Theorem uzwo4 45040

Description: Well-ordering principle: any nonempty subset of an upper set of integers has the least element. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
uzwo4.1	⊢ Ⅎ𝑗𝜓
uzwo4.2	⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝜑 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
uzwo4	⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑆 𝜑) → ∃𝑗 ∈ 𝑆 (𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑘 < 𝑗 → ¬ 𝜓)))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑀   𝑆,𝑗,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗)   𝜓(𝑗,𝑘)   𝑀(𝑗)

Proof of Theorem uzwo4

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 4039	. . . . . 6 ⊢ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑} ⊆ 𝑆
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) → {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑} ⊆ 𝑆)
3		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
4	2, 3	sstrd 3954	. . . 4 ⊢ (𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) → {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑} ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
5	4	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑆 𝜑) → {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑} ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
6		rabn0 4348	. . . . . 6 ⊢ ({𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑} ≠ ∅ ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑆 𝜑)
7	6	bicomi 224	. . . . 5 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝑆 𝜑 ↔ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑} ≠ ∅)
8	7	biimpi 216	. . . 4 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝑆 𝜑 → {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑} ≠ ∅)
9	8	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑆 𝜑) → {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑} ≠ ∅)
10		uzwo 12846	. . 3 ⊢ (({𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑} ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑} ≠ ∅) → ∃𝑖 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑}∀𝑘 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑}𝑖 ≤ 𝑘)
11	5, 9, 10	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑆 𝜑) → ∃𝑖 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑}∀𝑘 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑}𝑖 ≤ 𝑘)
12	1	sseli 3939	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑} → 𝑖 ∈ 𝑆)
13	12	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑖 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑} ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑}𝑖 ≤ 𝑘) → 𝑖 ∈ 𝑆)
14	13	3adant1 1130	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑖 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑} ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑}𝑖 ≤ 𝑘) → 𝑖 ∈ 𝑆)
15		nfcv 2891	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑗𝑖
16		nfcv 2891	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑗𝑆
17	15	nfsbc1 3769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑗[𝑖 / 𝑗]𝜑
18		sbceq1a 3761	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝜑 ↔ [𝑖 / 𝑗]𝜑))
19	15, 16, 17, 18	elrabf 3652	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑} ↔ (𝑖 ∈ 𝑆 ∧ [𝑖 / 𝑗]𝜑))
20	19	biimpi 216	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑} → (𝑖 ∈ 𝑆 ∧ [𝑖 / 𝑗]𝜑))
21	20	simprd 495	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑} → [𝑖 / 𝑗]𝜑)
22	21	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑖 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑} ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑}𝑖 ≤ 𝑘) → [𝑖 / 𝑗]𝜑)
23	22	3adant1 1130	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑖 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑} ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑}𝑖 ≤ 𝑘) → [𝑖 / 𝑗]𝜑)
24		nfv 1914	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀)
25		nfv 1914	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑖 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑}
26		nfra1 3259	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘∀𝑘 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑}𝑖 ≤ 𝑘
27	24, 25, 26	nf3an 1901	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑖 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑} ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑}𝑖 ≤ 𝑘)
28		simpl13 1251	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑖 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑} ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑}𝑖 ≤ 𝑘) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 < 𝑖) ∧ 𝜓) → ∀𝑘 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑}𝑖 ≤ 𝑘)
29		simpl2 1193	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑖 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑} ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑}𝑖 ≤ 𝑘) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 < 𝑖) ∧ 𝜓) → 𝑘 ∈ 𝑆)
30		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑖 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑} ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑}𝑖 ≤ 𝑘) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 < 𝑖) ∧ 𝜓) → 𝜓)
31		simpll 766	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((∀𝑘 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑}𝑖 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ 𝜓) → ∀𝑘 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑}𝑖 ≤ 𝑘)
32		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑆 ∧ 𝜓) → (𝑘 ∈ 𝑆 ∧ 𝜓))
33		nfcv 2891	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑗𝑘
34		uzwo4.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑗𝜓
35		uzwo4.2	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝜑 ↔ 𝜓))
36	33, 16, 34, 35	elrabf 3652	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑} ↔ (𝑘 ∈ 𝑆 ∧ 𝜓))
37	32, 36	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑆 ∧ 𝜓) → 𝑘 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑})
38	37	adantll 714	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((∀𝑘 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑}𝑖 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ 𝜓) → 𝑘 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑})
39		rspa 3224	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑘 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑}𝑖 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑}) → 𝑖 ≤ 𝑘)
40	31, 38, 39	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((∀𝑘 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑}𝑖 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ 𝜓) → 𝑖 ≤ 𝑘)
41	28, 29, 30, 40	syl21anc 837	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑖 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑} ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑}𝑖 ≤ 𝑘) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 < 𝑖) ∧ 𝜓) → 𝑖 ≤ 𝑘)
42	4	sselda 3943	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑖 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑}) → 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
43		eluzelz 12779	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑖 ∈ ℤ)
44	42, 43	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑖 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑}) → 𝑖 ∈ ℤ)
45	44	zred 12614	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑖 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑}) → 𝑖 ∈ ℝ)
46	45	3adant3 1132	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑖 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑} ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑}𝑖 ≤ 𝑘) → 𝑖 ∈ ℝ)
47	46	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑖 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑} ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑}𝑖 ≤ 𝑘) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 < 𝑖) → 𝑖 ∈ ℝ)
48		ssel2 3938	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
49		eluzelz 12779	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑘 ∈ ℤ)
50	48, 49	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → 𝑘 ∈ ℤ)
51	50	zred 12614	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → 𝑘 ∈ ℝ)
52	51	3ad2antl1 1186	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑖 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑} ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑}𝑖 ≤ 𝑘) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → 𝑘 ∈ ℝ)
53	52	3adant3 1132	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑖 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑} ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑}𝑖 ≤ 𝑘) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 < 𝑖) → 𝑘 ∈ ℝ)
54		simp3 1138	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑖 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑} ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑}𝑖 ≤ 𝑘) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 < 𝑖) → 𝑘 < 𝑖)
55		simp3 1138	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑘 < 𝑖) → 𝑘 < 𝑖)
56		simp2 1137	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑘 < 𝑖) → 𝑘 ∈ ℝ)
57		simp1 1136	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑘 < 𝑖) → 𝑖 ∈ ℝ)
58	56, 57	ltnled 11297	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑘 < 𝑖) → (𝑘 < 𝑖 ↔ ¬ 𝑖 ≤ 𝑘))
59	55, 58	mpbid 232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑘 < 𝑖) → ¬ 𝑖 ≤ 𝑘)
60	47, 53, 54, 59	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑖 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑} ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑}𝑖 ≤ 𝑘) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 < 𝑖) → ¬ 𝑖 ≤ 𝑘)
61	60	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑖 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑} ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑}𝑖 ≤ 𝑘) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 < 𝑖) ∧ 𝜓) → ¬ 𝑖 ≤ 𝑘)
62	41, 61	pm2.65da 816	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑖 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑} ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑}𝑖 ≤ 𝑘) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 < 𝑖) → ¬ 𝜓)
63	62	3exp 1119	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑖 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑} ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑}𝑖 ≤ 𝑘) → (𝑘 ∈ 𝑆 → (𝑘 < 𝑖 → ¬ 𝜓)))
64	27, 63	ralrimi 3233	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑖 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑} ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑}𝑖 ≤ 𝑘) → ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑘 < 𝑖 → ¬ 𝜓))
65	23, 64	jca 511	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑖 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑} ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑}𝑖 ≤ 𝑘) → ([𝑖 / 𝑗]𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑘 < 𝑖 → ¬ 𝜓)))
66		nfv 1914	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑘 < 𝑖
67	34	nfn 1857	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑗 ¬ 𝜓
68	66, 67	nfim 1896	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑗(𝑘 < 𝑖 → ¬ 𝜓)
69	16, 68	nfralw 3283	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑗∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑘 < 𝑖 → ¬ 𝜓)
70	17, 69	nfan 1899	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑗([𝑖 / 𝑗]𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑘 < 𝑖 → ¬ 𝜓))
71		breq2 5106	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑘 < 𝑗 ↔ 𝑘 < 𝑖))
72	71	imbi1d 341	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → ((𝑘 < 𝑗 → ¬ 𝜓) ↔ (𝑘 < 𝑖 → ¬ 𝜓)))
73	72	ralbidv 3156	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑘 < 𝑗 → ¬ 𝜓) ↔ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑘 < 𝑖 → ¬ 𝜓)))
74	18, 73	anbi12d 632	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → ((𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑘 < 𝑗 → ¬ 𝜓)) ↔ ([𝑖 / 𝑗]𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑘 < 𝑖 → ¬ 𝜓))))
75	70, 74	rspce 3574	. . . . . 6 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝑆 ∧ ([𝑖 / 𝑗]𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑘 < 𝑖 → ¬ 𝜓))) → ∃𝑗 ∈ 𝑆 (𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑘 < 𝑗 → ¬ 𝜓)))
76	14, 65, 75	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑖 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑} ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑}𝑖 ≤ 𝑘) → ∃𝑗 ∈ 𝑆 (𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑘 < 𝑗 → ¬ 𝜓)))
77	76	3exp 1119	. . . 4 ⊢ (𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑖 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑} → (∀𝑘 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑}𝑖 ≤ 𝑘 → ∃𝑗 ∈ 𝑆 (𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑘 < 𝑗 → ¬ 𝜓)))))
78	77	rexlimdv 3132	. . 3 ⊢ (𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) → (∃𝑖 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑}∀𝑘 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑}𝑖 ≤ 𝑘 → ∃𝑗 ∈ 𝑆 (𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑘 < 𝑗 → ¬ 𝜓))))
79	78	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑆 𝜑) → (∃𝑖 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑}∀𝑘 ∈ {𝑗 ∈ 𝑆 ∣ 𝜑}𝑖 ≤ 𝑘 → ∃𝑗 ∈ 𝑆 (𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑘 < 𝑗 → ¬ 𝜓))))
80	11, 79	mpd 15	1 ⊢ ((𝑆 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑆 𝜑) → ∃𝑗 ∈ 𝑆 (𝜑 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑘 < 𝑗 → ¬ 𝜓)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540  Ⅎwnf 1783   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  {crab 3402  [wsbc 3750   ⊆ wss 3911  ∅c0 4292   class class class wbr 5102  ‘cfv 6499  ℝcr 11043   < clt 11184   ≤ cle 11185  ℤcz 12505  ℤ_≥cuz 12769

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770

This theorem is referenced by:  iundjiun  46451