Theorem gpgprismgr4cycllem9 48492

Description: Lemma 9 for gpgprismgr4cycl0 48495. (Contributed by AV, 3-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
gpgprismgr4cycl.p	⊢ 𝑃 = ⟨“⟨0, 0⟩⟨0, 1⟩⟨1, 1⟩⟨1, 0⟩⟨0, 0⟩”⟩
gpgprismgr4cycl.f	⊢ 𝐹 = ⟨“{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}”⟩
gpgprismgr4cycl.g	⊢ 𝐺 = (𝑁 gPetersenGr 1)

Assertion

Ref	Expression
gpgprismgr4cycllem9	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))

Proof of Theorem gpgprismgr4cycllem9

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gpgprismgr4cycl.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = ⟨“⟨0, 0⟩⟨0, 1⟩⟨1, 1⟩⟨1, 0⟩⟨0, 0⟩”⟩
2		eluz3nn 12816	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℕ)
3		lbfzo0 13629	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝑁 ∈ ℕ)
4	2, 3	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 0 ∈ (0..^𝑁))
5		1nn0 12431	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6	5	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 1 ∈ ℕ0)
7		eluzelz 12775	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℤ)
8		uzuzle23 12811	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
9		eluz2gt1 12847	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝑁)
10	8, 9	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 1 < 𝑁)
11		elfzo0z 13631	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ (0..^𝑁) ↔ (1 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑁))
12	6, 7, 10, 11	syl3anbrc 1345	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 1 ∈ (0..^𝑁))
13		c0ex 11140	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ V
14	13	prid1 4721	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ {0, 1}
15	14	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ (0..^𝑁) ∧ 1 ∈ (0..^𝑁)) → 0 ∈ {0, 1})
16		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ (0..^𝑁) ∧ 1 ∈ (0..^𝑁)) → 0 ∈ (0..^𝑁))
17	15, 16	opelxpd 5673	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ (0..^𝑁) ∧ 1 ∈ (0..^𝑁)) → ⟨0, 0⟩ ∈ ({0, 1} × (0..^𝑁)))
18		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ (0..^𝑁) ∧ 1 ∈ (0..^𝑁)) → 1 ∈ (0..^𝑁))
19	15, 18	opelxpd 5673	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ (0..^𝑁) ∧ 1 ∈ (0..^𝑁)) → ⟨0, 1⟩ ∈ ({0, 1} × (0..^𝑁)))
20		1ex 11142	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ V
21	20	prid2 4722	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ {0, 1}
22	21	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ (0..^𝑁) ∧ 1 ∈ (0..^𝑁)) → 1 ∈ {0, 1})
23	22, 18	opelxpd 5673	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ (0..^𝑁) ∧ 1 ∈ (0..^𝑁)) → ⟨1, 1⟩ ∈ ({0, 1} × (0..^𝑁)))
24	22, 16	opelxpd 5673	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ (0..^𝑁) ∧ 1 ∈ (0..^𝑁)) → ⟨1, 0⟩ ∈ ({0, 1} × (0..^𝑁)))
25	17, 19, 23, 24, 17	s5cld 14811	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ (0..^𝑁) ∧ 1 ∈ (0..^𝑁)) → ⟨“⟨0, 0⟩⟨0, 1⟩⟨1, 1⟩⟨1, 0⟩⟨0, 0⟩”⟩ ∈ Word ({0, 1} × (0..^𝑁)))
26	4, 12, 25	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → ⟨“⟨0, 0⟩⟨0, 1⟩⟨1, 1⟩⟨1, 0⟩⟨0, 0⟩”⟩ ∈ Word ({0, 1} × (0..^𝑁)))
27		gpgprismgr4cycl.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (𝑁 gPetersenGr 1)
28	27	fveq2i 6847	. . . . . . 7 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘(𝑁 gPetersenGr 1))
29		1elfzo1ceilhalf1 47726	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 1 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))))
30		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) = (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))
31		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (0..^𝑁) = (0..^𝑁)
32	30, 31	gpgvtx 48432	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))) → (Vtx‘(𝑁 gPetersenGr 1)) = ({0, 1} × (0..^𝑁)))
33	2, 29, 32	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (Vtx‘(𝑁 gPetersenGr 1)) = ({0, 1} × (0..^𝑁)))
34	28, 33	eqtrid 2784	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (Vtx‘𝐺) = ({0, 1} × (0..^𝑁)))
35		wrdeq 14473	. . . . . 6 ⊢ ((Vtx‘𝐺) = ({0, 1} × (0..^𝑁)) → Word (Vtx‘𝐺) = Word ({0, 1} × (0..^𝑁)))
36	34, 35	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → Word (Vtx‘𝐺) = Word ({0, 1} × (0..^𝑁)))
37	26, 36	eleqtrrd 2840	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → ⟨“⟨0, 0⟩⟨0, 1⟩⟨1, 1⟩⟨1, 0⟩⟨0, 0⟩”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺))
38	1, 37	eqeltrid 2841	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
39		wrdf 14455	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → 𝑃:(0..^(♯‘𝑃))⟶(Vtx‘𝐺))
40	38, 39	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑃:(0..^(♯‘𝑃))⟶(Vtx‘𝐺))
41		4z 12539	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℤ
42		fzval3 13664	. . . . . 6 ⊢ (4 ∈ ℤ → (0...4) = (0..^(4 + 1)))
43	41, 42	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (0...4) = (0..^(4 + 1))
44		gpgprismgr4cycl.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = ⟨“{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}”⟩
45	44	gpgprismgr4cycllem1 48484	. . . . . 6 ⊢ (♯‘𝐹) = 4
46	45	oveq2i 7381	. . . . 5 ⊢ (0...(♯‘𝐹)) = (0...4)
47	1	gpgprismgr4cycllem4 48487	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘𝑃) = 5
48		df-5 12225	. . . . . . 7 ⊢ 5 = (4 + 1)
49	47, 48	eqtri 2760	. . . . . 6 ⊢ (♯‘𝑃) = (4 + 1)
50	49	oveq2i 7381	. . . . 5 ⊢ (0..^(♯‘𝑃)) = (0..^(4 + 1))
51	43, 46, 50	3eqtr4i 2770	. . . 4 ⊢ (0...(♯‘𝐹)) = (0..^(♯‘𝑃))
52	51	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (0...(♯‘𝐹)) = (0..^(♯‘𝑃)))
53	52	feq2d 6656	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ↔ 𝑃:(0..^(♯‘𝑃))⟶(Vtx‘𝐺)))
54	40, 53	mpbird 257	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {cpr 4584  ⟨cop 4588   class class class wbr 5100   × cxp 5632  ⟶wf 6498  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370  0cc0 11040  1c1 11041   + caddc 11043   < clt 11180   / cdiv 11808  ℕcn 12159  2c2 12214  3c3 12215  4c4 12216  5c5 12217  ℕ₀cn0 12415  ℤcz 12502  ℤ_≥cuz 12765  ...cfz 13437  ..^cfzo 13584  ⌈cceil 13725  ♯chash 14267  Word cword 14450  ⟨“cs4 14780  ⟨“cs5 14781  Vtxcvtx 29087   gPetersenGr cgpg 48429

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117  ax-pre-sup 11118

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-1o 8409  df-oadd 8413  df-er 8647  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-fin 8901  df-sup 9359  df-inf 9360  df-dju 9827  df-card 9865  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-div 11809  df-nn 12160  df-2 12222  df-3 12223  df-4 12224  df-5 12225  df-6 12226  df-7 12227  df-8 12228  df-9 12229  df-n0 12416  df-xnn0 12489  df-z 12503  df-dec 12622  df-uz 12766  df-rp 12920  df-ico 13281  df-fz 13438  df-fzo 13585  df-fl 13726  df-ceil 13727  df-hash 14268  df-word 14451  df-concat 14508  df-s1 14534  df-s2 14785  df-s3 14786  df-s4 14787  df-s5 14788  df-struct 17088  df-slot 17123  df-ndx 17135  df-base 17151  df-edgf 29080  df-vtx 29089  df-gpg 48430

This theorem is referenced by:  gpgprismgr4cycllem11  48494