Theorem gausslemma2dlem5a 15592

Description: Lemma for gausslemma2dlem5 15593. (Contributed by AV, 8-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
gausslemma2d.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
gausslemma2d.h	⊢ 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
gausslemma2d.r	⊢ 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
gausslemma2d.m	⊢ 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))

Assertion

Ref	Expression
gausslemma2dlem5a	⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) mod 𝑃) = (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(-1 · (𝑘 · 2)) mod 𝑃))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐻   𝑥,𝑃   𝜑,𝑥   𝑘,𝐻   𝑅,𝑘   𝜑,𝑘   𝑥,𝑀,𝑘   𝑃,𝑘

Allowed substitution hint:   𝑅(𝑥)

Proof of Theorem gausslemma2dlem5a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gausslemma2d.p	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
2		gausslemma2d.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
3		gausslemma2d.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
4		gausslemma2d.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
5	1, 2, 3, 4	gausslemma2dlem3 15590	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2)))
6		prodeq2 11918	. . . 4 ⊢ (∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2)) → ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) = ∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑃 − (𝑘 · 2)))
7	6	oveq1d 5969	. . 3 ⊢ (∀𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) = (𝑃 − (𝑘 · 2)) → (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) mod 𝑃) = (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑃 − (𝑘 · 2)) mod 𝑃))
8	5, 7	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) mod 𝑃) = (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑃 − (𝑘 · 2)) mod 𝑃))
9	1	eldifad 3179	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
10		prmz 12483	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
11	9, 10	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
12		4nn 9213	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ
13		znq 9758	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℕ) → (𝑃 / 4) ∈ ℚ)
14	11, 12, 13	sylancl 413	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑃 / 4) ∈ ℚ)
15	14	flqcld 10433	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝑃 / 4)) ∈ ℤ)
16	4, 15	eqeltrid 2293	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
17	16	peano2zd 9511	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
18	1, 2	gausslemma2dlem0b 15577	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℕ)
19	18	nnzd 9507	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℤ)
20	17, 19	fzfigd 10589	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1)...𝐻) ∈ Fin)
21	10	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → 𝑃 ∈ ℤ)
22		elfzelz 10160	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → 𝑘 ∈ ℤ)
23		2z 9413	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
24	23	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → 2 ∈ ℤ)
25	22, 24	zmulcld 9514	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → (𝑘 · 2) ∈ ℤ)
26	25	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → (𝑘 · 2) ∈ ℤ)
27	21, 26	zsubcld 9513	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → (𝑃 − (𝑘 · 2)) ∈ ℤ)
28	9, 27	sylan 283	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → (𝑃 − (𝑘 · 2)) ∈ ℤ)
29		neg1z 9417	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℤ
30	29	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → -1 ∈ ℤ)
31	30, 25	zmulcld 9514	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → (-1 · (𝑘 · 2)) ∈ ℤ)
32	31	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → (-1 · (𝑘 · 2)) ∈ ℤ)
33		prmnn 12482	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
34	9, 33	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
35	25	zcnd 9509	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → (𝑘 · 2) ∈ ℂ)
36	35	mulm1d 8495	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻) → (-1 · (𝑘 · 2)) = -(𝑘 · 2))
37	36	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → (-1 · (𝑘 · 2)) = -(𝑘 · 2))
38	37	oveq1d 5969	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → ((-1 · (𝑘 · 2)) mod 𝑃) = (-(𝑘 · 2) mod 𝑃))
39		zq 9760	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 · 2) ∈ ℤ → (𝑘 · 2) ∈ ℚ)
40	26, 39	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → (𝑘 · 2) ∈ ℚ)
41		zq 9760	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℤ → 𝑃 ∈ ℚ)
42	21, 41	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → 𝑃 ∈ ℚ)
43	33	nngt0d 9093	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 0 < 𝑃)
44	43	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → 0 < 𝑃)
45		qnegmod 10527	. . . . . 6 ⊢ (((𝑘 · 2) ∈ ℚ ∧ 𝑃 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑃) → (-(𝑘 · 2) mod 𝑃) = ((𝑃 − (𝑘 · 2)) mod 𝑃))
46	40, 42, 44, 45	syl3anc 1250	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → (-(𝑘 · 2) mod 𝑃) = ((𝑃 − (𝑘 · 2)) mod 𝑃))
47	38, 46	eqtr2d 2240	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → ((𝑃 − (𝑘 · 2)) mod 𝑃) = ((-1 · (𝑘 · 2)) mod 𝑃))
48	9, 47	sylan 283	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)) → ((𝑃 − (𝑘 · 2)) mod 𝑃) = ((-1 · (𝑘 · 2)) mod 𝑃))
49	20, 28, 32, 34, 48	fprodmodd 12002	. 2 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑃 − (𝑘 · 2)) mod 𝑃) = (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(-1 · (𝑘 · 2)) mod 𝑃))
50	8, 49	eqtrd 2239	1 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(𝑅‘𝑘) mod 𝑃) = (∏𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝐻)(-1 · (𝑘 · 2)) mod 𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  ∀wral 2485   ∖ cdif 3165  ifcif 3573  {csn 3635   class class class wbr 4048   ↦ cmpt 4110  ‘cfv 5277  (class class class)co 5954  0cc0 7938  1c1 7939   + caddc 7941   · cmul 7943   < clt 8120   − cmin 8256  -cneg 8257   / cdiv 8758  ℕcn 9049  2c2 9100  4c4 9102  ℤcz 9385  ℚcq 9753  ...cfz 10143  ⌊cfl 10424   mod cmo 10480  ∏cprod 11911  ℙcprime 12479

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4164  ax-sep 4167  ax-nul 4175  ax-pow 4223  ax-pr 4258  ax-un 4485  ax-setind 4590  ax-iinf 4641  ax-cnex 8029  ax-resscn 8030  ax-1cn 8031  ax-1re 8032  ax-icn 8033  ax-addcl 8034  ax-addrcl 8035  ax-mulcl 8036  ax-mulrcl 8037  ax-addcom 8038  ax-mulcom 8039  ax-addass 8040  ax-mulass 8041  ax-distr 8042  ax-i2m1 8043  ax-0lt1 8044  ax-1rid 8045  ax-0id 8046  ax-rnegex 8047  ax-precex 8048  ax-cnre 8049  ax-pre-ltirr 8050  ax-pre-ltwlin 8051  ax-pre-lttrn 8052  ax-pre-apti 8053  ax-pre-ltadd 8054  ax-pre-mulgt0 8055  ax-pre-mulext 8056  ax-arch 8057  ax-caucvg 8058

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-xor 1396  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3001  df-csb 3096  df-dif 3170  df-un 3172  df-in 3174  df-ss 3181  df-nul 3463  df-if 3574  df-pw 3620  df-sn 3641  df-pr 3642  df-op 3644  df-uni 3854  df-int 3889  df-iun 3932  df-br 4049  df-opab 4111  df-mpt 4112  df-tr 4148  df-id 4345  df-po 4348  df-iso 4349  df-iord 4418  df-on 4420  df-ilim 4421  df-suc 4423  df-iom 4644  df-xp 4686  df-rel 4687  df-cnv 4688  df-co 4689  df-dm 4690  df-rn 4691  df-res 4692  df-ima 4693  df-iota 5238  df-fun 5279  df-fn 5280  df-f 5281  df-f1 5282  df-fo 5283  df-f1o 5284  df-fv 5285  df-isom 5286  df-riota 5909  df-ov 5957  df-oprab 5958  df-mpo 5959  df-1st 6236  df-2nd 6237  df-recs 6401  df-irdg 6466  df-frec 6487  df-1o 6512  df-2o 6513  df-oadd 6516  df-er 6630  df-en 6838  df-dom 6839  df-fin 6840  df-pnf 8122  df-mnf 8123  df-xr 8124  df-ltxr 8125  df-le 8126  df-sub 8258  df-neg 8259  df-reap 8661  df-ap 8668  df-div 8759  df-inn 9050  df-2 9108  df-3 9109  df-4 9110  df-n0 9309  df-z 9386  df-uz 9662  df-q 9754  df-rp 9789  df-fz 10144  df-fzo 10278  df-fl 10426  df-mod 10481  df-seqfrec 10606  df-exp 10697  df-ihash 10934  df-cj 11203  df-re 11204  df-im 11205  df-rsqrt 11359  df-abs 11360  df-clim 11640  df-proddc 11912  df-dvds 12149  df-prm 12480

This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem5  15593