Theorem gpgprismgr4cycllem9 48097

Description: Lemma 9 for gpgprismgr4cycl0 48100. (Contributed by AV, 3-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
gpgprismgr4cycl.p	⊢ 𝑃 = ⟨“⟨0, 0⟩⟨0, 1⟩⟨1, 1⟩⟨1, 0⟩⟨0, 0⟩”⟩
gpgprismgr4cycl.f	⊢ 𝐹 = ⟨“{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}”⟩
gpgprismgr4cycl.g	⊢ 𝐺 = (𝑁 gPetersenGr 1)

Assertion

Ref	Expression
gpgprismgr4cycllem9	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))

Proof of Theorem gpgprismgr4cycllem9

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gpgprismgr4cycl.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = ⟨“⟨0, 0⟩⟨0, 1⟩⟨1, 1⟩⟨1, 0⟩⟨0, 0⟩”⟩
2		eluz3nn 12855	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℕ)
3		lbfzo0 13667	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝑁 ∈ ℕ)
4	2, 3	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 0 ∈ (0..^𝑁))
5		1nn0 12465	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6	5	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 1 ∈ ℕ0)
7		eluzelz 12810	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℤ)
8		uzuzle23 12850	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
9		eluz2gt1 12886	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝑁)
10	8, 9	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 1 < 𝑁)
11		elfzo0z 13669	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ (0..^𝑁) ↔ (1 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑁))
12	6, 7, 10, 11	syl3anbrc 1344	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 1 ∈ (0..^𝑁))
13		c0ex 11175	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ V
14	13	prid1 4729	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ {0, 1}
15	14	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ (0..^𝑁) ∧ 1 ∈ (0..^𝑁)) → 0 ∈ {0, 1})
16		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ (0..^𝑁) ∧ 1 ∈ (0..^𝑁)) → 0 ∈ (0..^𝑁))
17	15, 16	opelxpd 5680	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ (0..^𝑁) ∧ 1 ∈ (0..^𝑁)) → ⟨0, 0⟩ ∈ ({0, 1} × (0..^𝑁)))
18		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ (0..^𝑁) ∧ 1 ∈ (0..^𝑁)) → 1 ∈ (0..^𝑁))
19	15, 18	opelxpd 5680	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ (0..^𝑁) ∧ 1 ∈ (0..^𝑁)) → ⟨0, 1⟩ ∈ ({0, 1} × (0..^𝑁)))
20		1ex 11177	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ V
21	20	prid2 4730	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ {0, 1}
22	21	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ (0..^𝑁) ∧ 1 ∈ (0..^𝑁)) → 1 ∈ {0, 1})
23	22, 18	opelxpd 5680	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ (0..^𝑁) ∧ 1 ∈ (0..^𝑁)) → ⟨1, 1⟩ ∈ ({0, 1} × (0..^𝑁)))
24	22, 16	opelxpd 5680	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ (0..^𝑁) ∧ 1 ∈ (0..^𝑁)) → ⟨1, 0⟩ ∈ ({0, 1} × (0..^𝑁)))
25	17, 19, 23, 24, 17	s5cld 14847	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ (0..^𝑁) ∧ 1 ∈ (0..^𝑁)) → ⟨“⟨0, 0⟩⟨0, 1⟩⟨1, 1⟩⟨1, 0⟩⟨0, 0⟩”⟩ ∈ Word ({0, 1} × (0..^𝑁)))
26	4, 12, 25	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → ⟨“⟨0, 0⟩⟨0, 1⟩⟨1, 1⟩⟨1, 0⟩⟨0, 0⟩”⟩ ∈ Word ({0, 1} × (0..^𝑁)))
27		gpgprismgr4cycl.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (𝑁 gPetersenGr 1)
28	27	fveq2i 6864	. . . . . . 7 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘(𝑁 gPetersenGr 1))
29		1elfzo1ceilhalf1 47342	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 1 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))))
30		eqid 2730	. . . . . . . . 9 ⊢ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) = (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))
31		eqid 2730	. . . . . . . . 9 ⊢ (0..^𝑁) = (0..^𝑁)
32	30, 31	gpgvtx 48038	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))) → (Vtx‘(𝑁 gPetersenGr 1)) = ({0, 1} × (0..^𝑁)))
33	2, 29, 32	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (Vtx‘(𝑁 gPetersenGr 1)) = ({0, 1} × (0..^𝑁)))
34	28, 33	eqtrid 2777	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (Vtx‘𝐺) = ({0, 1} × (0..^𝑁)))
35		wrdeq 14508	. . . . . 6 ⊢ ((Vtx‘𝐺) = ({0, 1} × (0..^𝑁)) → Word (Vtx‘𝐺) = Word ({0, 1} × (0..^𝑁)))
36	34, 35	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → Word (Vtx‘𝐺) = Word ({0, 1} × (0..^𝑁)))
37	26, 36	eleqtrrd 2832	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → ⟨“⟨0, 0⟩⟨0, 1⟩⟨1, 1⟩⟨1, 0⟩⟨0, 0⟩”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺))
38	1, 37	eqeltrid 2833	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
39		wrdf 14490	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → 𝑃:(0..^(♯‘𝑃))⟶(Vtx‘𝐺))
40	38, 39	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑃:(0..^(♯‘𝑃))⟶(Vtx‘𝐺))
41		4z 12574	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℤ
42		fzval3 13702	. . . . . 6 ⊢ (4 ∈ ℤ → (0...4) = (0..^(4 + 1)))
43	41, 42	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (0...4) = (0..^(4 + 1))
44		gpgprismgr4cycl.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = ⟨“{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}”⟩
45	44	gpgprismgr4cycllem1 48089	. . . . . 6 ⊢ (♯‘𝐹) = 4
46	45	oveq2i 7401	. . . . 5 ⊢ (0...(♯‘𝐹)) = (0...4)
47	1	gpgprismgr4cycllem4 48092	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘𝑃) = 5
48		df-5 12259	. . . . . . 7 ⊢ 5 = (4 + 1)
49	47, 48	eqtri 2753	. . . . . 6 ⊢ (♯‘𝑃) = (4 + 1)
50	49	oveq2i 7401	. . . . 5 ⊢ (0..^(♯‘𝑃)) = (0..^(4 + 1))
51	43, 46, 50	3eqtr4i 2763	. . . 4 ⊢ (0...(♯‘𝐹)) = (0..^(♯‘𝑃))
52	51	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (0...(♯‘𝐹)) = (0..^(♯‘𝑃)))
53	52	feq2d 6675	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ↔ 𝑃:(0..^(♯‘𝑃))⟶(Vtx‘𝐺)))
54	40, 53	mpbird 257	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {cpr 4594  ⟨cop 4598   class class class wbr 5110   × cxp 5639  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078   < clt 11215   / cdiv 11842  ℕcn 12193  2c2 12248  3c3 12249  4c4 12250  5c5 12251  ℕ₀cn0 12449  ℤcz 12536  ℤ_≥cuz 12800  ...cfz 13475  ..^cfzo 13622  ⌈cceil 13760  ♯chash 14302  Word cword 14485  ⟨“cs4 14816  ⟨“cs5 14817  Vtxcvtx 28930   gPetersenGr cgpg 48035

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-oadd 8441  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-sup 9400  df-inf 9401  df-dju 9861  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-xnn0 12523  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-rp 12959  df-ico 13319  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-fl 13761  df-ceil 13762  df-hash 14303  df-word 14486  df-concat 14543  df-s1 14568  df-s2 14821  df-s3 14822  df-s4 14823  df-s5 14824  df-struct 17124  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-edgf 28923  df-vtx 28932  df-gpg 48036

This theorem is referenced by:  gpgprismgr4cycllem11  48099