Theorem uzwo4 45047

Description: Well-ordering principle: any nonempty subset of an upper set of integers has the least element. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
uzwo4.1	⊢ Ⅎ𝑗𝜓
uzwo4.2	⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝜑 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
uzwo4	⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑆 𝜑) → ∃𝑗 ∈ 𝑆 (𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑘 < 𝑗 → ¬ 𝜓)))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑀   𝑆,𝑗,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗)   𝜓(𝑗,𝑘)   𝑀(𝑗)

Proof of Theorem uzwo4

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 4043	. . . . . 6 ⊢ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑} ⊆ 𝑆
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) → {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑} ⊆ 𝑆)
3		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
4	2, 3	sstrd 3957	. . . 4 ⊢ (𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) → {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑} ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
5	4	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑆 𝜑) → {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑} ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
6		rabn0 4352	. . . . . 6 ⊢ ({𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑} ≠ ∅ ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑆 𝜑)
7	6	bicomi 224	. . . . 5 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝑆 𝜑 ↔ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑} ≠ ∅)
8	7	biimpi 216	. . . 4 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝑆 𝜑 → {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑} ≠ ∅)
9	8	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑆 𝜑) → {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑} ≠ ∅)
10		uzwo 12870	. . 3 ⊢ (({𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑} ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑} ≠ ∅) → ∃𝑖 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑}∀𝑘 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑}𝑖 ≤ 𝑘)
11	5, 9, 10	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑆 𝜑) → ∃𝑖 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑}∀𝑘 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑}𝑖 ≤ 𝑘)
12	1	sseli 3942	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑} → 𝑖 ∈ 𝑆)
13	12	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑖 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑} ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑}𝑖 ≤ 𝑘) → 𝑖 ∈ 𝑆)
14	13	3adant1 1130	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑖 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑} ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑}𝑖 ≤ 𝑘) → 𝑖 ∈ 𝑆)
15		nfcv 2891	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑗𝑖
16		nfcv 2891	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑗𝑆
17	15	nfsbc1 3772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑗[𝑖 / 𝑗]𝜑
18		sbceq1a 3764	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝜑 ↔ [𝑖 / 𝑗]𝜑))
19	15, 16, 17, 18	elrabf 3655	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑} ↔ (𝑖 ∈ 𝑆 ∧ [𝑖 / 𝑗]𝜑))
20	19	biimpi 216	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑} → (𝑖 ∈ 𝑆 ∧ [𝑖 / 𝑗]𝜑))
21	20	simprd 495	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑} → [𝑖 / 𝑗]𝜑)
22	21	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑖 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑} ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑}𝑖 ≤ 𝑘) → [𝑖 / 𝑗]𝜑)
23	22	3adant1 1130	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑖 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑} ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑}𝑖 ≤ 𝑘) → [𝑖 / 𝑗]𝜑)
24		nfv 1914	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀)
25		nfv 1914	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑖 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑}
26		nfra1 3261	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘∀𝑘 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑}𝑖 ≤ 𝑘
27	24, 25, 26	nf3an 1901	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑖 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑} ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑}𝑖 ≤ 𝑘)
28		simpl13 1251	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑖 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑} ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑}𝑖 ≤ 𝑘) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 < 𝑖) ∧ 𝜓) → ∀𝑘 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑}𝑖 ≤ 𝑘)
29		simpl2 1193	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑖 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑} ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑}𝑖 ≤ 𝑘) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 < 𝑖) ∧ 𝜓) → 𝑘 ∈ 𝑆)
30		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑖 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑} ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑}𝑖 ≤ 𝑘) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 < 𝑖) ∧ 𝜓) → 𝜓)
31		simpll 766	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((∀𝑘 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑}𝑖 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ 𝜓) → ∀𝑘 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑}𝑖 ≤ 𝑘)
32		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑆 ∧ 𝜓) → (𝑘 ∈ 𝑆 ∧ 𝜓))
33		nfcv 2891	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑗𝑘
34		uzwo4.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑗𝜓
35		uzwo4.2	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝜑 ↔ 𝜓))
36	33, 16, 34, 35	elrabf 3655	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑} ↔ (𝑘 ∈ 𝑆 ∧ 𝜓))
37	32, 36	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑆 ∧ 𝜓) → 𝑘 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑})
38	37	adantll 714	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((∀𝑘 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑}𝑖 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ 𝜓) → 𝑘 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑})
39		rspa 3226	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑘 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑}𝑖 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑}) → 𝑖 ≤ 𝑘)
40	31, 38, 39	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((∀𝑘 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑}𝑖 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ 𝜓) → 𝑖 ≤ 𝑘)
41	28, 29, 30, 40	syl21anc 837	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑖 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑} ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑}𝑖 ≤ 𝑘) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 < 𝑖) ∧ 𝜓) → 𝑖 ≤ 𝑘)
42	4	sselda 3946	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑖 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑}) → 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
43		eluzelz 12803	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑖 ∈ ℤ)
44	42, 43	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑖 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑}) → 𝑖 ∈ ℤ)
45	44	zred 12638	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑖 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑}) → 𝑖 ∈ ℝ)
46	45	3adant3 1132	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑖 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑} ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑}𝑖 ≤ 𝑘) → 𝑖 ∈ ℝ)
47	46	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑖 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑} ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑}𝑖 ≤ 𝑘) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 < 𝑖) → 𝑖 ∈ ℝ)
48		ssel2 3941	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
49		eluzelz 12803	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
50	48, 49	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → 𝑘 ∈ ℤ)
51	50	zred 12638	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → 𝑘 ∈ ℝ)
52	51	3ad2antl1 1186	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑖 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑} ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑}𝑖 ≤ 𝑘) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → 𝑘 ∈ ℝ)
53	52	3adant3 1132	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑖 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑} ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑}𝑖 ≤ 𝑘) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 < 𝑖) → 𝑘 ∈ ℝ)
54		simp3 1138	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑖 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑} ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑}𝑖 ≤ 𝑘) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 < 𝑖) → 𝑘 < 𝑖)
55		simp3 1138	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑘 < 𝑖) → 𝑘 < 𝑖)
56		simp2 1137	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑘 < 𝑖) → 𝑘 ∈ ℝ)
57		simp1 1136	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑘 < 𝑖) → 𝑖 ∈ ℝ)
58	56, 57	ltnled 11321	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑘 < 𝑖) → (𝑘 < 𝑖 ↔ ¬ 𝑖 ≤ 𝑘))
59	55, 58	mpbid 232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑘 < 𝑖) → ¬ 𝑖 ≤ 𝑘)
60	47, 53, 54, 59	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑖 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑} ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑}𝑖 ≤ 𝑘) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 < 𝑖) → ¬ 𝑖 ≤ 𝑘)
61	60	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑖 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑} ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑}𝑖 ≤ 𝑘) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 < 𝑖) ∧ 𝜓) → ¬ 𝑖 ≤ 𝑘)
62	41, 61	pm2.65da 816	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑖 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑} ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑}𝑖 ≤ 𝑘) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 < 𝑖) → ¬ 𝜓)
63	62	3exp 1119	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑖 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑} ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑}𝑖 ≤ 𝑘) → (𝑘 ∈ 𝑆 → (𝑘 < 𝑖 → ¬ 𝜓)))
64	27, 63	ralrimi 3235	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑖 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑} ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑}𝑖 ≤ 𝑘) → ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑘 < 𝑖 → ¬ 𝜓))
65	23, 64	jca 511	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑖 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑} ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑}𝑖 ≤ 𝑘) → ([𝑖 / 𝑗]𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑘 < 𝑖 → ¬ 𝜓)))
66		nfv 1914	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑘 < 𝑖
67	34	nfn 1857	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑗 ¬ 𝜓
68	66, 67	nfim 1896	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑗(𝑘 < 𝑖 → ¬ 𝜓)
69	16, 68	nfralw 3285	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑗∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑘 < 𝑖 → ¬ 𝜓)
70	17, 69	nfan 1899	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑗([𝑖 / 𝑗]𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑘 < 𝑖 → ¬ 𝜓))
71		breq2 5111	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑘 < 𝑗 ↔ 𝑘 < 𝑖))
72	71	imbi1d 341	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → ((𝑘 < 𝑗 → ¬ 𝜓) ↔ (𝑘 < 𝑖 → ¬ 𝜓)))
73	72	ralbidv 3156	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑘 < 𝑗 → ¬ 𝜓) ↔ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑘 < 𝑖 → ¬ 𝜓)))
74	18, 73	anbi12d 632	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑘 < 𝑗 → ¬ 𝜓)) ↔ ([𝑖 / 𝑗]𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑘 < 𝑖 → ¬ 𝜓))))
75	70, 74	rspce 3577	. . . . . 6 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝑆 ∧ ([𝑖 / 𝑗]𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑘 < 𝑖 → ¬ 𝜓))) → ∃𝑗 ∈ 𝑆 (𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑘 < 𝑗 → ¬ 𝜓)))
76	14, 65, 75	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑖 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑} ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑}𝑖 ≤ 𝑘) → ∃𝑗 ∈ 𝑆 (𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑘 < 𝑗 → ¬ 𝜓)))
77	76	3exp 1119	. . . 4 ⊢ (𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑖 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑} → (∀𝑘 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑}𝑖 ≤ 𝑘 → ∃𝑗 ∈ 𝑆 (𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑘 < 𝑗 → ¬ 𝜓)))))
78	77	rexlimdv 3132	. . 3 ⊢ (𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) → (∃𝑖 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑}∀𝑘 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑}𝑖 ≤ 𝑘 → ∃𝑗 ∈ 𝑆 (𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑘 < 𝑗 → ¬ 𝜓))))
79	78	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑆 𝜑) → (∃𝑖 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑}∀𝑘 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑}𝑖 ≤ 𝑘 → ∃𝑗 ∈ 𝑆 (𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑘 < 𝑗 → ¬ 𝜓))))
80	11, 79	mpd 15	1 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑆 𝜑) → ∃𝑗 ∈ 𝑆 (𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑘 < 𝑗 → ¬ 𝜓)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540  Ⅎwnf 1783   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  {crab 3405  [wsbc 3753   ⊆ wss 3914  ∅c0 4296   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  ℝcr 11067   < clt 11208   ≤ cle 11209  ℤcz 12529  ℤ_≥cuz 12793

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794

This theorem is referenced by:  iundjiun  46458