Theorem gpgprismgr4cycllem9 48608

Description: Lemma 9 for gpgprismgr4cycl0 48611. (Contributed by AV, 3-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
gpgprismgr4cycl.p	⊢ 𝑃 = ⟨“⟨0, 0⟩⟨0, 1⟩⟨1, 1⟩⟨1, 0⟩⟨0, 0⟩”⟩
gpgprismgr4cycl.f	⊢ 𝐹 = ⟨“{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}”⟩
gpgprismgr4cycl.g	⊢ 𝐺 = (𝑁 gPetersenGr 1)

Assertion

Ref	Expression
gpgprismgr4cycllem9	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))

Proof of Theorem gpgprismgr4cycllem9

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gpgprismgr4cycl.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = ⟨“⟨0, 0⟩⟨0, 1⟩⟨1, 1⟩⟨1, 0⟩⟨0, 0⟩”⟩
2		eluz3nn 12834	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℕ)
3		lbfzo0 13649	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝑁 ∈ ℕ)
4	2, 3	sylibr 236	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 0 ∈ (0..^𝑁))
5		1nn0 12448	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6	5	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 1 ∈ ℕ0)
7		eluzelz 12793	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℤ)
8		uzuzle23 12829	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
9		eluz2gt1 12865	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝑁)
10	8, 9	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 1 < 𝑁)
11		elfzo0z 13651	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ (0..^𝑁) ↔ (1 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑁))
12	6, 7, 10, 11	syl3anbrc 1351	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 1 ∈ (0..^𝑁))
13		c0ex 11133	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ V
14	13	prid1 4697	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ {0, 1}
15	14	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ (0..^𝑁) ∧ 1 ∈ (0..^𝑁)) → 0 ∈ {0, 1})
16		simpl 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ (0..^𝑁) ∧ 1 ∈ (0..^𝑁)) → 0 ∈ (0..^𝑁))
17	15, 16	opelxpd 5660	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ (0..^𝑁) ∧ 1 ∈ (0..^𝑁)) → ⟨0, 0⟩ ∈ ({0, 1} × (0..^𝑁)))
18		simpr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ (0..^𝑁) ∧ 1 ∈ (0..^𝑁)) → 1 ∈ (0..^𝑁))
19	15, 18	opelxpd 5660	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ (0..^𝑁) ∧ 1 ∈ (0..^𝑁)) → ⟨0, 1⟩ ∈ ({0, 1} × (0..^𝑁)))
20		1ex 11135	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ V
21	20	prid2 4698	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ {0, 1}
22	21	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ (0..^𝑁) ∧ 1 ∈ (0..^𝑁)) → 1 ∈ {0, 1})
23	22, 18	opelxpd 5660	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ (0..^𝑁) ∧ 1 ∈ (0..^𝑁)) → ⟨1, 1⟩ ∈ ({0, 1} × (0..^𝑁)))
24	22, 16	opelxpd 5660	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ (0..^𝑁) ∧ 1 ∈ (0..^𝑁)) → ⟨1, 0⟩ ∈ ({0, 1} × (0..^𝑁)))
25	17, 19, 23, 24, 17	s5cld 14831	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ (0..^𝑁) ∧ 1 ∈ (0..^𝑁)) → ⟨“⟨0, 0⟩⟨0, 1⟩⟨1, 1⟩⟨1, 0⟩⟨0, 0⟩”⟩ ∈ Word ({0, 1} × (0..^𝑁)))
26	4, 12, 25	syl2anc 591	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → ⟨“⟨0, 0⟩⟨0, 1⟩⟨1, 1⟩⟨1, 0⟩⟨0, 0⟩”⟩ ∈ Word ({0, 1} × (0..^𝑁)))
27		gpgprismgr4cycl.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (𝑁 gPetersenGr 1)
28	27	fveq2i 6834	. . . . . . 7 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘(𝑁 gPetersenGr 1))
29		1elfzo1ceilhalf1 47818	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 1 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))))
30		eqid 2741	. . . . . . . . 9 ⊢ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) = (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))
31		eqid 2741	. . . . . . . . 9 ⊢ (0..^𝑁) = (0..^𝑁)
32	30, 31	gpgvtx 48548	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))) → (Vtx‘(𝑁 gPetersenGr 1)) = ({0, 1} × (0..^𝑁)))
33	2, 29, 32	syl2anc 591	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (Vtx‘(𝑁 gPetersenGr 1)) = ({0, 1} × (0..^𝑁)))
34	28, 33	eqtrid 2788	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (Vtx‘𝐺) = ({0, 1} × (0..^𝑁)))
35		wrdeq 14493	. . . . . 6 ⊢ ((Vtx‘𝐺) = ({0, 1} × (0..^𝑁)) → Word (Vtx‘𝐺) = Word ({0, 1} × (0..^𝑁)))
36	34, 35	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → Word (Vtx‘𝐺) = Word ({0, 1} × (0..^𝑁)))
37	26, 36	eleqtrrd 2844	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → ⟨“⟨0, 0⟩⟨0, 1⟩⟨1, 1⟩⟨1, 0⟩⟨0, 0⟩”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺))
38	1, 37	eqeltrid 2845	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
39		wrdf 14475	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → 𝑃:(0..^(♯‘𝑃))⟶(Vtx‘𝐺))
40	38, 39	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑃:(0..^(♯‘𝑃))⟶(Vtx‘𝐺))
41		4z 12556	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℤ
42		fzval3 13684	. . . . . 6 ⊢ (4 ∈ ℤ → (0...4) = (0..^(4 + 1)))
43	41, 42	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (0...4) = (0..^(4 + 1))
44		gpgprismgr4cycl.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = ⟨“{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}”⟩
45	44	gpgprismgr4cycllem1 48600	. . . . . 6 ⊢ (♯‘𝐹) = 4
46	45	oveq2i 7371	. . . . 5 ⊢ (0...(♯‘𝐹)) = (0...4)
47	1	gpgprismgr4cycllem4 48603	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘𝑃) = 5
48		df-5 12242	. . . . . . 7 ⊢ 5 = (4 + 1)
49	47, 48	eqtri 2764	. . . . . 6 ⊢ (♯‘𝑃) = (4 + 1)
50	49	oveq2i 7371	. . . . 5 ⊢ (0..^(♯‘𝑃)) = (0..^(4 + 1))
51	43, 46, 50	3eqtr4i 2774	. . . 4 ⊢ (0...(♯‘𝐹)) = (0..^(♯‘𝑃))
52	51	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (0...(♯‘𝐹)) = (0..^(♯‘𝑃)))
53	52	feq2d 6643	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ↔ 𝑃:(0..^(♯‘𝑃))⟶(Vtx‘𝐺)))
54	40, 53	mpbird 259	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  {cpr 4560  ⟨cop 4564   class class class wbr 5075   × cxp 5619  ⟶wf 6485  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360  0cc0 11033  1c1 11034   + caddc 11036   < clt 11174   / cdiv 11802  ℕcn 12169  2c2 12231  3c3 12232  4c4 12233  5c5 12234  ℕ₀cn0 12432  ℤcz 12519  ℤ_≥cuz 12783  ...cfz 13456  ..^cfzo 13603  ⌈cceil 13745  ♯chash 14287  Word cword 14470  ⟨“cs4 14800  ⟨“cs5 14801  Vtxcvtx 29087   gPetersenGr cgpg 48545

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-pre-sup 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-int 4881  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-oadd 8403  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-sup 9349  df-inf 9350  df-dju 9820  df-card 9858  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-xnn0 12506  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-rp 12938  df-ico 13299  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-fl 13746  df-ceil 13747  df-hash 14288  df-word 14471  df-concat 14528  df-s1 14554  df-s2 14805  df-s3 14806  df-s4 14807  df-s5 14808  df-struct 17112  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-edgf 29080  df-vtx 29089  df-gpg 48546

This theorem is referenced by:  gpgprismgr4cycllem11  48610