Theorem gpgprismgr4cycllem9 48097

Description: Lemma 9 for gpgprismgr4cycl0 48100. (Contributed by AV, 3-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
gpgprismgr4cycl.p	⊢ 𝑃 = ⟨“⟨0, 0⟩⟨0, 1⟩⟨1, 1⟩⟨1, 0⟩⟨0, 0⟩”⟩
gpgprismgr4cycl.f	⊢ 𝐹 = ⟨“{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}”⟩
gpgprismgr4cycl.g	⊢ 𝐺 = (𝑁 gPetersenGr 1)

Assertion

Ref	Expression
gpgprismgr4cycllem9	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))

Proof of Theorem gpgprismgr4cycllem9

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gpgprismgr4cycl.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = ⟨“⟨0, 0⟩⟨0, 1⟩⟨1, 1⟩⟨1, 0⟩⟨0, 0⟩”⟩
2		eluz3nn 12790	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℕ)
3		lbfzo0 13602	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝑁 ∈ ℕ)
4	2, 3	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 0 ∈ (0..^𝑁))
5		1nn0 12400	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6	5	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 1 ∈ ℕ0)
7		eluzelz 12745	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℤ)
8		uzuzle23 12785	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
9		eluz2gt1 12821	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝑁)
10	8, 9	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 1 < 𝑁)
11		elfzo0z 13604	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ (0..^𝑁) ↔ (1 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑁))
12	6, 7, 10, 11	syl3anbrc 1344	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 1 ∈ (0..^𝑁))
13		c0ex 11109	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ V
14	13	prid1 4714	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ {0, 1}
15	14	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ (0..^𝑁) ∧ 1 ∈ (0..^𝑁)) → 0 ∈ {0, 1})
16		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ (0..^𝑁) ∧ 1 ∈ (0..^𝑁)) → 0 ∈ (0..^𝑁))
17	15, 16	opelxpd 5658	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ (0..^𝑁) ∧ 1 ∈ (0..^𝑁)) → ⟨0, 0⟩ ∈ ({0, 1} × (0..^𝑁)))
18		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ (0..^𝑁) ∧ 1 ∈ (0..^𝑁)) → 1 ∈ (0..^𝑁))
19	15, 18	opelxpd 5658	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ (0..^𝑁) ∧ 1 ∈ (0..^𝑁)) → ⟨0, 1⟩ ∈ ({0, 1} × (0..^𝑁)))
20		1ex 11111	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ V
21	20	prid2 4715	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ {0, 1}
22	21	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ (0..^𝑁) ∧ 1 ∈ (0..^𝑁)) → 1 ∈ {0, 1})
23	22, 18	opelxpd 5658	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ (0..^𝑁) ∧ 1 ∈ (0..^𝑁)) → ⟨1, 1⟩ ∈ ({0, 1} × (0..^𝑁)))
24	22, 16	opelxpd 5658	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ (0..^𝑁) ∧ 1 ∈ (0..^𝑁)) → ⟨1, 0⟩ ∈ ({0, 1} × (0..^𝑁)))
25	17, 19, 23, 24, 17	s5cld 14781	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ (0..^𝑁) ∧ 1 ∈ (0..^𝑁)) → ⟨“⟨0, 0⟩⟨0, 1⟩⟨1, 1⟩⟨1, 0⟩⟨0, 0⟩”⟩ ∈ Word ({0, 1} × (0..^𝑁)))
26	4, 12, 25	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → ⟨“⟨0, 0⟩⟨0, 1⟩⟨1, 1⟩⟨1, 0⟩⟨0, 0⟩”⟩ ∈ Word ({0, 1} × (0..^𝑁)))
27		gpgprismgr4cycl.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (𝑁 gPetersenGr 1)
28	27	fveq2i 6825	. . . . . . 7 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘(𝑁 gPetersenGr 1))
29		1elfzo1ceilhalf1 47331	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 1 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))))
30		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) = (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))
31		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (0..^𝑁) = (0..^𝑁)
32	30, 31	gpgvtx 48037	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))) → (Vtx‘(𝑁 gPetersenGr 1)) = ({0, 1} × (0..^𝑁)))
33	2, 29, 32	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (Vtx‘(𝑁 gPetersenGr 1)) = ({0, 1} × (0..^𝑁)))
34	28, 33	eqtrid 2776	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (Vtx‘𝐺) = ({0, 1} × (0..^𝑁)))
35		wrdeq 14443	. . . . . 6 ⊢ ((Vtx‘𝐺) = ({0, 1} × (0..^𝑁)) → Word (Vtx‘𝐺) = Word ({0, 1} × (0..^𝑁)))
36	34, 35	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → Word (Vtx‘𝐺) = Word ({0, 1} × (0..^𝑁)))
37	26, 36	eleqtrrd 2831	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → ⟨“⟨0, 0⟩⟨0, 1⟩⟨1, 1⟩⟨1, 0⟩⟨0, 0⟩”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺))
38	1, 37	eqeltrid 2832	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
39		wrdf 14425	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → 𝑃:(0..^(♯‘𝑃))⟶(Vtx‘𝐺))
40	38, 39	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑃:(0..^(♯‘𝑃))⟶(Vtx‘𝐺))
41		4z 12509	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℤ
42		fzval3 13637	. . . . . 6 ⊢ (4 ∈ ℤ → (0...4) = (0..^(4 + 1)))
43	41, 42	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (0...4) = (0..^(4 + 1))
44		gpgprismgr4cycl.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = ⟨“{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}”⟩
45	44	gpgprismgr4cycllem1 48089	. . . . . 6 ⊢ (♯‘𝐹) = 4
46	45	oveq2i 7360	. . . . 5 ⊢ (0...(♯‘𝐹)) = (0...4)
47	1	gpgprismgr4cycllem4 48092	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘𝑃) = 5
48		df-5 12194	. . . . . . 7 ⊢ 5 = (4 + 1)
49	47, 48	eqtri 2752	. . . . . 6 ⊢ (♯‘𝑃) = (4 + 1)
50	49	oveq2i 7360	. . . . 5 ⊢ (0..^(♯‘𝑃)) = (0..^(4 + 1))
51	43, 46, 50	3eqtr4i 2762	. . . 4 ⊢ (0...(♯‘𝐹)) = (0..^(♯‘𝑃))
52	51	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (0...(♯‘𝐹)) = (0..^(♯‘𝑃)))
53	52	feq2d 6636	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ↔ 𝑃:(0..^(♯‘𝑃))⟶(Vtx‘𝐺)))
54	40, 53	mpbird 257	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {cpr 4579  ⟨cop 4583   class class class wbr 5092   × cxp 5617  ⟶wf 6478  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  0cc0 11009  1c1 11010   + caddc 11012   < clt 11149   / cdiv 11777  ℕcn 12128  2c2 12183  3c3 12184  4c4 12185  5c5 12186  ℕ₀cn0 12384  ℤcz 12471  ℤ_≥cuz 12735  ...cfz 13410  ..^cfzo 13557  ⌈cceil 13695  ♯chash 14237  Word cword 14420  ⟨“cs4 14750  ⟨“cs5 14751  Vtxcvtx 28941   gPetersenGr cgpg 48034

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-oadd 8392  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-sup 9332  df-inf 9333  df-dju 9797  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-xnn0 12458  df-z 12472  df-dec 12592  df-uz 12736  df-rp 12894  df-ico 13254  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-fl 13696  df-ceil 13697  df-hash 14238  df-word 14421  df-concat 14478  df-s1 14503  df-s2 14755  df-s3 14756  df-s4 14757  df-s5 14758  df-struct 17058  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-edgf 28934  df-vtx 28943  df-gpg 48035

This theorem is referenced by:  gpgprismgr4cycllem11  48099