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Theorem uzwo4 45058
Description: Well-ordering principle: any nonempty subset of an upper set of integers has the least element. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
uzwo4.1 𝑗𝜓
uzwo4.2 (𝑗 = 𝑘 → (𝜑𝜓))
Assertion
Ref Expression
uzwo4 ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∃𝑗𝑆 𝜑) → ∃𝑗𝑆 (𝜑 ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑘 < 𝑗 → ¬ 𝜓)))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑀   𝑆,𝑗,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗)   𝜓(𝑗,𝑘)   𝑀(𝑗)

Proof of Theorem uzwo4
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 4080 . . . . . 6 {𝑗𝑆𝜑} ⊆ 𝑆
21a1i 11 . . . . 5 (𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) → {𝑗𝑆𝜑} ⊆ 𝑆)
3 id 22 . . . . 5 (𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) → 𝑆 ⊆ (ℤ𝑀))
42, 3sstrd 3994 . . . 4 (𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) → {𝑗𝑆𝜑} ⊆ (ℤ𝑀))
54adantr 480 . . 3 ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∃𝑗𝑆 𝜑) → {𝑗𝑆𝜑} ⊆ (ℤ𝑀))
6 rabn0 4389 . . . . . 6 ({𝑗𝑆𝜑} ≠ ∅ ↔ ∃𝑗𝑆 𝜑)
76bicomi 224 . . . . 5 (∃𝑗𝑆 𝜑 ↔ {𝑗𝑆𝜑} ≠ ∅)
87biimpi 216 . . . 4 (∃𝑗𝑆 𝜑 → {𝑗𝑆𝜑} ≠ ∅)
98adantl 481 . . 3 ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∃𝑗𝑆 𝜑) → {𝑗𝑆𝜑} ≠ ∅)
10 uzwo 12953 . . 3 (({𝑗𝑆𝜑} ⊆ (ℤ𝑀) ∧ {𝑗𝑆𝜑} ≠ ∅) → ∃𝑖 ∈ {𝑗𝑆𝜑}∀𝑘 ∈ {𝑗𝑆𝜑}𝑖𝑘)
115, 9, 10syl2anc 584 . 2 ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∃𝑗𝑆 𝜑) → ∃𝑖 ∈ {𝑗𝑆𝜑}∀𝑘 ∈ {𝑗𝑆𝜑}𝑖𝑘)
121sseli 3979 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ {𝑗𝑆𝜑} → 𝑖𝑆)
1312adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑖 ∈ {𝑗𝑆𝜑} ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑗𝑆𝜑}𝑖𝑘) → 𝑖𝑆)
14133adant1 1131 . . . . . 6 ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑖 ∈ {𝑗𝑆𝜑} ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑗𝑆𝜑}𝑖𝑘) → 𝑖𝑆)
15 nfcv 2905 . . . . . . . . . . . 12 𝑗𝑖
16 nfcv 2905 . . . . . . . . . . . 12 𝑗𝑆
1715nfsbc1 3807 . . . . . . . . . . . 12 𝑗[𝑖 / 𝑗]𝜑
18 sbceq1a 3799 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑖 → (𝜑[𝑖 / 𝑗]𝜑))
1915, 16, 17, 18elrabf 3688 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ {𝑗𝑆𝜑} ↔ (𝑖𝑆[𝑖 / 𝑗]𝜑))
2019biimpi 216 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ {𝑗𝑆𝜑} → (𝑖𝑆[𝑖 / 𝑗]𝜑))
2120simprd 495 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ {𝑗𝑆𝜑} → [𝑖 / 𝑗]𝜑)
2221adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝑖 ∈ {𝑗𝑆𝜑} ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑗𝑆𝜑}𝑖𝑘) → [𝑖 / 𝑗]𝜑)
23223adant1 1131 . . . . . . 7 ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑖 ∈ {𝑗𝑆𝜑} ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑗𝑆𝜑}𝑖𝑘) → [𝑖 / 𝑗]𝜑)
24 nfv 1914 . . . . . . . . 9 𝑘 𝑆 ⊆ (ℤ𝑀)
25 nfv 1914 . . . . . . . . 9 𝑘 𝑖 ∈ {𝑗𝑆𝜑}
26 nfra1 3284 . . . . . . . . 9 𝑘𝑘 ∈ {𝑗𝑆𝜑}𝑖𝑘
2724, 25, 26nf3an 1901 . . . . . . . 8 𝑘(𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑖 ∈ {𝑗𝑆𝜑} ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑗𝑆𝜑}𝑖𝑘)
28 simpl13 1251 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑖 ∈ {𝑗𝑆𝜑} ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑗𝑆𝜑}𝑖𝑘) ∧ 𝑘𝑆𝑘 < 𝑖) ∧ 𝜓) → ∀𝑘 ∈ {𝑗𝑆𝜑}𝑖𝑘)
29 simpl2 1193 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑖 ∈ {𝑗𝑆𝜑} ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑗𝑆𝜑}𝑖𝑘) ∧ 𝑘𝑆𝑘 < 𝑖) ∧ 𝜓) → 𝑘𝑆)
30 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑖 ∈ {𝑗𝑆𝜑} ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑗𝑆𝜑}𝑖𝑘) ∧ 𝑘𝑆𝑘 < 𝑖) ∧ 𝜓) → 𝜓)
31 simpll 767 . . . . . . . . . . . 12 (((∀𝑘 ∈ {𝑗𝑆𝜑}𝑖𝑘𝑘𝑆) ∧ 𝜓) → ∀𝑘 ∈ {𝑗𝑆𝜑}𝑖𝑘)
32 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘𝑆𝜓) → (𝑘𝑆𝜓))
33 nfcv 2905 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑗𝑘
34 uzwo4.1 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑗𝜓
35 uzwo4.2 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = 𝑘 → (𝜑𝜓))
3633, 16, 34, 35elrabf 3688 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ {𝑗𝑆𝜑} ↔ (𝑘𝑆𝜓))
3732, 36sylibr 234 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘𝑆𝜓) → 𝑘 ∈ {𝑗𝑆𝜑})
3837adantll 714 . . . . . . . . . . . 12 (((∀𝑘 ∈ {𝑗𝑆𝜑}𝑖𝑘𝑘𝑆) ∧ 𝜓) → 𝑘 ∈ {𝑗𝑆𝜑})
39 rspa 3248 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑘 ∈ {𝑗𝑆𝜑}𝑖𝑘𝑘 ∈ {𝑗𝑆𝜑}) → 𝑖𝑘)
4031, 38, 39syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((∀𝑘 ∈ {𝑗𝑆𝜑}𝑖𝑘𝑘𝑆) ∧ 𝜓) → 𝑖𝑘)
4128, 29, 30, 40syl21anc 838 . . . . . . . . . 10 ((((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑖 ∈ {𝑗𝑆𝜑} ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑗𝑆𝜑}𝑖𝑘) ∧ 𝑘𝑆𝑘 < 𝑖) ∧ 𝜓) → 𝑖𝑘)
424sselda 3983 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑖 ∈ {𝑗𝑆𝜑}) → 𝑖 ∈ (ℤ𝑀))
43 eluzelz 12888 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑖 ∈ ℤ)
4442, 43syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑖 ∈ {𝑗𝑆𝜑}) → 𝑖 ∈ ℤ)
4544zred 12722 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑖 ∈ {𝑗𝑆𝜑}) → 𝑖 ∈ ℝ)
46453adant3 1133 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑖 ∈ {𝑗𝑆𝜑} ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑗𝑆𝜑}𝑖𝑘) → 𝑖 ∈ ℝ)
47463ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑖 ∈ {𝑗𝑆𝜑} ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑗𝑆𝜑}𝑖𝑘) ∧ 𝑘𝑆𝑘 < 𝑖) → 𝑖 ∈ ℝ)
48 ssel2 3978 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑘𝑆) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
49 eluzelz 12888 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
5048, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑘𝑆) → 𝑘 ∈ ℤ)
5150zred 12722 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑘𝑆) → 𝑘 ∈ ℝ)
52513ad2antl1 1186 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑖 ∈ {𝑗𝑆𝜑} ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑗𝑆𝜑}𝑖𝑘) ∧ 𝑘𝑆) → 𝑘 ∈ ℝ)
53523adant3 1133 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑖 ∈ {𝑗𝑆𝜑} ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑗𝑆𝜑}𝑖𝑘) ∧ 𝑘𝑆𝑘 < 𝑖) → 𝑘 ∈ ℝ)
54 simp3 1139 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑖 ∈ {𝑗𝑆𝜑} ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑗𝑆𝜑}𝑖𝑘) ∧ 𝑘𝑆𝑘 < 𝑖) → 𝑘 < 𝑖)
55 simp3 1139 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑘 < 𝑖) → 𝑘 < 𝑖)
56 simp2 1138 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑘 < 𝑖) → 𝑘 ∈ ℝ)
57 simp1 1137 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑘 < 𝑖) → 𝑖 ∈ ℝ)
5856, 57ltnled 11408 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑘 < 𝑖) → (𝑘 < 𝑖 ↔ ¬ 𝑖𝑘))
5955, 58mpbid 232 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑘 < 𝑖) → ¬ 𝑖𝑘)
6047, 53, 54, 59syl3anc 1373 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑖 ∈ {𝑗𝑆𝜑} ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑗𝑆𝜑}𝑖𝑘) ∧ 𝑘𝑆𝑘 < 𝑖) → ¬ 𝑖𝑘)
6160adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑖 ∈ {𝑗𝑆𝜑} ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑗𝑆𝜑}𝑖𝑘) ∧ 𝑘𝑆𝑘 < 𝑖) ∧ 𝜓) → ¬ 𝑖𝑘)
6241, 61pm2.65da 817 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑖 ∈ {𝑗𝑆𝜑} ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑗𝑆𝜑}𝑖𝑘) ∧ 𝑘𝑆𝑘 < 𝑖) → ¬ 𝜓)
63623exp 1120 . . . . . . . 8 ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑖 ∈ {𝑗𝑆𝜑} ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑗𝑆𝜑}𝑖𝑘) → (𝑘𝑆 → (𝑘 < 𝑖 → ¬ 𝜓)))
6427, 63ralrimi 3257 . . . . . . 7 ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑖 ∈ {𝑗𝑆𝜑} ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑗𝑆𝜑}𝑖𝑘) → ∀𝑘𝑆 (𝑘 < 𝑖 → ¬ 𝜓))
6523, 64jca 511 . . . . . 6 ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑖 ∈ {𝑗𝑆𝜑} ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑗𝑆𝜑}𝑖𝑘) → ([𝑖 / 𝑗]𝜑 ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑘 < 𝑖 → ¬ 𝜓)))
66 nfv 1914 . . . . . . . . . 10 𝑗 𝑘 < 𝑖
6734nfn 1857 . . . . . . . . . 10 𝑗 ¬ 𝜓
6866, 67nfim 1896 . . . . . . . . 9 𝑗(𝑘 < 𝑖 → ¬ 𝜓)
6916, 68nfralw 3311 . . . . . . . 8 𝑗𝑘𝑆 (𝑘 < 𝑖 → ¬ 𝜓)
7017, 69nfan 1899 . . . . . . 7 𝑗([𝑖 / 𝑗]𝜑 ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑘 < 𝑖 → ¬ 𝜓))
71 breq2 5147 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑖 → (𝑘 < 𝑗𝑘 < 𝑖))
7271imbi1d 341 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑖 → ((𝑘 < 𝑗 → ¬ 𝜓) ↔ (𝑘 < 𝑖 → ¬ 𝜓)))
7372ralbidv 3178 . . . . . . . 8 (𝑗 = 𝑖 → (∀𝑘𝑆 (𝑘 < 𝑗 → ¬ 𝜓) ↔ ∀𝑘𝑆 (𝑘 < 𝑖 → ¬ 𝜓)))
7418, 73anbi12d 632 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑖 → ((𝜑 ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑘 < 𝑗 → ¬ 𝜓)) ↔ ([𝑖 / 𝑗]𝜑 ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑘 < 𝑖 → ¬ 𝜓))))
7570, 74rspce 3611 . . . . . 6 ((𝑖𝑆 ∧ ([𝑖 / 𝑗]𝜑 ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑘 < 𝑖 → ¬ 𝜓))) → ∃𝑗𝑆 (𝜑 ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑘 < 𝑗 → ¬ 𝜓)))
7614, 65, 75syl2anc 584 . . . . 5 ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑖 ∈ {𝑗𝑆𝜑} ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑗𝑆𝜑}𝑖𝑘) → ∃𝑗𝑆 (𝜑 ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑘 < 𝑗 → ¬ 𝜓)))
77763exp 1120 . . . 4 (𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) → (𝑖 ∈ {𝑗𝑆𝜑} → (∀𝑘 ∈ {𝑗𝑆𝜑}𝑖𝑘 → ∃𝑗𝑆 (𝜑 ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑘 < 𝑗 → ¬ 𝜓)))))
7877rexlimdv 3153 . . 3 (𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) → (∃𝑖 ∈ {𝑗𝑆𝜑}∀𝑘 ∈ {𝑗𝑆𝜑}𝑖𝑘 → ∃𝑗𝑆 (𝜑 ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑘 < 𝑗 → ¬ 𝜓))))
7978adantr 480 . 2 ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∃𝑗𝑆 𝜑) → (∃𝑖 ∈ {𝑗𝑆𝜑}∀𝑘 ∈ {𝑗𝑆𝜑}𝑖𝑘 → ∃𝑗𝑆 (𝜑 ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑘 < 𝑗 → ¬ 𝜓))))
8011, 79mpd 15 1 ((𝑆 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ∃𝑗𝑆 𝜑) → ∃𝑗𝑆 (𝜑 ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑘 < 𝑗 → ¬ 𝜓)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wnf 1783  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  {crab 3436  [wsbc 3788  wss 3951  c0 4333   class class class wbr 5143  cfv 6561  cr 11154   < clt 11295  cle 11296  cz 12613  cuz 12878
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879
This theorem is referenced by:  iundjiun  46475
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