Theorem gpgprismgr4cycllem9 48896

Description: Lemma 9 for gpgprismgr4cycl0 48899. (Contributed by AV, 3-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
gpgprismgr4cycl.p	⊢ 𝑃 = ⟨“⟨0, 0⟩⟨0, 1⟩⟨1, 1⟩⟨1, 0⟩⟨0, 0⟩”⟩
gpgprismgr4cycl.f	⊢ 𝐹 = ⟨“{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}”⟩
gpgprismgr4cycl.g	⊢ 𝐺 = (𝑁 gPetersenGr 1)

Assertion

Ref	Expression
gpgprismgr4cycllem9	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))

Proof of Theorem gpgprismgr4cycllem9

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gpgprismgr4cycl.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = ⟨“⟨0, 0⟩⟨0, 1⟩⟨1, 1⟩⟨1, 0⟩⟨0, 0⟩”⟩
2		eluz3nn 12917	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℕ)
3		lbfzo0 13733	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝑁 ∈ ℕ)
4	2, 3	sylibr 237	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 0 ∈ (0..^𝑁))
5		1nn0 12524	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6	5	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 1 ∈ ℕ0)
7		eluzelz 12876	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℤ)
8		uzuzle23 12912	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
9		eluz2gt1 12948	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝑁)
10	8, 9	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 1 < 𝑁)
11		elfzo0z 13735	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ (0..^𝑁) ↔ (1 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑁))
12	6, 7, 10, 11	syl3anbrc 1362	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 1 ∈ (0..^𝑁))
13		0elpr01 11205	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ {0, 1}
14	13	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ (0..^𝑁) ∧ 1 ∈ (0..^𝑁)) → 0 ∈ {0, 1})
15		simpl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ (0..^𝑁) ∧ 1 ∈ (0..^𝑁)) → 0 ∈ (0..^𝑁))
16	14, 15	opelxpd 5700	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ (0..^𝑁) ∧ 1 ∈ (0..^𝑁)) → ⟨0, 0⟩ ∈ ({0, 1} × (0..^𝑁)))
17		simpr 489	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ (0..^𝑁) ∧ 1 ∈ (0..^𝑁)) → 1 ∈ (0..^𝑁))
18	14, 17	opelxpd 5700	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ (0..^𝑁) ∧ 1 ∈ (0..^𝑁)) → ⟨0, 1⟩ ∈ ({0, 1} × (0..^𝑁)))
19		1elpr01 11208	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ {0, 1}
20	19	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ (0..^𝑁) ∧ 1 ∈ (0..^𝑁)) → 1 ∈ {0, 1})
21	20, 17	opelxpd 5700	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ (0..^𝑁) ∧ 1 ∈ (0..^𝑁)) → ⟨1, 1⟩ ∈ ({0, 1} × (0..^𝑁)))
22	20, 15	opelxpd 5700	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ (0..^𝑁) ∧ 1 ∈ (0..^𝑁)) → ⟨1, 0⟩ ∈ ({0, 1} × (0..^𝑁)))
23	16, 18, 21, 22, 16	s5cld 14916	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ (0..^𝑁) ∧ 1 ∈ (0..^𝑁)) → ⟨“⟨0, 0⟩⟨0, 1⟩⟨1, 1⟩⟨1, 0⟩⟨0, 0⟩”⟩ ∈ Word ({0, 1} × (0..^𝑁)))
24	4, 12, 23	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → ⟨“⟨0, 0⟩⟨0, 1⟩⟨1, 1⟩⟨1, 0⟩⟨0, 0⟩”⟩ ∈ Word ({0, 1} × (0..^𝑁)))
25		gpgprismgr4cycl.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (𝑁 gPetersenGr 1)
26	25	fveq2i 6884	. . . . . . 7 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘(𝑁 gPetersenGr 1))
27		1elfzo1ceilhalf1 48106	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 1 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))))
28		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) = (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))
29		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (0..^𝑁) = (0..^𝑁)
30	28, 29	gpgvtx 48836	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))) → (Vtx‘(𝑁 gPetersenGr 1)) = ({0, 1} × (0..^𝑁)))
31	2, 27, 30	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (Vtx‘(𝑁 gPetersenGr 1)) = ({0, 1} × (0..^𝑁)))
32	26, 31	eqtrid 2810	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (Vtx‘𝐺) = ({0, 1} × (0..^𝑁)))
33		wrdeq 14578	. . . . . 6 ⊢ ((Vtx‘𝐺) = ({0, 1} × (0..^𝑁)) → Word (Vtx‘𝐺) = Word ({0, 1} × (0..^𝑁)))
34	32, 33	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → Word (Vtx‘𝐺) = Word ({0, 1} × (0..^𝑁)))
35	24, 34	eleqtrrd 2866	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → ⟨“⟨0, 0⟩⟨0, 1⟩⟨1, 1⟩⟨1, 0⟩⟨0, 0⟩”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺))
36	1, 35	eqeltrid 2867	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
37		wrdf 14560	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → 𝑃:(0..^(♯‘𝑃))⟶(Vtx‘𝐺))
38	36, 37	syl 18	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑃:(0..^(♯‘𝑃))⟶(Vtx‘𝐺))
39		4z 12632	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℤ
40		fzval3 13768	. . . . . 6 ⊢ (4 ∈ ℤ → (0...4) = (0..^(4 + 1)))
41	39, 40	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (0...4) = (0..^(4 + 1))
42		gpgprismgr4cycl.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = ⟨“{⟨0, 0⟩, ⟨0, 1⟩} {⟨0, 1⟩, ⟨1, 1⟩} {⟨1, 1⟩, ⟨1, 0⟩} {⟨1, 0⟩, ⟨0, 0⟩}”⟩
43	42	gpgprismgr4cycllem1 48888	. . . . . 6 ⊢ (♯‘𝐹) = 4
44	43	oveq2i 7421	. . . . 5 ⊢ (0...(♯‘𝐹)) = (0...4)
45	1	gpgprismgr4cycllem4 48891	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘𝑃) = 5
46		df-5 12310	. . . . . . 7 ⊢ 5 = (4 + 1)
47	45, 46	eqtri 2786	. . . . . 6 ⊢ (♯‘𝑃) = (4 + 1)
48	47	oveq2i 7421	. . . . 5 ⊢ (0..^(♯‘𝑃)) = (0..^(4 + 1))
49	41, 44, 48	3eqtr4i 2796	. . . 4 ⊢ (0...(♯‘𝐹)) = (0..^(♯‘𝑃))
50	49	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (0...(♯‘𝐹)) = (0..^(♯‘𝑃)))
51	50	feq2d 6689	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ↔ 𝑃:(0..^(♯‘𝑃))⟶(Vtx‘𝐺)))
52	38, 51	mpbird 260	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  {cpr 4591  ⟨cop 4595   class class class wbr 5109   × cxp 5659  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  0cc0 11104  1c1 11105   + caddc 11107   < clt 11247   / cdiv 11875  ℕcn 12237  2c2 12299  3c3 12300  4c4 12301  5c5 12302  ℕ₀cn0 12508  ℤcz 12595  ℤ_≥cuz 12866  ...cfz 13539  ..^cfzo 13687  ⌈cceil 13829  ♯chash 14371  Word cword 14555  ⟨“cs4 14885  ⟨“cs5 14886  Vtxcvtx 29355   gPetersenGr cgpg 48833

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181  ax-pre-sup 11182

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-oadd 8453  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-inf 9399  df-dju 9892  df-card 9930  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11876  df-nn 12238  df-2 12307  df-3 12308  df-4 12309  df-5 12310  df-6 12311  df-7 12312  df-8 12313  df-9 12314  df-n0 12509  df-xnn0 12582  df-z 12596  df-dec 12716  df-uz 12867  df-rp 13021  df-ico 13382  df-fz 13540  df-fzo 13688  df-fl 13830  df-ceil 13831  df-hash 14372  df-word 14556  df-concat 14613  df-s1 14639  df-s2 14890  df-s3 14891  df-s4 14892  df-s5 14893  df-struct 17211  df-slot 17246  df-ndx 17258  df-base 17274  df-edgf 29348  df-vtx 29357  df-gpg 48834

This theorem is used by:  gpgprismgr4cycllem11  48898