 × cxp 5622 ‘cfv 6492 (class class class)co 7358 ℝcr 11025 0cc0 11026 1c1 11027 + caddc 11029 < clt 11166 ≤ cle 11167 / cdiv 11794 ℕcn 12145 2c2 12200 3c3 12201 ℕ₀cn0 12401 ℤcz 12488 ℤ_≥cuz 12751 ..^cfzo 13570 ⌈cceil 13711 mod cmo 13789 ♯chash 14253

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1796 ax-4 1810 ax-5 1911 ax-6 1968 ax-7 2009 ax-8 2115 ax-9 2123 ax-10 2146 ax-11 2162 ax-12 2184 ax-ext 2708 ax-sep 5241 ax-nul 5251 ax-pow 5310 ax-pr 5377 ax-un 7680 ax-cnex 11082 ax-resscn 11083 ax-1cn 11084 ax-icn 11085 ax-addcl 11086 ax-addrcl 11087 ax-mulcl 11088 ax-mulrcl 11089 ax-mulcom 11090 ax-addass 11091 ax-mulass 11092 ax-distr 11093 ax-i2m1 11094 ax-1ne0 11095 ax-1rid 11096 ax-rnegex 11097 ax-rrecex 11098 ax-cnre 11099 ax-pre-lttri 11100 ax-pre-lttrn 11101 ax-pre-ltadd 11102 ax-pre-mulgt0 11103 ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1781 df-nf 1785 df-sb 2068 df-mo 2539 df-eu 2569 df-clab 2715 df-cleq 2728 df-clel 2811 df-nfc 2885 df-ne 2933 df-nel 3037 df-ral 3052 df-rex 3061 df-rmo 3350 df-reu 3351 df-rab 3400 df-v 3442 df-sbc 3741 df-csb 3850 df-dif 3904 df-un 3906 df-in 3908 df-ss 3918 df-pss 3921 df-nul 4286 df-if 4480 df-pw 4556 df-sn 4581 df-pr 4583 df-op 4587 df-uni 4864 df-int 4903 df-iun 4948 df-br 5099 df-opab 5161 df-mpt 5180 df-tr 5206 df-id 5519 df-eprel 5524 df-po 5532 df-so 5533 df-fr 5577 df-we 5579 df-xp 5630 df-rel 5631 df-cnv 5632 df-co 5633 df-dm 5634 df-rn 5635 df-res 5636 df-ima 5637 df-pred 6259 df-ord 6320 df-on 6321 df-lim 6322 df-suc 6323 df-iota 6448 df-fun 6494 df-fn 6495 df-f 6496 df-f1 6497 df-fo 6498 df-f1o 6499 df-fv 6500 df-riota 7315 df-ov 7361 df-oprab 7362 df-mpo 7363 df-om 7809 df-1st 7933 df-2nd 7934 df-frecs 8223 df-wrecs 8254 df-recs 8303 df-rdg 8341 df-1o 8397 df-oadd 8401 df-er 8635 df-en 8884 df-dom 8885 df-sdom 8886 df-fin 8887 df-sup 9345 df-inf 9346 df-dju 9813 df-card 9851 df-pnf 11168 df-mnf 11169 df-xr 11170 df-ltxr 11171 df-le 11172 df-sub 11366 df-neg 11367 df-div 11795 df-nn 12146 df-2 12208 df-3 12209 df-n0 12402 df-z 12489 df-uz 12752 df-rp 12906 df-fz 13424 df-fzo 13571 df-fl 13712 df-ceil 13713 df-mod 13790 df-hash 14254 df-dvds 16180

This theorem is referenced by: gpgusgra 48303

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