Theorem uzwo4 45638

Description: Well-ordering principle: any nonempty subset of an upper set of integers has the least element. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
uzwo4.1	⊢ Ⅎ𝑗𝜓
uzwo4.2	⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝜑 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
uzwo4	⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑆 𝜑) → ∃𝑗 ∈ 𝑆 (𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑘 < 𝑗 → ¬ 𝜓)))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑀   𝑆,𝑗,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗)   𝜓(𝑗,𝑘)   𝑀(𝑗)

Proof of Theorem uzwo4

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 4035	. . . . . 6 ⊢ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑} ⊆ 𝑆
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) → {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑} ⊆ 𝑆)
3		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
4	2, 3	sstrd 3948	. . . 4 ⊢ (𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) → {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑} ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
5	4	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑆 𝜑) → {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑} ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
6		rabn0 4345	. . . 4 ⊢ ({𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑} ≠ ∅ ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑆 𝜑)
7	6	bilanri 510	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑆 𝜑) → {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑} ≠ ∅)
8		uzwo 12914	. . 3 ⊢ (({𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑} ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑} ≠ ∅) → ∃𝑖 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑}∀𝑘 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑}𝑖 ≤ 𝑘)
9	5, 7, 8	syl2anc 593	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑆 𝜑) → ∃𝑖 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑}∀𝑘 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑}𝑖 ≤ 𝑘)
10	1	sseli 3934	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑} → 𝑖 ∈ 𝑆)
11	10	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑖 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑} ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑}𝑖 ≤ 𝑘) → 𝑖 ∈ 𝑆)
12	11	3adant1 1144	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑖 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑} ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑}𝑖 ≤ 𝑘) → 𝑖 ∈ 𝑆)
13		nfcv 2926	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑗𝑖
14		nfcv 2926	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑗𝑆
15	13	nfsbc1 3765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑗[𝑖 / 𝑗]𝜑
16		sbceq1a 3757	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝜑 ↔ [𝑖 / 𝑗]𝜑))
17	13, 14, 15, 16	elrabf 3649	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑} ↔ (𝑖 ∈ 𝑆 ∧ [𝑖 / 𝑗]𝜑))
18	17	biimpi 218	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑} → (𝑖 ∈ 𝑆 ∧ [𝑖 / 𝑗]𝜑))
19	18	simprd 499	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑} → [𝑖 / 𝑗]𝜑)
20	19	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑖 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑} ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑}𝑖 ≤ 𝑘) → [𝑖 / 𝑗]𝜑)
21	20	3adant1 1144	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑖 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑} ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑}𝑖 ≤ 𝑘) → [𝑖 / 𝑗]𝜑)
22		nfv 1936	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀)
23		nfv 1936	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑖 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑}
24		nfra1 3288	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘∀𝑘 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑}𝑖 ≤ 𝑘
25	22, 23, 24	nf3an 1923	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑖 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑} ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑}𝑖 ≤ 𝑘)
26		simpl13 1265	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑖 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑} ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑}𝑖 ≤ 𝑘) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 < 𝑖) ∧ 𝜓) → ∀𝑘 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑}𝑖 ≤ 𝑘)
27		simpl2 1207	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑖 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑} ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑}𝑖 ≤ 𝑘) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 < 𝑖) ∧ 𝜓) → 𝑘 ∈ 𝑆)
28		simpr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑖 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑} ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑}𝑖 ≤ 𝑘) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 < 𝑖) ∧ 𝜓) → 𝜓)
29		simpll 776	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((∀𝑘 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑}𝑖 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ 𝜓) → ∀𝑘 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑}𝑖 ≤ 𝑘)
30		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑆 ∧ 𝜓) → (𝑘 ∈ 𝑆 ∧ 𝜓))
31		nfcv 2926	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑗𝑘
32		uzwo4.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑗𝜓
33		uzwo4.2	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝜑 ↔ 𝜓))
34	31, 14, 32, 33	elrabf 3649	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑} ↔ (𝑘 ∈ 𝑆 ∧ 𝜓))
35	30, 34	sylibr 236	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑆 ∧ 𝜓) → 𝑘 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑})
36	35	adantll 724	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((∀𝑘 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑}𝑖 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ 𝜓) → 𝑘 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑})
37		rspa 3253	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑘 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑}𝑖 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑}) → 𝑖 ≤ 𝑘)
38	29, 36, 37	syl2anc 593	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((∀𝑘 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑}𝑖 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ 𝜓) → 𝑖 ≤ 𝑘)
39	26, 27, 28, 38	syl21anc 848	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑖 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑} ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑}𝑖 ≤ 𝑘) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 < 𝑖) ∧ 𝜓) → 𝑖 ≤ 𝑘)
40	4	sselda 3938	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑖 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑}) → 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
41		eluzelz 12851	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑖 ∈ ℤ)
42	40, 41	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑖 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑}) → 𝑖 ∈ ℤ)
43	42	zred 12679	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑖 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑}) → 𝑖 ∈ ℝ)
44	43	3adant3 1146	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑖 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑} ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑}𝑖 ≤ 𝑘) → 𝑖 ∈ ℝ)
45	44	3ad2ant1 1147	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑖 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑} ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑}𝑖 ≤ 𝑘) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 < 𝑖) → 𝑖 ∈ ℝ)
46		ssel2 3933	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
47		eluzelz 12851	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
48	46, 47	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → 𝑘 ∈ ℤ)
49	48	zred 12679	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → 𝑘 ∈ ℝ)
50	49	3ad2antl1 1200	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑖 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑} ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑}𝑖 ≤ 𝑘) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → 𝑘 ∈ ℝ)
51	50	3adant3 1146	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑖 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑} ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑}𝑖 ≤ 𝑘) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 < 𝑖) → 𝑘 ∈ ℝ)
52		simp3 1152	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑖 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑} ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑}𝑖 ≤ 𝑘) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 < 𝑖) → 𝑘 < 𝑖)
53		simp3 1152	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑘 < 𝑖) → 𝑘 < 𝑖)
54		simp2 1151	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑘 < 𝑖) → 𝑘 ∈ ℝ)
55		simp1 1150	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑘 < 𝑖) → 𝑖 ∈ ℝ)
56	54, 55	ltnled 11332	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑘 < 𝑖) → (𝑘 < 𝑖 ↔ ¬ 𝑖 ≤ 𝑘))
57	53, 56	mpbid 234	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑘 < 𝑖) → ¬ 𝑖 ≤ 𝑘)
58	45, 51, 52, 57	syl3anc 1392	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑖 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑} ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑}𝑖 ≤ 𝑘) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 < 𝑖) → ¬ 𝑖 ≤ 𝑘)
59	58	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑖 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑} ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑}𝑖 ≤ 𝑘) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 < 𝑖) ∧ 𝜓) → ¬ 𝑖 ≤ 𝑘)
60	39, 59	pm2.65da 826	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑖 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑} ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑}𝑖 ≤ 𝑘) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 < 𝑖) → ¬ 𝜓)
61	60	3exp 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑖 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑} ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑}𝑖 ≤ 𝑘) → (𝑘 ∈ 𝑆 → (𝑘 < 𝑖 → ¬ 𝜓)))
62	25, 61	ralrimi 3262	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑖 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑} ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑}𝑖 ≤ 𝑘) → ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑘 < 𝑖 → ¬ 𝜓))
63	21, 62	jca 519	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑖 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑} ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑}𝑖 ≤ 𝑘) → ([𝑖 / 𝑗]𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑘 < 𝑖 → ¬ 𝜓)))
64		nfv 1936	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑘 < 𝑖
65	32	nfn 1879	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑗 ¬ 𝜓
66	64, 65	nfim 1918	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑗(𝑘 < 𝑖 → ¬ 𝜓)
67	14, 66	nfralw 3311	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑗∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑘 < 𝑖 → ¬ 𝜓)
68	15, 67	nfan 1921	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑗([𝑖 / 𝑗]𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑘 < 𝑖 → ¬ 𝜓))
69		breq2 5106	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑘 < 𝑗 ↔ 𝑘 < 𝑖))
70	69	imbi1d 343	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → ((𝑘 < 𝑗 → ¬ 𝜓) ↔ (𝑘 < 𝑖 → ¬ 𝜓)))
71	70	ralbidv 3187	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑘 < 𝑗 → ¬ 𝜓) ↔ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑘 < 𝑖 → ¬ 𝜓)))
72	16, 71	anbi12d 641	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑘 < 𝑗 → ¬ 𝜓)) ↔ ([𝑖 / 𝑗]𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑘 < 𝑖 → ¬ 𝜓))))
73	68, 72	rspce 3572	. . . . . 6 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝑆 ∧ ([𝑖 / 𝑗]𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑘 < 𝑖 → ¬ 𝜓))) → ∃𝑗 ∈ 𝑆 (𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑘 < 𝑗 → ¬ 𝜓)))
74	12, 63, 73	syl2anc 593	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑖 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑} ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑}𝑖 ≤ 𝑘) → ∃𝑗 ∈ 𝑆 (𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑘 < 𝑗 → ¬ 𝜓)))
75	74	3exp 1133	. . . 4 ⊢ (𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑖 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑} → (∀𝑘 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑}𝑖 ≤ 𝑘 → ∃𝑗 ∈ 𝑆 (𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑘 < 𝑗 → ¬ 𝜓)))))
76	75	rexlimdv 3163	. . 3 ⊢ (𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) → (∃𝑖 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑}∀𝑘 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑}𝑖 ≤ 𝑘 → ∃𝑗 ∈ 𝑆 (𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑘 < 𝑗 → ¬ 𝜓))))
77	76	adantr 484	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑆 𝜑) → (∃𝑖 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑}∀𝑘 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑}𝑖 ≤ 𝑘 → ∃𝑗 ∈ 𝑆 (𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑘 < 𝑗 → ¬ 𝜓))))
78	9, 77	mpd 15	1 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑆 𝜑) → ∃𝑗 ∈ 𝑆 (𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑘 < 𝑗 → ¬ 𝜓)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1099   = wceq 1562  Ⅎwnf 1805   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2959  ∀wral 3078  ∃wrex 3088  {crab 3416  [wsbc 3746   ⊆ wss 3906  ∅c0 4287   class class class wbr 5102  ‘cfv 6523  ℝcr 11074   < clt 11218   ≤ cle 11219  ℤcz 12570  ℤ_≥cuz 12841

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-er 8680  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-nn 12213  df-n0 12484  df-z 12571  df-uz 12842

This theorem is referenced by:  iundjiun  47039