Theorem xrsdsval 21451

Description: The metric of the extended real number structure. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
xrsds.d	⊢ 𝐷 = (dist‘ℝ*𝑠)

Assertion

Ref	Expression
xrsdsval	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴𝐷𝐵) = if(𝐴 ≤ 𝐵, (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴), (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵)))

Proof of Theorem xrsdsval

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq12 5102	. . 3 ⊢ ((𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵) → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))
2		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → 𝑦 = 𝐵)
3		xnegeq 13204	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → -𝑒𝑥 = -𝑒𝐴)
4	2, 3	oveqan12rd 7411	. . 3 ⊢ ((𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵) → (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥) = (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴))
5		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝑥 = 𝐴)
6		xnegeq 13204	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → -𝑒𝑦 = -𝑒𝐵)
7	5, 6	oveqan12d 7410	. . 3 ⊢ ((𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵) → (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦) = (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵))
8	1, 4, 7	ifbieq12d 4506	. 2 ⊢ ((𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵) → if(𝑥 ≤ 𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥), (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦)) = if(𝐴 ≤ 𝐵, (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴), (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵)))
9		xrsds.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (dist‘ℝ*𝑠)
10	9	xrsds 21450	. 2 ⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ if(𝑥 ≤ 𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥), (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦)))
11		ovex 7424	. . 3 ⊢ (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ V
12		ovex 7424	. . 3 ⊢ (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ V
13	11, 12	ifex 4528	. 2 ⊢ if(𝐴 ≤ 𝐵, (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴), (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵)) ∈ V
14	8, 10, 13	ovmpoa 7546	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴𝐷𝐵) = if(𝐴 ≤ 𝐵, (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴), (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ifcif 4477   class class class wbr 5097  ‘cfv 6516  (class class class)co 7391  ℝ^*cxr 11209   ≤ cle 11211  -_𝑒cxne 13105   +_𝑒 cxad 13106  distcds 17286  ℝ^*_𝑠cxrs 17521

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-om 7842  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-1o 8431  df-er 8672  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-nn 12205  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12476  df-z 12563  df-dec 12683  df-uz 12834  df-xneg 13108  df-xadd 13109  df-fz 13507  df-struct 17174  df-slot 17209  df-ndx 17221  df-base 17237  df-plusg 17290  df-mulr 17291  df-tset 17296  df-ple 17297  df-ds 17299  df-xrs 17523

This theorem is referenced by:  xrsdsreval  21452  xrsdsreclb  21454  xmetrtri2  24404  xrsxmet  24858  metdscn  24905