Theorem xrsdsval 20135

Description: The metric of the extended real number structure. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
xrsds.d	⊢ 𝐷 = (dist‘ℝ*𝑠)

Assertion

Ref	Expression
xrsdsval	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴𝐷𝐵) = if(𝐴 ≤ 𝐵, (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴), (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵)))

Proof of Theorem xrsdsval

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq12 5035	. . 3 ⊢ ((𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵) → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ 𝐴 ≤ 𝐵))
2		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → 𝑦 = 𝐵)
3		xnegeq 12588	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → -𝑒𝑥 = -𝑒𝐴)
4	2, 3	oveqan12rd 7155	. . 3 ⊢ ((𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵) → (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥) = (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴))
5		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝑥 = 𝐴)
6		xnegeq 12588	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → -𝑒𝑦 = -𝑒𝐵)
7	5, 6	oveqan12d 7154	. . 3 ⊢ ((𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵) → (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦) = (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵))
8	1, 4, 7	ifbieq12d 4452	. 2 ⊢ ((𝑥 = 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐵) → if(𝑥 ≤ 𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥), (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦)) = if(𝐴 ≤ 𝐵, (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴), (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵)))
9		xrsds.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (dist‘ℝ*𝑠)
10	9	xrsds 20134	. 2 ⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ if(𝑥 ≤ 𝑦, (𝑦 +𝑒 -𝑒𝑥), (𝑥 +𝑒 -𝑒𝑦)))
11		ovex 7168	. . 3 ⊢ (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ V
12		ovex 7168	. . 3 ⊢ (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵) ∈ V
13	11, 12	ifex 4473	. 2 ⊢ if(𝐴 ≤ 𝐵, (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴), (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵)) ∈ V
14	8, 10, 13	ovmpoa 7284	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴𝐷𝐵) = if(𝐴 ≤ 𝐵, (𝐵 +𝑒 -𝑒𝐴), (𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ifcif 4425   class class class wbr 5030  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ℝ^*cxr 10663   ≤ cle 10665  -_𝑒cxne 12492   +_𝑒 cxad 12493  distcds 16566  ℝ^*_𝑠cxrs 16765

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-fz 12886  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-xrs 16767

This theorem is referenced by:  xrsdsreval  20136  xrsdsreclb  20138  xmetrtri2  22963  xrsxmet  23414  metdscn  23461