Theorem gausslemma2dlem5a 16401

Description: Lemma for gausslemma2dlem5 16402. (Contributed by AV, 8-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
gausslemma2d.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
gausslemma2d.h	⊢ 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
gausslemma2d.r	⊢ 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
gausslemma2d.m	⊢ 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))

Assertion

Ref	Expression
gausslemma2dlem5a	⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) mod 𝑃) = (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)( -1 · (𝑘 · 2)) mod 𝑃))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐻   𝑥,𝑃   𝜑,𝑥   𝑘,𝐻   𝑅,𝑘   𝜑,𝑘   𝑥,𝑀,𝑘   𝑃,𝑘

Allowed substitution hint:   𝑅(𝑥)

Proof of Theorem gausslemma2dlem5a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gausslemma2d.p	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
2		gausslemma2d.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
3		gausslemma2d.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
4		gausslemma2d.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
5	1, 2, 3, 4	gausslemma2dlem3 16399	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2)))
6		prodeq2 12350	. . . 4 ⊢ (∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2)) → ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) = ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑃 − (𝑘 · 2)))
7	6	oveq1d 6103	. . 3 ⊢ (∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2)) → (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) mod 𝑃) = (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑃 − (𝑘 · 2)) mod 𝑃))
8	5, 7	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) mod 𝑃) = (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑃 − (𝑘 · 2)) mod 𝑃))
9	1	eldifad 3231	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
10		prmz 12915	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
11	9, 10	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
12		4nn 9480	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ
13		znq 10041	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℕ) → (𝑃 / 4) ∈ ℚ)
14	11, 12, 13	sylancl 417	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑃 / 4) ∈ ℚ)
15	14	flqcld 10732	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℤ)
16	4, 15	eqeltrid 2325	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
17	16	peano2zd 9783	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
18	1, 2	gausslemma2dlem0b 16386	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℕ)
19	18	nnzd 9779	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℤ)
20	17, 19	fzfigd 10890	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1)...𝐻) ∈ Fin)
21	10	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → 𝑃 ∈ ℤ)
22		elfzelz 10446	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → 𝑘 ∈ ℤ)
23		2z 9684	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
24	23	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → 2 ∈ ℤ)
25	22, 24	zmulcld 9786	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → (𝑘 · 2) ∈ ℤ)
26	25	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → (𝑘 · 2) ∈ ℤ)
27	21, 26	zsubcld 9785	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → (𝑃 − (𝑘 · 2)) ∈ ℤ)
28	9, 27	sylan 283	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → (𝑃 − (𝑘 · 2)) ∈ ℤ)
29		neg1z 9688	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℤ
30	29	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → -1 ∈ ℤ)
31	30, 25	zmulcld 9786	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → ( -1 · (𝑘 · 2)) ∈ ℤ)
32	31	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → ( -1 · (𝑘 · 2)) ∈ ℤ)
33		prmnn 12914	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
34	9, 33	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
35	25	zcnd 9781	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → (𝑘 · 2) ∈ ℂ)
36	35	mulm1d 8745	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → ( -1 · (𝑘 · 2)) = -(𝑘 · 2))
37	36	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → ( -1 · (𝑘 · 2)) = -(𝑘 · 2))
38	37	oveq1d 6103	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → (( -1 · (𝑘 · 2)) mod 𝑃) = ( -(𝑘 · 2) mod 𝑃))
39		zq 10043	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 · 2) ∈ ℤ → (𝑘 · 2) ∈ ℚ)
40	26, 39	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → (𝑘 · 2) ∈ ℚ)
41		zq 10043	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℤ → 𝑃 ∈ ℚ)
42	21, 41	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → 𝑃 ∈ ℚ)
43	33	nngt0d 9358	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 0 < 𝑃)
44	43	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → 0 < 𝑃)
45		qnegmod 10828	. . . . . 6 ⊢ (((𝑘 · 2) ∈ ℚ ∧ 𝑃 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑃) → ( -(𝑘 · 2) mod 𝑃) = ((𝑃 − (𝑘 · 2)) mod 𝑃))
46	40, 42, 44, 45	syl3anc 1278	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → ( -(𝑘 · 2) mod 𝑃) = ((𝑃 − (𝑘 · 2)) mod 𝑃))
47	38, 46	eqtr2d 2272	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → ((𝑃 − (𝑘 · 2)) mod 𝑃) = (( -1 · (𝑘 · 2)) mod 𝑃))
48	9, 47	sylan 283	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → ((𝑃 − (𝑘 · 2)) mod 𝑃) = (( -1 · (𝑘 · 2)) mod 𝑃))
49	20, 28, 32, 34, 48	fprodmodd 12434	. 2 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑃 − (𝑘 · 2)) mod 𝑃) = (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)( -1 · (𝑘 · 2)) mod 𝑃))
50	8, 49	eqtrd 2271	1 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) mod 𝑃) = (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)( -1 · (𝑘 · 2)) mod 𝑃))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528   ∖ cdif 3217  ifcif 3638  {csn 3709   class class class wbr 4131   ↦ cmpt 4193  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  0cc0 8186  1c1 8187   + caddc 8189   · cmul 8191   < clt 8367   − cmin 8505   -cneg 8506   / cdiv 9011  ℕcn 9314  2c2 9365  4c4 9367  ℤcz 9656  ℚcq 10036  ...cfz 10429  ⌊cfl 10721   mod cmo 10781  ∏cprod 12343  ℙcprime 12911

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-mulrcl 8285  ax-addcom 8286  ax-mulcom 8287  ax-addass 8288  ax-mulass 8289  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-1rid 8293  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-precex 8296  ax-cnre 8297  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltwlin 8299  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-apti 8301  ax-pre-ltadd 8302  ax-pre-mulgt0 8303  ax-pre-mulext 8304  ax-arch 8305  ax-caucvg 8306

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-xor 1425  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-isom 5389  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-irdg 6645  df-frec 6666  df-1o 6691  df-2o 6692  df-oadd 6695  df-er 6811  df-en 7028  df-dom 7029  df-fin 7030  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-ltxr 8372  df-le 8373  df-sub 8507  df-neg 8508  df-reap 8912  df-ap 8919  df-div 9012  df-inn 9315  df-2 9373  df-3 9374  df-4 9375  df-n0 9576  df-z 9657  df-uz 9939  df-q 10037  df-rp 10073  df-fz 10430  df-fzo 10568  df-fl 10723  df-mod 10782  df-seqfrec 10907  df-exp 10998  df-ihash 11238  df-cj 11630  df-re 11631  df-im 11632  df-rsqrt 11787  df-abs 11788  df-clim 12071  df-proddc 12344  df-dvds 12581  df-prm 12912

This theorem is used by:  gausslemma2dlem5  16402